广西壮族自治区普通高中2016年6月学业水平考试数学试题

2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试

数 学

（全卷满分100分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上．

2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效．

一、单项选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只

有一项是符合题目要求的．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．）1．已知集合A5，B4，5，则AB

A．

B．4

C．5

D．4 ， 5

2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数 发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票（如图）．这 枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：(44i)(56i)

A．110i C．92i

B．29i D．10i

(第2

题图)

3．直线yx1的斜率等于

A．1 C．

B．1 D．



4

3

4



4．设向量ABa，BCb，则AC

A．a+b

B．ab

C．ab

D．a+b

5．函数f

x的定义域是

A．R C．xx0

B．xx≥0 D．xx0

6．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是 A．棱柱 B．圆柱

正视图

侧视图

C．棱锥

D．圆锥

7．某校高二年级共有600名学生，编号为001～600．为了分析 该年级上学期期末数学考试情况，用系统抽样方法抽取了 一个样本容量为60的样本．如果编号006，016，026在样 本中，那么下列编号在样本中的是

A．010

B．020

C．036

D．042

8．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A．3 C．27

9．60角的弧度数是

A．C．

B．9

D．64

B．D．



2



3



4



6

10．指数函数yaxa0且a1的图像必过定点

A．0，0 C．1，0

B．0，1 D．1，1

2)且斜率为2的直线方程为 11．经过点P(0，

A．2xy20 C．2xy20

B．2xy20 D．2xy20

（第8题图）

xR的最大值为 12．函数y2sinx，

A．2 C．1

B．1 D．2

13．log39

A．9

B．3

C．2

D．

1

3

14．命题“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”的逆命题是

A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积相等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等

D．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等

15．在等比数列an中，已知a1=2，a2=4，那么a4=

A．6

B．8

C．16

D．32

16．下列命题正确的是

1

的最小值是2 a1

C．a的最大值是2

a

A．a1

的最小值是2 2a1

D．a22的最大值是2

a

B．a2

7)，b(6， 4)，则ab 17．设向量a(5，

A．58

B．2

C．2

D．22

，cA45，18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

若b1则a的长为

A．1

2

B

C

D．2

y2

19．已知双曲线x21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是

m

A．1

B．2

C．2

D．4

20．已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个„„依此类推，那么1个这样的细胞

分裂3次后，得到的细胞个数为

A．4个

B．8个

C．16个

D．32个

21．棱长均为a的三棱锥的表面积是

A．4a2

B

2

C

2 D

2

22．从某中学高三年级中随机抽取了6名男生，其身高和体重的数据如下表所示：

ˆ0.80x71.6．那么，根据 由以上数据，建立了身高x预报体重y的回归方程y

上述回归方程预报一名身高为175cm的高三男生的体重是

A．80 kg

B．71.6 kg

C．68.4 kg

D．64.8 kg

23．抛物线y26x的准线方程是

A．x

32

B．x

3 2

C．y

3 2

D．y

3 2

x≥0，

24．不等式组y≥0，所表示的平面区域的面积为

xy2≤0

A．1

B．

3 2

C．2 D．3

25

„的一个通项公式是

A

．anC

．an

B

．an D

．an

26．sin75

A

B

C

D

27．某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地．经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和

68m，它们的夹角是30．已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为

A

． C．27200元

B

． D．54400元

28．函数fxx3x1的零点所在的区间是

1) A．(0，3) C．(2，

2) B．(1，4) D．(3，

29．关于函数ylog3x1的单调性，下列说法正确的是

A．在0，上是减函数 C．在1，上是减函数

B．在0，上是增函数 D．在1，上是增函数

30．由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．以下推理为归纳推理的是

A．三角函数都是周期函数,sinx是三角函数，所以sinx是周期函数 B．一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除 C．由112，1322，13532，得13…2n1n2nN*

D．两直线平行，同位角相等．若A与B是两条平行直线的同位角，则AB

二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题

上作答无效．）

x1，x≤0，31．若函数fx2则f2 ．

x，x0， 

32．在等差数列an中，已知a13，a37，则公差d ． 33．已知sinx

4

，且x是第一象限角，则cosx． 5

34．已知向量a=（2，1），b=（1，5），则2ab的坐标为．

x2y2

1的离心率e． 35．椭圆

259

36．不等式x22x3≥0的解集为 ．

三、解答题：本大题共4小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：请

在答题卡上作答，在本试题上作答无效．） 37．（本小题满分6分）

赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴，桥的拱高OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2y20.727.92.求OP.

2

（图一）

（图二）

（第37题图）

38．（本小题满分6分）

在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC．

上作答无效．）

x1，x≤0，31．若函数fx2则f2 ． x，x0， 

32．在等差数列an中，已知a13，a37，则公差d ．

33．已知sinx4，且x是第一象限角，则cosx． 5

34．已知向量a=（2，1），b=（1，5），则2ab的坐标为．

x2y2

1的离心率e． 35．椭圆259

36．不等式x22x3≥0的解集为 ．

三、解答题：本大题共4小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：请

在答题卡上作答，在本试题上作答无效．）

37．（本小题满分6分） 赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴，桥的拱高OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2y20.727.92.求OP.

2

（图一）

（图二）

（第37题图）

38．（本小题满分6分）

在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC．

证明：BC平面PAC．

39．（本小题满分8分）

据相关规定，24小时内的降水量为日降水量（单位：mm），不同的日降水量对应的降水强度如下表：

（第38题图）

为分析某市“主汛期”的降水情况，从该市2015年6月～8月有降水记录的监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，具体数据如下：

16 12 23 65 24 37 39 21 36 68

（1）请完成以下表示这组数据的茎叶图；

1

2 3

62 13675 （2）从样本中降水强度为大雨以上（含大雨）天气的5天中随机选取2天，求恰有1天是暴雨天气的概率．

40．（本小题满分8分）

x2

axxlnx，其中a0. 已知函数f(x)xlnxa1，gx2

（1）求f(x)的单调区间；

（2）当x≥1时,gx的最小值大于

3lna,求a的取值范围. 2

2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试

数学 参考答案及评分标准

说明：

1．第一题选择题，选对得分，多选、错选或不选一律给0分．

2．第二题填空题，不给中间分．

3．第三题解答题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．

4．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难

度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

5．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

6．只给整数分数．

一、选择题（共30小题，每小题2分，共60分）

二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）

31．4 32．2 33．34 34．（5 ，7） 35． 36．1，3 55

三、解答题（共4小题，共28分）

37．解：在方程x2y20.727.92中，令x0， ·································· 2分

······························································ 3分 则y20.727.92， ·

··············································· 5分 解得y17.2，y248.6（舍去）.

··········································································· 6分 OP7.2．

38．证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC. ·················· 3分

······································································· 4分 又ACBC， 22

PA平面PAC，AC平面PAC，PAACA，

BC平面PAC. ································································· 6分

1

239．解：（1）3

62 6 13 ····························································· 4分 67 9 5 8

（2）记降水强度为大雨的3天为a，b，c，降水强度为暴雨的2天为d，e，从这5天中

抽取2天的所有情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，基本事件总数为10. ··············································································· 6分

记“5天中抽取2天，恰有一天发生暴雨”为事件A，可能结果为ad，ae，bd，be，

cd，ce，即事件A包含的基本事件数为6. ··································· 7分 所以恰有1天发生暴雨的概率P(A)6··································· 8分 0.6． ·10

)． ·40．解：·········································· 1分 （1）函数f(x)的定义域为(0，

f(x)11x1···················································· 2分 . ·xx

当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.

1)，单调递增区间是(1， )． 4分 ∴函数f(x)的单调递减区间是(0，

（2）易知g(x)xlnxa1f(x).

由（1）知，f(x)≥f(1)a0，

所以当x≥1时，g(x)≥g(1)a0.

)上单调递增， ·········································· 5分 从而g(x)在1，

所以g(x)的最小值g1a

依题意得a1. ············································ 6分 213··························· 7分 lna，即alna10. ·22

令halnaa1，易知ha在0，上单调递增.

所以hah10，所以a的取值范围是1，·················· 8分 . ·

2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试

数 学

（全卷满分100分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上．

2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效．

一、单项选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只

有一项是符合题目要求的．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效．）1．已知集合A5，B4，5，则AB

A．

B．4

C．5

D．4 ， 5

2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数 发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票（如图）．这 枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：(44i)(56i)

A．110i C．92i

B．29i D．10i

(第2

题图)

3．直线yx1的斜率等于

A．1 C．

B．1 D．



4

3

4



4．设向量ABa，BCb，则AC

A．a+b

B．ab

C．ab

D．a+b

5．函数f

x的定义域是

A．R C．xx0

B．xx≥0 D．xx0

6．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是 A．棱柱 B．圆柱

正视图

侧视图

C．棱锥

D．圆锥

7．某校高二年级共有600名学生，编号为001～600．为了分析 该年级上学期期末数学考试情况，用系统抽样方法抽取了 一个样本容量为60的样本．如果编号006，016，026在样 本中，那么下列编号在样本中的是

A．010

B．020

C．036

D．042

8．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A．3 C．27

9．60角的弧度数是

A．C．

B．9

D．64

B．D．



2



3



4



6

10．指数函数yaxa0且a1的图像必过定点

A．0，0 C．1，0

B．0，1 D．1，1

2)且斜率为2的直线方程为 11．经过点P(0，

A．2xy20 C．2xy20

B．2xy20 D．2xy20

（第8题图）

xR的最大值为 12．函数y2sinx，

A．2 C．1

B．1 D．2

13．log39

A．9

B．3

C．2

D．

1

3

14．命题“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”的逆命题是

A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积相等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等

D．若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等

15．在等比数列an中，已知a1=2，a2=4，那么a4=

A．6

B．8

C．16

D．32

16．下列命题正确的是

1

的最小值是2 a1

C．a的最大值是2

a

A．a1

的最小值是2 2a1

D．a22的最大值是2

a

B．a2

7)，b(6， 4)，则ab 17．设向量a(5，

A．58

B．2

C．2

D．22

，cA45，18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

若b1则a的长为

A．1

2

B

C

D．2

y2

19．已知双曲线x21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是

m

A．1

B．2

C．2

D．4

20．已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个„„依此类推，那么1个这样的细胞

分裂3次后，得到的细胞个数为

A．4个

B．8个

C．16个

D．32个

21．棱长均为a的三棱锥的表面积是

A．4a2

B

2

C

2 D

2

22．从某中学高三年级中随机抽取了6名男生，其身高和体重的数据如下表所示：

ˆ0.80x71.6．那么，根据 由以上数据，建立了身高x预报体重y的回归方程y

上述回归方程预报一名身高为175cm的高三男生的体重是

A．80 kg

B．71.6 kg

C．68.4 kg

D．64.8 kg

23．抛物线y26x的准线方程是

A．x

32

B．x

3 2

C．y

3 2

D．y

3 2

x≥0，

24．不等式组y≥0，所表示的平面区域的面积为

xy2≤0

A．1

B．

3 2

C．2 D．3

25

„的一个通项公式是

A

．anC

．an

B

．an D

．an

26．sin75

A

B

C

D

27．某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地．经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和

68m，它们的夹角是30．已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为

A

． C．27200元

B

． D．54400元

28．函数fxx3x1的零点所在的区间是

1) A．(0，3) C．(2，

2) B．(1，4) D．(3，

29．关于函数ylog3x1的单调性，下列说法正确的是

A．在0，上是减函数 C．在1，上是减函数

B．在0，上是增函数 D．在1，上是增函数

30．由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．以下推理为归纳推理的是

A．三角函数都是周期函数,sinx是三角函数，所以sinx是周期函数 B．一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除 C．由112，1322，13532，得13…2n1n2nN*

D．两直线平行，同位角相等．若A与B是两条平行直线的同位角，则AB

二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题

上作答无效．）

x1，x≤0，31．若函数fx2则f2 ．

x，x0， 

32．在等差数列an中，已知a13，a37，则公差d ． 33．已知sinx

4

，且x是第一象限角，则cosx． 5

34．已知向量a=（2，1），b=（1，5），则2ab的坐标为．

x2y2

1的离心率e． 35．椭圆

259

36．不等式x22x3≥0的解集为 ．

三、解答题：本大题共4小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：请

在答题卡上作答，在本试题上作答无效．） 37．（本小题满分6分）

赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴，桥的拱高OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2y20.727.92.求OP.

2

（图一）

（图二）

（第37题图）

38．（本小题满分6分）

在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC．

上作答无效．）

x1，x≤0，31．若函数fx2则f2 ． x，x0， 

32．在等差数列an中，已知a13，a37，则公差d ．

33．已知sinx4，且x是第一象限角，则cosx． 5

34．已知向量a=（2，1），b=（1，5），则2ab的坐标为．

x2y2

1的离心率e． 35．椭圆259

36．不等式x22x3≥0的解集为 ．

三、解答题：本大题共4小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：请

在答题卡上作答，在本试题上作答无效．）

37．（本小题满分6分） 赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥（图一）.若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴，桥的拱高OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图二），有桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2y20.727.92.求OP.

2

（图一）

（图二）

（第37题图）

38．（本小题满分6分）

在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC．

证明：BC平面PAC．

39．（本小题满分8分）

据相关规定，24小时内的降水量为日降水量（单位：mm），不同的日降水量对应的降水强度如下表：

（第38题图）

为分析某市“主汛期”的降水情况，从该市2015年6月～8月有降水记录的监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，具体数据如下：

16 12 23 65 24 37 39 21 36 68

（1）请完成以下表示这组数据的茎叶图；

1

2 3

62 13675 （2）从样本中降水强度为大雨以上（含大雨）天气的5天中随机选取2天，求恰有1天是暴雨天气的概率．

40．（本小题满分8分）

x2

axxlnx，其中a0. 已知函数f(x)xlnxa1，gx2

（1）求f(x)的单调区间；

（2）当x≥1时,gx的最小值大于

3lna,求a的取值范围. 2

2016年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试

数学 参考答案及评分标准

说明：

1．第一题选择题，选对得分，多选、错选或不选一律给0分．

2．第二题填空题，不给中间分．

3．第三题解答题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．

4．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难

度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

5．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

6．只给整数分数．

一、选择题（共30小题，每小题2分，共60分）

二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）

31．4 32．2 33．34 34．（5 ，7） 35． 36．1，3 55

三、解答题（共4小题，共28分）

37．解：在方程x2y20.727.92中，令x0， ·································· 2分

······························································ 3分 则y20.727.92， ·

··············································· 5分 解得y17.2，y248.6（舍去）.

··········································································· 6分 OP7.2．

38．证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC. ·················· 3分

······································································· 4分 又ACBC， 22

PA平面PAC，AC平面PAC，PAACA，

BC平面PAC. ································································· 6分

1

239．解：（1）3

62 6 13 ····························································· 4分 67 9 5 8

（2）记降水强度为大雨的3天为a，b，c，降水强度为暴雨的2天为d，e，从这5天中

抽取2天的所有情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，基本事件总数为10. ··············································································· 6分

记“5天中抽取2天，恰有一天发生暴雨”为事件A，可能结果为ad，ae，bd，be，

cd，ce，即事件A包含的基本事件数为6. ··································· 7分 所以恰有1天发生暴雨的概率P(A)6··································· 8分 0.6． ·10

)． ·40．解：·········································· 1分 （1）函数f(x)的定义域为(0，

f(x)11x1···················································· 2分 . ·xx

当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.

1)，单调递增区间是(1， )． 4分 ∴函数f(x)的单调递减区间是(0，

（2）易知g(x)xlnxa1f(x).

由（1）知，f(x)≥f(1)a0，

所以当x≥1时，g(x)≥g(1)a0.

)上单调递增， ·········································· 5分 从而g(x)在1，

所以g(x)的最小值g1a

依题意得a1. ············································ 6分 213··························· 7分 lna，即alna10. ·22

令halnaa1，易知ha在0，上单调递增.

所以hah10，所以a的取值范围是1，·················· 8分 . ·