高考专题---圆锥曲线的方程详细解析
一．选择题
1． 已知直线
x y
+=1（a ，b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那a b
B ．66条
C ．72条
D ．78条
么这样的直线共有 A ．60条
解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x 2+y 2=100上的整数点共有12个，分别为(6, ±8), (-6, ±8), (8, ±6)，(-8, ±6), (±10,0), (0, ±10)，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，
2有8条；12个点中过任意两点，构成C 12=66条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条
过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，选A
2．已知平面区域D 由以A (1,3),B (5,2),C (3,1)为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(x , y ) 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =
A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4
解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－
1
，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时， m
线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，∴m ＝1，选C 3．若圆x +y -4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =
0的距离为则直线l 的倾斜角的 取值范围是 A.[
22
2
ππ
124,
] B.[
π5ππππ, ] C.[, ] D. [0,] 1212263
解：圆x
+y -4x -4y -10=0整为(x -2) 2+(y -2) 2=2，∴圆心坐标为(2，2) ，半径为32， 要求圆上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴
2
a a a a
() 2+4() +1≤0，∴
-2-() ≤-2+k =-() ，
b b b b ∴
22l 的倾斜角的取值范围是[
2
2
]，选B.
1212
π5π
4． 从圆x -2x +y -2y +1=0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
A ．
13 B ． C
D ．0 252
2
解：圆x -2x +y -2y +1=0的圆心为M(1，1) ，半径为1，从外一点P (3,2) 向这个圆作两条切线，则点P 到
1
1=4，该圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为tan θ=
32
1-4
3
角的余弦值等于，选B.
5
2⋅
5．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 1千克，
b 2千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各c 1、c 2千克。要计划本
月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为
⎧a 1x +a 2y ≥c 1⎧a 1x +b 1y ≤c 1⎧a 1x +a 2y ≤c 1⎧a 1x +a 2y =c 1
⎪b x +b y ≥c ⎪a x +b y ≤c ⎪b x +b y ≤c ⎪b x +b y =c ⎪1⎪2⎪1⎪122222222
（A ）⎨ （B ）⎨ （C ）⎨ （D ）⎨
x ≥0x ≥0x ≥0x ≥0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ≥0y ≥0y ≥0y ≥0⎩⎩⎩⎩解：设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，
⎧a 1x +a 2y ≤c 1⎪b x +b y ≤c 122，选C. 用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为⎪⎨
x ≥0⎪⎪y ≥0⎩
⎧x ≥0
⎪y ≥0⎪
6. 在约束条件⎨下，当3≤x ≤5时，目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是
y +x ≤s ⎪⎪⎩y +2x ≤4
A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解：由⎨
⎧x +y =s ⎧x =4-s
交点为A (0, 2), B (4-s , 2s -4), C (0, s ), C '(0, 4) ， ⇒⎨
⎩y +2x =4⎩y =2s -4
（1）当3≤s
7. 由直线y=x+1上的一点向圆(x -3) 2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为
A.1
B.22
C. 7 D.3
解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离 为d=
|3-0+1|
2
=22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2-r 2=8-1=，选C.
8. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪 都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都 是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6
解：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256, 故至少三个龙头。由于2R
由于2R =12>:B.
9. 已知圆C 1：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为
2
2
（A ）(x +2) 2+(y -2) 2=1 （B ）(x -2) 2+(y +2) 2=1 （C ）(x +2) 2+(y +2) 2=1 （D ）(x -2) 2+(y -2) 2=1
⎧a -1b +1
--1=0⎪⎧a =2⎪22
解:设圆C 2的圆心为（a ，b ），则依题意，有⎨，解得：⎨，对称圆的半径不变为1，故
⎩b =-2⎪b -1=-1
⎪⎩a +1
选B 。.
⎧⎪x =θ,
0,2π))交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜10. 直线
x +D
的圆⎨(θ∈⎡⎣⎪⎩y =1+θ
角之和为
A.
7545
π B. π C. π D. π 6433
解:数形结合∠1=α-30, ∠2=30+π-β 由圆的性质可
知
∠1=∠2, ∴α-30 =30 +π-β, 故α+β=
4π 3
11. 动点A (x , y )在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t =0时，点A 的坐
标是(1，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 2B 、[1,7]
C 、[7,12]
D 、[0,1]和[7,12]
A 、[0,1]
解:画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则t =0时α=在[7,12]上α∈[
π
3
，每秒钟旋转
πππ，在t ∈[0,1]上α∈[, ]，632
3π7π
, ]，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的。 23
x 2y 2
12．已知双曲线2-2=1(a >0,b
a b
交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
x 2y 2o
解：双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一
a b
2
a 2+b 2b b 2c ≥4，∴ e≥2，个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e =2=
a a a a 2
选C.
13．设过点P (x , y ) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A , B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA 且OQ AB =1，则点P 的轨迹方程是
323
y =1(x >0, y >0) B ．3x 2-y 2=1(x >0, y >0) 22323222
C ．x -3y =1(x >0, y >0) D ．x +3y =1(x >0, y >0)
22
2A ．3x +
解：设P （x ，y ），则Q （－x ，y ），又设A （a ，0），B （0，b ），则a >0，b >0，于是
3
＝2PA 可得a ＝x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0， ，由BP BP ＝（x ，y －b ），PA ＝（a －x ，－y ）
2
3322
又AB ＝（－a ，b ）＝（－x ，3y ），由OQ •AB ＝1可得x +3y =1(x >0, y >0) ，故选D.
22
y 2
14．过双曲线M:x -2=1的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C, 且
b
2
|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是
y 2
解：过双曲线M :x -2=1的左顶点A (1，0) 作斜率为1的直线l ：y=x－1, 若l 与双曲线M 的两条渐近线
b
2
y 2
x -2=0分别相交于点B (x 1, y 1), C (x 2, y 2) , 联立方程组代入消元得(b 2-1) x 2+2x -1=0,
b
2
21⎧⎧
x +x =x =⎪⎪⎪121-b 2⎪14∴ ⎨，x 1+x2=2x1x 2，又|AB |=|BC |, 则B 为AC 中点，2x 1=1+x2，代入解得⎨，∴ b 2=9，双曲
11⎪x ⋅x =⎪x =-
1222
⎪⎪1-b ⎩2⎩
线M 的离心率
e=
c
=A. a
x 2y 2
1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和 15．P 是双曲线－＝
916
（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为
A. 6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B
16．直线y =2k 与曲线9k x +y =18k x (k ∈R , 且k ≠0) 的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解：将y =2k 代入9k x +y =18k x 得：9k x +4k =18k x ⇒9|x |-18x +4=0，显然该关于|x |的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个，故选择答案D 。 17． 抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是
A ．
2
2222
222222222
478
B ． C ． D ．3 355
2
|4m -3m -8|2
解：设抛物线y =-x 2上一点为(m，－m 2) ，该点到直线4x +3y -8=0的距离为，当m=时，
35
取得最小值为
4
，选A. 3
1x 2
-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m= 18．若双曲线
3m
（A ）
1
2
（B ）
3 2
（C ）
1 8
（D ）
9 8
11m +1x 2
=9，m =，选-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则离心率e=3，∴ 解：双曲线
38m m
C.
x 2y 29
+=1上三个不同的点， 19． 设A (x 1, y 1), B (4,), C (x 2, y 2) 是右焦点为F 的椭圆
5259
则“AF , BF , CF 成等差数列”是“x 1+x 2=8”的
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
4449，F （4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x 1，|BF|＝5－×4＝，|CF|＝55555
4449
－x 2，故AF , BF , CF 成等差数列⇔（5－x 1）＋（5－x 2）＝2×⇔x 1+x 2=8故选A 5555
解：a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝
x 2y 2
20. 设F 1，F 2分别是双曲线2-2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF1|=3|AF2|，
a b
则双曲线离心率为
(A)
2
(B)
2
(C)
2
(D)
x 2y 2
解:设F 1，F 2分别是双曲线2-2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF1|=3|AF2|，
a b
设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a =|AF =
离心率e =1|-|AF 2|=
2，2c =，选B 。 x 2r 2
21. 如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆
a b
心，以O F 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双 曲线的离心率为 （A ）
（B ）5
（C ）
2
（D ）1+
3
x 2r 2
解:如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以
a b
O F 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF1|=c，
|AF2|=3c ，∴
2a =1) c ，双曲线的离心率为1+3，选D 。
x 2y 2
22. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该
a b
椭圆离心率的取值范围是
Ａ． 0⎥
⎛⎝1⎤2⎦
Ｂ． 0⎛ ⎝ ⎦
Ｃ．⎢，1⎪
⎡1⎫
⎣2⎭
Ｄ．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
x 2y 2
解：椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，
a b
⎫a 2a 22
1⎪≤2c 若|MN |=2，|F 1F 2|=2c ，MN ≤2F ，则，该椭圆离心率e≥，取值范围是，选D 。 1F 2⎪c c 2⎣2⎭
x 2y 2
23. 设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P , 使
a b
线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是
A
． 0⎛
⎝ 2⎦
B
． 0
⎛⎝⎦
C
．⎫
1⎪ ⎪⎣2⎭
D
．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
a 2b 2y
解：由已知P (, y ) ，所以F 1P 的中点Q 的坐标为(, ) ，由
2c 2c k F 1P
cy cy b 422
=2, k QF 2=2, k F P ⋅k QF 2=-1, ⇒y =2b -
2. b b -2c 21c
∴y 2=(a 2-c 2)(3-
11) >0⇒(3-) >0,1>e >当k F 1P =0时，k QF 2不存在，此时F 2为中点
，e 2e 23
a 2-c =2c ⇒e =
≤e
0) ，方程 24. 设椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为e =，右焦点为F (c ，
2a b
ax 2+bx -c =0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)
Ａ．必在圆x +y =2内
2
2
Ｂ．必在圆x +y =2上
22
Ｃ．必在圆x 2+y 2=2外
Ｄ．以上三种情形都有可能
解：由e =
1c b 3c 1=得a=2c，b=c ，所以x 1+x 2==, x 1x 2==，所以点P (x 1，x 2) 到圆心（0，0）2a a 2a 2
2
的距离为x 1+x 2=
2
(x 1+x 2) 2-2x 1x 2=
37
+1=
x 2y 2
25. 双曲线C 1:2-2=1(a >0，b >0) 的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛
a b
物线C 2的准线为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则
A ．-1
B ．1
C ．-
F 1F 2MF 1
-
MF 1MF 2
等于
1 2
D ．
1 2
解：由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上, 故 由定义可得
⎧
⎪MF 1-MF 2=2a ⎪
⎨MF 2=MD ⎪
⎪MF 1=c MD
a ⎩
2ac
2ac 2a 2
, 故原式2c ⇒MF 1=, MF 2==c -a -c =-1，选A. =-c -a c -a 2ac 2a 2a a
c -a
c -a
x 2y 2
P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，26. 已知双曲线2-2=1(a >0，b >0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，
a b
PF 1PF 2=
4ab ，则双曲线的离心率是
Ｂ．
Ｃ．2
Ｄ．3
解：设准线与x 轴交于A 点. 在Rt ∆PF 1F 2中, PF 1⋅PF 2=F 1F 2⋅,
4ab 2ab 4a 2b 2a 2a 22
∴===(c -)(c +) , 化简得c 2=3a 2 , ∴e = 又 =F 1A ⋅F 2A ∴2
2c c c c c
故选答案B.
27. 已知以F 1（2,0），F 2
（2,0）为焦点的椭圆与直线x +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （A ）32
（B ）26
2
2
（C ）27 （D ）42
22
⎧⎪mx +ny =1
, 消
x 得： 解：设椭圆方程为mx +
ny =1(m ≠n >0). ⇒⎨
⎪⎩x ++4=0
(3m +n ) y 2++16m -1=0, ∆=0⇒3m +n =16mn , 即：
3111
+=16. 又c =2⇒-=±4. 联立解得n m m n
1⎧m =⎧m =1⎪⎪7⎪
或⎨1. 由焦点在x
轴上，故长轴长为 ⎨
1n =⎪n =⎪5⎩⎪3⎩
y 2
=1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|:|PF 2|=3:2，则△PF 1F 2的面积28. 设P 为双曲线x -12
2
为
A
． B ．12
C
．
D ．24
解：因为|PF 1|:|PF 2|=3:2，设|PF 1|=3x , |PF 2|=2x ，|PF 1|-|PF 2|=3x -2x =x =2a =2,
|PF 1|=6, |PF 2|=4, |F 1F 2|=2，(2) 2=52=62+42，△PF 1F 2为直角三角形，其面积
为
1
⨯6⨯4=12，选B. 2
29. 已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则AB 等于
（A ）3 （B ）4 （C
） （D
）⎧y =-x 2+3
⇒x 2+x +b -3=0⇒x 1+x 2=-1，进而可求出AB 的中解：设直线AB 的方程为y =x +b ，由⎨
⎩y =x +b
点M (-
1111
, -+b ) ，又由M (-, -+b ) 在直线x +y =0上可求出b =1，∴x 2+x -2=
0，由弦长公式可求出2222
AB ==
30. 已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
A.3 B.4 C.32 D.42
⎧y =-x 2+3解：设直线AB 的方程为y =x +b ，由⎨⇒x 2+x +b -3=0⇒x 1+x 2=-1，进而可求出AB 的中
⎩y =x +b
点M (-
1111
, -+b ) ，又由M (-, -+b ) 在直线x +y =0上可求出b =1，∴x 2+x -2=
0，由弦长公式可求出2222
AB ==C ．
x 2y 2
31. 设双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于
a b
（A
（B ）2 （C
（D
解：设切点P (x 0, y 0) ，则切线的斜率为y
'
|x =x 0=2x 0. 由题意有
y 0
=2x 0又y 0=x 02+1, 解得: x 0
b x 02=1, ∴=2, e ==
a x 2
+y 2=1的右焦点为F , 右准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点 32. 已知椭圆C :2B ，若FA =3FB , 则|AF |=
(A)
(B) 2 (C)
(D) 3
2
. 又由椭3
解:过点B 作BM ⊥l 于M, 并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意FA =3FB , 故|BM |=
圆的第二定义,
得|BF |=
2⋅
=|AF |故选A. 233
x 2y 2
33. 过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
a b B , C ．若AB =
1
BC ，则双曲线的离心率是 2
A
B
C
D
解:对于A (a ,0)，则直线方程为x +y -a =0，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
⎛a 22a 2b 2a 2b ab ⎫ab ⎫a 2ab ⎛ab
，则有BC =(, -), AB =-, B , , C (, -) ⎪ ⎪，
2222
a -b a -b a +b a +b a +b a +b a -b a -b ⎝⎭⎝⎭
因2AB =BC , ∴4a 2=b 2, ∴e
34. 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0) 的焦点F, 且和y 轴交于点A, 若△OAF(O为坐标原点) 的面积为4, 则抛物线方程为
A. y =±4x B. y =±8x C. y =4x D. y =8x
2
解:抛物线y =ax (a ≠0) 的焦点F 坐标为(,0) , 则直线l 的方程为y =2(x -) , 它与y 轴的交点为A (0,-) ,
2
2
2
2
a 4a 4a 2
所以△OAF 的面积为
1a a
||⋅||=4, 解得a =±8. 所以抛物线方程为y 2=±8x , 故选B. 242
2
35. 已知直线y =k (x +2)(k >0) 与抛物线C:y =8x 相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若=2FB , 则k=
(A)
12222 (B) (C) (D) 3333
解:由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由FA =2FB 及第二定义知x A +2=2(x B +2) 联立方程用
根与系数关系可求
k=
。 3
x 2y 2x 2y 2
-=1的准线过椭圆+2=1的焦点，则直线y =kx +2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 36. 已知双曲线
224b
A. K ∈⎢-, ⎥ B. K ∈ -∞, -⎥222C. K ∈⎢⎡11⎤⎣⎦⎡⎣
⎛
⎝
1⎤⎦⎡1⎫, +∞⎪ ⎢
⎣2⎭
⎫+∞⎪⎪ ⎣⎭
⎛K ∈-∞,
D. ⎦⎝⎦
a 22x 2y 222222
解:易得准线方程是x =±=±=±1, 所以c =a -b =4-b =1 即b =3所以方程是+=1
b 243
联立y =kx +2 可得 3x 2+(4k2+16k)x +4=0 由∆≤0可解得A.
x 2y 2
-=1(b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y =x ，点P (, y 0) 在双曲37. 已知双曲线
2b 2
线上. 则PF 2＝ 1·
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
22
解:由渐近线方程为y =x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x -y =2，于是两焦点坐标分别是（－2，
0）和（2，0），且P (3, 1) 或P (, -1) . 不妨去P (3, 1) ，则PF 1=(-2-3, -1) ，
PF 2=(2-, -1) . ∴PF PF 2＝(-2-3, -1)(2-3, -1) =-(2+)(2-) +1=0 1·
38. 已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y =8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的
2
焦点，若|FA |=2|FB |，则k =
A.
1 B.
33
2
C.
2 D. 33
解：设抛物线C :y =8x 的准线为l :x =-2直线 y =k (x +2)(k >0)恒过定点P (-2,0) .如图过
A 、B 分 别作AM ⊥l 于M , BN ⊥l 于N , 由|FA |=2|FB |, 则|AM |=2|BN |, 点B 为AP 的中点. 连结OB , 则
|OB |=
1
|AF
|, ∴|OB |=|
BF |
点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为 2
∴k =
0故选D. =
1-(-2) 3
x 2y 2
39. 已知双曲线C 2-2=1
(a >0, b >0)的右焦点为F , 过F
a b
交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 则C 的离心率为A ．
6759 B. C. D. 5585
x 2y 2
解：设双曲线C 2-2=1的右准线为l , 过A 、B 分 别作AM ⊥l 于M , BN ⊥l 于N ,
a b BD ⊥AM 于D , 由直线AB
知直线AB 的倾斜角为60︒∴∠BAD =60︒,|AD |=
由双曲线的第二定义有|AM |-|BN |=|AD |=又
1
|AB |, 2
111
(|AF |-|FB |)=|AB |=(|AF |+|FB |). e 22
156
AF =4FB ∴⋅3|FB |=|FB |∴e =, 故选A.
e 25
40. “m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1”表示焦点在y 轴上的椭圆”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
x 2y 211+=1, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足>0, >0, 所以解:将方程mx +ny =1转化为 m n m n
2
2
11
>，故选C. n m
x 2y 22
1相切，则该双曲线的离心率等于 41. 设双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x ＋
a b
（A
（B ）2 （C
（D
bx x 2y 22
解:由题双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =，代入抛物线方程整得ax -bx +a =0，
a a b
22
因渐近线与抛物线相切，所以b -4a =0，即c =5a ⇔e =
2
2
5，故选择C 。
x 2
+y 2=1的右焦点为F, 右准线l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B 。若FA =3FB , 则AF =
42. 已知椭圆C :2
(A)
(B) 2
(C) (D) 3
2
. 又由椭圆3
解:过点B 作BM ⊥l 于M, 并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意FA =3FB , 故|BM |=
的第二定义,
得|BF |=
2
2
=|AF |=故选A. 233
43. 设抛物线y =2x的焦点为F ，过点M
0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比
S ∆BCF
= S ∆ACF
（A ）
4241
（B ） （C ） （D ） 5372
解:由题知
S ∆BCF S ∆ACF
1
BC =2x B +1，又|BF |=x +1=2⇒x =3⇒y =-3 ==B B B
12x A +122AC
x A +
2
x B +
0-2x A y M -y A y M -y B 0+3即，故x A =2， ==
3x M -x A x M -x B 3-x A
3-
2
由A 、B 、M 三点共线有
∴
S ∆BCF 2x B +13+14
===，故选择A 。
S ∆ACF 2x A +14+15
44. 已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.
1137 D. 516
解:直线l 2:x =-1为抛物线y 2=4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1, 0) 的距离，故本题化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F (1, 0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1, 0) 到直线l 1:4x -3y +6=0的距离，即d min =
|4-0+6|
=2，故选择A 。
5
⎧⎪x ∈(-1,1]
45. 已知以T =
4为周期的函数f (x ) =⎨，其中m >0。若方程3f (x ) =x 恰有5个实数解，则m
⎪⎩1-x -2, x ∈(1,3]
的取值范围为
A
．8
) 33
B
． 3
2
C ．(, )
4833
D
．(
43
y 2
解:因为当x ∈(-1,1]时，将函数化为方程x +2=1(y ≥0) ，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在
m
坐标系中作出当x ∈(1,3]得图像，再根据周期性作出函数的图像，由图易知直线y =
2
其它部分
x
与第二个椭圆3
y 2
(x -4) +2=1(y ≥0) 相交，而与第三个半椭圆
m
x y 2y 22
(x -4) +2=1(y ≥0) 无公共点时，方程恰有5个实数解，将y =代入(x -4) +2=1(y ≥0) 得
3m m
2
(9m 2+1) x 2-72m 2x +135m 2=0, 令t =9m 2(t >0) 则(t +1) x 2-8tx +15t =0
由∆=(8t ) -4⨯15t (t +1) >0, 得t >15, 由9m >15, 且m >0得m >
2
2
x y 22
同样由y =与第二个椭圆(x -8) +2=1(y ≥0) 由∆
0可计算得m
3m
综上知m ∈. x 2y 246. 已知椭圆C :2+2=1(a ＞b ＞
0) 的离心率为，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0) 的直线与C 相交于A 、B 两
a b 点．若AF =3FB ，则k =
（A ）1 （B
（C
（D ）2
解:设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得
，
，
由
，
得
，
即k=，故选B.
47. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A
（B
（C
（D
x 2y 2
解:选D. 不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：2-2=1(a >0, b >0) ，则一个焦点为F (c ,0), B (0,b ) , 一条
a b
b b b b
渐近线斜率为：，直线FB 的斜率为：-，∴⋅(-) =-1，∴b 2=ac
a c a c c 2-a 2-ac =
0，解得e =
c =a 48. 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离
心率为
(A)
(D) b x 2y 2
解:设双曲线方程为2-2=1(a >0, b >0) ，则F （c,0）,B(0,b).直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=x 垂直，
a a b
所以-
b b =-1，即b 2=ac, 所以c 2-a 2=ac, 即e 2
-e -1=0,所以e
=或e =（舍去） c a
x 2y 249. 已知椭圆C ：2+2=1（a>b>0
F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两
a b 点，若AF =3FB 。则k =
（A ）1 （B
（C
（D ）2 解:B ：A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，∵AF =3FB ，∴ y 1=-3y 2，
∵e =
，
设a =2t , c =2
t ，b =t ，
∴x 2+4y 2-4t 2=0，直线AB
方程为x =sy 。代入消去x
，∴(s 2+4) y 2+-t 2=0，
1t 2t 222
s =
∴y 1+y 2=-2，-2y 2=-2，解得，k =, y 1y 2=-2, -3y 2=-2
2s +4s +
4s +4s +4
x 2y 2
50. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平
a b
分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 （A
） ⎝⎛
⎛1⎤⎡1⎫
1,1 （D ）⎢,1⎪ （B ） 0, ⎥ （C ）
⎦⎝2⎦⎣2⎭
)
解:由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等
a 2b 2b 2
-c =,|PF |∈[a －c , a ＋c ],于是∈[a －c , a ＋c ],即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2. 而|FA |＝c c c
⎧c
≤1222⎪⎧ac -c ≤a -c ⎪⎪a ⎡1⎫
∴⎨2⇒, 又e ∈(0,1),故e ∈,1⎪ ⎨⎢22⎣2⎭⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1
⎪a 2⎩a
x 2y 2
+=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一 51. 若点O 和点F 分别为椭圆43
点，则OP FP 的最大值为
A ．2
B ．3 C ．6
D ．8
x 02y 02x 022
+=1, 解得y 0=3(1-) ， 解: 由题意，F （-1，0），设点P (x 0, y 0) ，则有434
因为FP =(x 0+1, y 0) ，OP =(x 0, y 0) ，所以OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +y 02
x 02x 02
) =+x 0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-2，因为-2≤x 0≤2，=OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +3(1-4422
+2+3=6，选C 。 所以当x 0=2时，OP ⋅FP 取得最大值4
022
P 6052. 已知F 、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则|PF F F F x -y =112121||PF 2|=
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2
解: cos ∠F 1P F 2=
2|PF 1||PF 2|
⇒cos60
PF (
=
1
-PF 2
)
2
+2PF 1PF 2-F 1F 2
2
2PF 1PF 2
12+2PF 1PF 2-⇒=22PF 1PF 2
2
(2
, |PF 1||PF
2|=4.
解析二: 由焦点三角形面积公式得：
S ∆F 1PF 2
60011, |PF =b cot =1cot ==PF 1PF 2sin 600=PF 1PF 1||PF 2|=4.
22222
θ
2
x 2y 2
53. 椭圆2+2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直
a b
平分线过点F
，则椭圆离心率的取值范围是 （A ）（0，
11] （B ）（0，]
（C ）1，1） （D ）[，1）
222
解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等. 而|FA |＝
a 2b 2b 2
-c =,|PF |∈[a －c , a ＋c ],于是∈[a －c , a ＋c ],即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2 c c c
⎧c
≤1⎪⎧ac -c ≤a -c ⎪a ⎪⎡1⎫
∴⎨2⇒, 又e ∈(0,1),故e ∈,1⎪ ⎨⎢
22⎣2⎭. ⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1
⎪a 2⎩a
2
2
2
54. 若直线y=x+b与曲线y =3
有公共点，则b 的取值范围是
A. ⎡-1,1+
B. ⎡1-+
C. ⎡1-⎤ D. ⎡1-⎤
⎣
⎣⎣⎦
⎣⎦
解：曲线方程可化简为(x -2) 2+(y -3) 2=4(1≤y ≤3) ，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y =x +b 与此半圆相切时须满足圆心（2
，3）到直线y=x+b距离等于
2，解得
b =1+b =1-
，因为是下半圆故可得b =1+
，当直线过（0，3）时，解得b=3,
故1-≤b ≤3, 所以C 正确.
x 22
55. 若点O 和点F (-2,0) 分别是双曲线2-y =1(a>0)的中心和左焦点, 点P 为双曲线右支上的任意一点, 则
OP ⋅FP
a
的取值范围为
A ．+∞
) B ．[3++∞) C ．[-
77
, +∞) D ．[, +∞) 44
x 2
-y 2=1，设点解：因为F (-2, 0) 是已知双曲线的左焦点，所以a +1=4，即a =3，所以双曲线方程为3
2
2
x 02x 0222
-y 0=1(x 0≥
，解得y 0=-1(x 0≥，因为FP =(x 0+2, y 0) ，OP =(x 0, y 0) ，所P (x 0, y
0) ，则有33x 024x 023
-1=+2x 0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-，
以OP ⋅FP =x 0(x 0+2) +y 0=x 0(x 0+2) +
433
2
因为x 0
，所以当x 0=时，OP ⋅
FP 取得最小值
4
⨯3+
1=3+，故OP ⋅
FP 的取值范围是3
[3++∞) ，选B 。 二. 填空题
⎧x +y ≤1．已知点P (x , y ) 的坐标满足条件⎪
4⎨y ≥x ，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于
⎪⎩
x ≥1____________.最大值等于____________.
解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA
＝B （1，3），OB
，C （1，1），OC
故|OP|
2．已知实数x 、y 满足⎨
⎧⎪y ≤1,
则⎪x +2y ⎩
y ≥x -1, 的最大值是____________.
解：已知实数x 、y 满足⎧⎪⎨y ≤1,
在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1) ，B(1，0) ，
⎪⎩
y ≥x -1, C(2，1) ，∴ x +2y 的最大值是4.
⎧x 3．已知⎪≥1,
⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2
的最小值是____________.
⎪⎩
2x -y -2≤0⎧x ≥解：由⎪1⎨x -y +1≤0，画出可行域，得交点A(1，2) ，B(3，4) ，则x 2+y 2
的最小值是5.
⎪⎩
2x -y -2≤04. 已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； (B) 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
(C)对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切 （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是____________.（写出所有真命题的代号）
解：选（B ）（D ）圆心坐标为（－cos θ，sin θ），
d =
－－|sin（θ＋ϕ）|≤1.
5．（I ）过点（12）的直线l 将圆(x －2) 2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线l 的斜率k ＝____________.
解:由图形可知点
A 在圆(x -2) 2+y 2=4的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小, 只能是直线l ⊥OA ,
所以k l =-
1 ==
k OA 26．设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB
的长为则a =____________.
解：设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB
的长为(1，2) 到直线的距离等于1
=1，a =0．
⎧x +2y -3≤0
⎪
7．已知变量x ，y 满足约束条件⎨x +3y -3≥0。若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,0)处取得最大值，
⎪y -1≤0⎩
则a 的取值范围为____________.
解：画出可行域如图所示，其中B （3，0），C （1，1），D （0，1），若目标函数z =ax +y 取得最大 值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有3a >a ＋1且3a >1，解得a >
1
2
8. 已知两圆x 2+y 2=10和(x -1) 2+(y -3) 2=20相交于A , B 两点，则直线AB 的方程 ____________.
解:两圆方程作差得x +3y =0.
22
9. 与直线x +y -2=0和曲线x +y -12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________.
解：曲线化为(x -6) +(y -6) =18，其圆心到直线x +y -2=
0的距离为d =
22
=所求的最小圆
的圆心在直线y =
x (2,2).标准方程为
(x -2) 2+(y -2) 2=2。
10. 如图，A ，B 是直线l 上的两点，且AB =2A ，B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB
积S 的取值范围是 ．
解:如图，当
O 1与
O 2外切于点C 时，S 最大，此时，两圆半径为1，S 等于矩形ABO 2O 1的面积减去两扇形
面积，∴S max =2⨯1-2⨯⨯π⨯1) =2-
14
2
π
2
，随着圆半径的变化，C 可以向直线l 靠近，当C 到直线l 的距离
d →0时, S →0, ∴S ∈(0,2-]。
2
11. 设有一组圆C k :(x -k +1) 2+(y -3k ) 2=2k 4(k ∈N *) ．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．．其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
2
π
解：圆心为（k-1，3k ）半径为2k ，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B 正确；由C 1、C 2、C 3的图像可知A 、C 不正确；若存在圆过原点（0，0），则有
(-k +1) 2+9k 2=2k 4⇒10k 2-2k +1=2k 4（k ∈N *)因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k
使上式成立，即所有圆不过原点。填B 、D.
12. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的 公共弦，AB =4．若OM =ON =3，则两圆圆心的距离MN =____________.
解：设E 为AB 的中点，则O ，E ，M ，N 四点共面，如图，∵AB =4，
所以OE =∴=，
由球的截面性质，有OM ⊥ME,ON ⊥NE ，∵OM =ON =3，所以∆MEO 与∆NEO 全等，所以MN 被OE 垂直
ME MO
=3
OE
13. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的 公共弦，AB =4，若OM =ON =3，则两圆圆心的距离MN =____________.
平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，MN=2
解：∵ON=3，球半径为4，∴小圆N
N 中弦长AB=4，于AB ，∴
ME =ONE 中， ∵
ON=3，∴ ∠EON =
作NE 垂直
π
6
，∴ ∠MON =
π
3
，∴ MN=3
x 2y 2
14．已知F 1，F 2为双曲线2-2=1(a >0，b >0且a ≠b ) 的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O
a b
为坐标原点．下面四个命题
1．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x =a 上； 2．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x =b 上； 3．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； 4．△PF 1F 2的内切圆必通过点(a ，0)． 其中真命题的代号是____________.（写出所有真命题的代号）．
解：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a ，故|F1M|－|F2M|＝2a ，而|F1M|＋|F2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故1、4正确。
x 2y 2
+=1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分
于15．如图，把椭圆
2516
F 是椭圆的一个焦点， P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，
PF +P 12F +P 3F +P 4F +P 5F +P 6F +P 7F =____________.
x 2y 2
+=1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于解：如图，把椭圆
2516
F 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知， P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，
2a ，又|P 4F 1|=a ， |PF 11|+|P 7F 1|=|PF 11|+|PF 12|=2a ，同其余两对的和也是
7a =35. ∴ PF +P +P 12F +PF 34F +P 5F +P 6F +P 7F =
x 2y 2
+=1 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知∆ABC 顶点A (-4,0) 和C (4,0)，顶点B 在椭圆
259
上，则
sin A +sin C
=____________.
sin B
sin A +sin C a +c 105
===.
sin B b 84
解：利用椭圆定义和正弦定 得 a +c =2⨯5=10,b=2*4=8,
2
2
17. 过双曲线x -y =4的右焦点F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于P 、Q 两点， 则|FP|⋅|FQ|的值为____________.
解：
F
k =tan1050=-
(2∴l :y =-(2x -代入x 2-y 2=4得
(6+x 2-+x +60+=0.
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2). ⇒x 1+x 2=
x 1⋅x 2=
又|FP |=x 1-FQ |=x 2-
x =
-
253
∴|FP |⋅|FQ |=(1+k 2) |x 1x 2-x 1+x 2) +8|=(8+⋅|=
=+8|
x 2y 2
+=1上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 18. 设椭圆
2516
满足OM =
1
(OP +DF ) ，则|OM |=____________. 2
x 2y 2582242+=1左准线为，左焦点为（-3，0）) ，由已知M 为PF 中点，M （-, ±) ，解：椭圆，P （, ±25163333
所以|OM |=
2422(-) 2+(±) =2. 33
19. 若⊙O 1:x 2+y 2=5与⊙O 2:(x -m ) 2+y 2=20(m ∈R ) 相交于A 、B 两点，且两 圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是____________.
解: 由题知O 1(0, 0), O 2(m , 0) ，且5
m 2=(5) 2+(25) 2=25⇒m =±5，∴AB =2⋅
5⋅20
=4。 5
x 2y 2
20. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若椭圆上
a b
存在一点P 使
a c
，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. =
sin PF 1F 2sin PF 2F 1
PF 2PF 1a c
, 则由已知，得， ==
sin PF 1F 2sin PF 2F 1PF PF 1211
解:因为在∆PF 1F 2中，由正弦定得
即. 设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0则a (a +ex 0) =c (a -ex 0) 记x 0=
a (c -a ) a (e -1) a (e -1)
=>-a ，整得e 2+2e -1>0解
由椭圆的几何性质知:x 0>-a 则, 得
e (c -a ) e (e +1) e (e +1)
，故椭圆的离心率∈(0, 1) e ∈1,1)
e
-1e
c c 2a 2解法二: 由解析1知:PF 1=PF 2, PF 1+PF 2=2a 则PF 2+PF 2=2a 即PF 2=
a a c +a
2a 2
0, 所以e 2+2e -1>0, 以下同解析1. 由椭圆的几何性质知PF 2
c +a x 2y 2
21. 已知双曲aPF 1=cPF 2线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若双
a b
曲线上存在一点P 使
sin PF 1F 2a
=，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.
sin PF 2F 1c
PF 2PF 1a c
, 则由已知，得，即aPF 1=cPF 2，且知点P 在双曲线的==
sin PF 1F 2sin PF 2F 1PF PF 1211
解:在∆PF 1F 2中，∵
右支上，设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=ex 0-a 则a (a +ex 0) =c (ex 0-a ) , 解得x 0=
2
a (c +a ) a (e +1) a (e +1)
=>a ， 由双曲线的几何性质知x 0>a 则
e (c -a ) e (e -1) e (e -1)
整得e -2e -1
0, 解得1
e ∈(1, +∞) ，故椭圆的离心率e ∈(11) .
c c 2a 2
解法二: 由解析1知PF 1=PF 2, PF 1-PF 2=2a 则PF 2-PF 2=2a 即PF 2=
a a c -a
2a 2
>c -a , 既c 2-2ac -a 2c -a , 则c -a x 2y 2
+=1的焦点为F 1, F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|=_________； 22. 椭圆92
∠F 1PF 2的小大为____________.
解: ∵a 2=9, b 2=
3，∴c ==
F 1F 2=
又PF 1PF 2=1=4, PF 1+PF 2=2a =6，∴PF 2=
2，由余弦定，cos ∠F
︒︒
∴∠F 1PF 2=120，故应填2, 120.
2+4-2⨯2⨯4
22
(2
1
=-，
2
x 2y 2
23. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 1, A 2, B 1, B 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的四个
a b
顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点， 则该椭圆的离心率为____________.
解:直线A 1B 2的方程为：
x y x y +=1；直线B 1F 的方程为：+=1。二者联立解得： -a b c -b
2ac b (a +c ) x 2y 2ac b (a +c )
T (, ) , 则M (, ) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 上， a -c a -c a b a -c 2(a -c )
c 2(a +c ) 2222
+=1, c +10ac -3a =0, e +10e -3=0,
解得：e =5 22
(a -c ) 4(a -c )
24. 过抛物线y =2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则
2
p =_____________.
⎧y 2=2px
p p 2⎪2
解:由题意可知过焦点的直线方程为y =x -，联立有⎨⇒x -3px +=0，
p 24⎪y =x -
⎩2
又AB ==8⇒p =2。
x 2y 2
-=1的左焦点，A (1,4), P 是双曲线右支上的动点，则 25. 以知F 是双曲线
412
PF +PA 的最小值为____________.
21
解:注意到P 点在双曲线的两只之间, 且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a ＝4, 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5, 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A 、P 、F’三点共线时等号成立. 答案9.
x 2y 2
26. 已知F 1、F 2是椭圆C :2+2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1F 2的1⊥PF 2. 若∆PF
a b
面积为9，则b =____________.
⎧|PF 1|+|PF 2|=2a ⎪
解:依题意，有⎨|PF 1|∙|PF 2|=18, 可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。
⎪222⎩|PF 1|+|PF 2|=4c
27. 已知抛物线C :y 2=2px (p ＞0) 的准线为l ，过M
(1,0)l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM =MB ，则p =____________.
解：过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM =MB ，∴M 为中点，∴BM =∴BE =
10
AB ，
∠BAE =30，2
1
AB ，∴BM =BE ，∴M 为抛物线的焦点，∴p =2. 2
28. 已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB , 则弦AB 的中点到准线的距离为___________.
解：设BF=m,由抛物线的定义知AA 1=3m , BB 1=m , ∴∆ABC 中，AC=2m,AB=4m,k AB =3, 直线AB 方程为y =3(x -1) 与抛物线方程联立消y 得3x -10x +3=0, 所以AB 中点到准线距离为29. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于
2
x 1+x 258
+1=+1= 233
uu r uu r
点D ， 且BF =2FD ，则C 的离心率为 .
uu r uu r |OF ||BF |2
解：
∵|BF |==a , 作DD 1⊥y 轴于点D 1, 则由BF =2FD ，得==, 所以
|DD 1||BD |3
3c 33a 23c 3c 2
|DD 1|=|OF |=c , 即x D =, 由椭圆的第二定义得|FD |=e (-) =a -, 又|BF |=2|FD |, 得
222c 22a
3c 2a =
2a -, ⇒e =
a 3
x 2y 2
解析二:设椭圆方程为第一标准形式2+2=1，设D (x 2, y 2)，F 分 BD 所成的比为2，
a b 3y c -b 3⋅0-b 0+2x 2b +2y 233b 9c 21b 2x c =⇒x 2=x c =c ; y c =⇒y 2===-，代入+=
1⇒e =，1+2221+22224a 24b 22
x 0x 222
+y =1的两焦点为F 1, F 2, 点P (x 0, y 0) 满足0
|PF 1|+PF 2|的取值范围为___________，直线
x 0x
+y 0y =1与椭圆C 的公共点个数____________. 2
22
解：依题意知，点P 在椭圆内部. 画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时(|PF 1|+|PF 2|)max =2 ，当P 在椭
x 2
圆顶点处时，取到(|PF 1|+
|PF 2|)max 为1) +，故范围为
[. 因为(x 0, y 0) 在椭圆+y 2=1的内
2
x ⋅x 0
+y ⋅y 0=1上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个. 部，则直线2
23
高考专题---圆锥曲线的方程详细解析
一．选择题
1． 已知直线
x y
+=1（a ，b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那a b
B ．66条
C ．72条
D ．78条
么这样的直线共有 A ．60条
解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x 2+y 2=100上的整数点共有12个，分别为(6, ±8), (-6, ±8), (8, ±6)，(-8, ±6), (±10,0), (0, ±10)，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，
2有8条；12个点中过任意两点，构成C 12=66条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条
过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，选A
2．已知平面区域D 由以A (1,3),B (5,2),C (3,1)为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(x , y ) 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =
A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4
解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－
1
，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时， m
线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，∴m ＝1，选C 3．若圆x +y -4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =
0的距离为则直线l 的倾斜角的 取值范围是 A.[
22
2
ππ
124,
] B.[
π5ππππ, ] C.[, ] D. [0,] 1212263
解：圆x
+y -4x -4y -10=0整为(x -2) 2+(y -2) 2=2，∴圆心坐标为(2，2) ，半径为32， 要求圆上至少有三个不同的点到直线l :ax +by =0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴
2
a a a a
() 2+4() +1≤0，∴
-2-() ≤-2+k =-() ，
b b b b ∴
22l 的倾斜角的取值范围是[
2
2
]，选B.
1212
π5π
4． 从圆x -2x +y -2y +1=0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
A ．
13 B ． C
D ．0 252
2
解：圆x -2x +y -2y +1=0的圆心为M(1，1) ，半径为1，从外一点P (3,2) 向这个圆作两条切线，则点P 到
1
1=4，该圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为tan θ=
32
1-4
3
角的余弦值等于，选B.
5
2⋅
5．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 1千克，
b 2千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元。月初一次性购进本月用原料A 、B 各c 1、c 2千克。要计划本
月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为
⎧a 1x +a 2y ≥c 1⎧a 1x +b 1y ≤c 1⎧a 1x +a 2y ≤c 1⎧a 1x +a 2y =c 1
⎪b x +b y ≥c ⎪a x +b y ≤c ⎪b x +b y ≤c ⎪b x +b y =c ⎪1⎪2⎪1⎪122222222
（A ）⎨ （B ）⎨ （C ）⎨ （D ）⎨
x ≥0x ≥0x ≥0x ≥0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ≥0y ≥0y ≥0y ≥0⎩⎩⎩⎩解：设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，
⎧a 1x +a 2y ≤c 1⎪b x +b y ≤c 122，选C. 用于求使总利润z =d 1x +d 2y 最大的数学模型中，约束条件为⎪⎨
x ≥0⎪⎪y ≥0⎩
⎧x ≥0
⎪y ≥0⎪
6. 在约束条件⎨下，当3≤x ≤5时，目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是
y +x ≤s ⎪⎪⎩y +2x ≤4
A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解：由⎨
⎧x +y =s ⎧x =4-s
交点为A (0, 2), B (4-s , 2s -4), C (0, s ), C '(0, 4) ， ⇒⎨
⎩y +2x =4⎩y =2s -4
（1）当3≤s
7. 由直线y=x+1上的一点向圆(x -3) 2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为
A.1
B.22
C. 7 D.3
解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离 为d=
|3-0+1|
2
=22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2-r 2=8-1=，选C.
8. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪 都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都 是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6
解：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256, 故至少三个龙头。由于2R
由于2R =12>:B.
9. 已知圆C 1：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为
2
2
（A ）(x +2) 2+(y -2) 2=1 （B ）(x -2) 2+(y +2) 2=1 （C ）(x +2) 2+(y +2) 2=1 （D ）(x -2) 2+(y -2) 2=1
⎧a -1b +1
--1=0⎪⎧a =2⎪22
解:设圆C 2的圆心为（a ，b ），则依题意，有⎨，解得：⎨，对称圆的半径不变为1，故
⎩b =-2⎪b -1=-1
⎪⎩a +1
选B 。.
⎧⎪x =θ,
0,2π))交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜10. 直线
x +D
的圆⎨(θ∈⎡⎣⎪⎩y =1+θ
角之和为
A.
7545
π B. π C. π D. π 6433
解:数形结合∠1=α-30, ∠2=30+π-β 由圆的性质可
知
∠1=∠2, ∴α-30 =30 +π-β, 故α+β=
4π 3
11. 动点A (x , y )在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t =0时，点A 的坐
标是(1，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 2B 、[1,7]
C 、[7,12]
D 、[0,1]和[7,12]
A 、[0,1]
解:画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则t =0时α=在[7,12]上α∈[
π
3
，每秒钟旋转
πππ，在t ∈[0,1]上α∈[, ]，632
3π7π
, ]，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的。 23
x 2y 2
12．已知双曲线2-2=1(a >0,b
a b
交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
x 2y 2o
解：双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一
a b
2
a 2+b 2b b 2c ≥4，∴ e≥2，个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e =2=
a a a a 2
选C.
13．设过点P (x , y ) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A , B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA 且OQ AB =1，则点P 的轨迹方程是
323
y =1(x >0, y >0) B ．3x 2-y 2=1(x >0, y >0) 22323222
C ．x -3y =1(x >0, y >0) D ．x +3y =1(x >0, y >0)
22
2A ．3x +
解：设P （x ，y ），则Q （－x ，y ），又设A （a ，0），B （0，b ），则a >0，b >0，于是
3
＝2PA 可得a ＝x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0， ，由BP BP ＝（x ，y －b ），PA ＝（a －x ，－y ）
2
3322
又AB ＝（－a ，b ）＝（－x ，3y ），由OQ •AB ＝1可得x +3y =1(x >0, y >0) ，故选D.
22
y 2
14．过双曲线M:x -2=1的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C, 且
b
2
|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是
y 2
解：过双曲线M :x -2=1的左顶点A (1，0) 作斜率为1的直线l ：y=x－1, 若l 与双曲线M 的两条渐近线
b
2
y 2
x -2=0分别相交于点B (x 1, y 1), C (x 2, y 2) , 联立方程组代入消元得(b 2-1) x 2+2x -1=0,
b
2
21⎧⎧
x +x =x =⎪⎪⎪121-b 2⎪14∴ ⎨，x 1+x2=2x1x 2，又|AB |=|BC |, 则B 为AC 中点，2x 1=1+x2，代入解得⎨，∴ b 2=9，双曲
11⎪x ⋅x =⎪x =-
1222
⎪⎪1-b ⎩2⎩
线M 的离心率
e=
c
=A. a
x 2y 2
1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和 15．P 是双曲线－＝
916
（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为
A. 6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B
16．直线y =2k 与曲线9k x +y =18k x (k ∈R , 且k ≠0) 的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解：将y =2k 代入9k x +y =18k x 得：9k x +4k =18k x ⇒9|x |-18x +4=0，显然该关于|x |的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个，故选择答案D 。 17． 抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是
A ．
2
2222
222222222
478
B ． C ． D ．3 355
2
|4m -3m -8|2
解：设抛物线y =-x 2上一点为(m，－m 2) ，该点到直线4x +3y -8=0的距离为，当m=时，
35
取得最小值为
4
，选A. 3
1x 2
-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m= 18．若双曲线
3m
（A ）
1
2
（B ）
3 2
（C ）
1 8
（D ）
9 8
11m +1x 2
=9，m =，选-y 2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则离心率e=3，∴ 解：双曲线
38m m
C.
x 2y 29
+=1上三个不同的点， 19． 设A (x 1, y 1), B (4,), C (x 2, y 2) 是右焦点为F 的椭圆
5259
则“AF , BF , CF 成等差数列”是“x 1+x 2=8”的
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
4449，F （4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x 1，|BF|＝5－×4＝，|CF|＝55555
4449
－x 2，故AF , BF , CF 成等差数列⇔（5－x 1）＋（5－x 2）＝2×⇔x 1+x 2=8故选A 5555
解：a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝
x 2y 2
20. 设F 1，F 2分别是双曲线2-2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF1|=3|AF2|，
a b
则双曲线离心率为
(A)
2
(B)
2
(C)
2
(D)
x 2y 2
解:设F 1，F 2分别是双曲线2-2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF1|=3|AF2|，
a b
设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a =|AF =
离心率e =1|-|AF 2|=
2，2c =，选B 。 x 2r 2
21. 如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆
a b
心，以O F 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双 曲线的离心率为 （A ）
（B ）5
（C ）
2
（D ）1+
3
x 2r 2
解:如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以
a b
O F 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF1|=c，
|AF2|=3c ，∴
2a =1) c ，双曲线的离心率为1+3，选D 。
x 2y 2
22. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该
a b
椭圆离心率的取值范围是
Ａ． 0⎥
⎛⎝1⎤2⎦
Ｂ． 0⎛ ⎝ ⎦
Ｃ．⎢，1⎪
⎡1⎫
⎣2⎭
Ｄ．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
x 2y 2
解：椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，
a b
⎫a 2a 22
1⎪≤2c 若|MN |=2，|F 1F 2|=2c ，MN ≤2F ，则，该椭圆离心率e≥，取值范围是，选D 。 1F 2⎪c c 2⎣2⎭
x 2y 2
23. 设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P , 使
a b
线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是
A
． 0⎛
⎝ 2⎦
B
． 0
⎛⎝⎦
C
．⎫
1⎪ ⎪⎣2⎭
D
．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
a 2b 2y
解：由已知P (, y ) ，所以F 1P 的中点Q 的坐标为(, ) ，由
2c 2c k F 1P
cy cy b 422
=2, k QF 2=2, k F P ⋅k QF 2=-1, ⇒y =2b -
2. b b -2c 21c
∴y 2=(a 2-c 2)(3-
11) >0⇒(3-) >0,1>e >当k F 1P =0时，k QF 2不存在，此时F 2为中点
，e 2e 23
a 2-c =2c ⇒e =
≤e
0) ，方程 24. 设椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为e =，右焦点为F (c ，
2a b
ax 2+bx -c =0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)
Ａ．必在圆x +y =2内
2
2
Ｂ．必在圆x +y =2上
22
Ｃ．必在圆x 2+y 2=2外
Ｄ．以上三种情形都有可能
解：由e =
1c b 3c 1=得a=2c，b=c ，所以x 1+x 2==, x 1x 2==，所以点P (x 1，x 2) 到圆心（0，0）2a a 2a 2
2
的距离为x 1+x 2=
2
(x 1+x 2) 2-2x 1x 2=
37
+1=
x 2y 2
25. 双曲线C 1:2-2=1(a >0，b >0) 的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛
a b
物线C 2的准线为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则
A ．-1
B ．1
C ．-
F 1F 2MF 1
-
MF 1MF 2
等于
1 2
D ．
1 2
解：由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上, 故 由定义可得
⎧
⎪MF 1-MF 2=2a ⎪
⎨MF 2=MD ⎪
⎪MF 1=c MD
a ⎩
2ac
2ac 2a 2
, 故原式2c ⇒MF 1=, MF 2==c -a -c =-1，选A. =-c -a c -a 2ac 2a 2a a
c -a
c -a
x 2y 2
P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，26. 已知双曲线2-2=1(a >0，b >0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，
a b
PF 1PF 2=
4ab ，则双曲线的离心率是
Ｂ．
Ｃ．2
Ｄ．3
解：设准线与x 轴交于A 点. 在Rt ∆PF 1F 2中, PF 1⋅PF 2=F 1F 2⋅,
4ab 2ab 4a 2b 2a 2a 22
∴===(c -)(c +) , 化简得c 2=3a 2 , ∴e = 又 =F 1A ⋅F 2A ∴2
2c c c c c
故选答案B.
27. 已知以F 1（2,0），F 2
（2,0）为焦点的椭圆与直线x +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （A ）32
（B ）26
2
2
（C ）27 （D ）42
22
⎧⎪mx +ny =1
, 消
x 得： 解：设椭圆方程为mx +
ny =1(m ≠n >0). ⇒⎨
⎪⎩x ++4=0
(3m +n ) y 2++16m -1=0, ∆=0⇒3m +n =16mn , 即：
3111
+=16. 又c =2⇒-=±4. 联立解得n m m n
1⎧m =⎧m =1⎪⎪7⎪
或⎨1. 由焦点在x
轴上，故长轴长为 ⎨
1n =⎪n =⎪5⎩⎪3⎩
y 2
=1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|:|PF 2|=3:2，则△PF 1F 2的面积28. 设P 为双曲线x -12
2
为
A
． B ．12
C
．
D ．24
解：因为|PF 1|:|PF 2|=3:2，设|PF 1|=3x , |PF 2|=2x ，|PF 1|-|PF 2|=3x -2x =x =2a =2,
|PF 1|=6, |PF 2|=4, |F 1F 2|=2，(2) 2=52=62+42，△PF 1F 2为直角三角形，其面积
为
1
⨯6⨯4=12，选B. 2
29. 已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则AB 等于
（A ）3 （B ）4 （C
） （D
）⎧y =-x 2+3
⇒x 2+x +b -3=0⇒x 1+x 2=-1，进而可求出AB 的中解：设直线AB 的方程为y =x +b ，由⎨
⎩y =x +b
点M (-
1111
, -+b ) ，又由M (-, -+b ) 在直线x +y =0上可求出b =1，∴x 2+x -2=
0，由弦长公式可求出2222
AB ==
30. 已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
A.3 B.4 C.32 D.42
⎧y =-x 2+3解：设直线AB 的方程为y =x +b ，由⎨⇒x 2+x +b -3=0⇒x 1+x 2=-1，进而可求出AB 的中
⎩y =x +b
点M (-
1111
, -+b ) ，又由M (-, -+b ) 在直线x +y =0上可求出b =1，∴x 2+x -2=
0，由弦长公式可求出2222
AB ==C ．
x 2y 2
31. 设双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于
a b
（A
（B ）2 （C
（D
解：设切点P (x 0, y 0) ，则切线的斜率为y
'
|x =x 0=2x 0. 由题意有
y 0
=2x 0又y 0=x 02+1, 解得: x 0
b x 02=1, ∴=2, e ==
a x 2
+y 2=1的右焦点为F , 右准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点 32. 已知椭圆C :2B ，若FA =3FB , 则|AF |=
(A)
(B) 2 (C)
(D) 3
2
. 又由椭3
解:过点B 作BM ⊥l 于M, 并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意FA =3FB , 故|BM |=
圆的第二定义,
得|BF |=
2⋅
=|AF |故选A. 233
x 2y 2
33. 过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
a b B , C ．若AB =
1
BC ，则双曲线的离心率是 2
A
B
C
D
解:对于A (a ,0)，则直线方程为x +y -a =0，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
⎛a 22a 2b 2a 2b ab ⎫ab ⎫a 2ab ⎛ab
，则有BC =(, -), AB =-, B , , C (, -) ⎪ ⎪，
2222
a -b a -b a +b a +b a +b a +b a -b a -b ⎝⎭⎝⎭
因2AB =BC , ∴4a 2=b 2, ∴e
34. 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0) 的焦点F, 且和y 轴交于点A, 若△OAF(O为坐标原点) 的面积为4, 则抛物线方程为
A. y =±4x B. y =±8x C. y =4x D. y =8x
2
解:抛物线y =ax (a ≠0) 的焦点F 坐标为(,0) , 则直线l 的方程为y =2(x -) , 它与y 轴的交点为A (0,-) ,
2
2
2
2
a 4a 4a 2
所以△OAF 的面积为
1a a
||⋅||=4, 解得a =±8. 所以抛物线方程为y 2=±8x , 故选B. 242
2
35. 已知直线y =k (x +2)(k >0) 与抛物线C:y =8x 相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若=2FB , 则k=
(A)
12222 (B) (C) (D) 3333
解:由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由FA =2FB 及第二定义知x A +2=2(x B +2) 联立方程用
根与系数关系可求
k=
。 3
x 2y 2x 2y 2
-=1的准线过椭圆+2=1的焦点，则直线y =kx +2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 36. 已知双曲线
224b
A. K ∈⎢-, ⎥ B. K ∈ -∞, -⎥222C. K ∈⎢⎡11⎤⎣⎦⎡⎣
⎛
⎝
1⎤⎦⎡1⎫, +∞⎪ ⎢
⎣2⎭
⎫+∞⎪⎪ ⎣⎭
⎛K ∈-∞,
D. ⎦⎝⎦
a 22x 2y 222222
解:易得准线方程是x =±=±=±1, 所以c =a -b =4-b =1 即b =3所以方程是+=1
b 243
联立y =kx +2 可得 3x 2+(4k2+16k)x +4=0 由∆≤0可解得A.
x 2y 2
-=1(b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y =x ，点P (, y 0) 在双曲37. 已知双曲线
2b 2
线上. 则PF 2＝ 1·
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
22
解:由渐近线方程为y =x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x -y =2，于是两焦点坐标分别是（－2，
0）和（2，0），且P (3, 1) 或P (, -1) . 不妨去P (3, 1) ，则PF 1=(-2-3, -1) ，
PF 2=(2-, -1) . ∴PF PF 2＝(-2-3, -1)(2-3, -1) =-(2+)(2-) +1=0 1·
38. 已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y =8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的
2
焦点，若|FA |=2|FB |，则k =
A.
1 B.
33
2
C.
2 D. 33
解：设抛物线C :y =8x 的准线为l :x =-2直线 y =k (x +2)(k >0)恒过定点P (-2,0) .如图过
A 、B 分 别作AM ⊥l 于M , BN ⊥l 于N , 由|FA |=2|FB |, 则|AM |=2|BN |, 点B 为AP 的中点. 连结OB , 则
|OB |=
1
|AF
|, ∴|OB |=|
BF |
点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为 2
∴k =
0故选D. =
1-(-2) 3
x 2y 2
39. 已知双曲线C 2-2=1
(a >0, b >0)的右焦点为F , 过F
a b
交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 则C 的离心率为A ．
6759 B. C. D. 5585
x 2y 2
解：设双曲线C 2-2=1的右准线为l , 过A 、B 分 别作AM ⊥l 于M , BN ⊥l 于N ,
a b BD ⊥AM 于D , 由直线AB
知直线AB 的倾斜角为60︒∴∠BAD =60︒,|AD |=
由双曲线的第二定义有|AM |-|BN |=|AD |=又
1
|AB |, 2
111
(|AF |-|FB |)=|AB |=(|AF |+|FB |). e 22
156
AF =4FB ∴⋅3|FB |=|FB |∴e =, 故选A.
e 25
40. “m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1”表示焦点在y 轴上的椭圆”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
x 2y 211+=1, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足>0, >0, 所以解:将方程mx +ny =1转化为 m n m n
2
2
11
>，故选C. n m
x 2y 22
1相切，则该双曲线的离心率等于 41. 设双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x ＋
a b
（A
（B ）2 （C
（D
bx x 2y 22
解:由题双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =，代入抛物线方程整得ax -bx +a =0，
a a b
22
因渐近线与抛物线相切，所以b -4a =0，即c =5a ⇔e =
2
2
5，故选择C 。
x 2
+y 2=1的右焦点为F, 右准线l ，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B 。若FA =3FB , 则AF =
42. 已知椭圆C :2
(A)
(B) 2
(C) (D) 3
2
. 又由椭圆3
解:过点B 作BM ⊥l 于M, 并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意FA =3FB , 故|BM |=
的第二定义,
得|BF |=
2
2
=|AF |=故选A. 233
43. 设抛物线y =2x的焦点为F ，过点M
0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比
S ∆BCF
= S ∆ACF
（A ）
4241
（B ） （C ） （D ） 5372
解:由题知
S ∆BCF S ∆ACF
1
BC =2x B +1，又|BF |=x +1=2⇒x =3⇒y =-3 ==B B B
12x A +122AC
x A +
2
x B +
0-2x A y M -y A y M -y B 0+3即，故x A =2， ==
3x M -x A x M -x B 3-x A
3-
2
由A 、B 、M 三点共线有
∴
S ∆BCF 2x B +13+14
===，故选择A 。
S ∆ACF 2x A +14+15
44. 已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.
1137 D. 516
解:直线l 2:x =-1为抛物线y 2=4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1, 0) 的距离，故本题化为在抛物线y 2=4x 上找一个点P 使得P 到点F (1, 0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1, 0) 到直线l 1:4x -3y +6=0的距离，即d min =
|4-0+6|
=2，故选择A 。
5
⎧⎪x ∈(-1,1]
45. 已知以T =
4为周期的函数f (x ) =⎨，其中m >0。若方程3f (x ) =x 恰有5个实数解，则m
⎪⎩1-x -2, x ∈(1,3]
的取值范围为
A
．8
) 33
B
． 3
2
C ．(, )
4833
D
．(
43
y 2
解:因为当x ∈(-1,1]时，将函数化为方程x +2=1(y ≥0) ，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在
m
坐标系中作出当x ∈(1,3]得图像，再根据周期性作出函数的图像，由图易知直线y =
2
其它部分
x
与第二个椭圆3
y 2
(x -4) +2=1(y ≥0) 相交，而与第三个半椭圆
m
x y 2y 22
(x -4) +2=1(y ≥0) 无公共点时，方程恰有5个实数解，将y =代入(x -4) +2=1(y ≥0) 得
3m m
2
(9m 2+1) x 2-72m 2x +135m 2=0, 令t =9m 2(t >0) 则(t +1) x 2-8tx +15t =0
由∆=(8t ) -4⨯15t (t +1) >0, 得t >15, 由9m >15, 且m >0得m >
2
2
x y 22
同样由y =与第二个椭圆(x -8) +2=1(y ≥0) 由∆
0可计算得m
3m
综上知m ∈. x 2y 246. 已知椭圆C :2+2=1(a ＞b ＞
0) 的离心率为，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0) 的直线与C 相交于A 、B 两
a b 点．若AF =3FB ，则k =
（A ）1 （B
（C
（D ）2
解:设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得
，
，
由
，
得
，
即k=，故选B.
47. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A
（B
（C
（D
x 2y 2
解:选D. 不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：2-2=1(a >0, b >0) ，则一个焦点为F (c ,0), B (0,b ) , 一条
a b
b b b b
渐近线斜率为：，直线FB 的斜率为：-，∴⋅(-) =-1，∴b 2=ac
a c a c c 2-a 2-ac =
0，解得e =
c =a 48. 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离
心率为
(A)
(D) b x 2y 2
解:设双曲线方程为2-2=1(a >0, b >0) ，则F （c,0）,B(0,b).直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=x 垂直，
a a b
所以-
b b =-1，即b 2=ac, 所以c 2-a 2=ac, 即e 2
-e -1=0,所以e
=或e =（舍去） c a
x 2y 249. 已知椭圆C ：2+2=1（a>b>0
F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两
a b 点，若AF =3FB 。则k =
（A ）1 （B
（C
（D ）2 解:B ：A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，∵AF =3FB ，∴ y 1=-3y 2，
∵e =
，
设a =2t , c =2
t ，b =t ，
∴x 2+4y 2-4t 2=0，直线AB
方程为x =sy 。代入消去x
，∴(s 2+4) y 2+-t 2=0，
1t 2t 222
s =
∴y 1+y 2=-2，-2y 2=-2，解得，k =, y 1y 2=-2, -3y 2=-2
2s +4s +
4s +4s +4
x 2y 2
50. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平
a b
分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 （A
） ⎝⎛
⎛1⎤⎡1⎫
1,1 （D ）⎢,1⎪ （B ） 0, ⎥ （C ）
⎦⎝2⎦⎣2⎭
)
解:由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等
a 2b 2b 2
-c =,|PF |∈[a －c , a ＋c ],于是∈[a －c , a ＋c ],即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2. 而|FA |＝c c c
⎧c
≤1222⎪⎧ac -c ≤a -c ⎪⎪a ⎡1⎫
∴⎨2⇒, 又e ∈(0,1),故e ∈,1⎪ ⎨⎢22⎣2⎭⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1
⎪a 2⎩a
x 2y 2
+=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一 51. 若点O 和点F 分别为椭圆43
点，则OP FP 的最大值为
A ．2
B ．3 C ．6
D ．8
x 02y 02x 022
+=1, 解得y 0=3(1-) ， 解: 由题意，F （-1，0），设点P (x 0, y 0) ，则有434
因为FP =(x 0+1, y 0) ，OP =(x 0, y 0) ，所以OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +y 02
x 02x 02
) =+x 0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-2，因为-2≤x 0≤2，=OP ⋅FP =x 0(x 0+1) +3(1-4422
+2+3=6，选C 。 所以当x 0=2时，OP ⋅FP 取得最大值4
022
P 6052. 已知F 、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则|PF F F F x -y =112121||PF 2|=
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2
解: cos ∠F 1P F 2=
2|PF 1||PF 2|
⇒cos60
PF (
=
1
-PF 2
)
2
+2PF 1PF 2-F 1F 2
2
2PF 1PF 2
12+2PF 1PF 2-⇒=22PF 1PF 2
2
(2
, |PF 1||PF
2|=4.
解析二: 由焦点三角形面积公式得：
S ∆F 1PF 2
60011, |PF =b cot =1cot ==PF 1PF 2sin 600=PF 1PF 1||PF 2|=4.
22222
θ
2
x 2y 2
53. 椭圆2+2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直
a b
平分线过点F
，则椭圆离心率的取值范围是 （A ）（0，
11] （B ）（0，]
（C ）1，1） （D ）[，1）
222
解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等. 而|FA |＝
a 2b 2b 2
-c =,|PF |∈[a －c , a ＋c ],于是∈[a －c , a ＋c ],即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2 c c c
⎧c
≤1⎪⎧ac -c ≤a -c ⎪a ⎪⎡1⎫
∴⎨2⇒, 又e ∈(0,1),故e ∈,1⎪ ⎨⎢
22⎣2⎭. ⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1
⎪a 2⎩a
2
2
2
54. 若直线y=x+b与曲线y =3
有公共点，则b 的取值范围是
A. ⎡-1,1+
B. ⎡1-+
C. ⎡1-⎤ D. ⎡1-⎤
⎣
⎣⎣⎦
⎣⎦
解：曲线方程可化简为(x -2) 2+(y -3) 2=4(1≤y ≤3) ，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y =x +b 与此半圆相切时须满足圆心（2
，3）到直线y=x+b距离等于
2，解得
b =1+b =1-
，因为是下半圆故可得b =1+
，当直线过（0，3）时，解得b=3,
故1-≤b ≤3, 所以C 正确.
x 22
55. 若点O 和点F (-2,0) 分别是双曲线2-y =1(a>0)的中心和左焦点, 点P 为双曲线右支上的任意一点, 则
OP ⋅FP
a
的取值范围为
A ．+∞
) B ．[3++∞) C ．[-
77
, +∞) D ．[, +∞) 44
x 2
-y 2=1，设点解：因为F (-2, 0) 是已知双曲线的左焦点，所以a +1=4，即a =3，所以双曲线方程为3
2
2
x 02x 0222
-y 0=1(x 0≥
，解得y 0=-1(x 0≥，因为FP =(x 0+2, y 0) ，OP =(x 0, y 0) ，所P (x 0, y
0) ，则有33x 024x 023
-1=+2x 0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-，
以OP ⋅FP =x 0(x 0+2) +y 0=x 0(x 0+2) +
433
2
因为x 0
，所以当x 0=时，OP ⋅
FP 取得最小值
4
⨯3+
1=3+，故OP ⋅
FP 的取值范围是3
[3++∞) ，选B 。 二. 填空题
⎧x +y ≤1．已知点P (x , y ) 的坐标满足条件⎪
4⎨y ≥x ，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于
⎪⎩
x ≥1____________.最大值等于____________.
解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA
＝B （1，3），OB
，C （1，1），OC
故|OP|
2．已知实数x 、y 满足⎨
⎧⎪y ≤1,
则⎪x +2y ⎩
y ≥x -1, 的最大值是____________.
解：已知实数x 、y 满足⎧⎪⎨y ≤1,
在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1) ，B(1，0) ，
⎪⎩
y ≥x -1, C(2，1) ，∴ x +2y 的最大值是4.
⎧x 3．已知⎪≥1,
⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2
的最小值是____________.
⎪⎩
2x -y -2≤0⎧x ≥解：由⎪1⎨x -y +1≤0，画出可行域，得交点A(1，2) ，B(3，4) ，则x 2+y 2
的最小值是5.
⎪⎩
2x -y -2≤04. 已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； (B) 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；
(C)对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切 （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是____________.（写出所有真命题的代号）
解：选（B ）（D ）圆心坐标为（－cos θ，sin θ），
d =
－－|sin（θ＋ϕ）|≤1.
5．（I ）过点（12）的直线l 将圆(x －2) 2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线l 的斜率k ＝____________.
解:由图形可知点
A 在圆(x -2) 2+y 2=4的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小, 只能是直线l ⊥OA ,
所以k l =-
1 ==
k OA 26．设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB
的长为则a =____________.
解：设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB
的长为(1，2) 到直线的距离等于1
=1，a =0．
⎧x +2y -3≤0
⎪
7．已知变量x ，y 满足约束条件⎨x +3y -3≥0。若目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,0)处取得最大值，
⎪y -1≤0⎩
则a 的取值范围为____________.
解：画出可行域如图所示，其中B （3，0），C （1，1），D （0，1），若目标函数z =ax +y 取得最大 值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有3a >a ＋1且3a >1，解得a >
1
2
8. 已知两圆x 2+y 2=10和(x -1) 2+(y -3) 2=20相交于A , B 两点，则直线AB 的方程 ____________.
解:两圆方程作差得x +3y =0.
22
9. 与直线x +y -2=0和曲线x +y -12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________.
解：曲线化为(x -6) +(y -6) =18，其圆心到直线x +y -2=
0的距离为d =
22
=所求的最小圆
的圆心在直线y =
x (2,2).标准方程为
(x -2) 2+(y -2) 2=2。
10. 如图，A ，B 是直线l 上的两点，且AB =2A ，B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB
积S 的取值范围是 ．
解:如图，当
O 1与
O 2外切于点C 时，S 最大，此时，两圆半径为1，S 等于矩形ABO 2O 1的面积减去两扇形
面积，∴S max =2⨯1-2⨯⨯π⨯1) =2-
14
2
π
2
，随着圆半径的变化，C 可以向直线l 靠近，当C 到直线l 的距离
d →0时, S →0, ∴S ∈(0,2-]。
2
11. 设有一组圆C k :(x -k +1) 2+(y -3k ) 2=2k 4(k ∈N *) ．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．．其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
2
π
解：圆心为（k-1，3k ）半径为2k ，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B 正确；由C 1、C 2、C 3的图像可知A 、C 不正确；若存在圆过原点（0，0），则有
(-k +1) 2+9k 2=2k 4⇒10k 2-2k +1=2k 4（k ∈N *)因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k
使上式成立，即所有圆不过原点。填B 、D.
12. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的 公共弦，AB =4．若OM =ON =3，则两圆圆心的距离MN =____________.
解：设E 为AB 的中点，则O ，E ，M ，N 四点共面，如图，∵AB =4，
所以OE =∴=，
由球的截面性质，有OM ⊥ME,ON ⊥NE ，∵OM =ON =3，所以∆MEO 与∆NEO 全等，所以MN 被OE 垂直
ME MO
=3
OE
13. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的 公共弦，AB =4，若OM =ON =3，则两圆圆心的距离MN =____________.
平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，MN=2
解：∵ON=3，球半径为4，∴小圆N
N 中弦长AB=4，于AB ，∴
ME =ONE 中， ∵
ON=3，∴ ∠EON =
作NE 垂直
π
6
，∴ ∠MON =
π
3
，∴ MN=3
x 2y 2
14．已知F 1，F 2为双曲线2-2=1(a >0，b >0且a ≠b ) 的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O
a b
为坐标原点．下面四个命题
1．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x =a 上； 2．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x =b 上； 3．△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； 4．△PF 1F 2的内切圆必通过点(a ，0)． 其中真命题的代号是____________.（写出所有真命题的代号）．
解：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a ，故|F1M|－|F2M|＝2a ，而|F1M|＋|F2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故1、4正确。
x 2y 2
+=1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分
于15．如图，把椭圆
2516
F 是椭圆的一个焦点， P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，
PF +P 12F +P 3F +P 4F +P 5F +P 6F +P 7F =____________.
x 2y 2
+=1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于解：如图，把椭圆
2516
F 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知， P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，
2a ，又|P 4F 1|=a ， |PF 11|+|P 7F 1|=|PF 11|+|PF 12|=2a ，同其余两对的和也是
7a =35. ∴ PF +P +P 12F +PF 34F +P 5F +P 6F +P 7F =
x 2y 2
+=1 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知∆ABC 顶点A (-4,0) 和C (4,0)，顶点B 在椭圆
259
上，则
sin A +sin C
=____________.
sin B
sin A +sin C a +c 105
===.
sin B b 84
解：利用椭圆定义和正弦定 得 a +c =2⨯5=10,b=2*4=8,
2
2
17. 过双曲线x -y =4的右焦点F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于P 、Q 两点， 则|FP|⋅|FQ|的值为____________.
解：
F
k =tan1050=-
(2∴l :y =-(2x -代入x 2-y 2=4得
(6+x 2-+x +60+=0.
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2). ⇒x 1+x 2=
x 1⋅x 2=
又|FP |=x 1-FQ |=x 2-
x =
-
253
∴|FP |⋅|FQ |=(1+k 2) |x 1x 2-x 1+x 2) +8|=(8+⋅|=
=+8|
x 2y 2
+=1上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 18. 设椭圆
2516
满足OM =
1
(OP +DF ) ，则|OM |=____________. 2
x 2y 2582242+=1左准线为，左焦点为（-3，0）) ，由已知M 为PF 中点，M （-, ±) ，解：椭圆，P （, ±25163333
所以|OM |=
2422(-) 2+(±) =2. 33
19. 若⊙O 1:x 2+y 2=5与⊙O 2:(x -m ) 2+y 2=20(m ∈R ) 相交于A 、B 两点，且两 圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是____________.
解: 由题知O 1(0, 0), O 2(m , 0) ，且5
m 2=(5) 2+(25) 2=25⇒m =±5，∴AB =2⋅
5⋅20
=4。 5
x 2y 2
20. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若椭圆上
a b
存在一点P 使
a c
，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. =
sin PF 1F 2sin PF 2F 1
PF 2PF 1a c
, 则由已知，得， ==
sin PF 1F 2sin PF 2F 1PF PF 1211
解:因为在∆PF 1F 2中，由正弦定得
即. 设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0则a (a +ex 0) =c (a -ex 0) 记x 0=
a (c -a ) a (e -1) a (e -1)
=>-a ，整得e 2+2e -1>0解
由椭圆的几何性质知:x 0>-a 则, 得
e (c -a ) e (e +1) e (e +1)
，故椭圆的离心率∈(0, 1) e ∈1,1)
e
-1e
c c 2a 2解法二: 由解析1知:PF 1=PF 2, PF 1+PF 2=2a 则PF 2+PF 2=2a 即PF 2=
a a c +a
2a 2
0, 所以e 2+2e -1>0, 以下同解析1. 由椭圆的几何性质知PF 2
c +a x 2y 2
21. 已知双曲aPF 1=cPF 2线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若双
a b
曲线上存在一点P 使
sin PF 1F 2a
=，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.
sin PF 2F 1c
PF 2PF 1a c
, 则由已知，得，即aPF 1=cPF 2，且知点P 在双曲线的==
sin PF 1F 2sin PF 2F 1PF PF 1211
解:在∆PF 1F 2中，∵
右支上，设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=ex 0-a 则a (a +ex 0) =c (ex 0-a ) , 解得x 0=
2
a (c +a ) a (e +1) a (e +1)
=>a ， 由双曲线的几何性质知x 0>a 则
e (c -a ) e (e -1) e (e -1)
整得e -2e -1
0, 解得1
e ∈(1, +∞) ，故椭圆的离心率e ∈(11) .
c c 2a 2
解法二: 由解析1知PF 1=PF 2, PF 1-PF 2=2a 则PF 2-PF 2=2a 即PF 2=
a a c -a
2a 2
>c -a , 既c 2-2ac -a 2c -a , 则c -a x 2y 2
+=1的焦点为F 1, F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|=_________； 22. 椭圆92
∠F 1PF 2的小大为____________.
解: ∵a 2=9, b 2=
3，∴c ==
F 1F 2=
又PF 1PF 2=1=4, PF 1+PF 2=2a =6，∴PF 2=
2，由余弦定，cos ∠F
︒︒
∴∠F 1PF 2=120，故应填2, 120.
2+4-2⨯2⨯4
22
(2
1
=-，
2
x 2y 2
23. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 1, A 2, B 1, B 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的四个
a b
顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点， 则该椭圆的离心率为____________.
解:直线A 1B 2的方程为：
x y x y +=1；直线B 1F 的方程为：+=1。二者联立解得： -a b c -b
2ac b (a +c ) x 2y 2ac b (a +c )
T (, ) , 则M (, ) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 上， a -c a -c a b a -c 2(a -c )
c 2(a +c ) 2222
+=1, c +10ac -3a =0, e +10e -3=0,
解得：e =5 22
(a -c ) 4(a -c )
24. 过抛物线y =2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则
2
p =_____________.
⎧y 2=2px
p p 2⎪2
解:由题意可知过焦点的直线方程为y =x -，联立有⎨⇒x -3px +=0，
p 24⎪y =x -
⎩2
又AB ==8⇒p =2。
x 2y 2
-=1的左焦点，A (1,4), P 是双曲线右支上的动点，则 25. 以知F 是双曲线
412
PF +PA 的最小值为____________.
21
解:注意到P 点在双曲线的两只之间, 且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a ＝4, 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5, 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A 、P 、F’三点共线时等号成立. 答案9.
x 2y 2
26. 已知F 1、F 2是椭圆C :2+2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1F 2的1⊥PF 2. 若∆PF
a b
面积为9，则b =____________.
⎧|PF 1|+|PF 2|=2a ⎪
解:依题意，有⎨|PF 1|∙|PF 2|=18, 可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。
⎪222⎩|PF 1|+|PF 2|=4c
27. 已知抛物线C :y 2=2px (p ＞0) 的准线为l ，过M
(1,0)l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM =MB ，则p =____________.
解：过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM =MB ，∴M 为中点，∴BM =∴BE =
10
AB ，
∠BAE =30，2
1
AB ，∴BM =BE ，∴M 为抛物线的焦点，∴p =2. 2
28. 已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB , 则弦AB 的中点到准线的距离为___________.
解：设BF=m,由抛物线的定义知AA 1=3m , BB 1=m , ∴∆ABC 中，AC=2m,AB=4m,k AB =3, 直线AB 方程为y =3(x -1) 与抛物线方程联立消y 得3x -10x +3=0, 所以AB 中点到准线距离为29. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于
2
x 1+x 258
+1=+1= 233
uu r uu r
点D ， 且BF =2FD ，则C 的离心率为 .
uu r uu r |OF ||BF |2
解：
∵|BF |==a , 作DD 1⊥y 轴于点D 1, 则由BF =2FD ，得==, 所以
|DD 1||BD |3
3c 33a 23c 3c 2
|DD 1|=|OF |=c , 即x D =, 由椭圆的第二定义得|FD |=e (-) =a -, 又|BF |=2|FD |, 得
222c 22a
3c 2a =
2a -, ⇒e =
a 3
x 2y 2
解析二:设椭圆方程为第一标准形式2+2=1，设D (x 2, y 2)，F 分 BD 所成的比为2，
a b 3y c -b 3⋅0-b 0+2x 2b +2y 233b 9c 21b 2x c =⇒x 2=x c =c ; y c =⇒y 2===-，代入+=
1⇒e =，1+2221+22224a 24b 22
x 0x 222
+y =1的两焦点为F 1, F 2, 点P (x 0, y 0) 满足0
|PF 1|+PF 2|的取值范围为___________，直线
x 0x
+y 0y =1与椭圆C 的公共点个数____________. 2
22
解：依题意知，点P 在椭圆内部. 画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时(|PF 1|+|PF 2|)max =2 ，当P 在椭
x 2
圆顶点处时，取到(|PF 1|+
|PF 2|)max 为1) +，故范围为
[. 因为(x 0, y 0) 在椭圆+y 2=1的内
2
x ⋅x 0
+y ⋅y 0=1上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个. 部，则直线2
23