常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

摘要

高阶的线性微分方程可通过变量代换转化为一阶线性微分方程组，通过向量的引入及广泛的应用矩阵代数矩阵理论可将一阶线性微分方程组简化为一阶的矩阵微分方程，这给微分方程的形式和计算带来了很大方便。计算一阶矩阵微分方程关键就是求其基解矩阵，目前常数矩阵的基解矩阵研究已达到成熟。

本文将对常数矩阵微分方程的基解矩阵的求法做系统的总结，包括相似对角化方法，分解初值的方法，若尔当标准型方法，待定系数法以及拉普拉斯变换法等方法。

关键词：矩阵; 微分方程; 基解矩阵；计算方法

computational method to solve the fundamental solution matrix of Constant matrix differential

equation

Abstract

According to variable transformation, we can change the high-order linear differential equations into the first order differential equations ,then we introduce the vetor and apply the matrix theory of matrix algebra to change the first order differential equations into the first matrix differential equation,which make great convenience in the computation and the form of differential equation.The key to solve the first order differential equation is to find out its fundamental solution matrix.Nowadays,the scientists of mathe have been developed the deep research of fundamental solution matrix of constant matrice.

This paper mainly has a comprehensive summarize on the methods to solve the fundamental solution matrix of constant matrice differential equation,including the method similar to the diagonal,the method to decomposite value, the Jordan Standard Method, the method of undetermined coefficients and the method of Laplace transform and so on.

Key words:matrix; differential equation; fundamental solution matrix;the method to

computate

第1章引言 ................................................................................................................................................ 1 第2章基本概念及定理 ......................................................................................................................... 3

2.1基本定义 . ..................................................................................................................... 3 2.2基本定理 . ..................................................................................................................... 4 第3章基解矩阵的求解 ......................................................................................................................... 5

3.1 利用相似对角化求解 .............................................................................................................. 5 3.2利用特征值与特征向量公式 . ................................................................................................. 6 3.3利用分解初值的方法 ............................................................................................................... 7 3.4利用若尔当标准型求解 . ........................................................................................................ 12 3.5待定系数法 ............................................................................................................................... 16 3.5.1利用特征多项式或最小多项式法 ............................................................................. 16 3.5.2利用putzer 定理 ........................................................................................................... 19 3.6拉普拉斯变换法 ...................................................................................................................... 22 参考文献 . .................................................................................................................................................... 24 致谢 .............................................................................................................................. 错误！未定义书签。

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第1章引言

线性微分方程理论中在微分方程理论中线性微分方程是非常重要的一部分内容，也是研究非线性微分方程的基础。对于一阶线性微分方程组

'=a 11(t )x 1+a 12(t )x 2++a 1n (t )x n +f 1(t )⎧x 1⎪

'=a 21(t )x 1+a 22(t )x 2++a 2n (t )x n +f 2(t )⎪x 2

，（1.1） ⎨

⎪

⎪x '=a (t )x +a (t )x ++a (t )x +f (t )n 11n 22nn n n ⎩n

其中已知函数a ij

(t )(i , j =1,2,

, n )和f i (t )(i =1,2, , n ) 在区间a ≤t ≤b 上是连续的，方

, x n ' 是线性的

程组（0.1 ）关于x 1, x 2,

, x n 及x 1', x 2',

令

⎡a 11(t )a 12(t )

⎢

a 21(t )a 22(t )⎢A (t )=⎢⎢⎢⎣a n 1(t )a n 2(t )

a 1n (t )⎤

⎥a 2n (t )⎥

，（1.2） ⎥⎥a nn (t )⎥⎦

⎡x '(t )⎤⎡x 1(t )⎤⎡f 1(t )⎤1

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'x t f t ()()x t ()x (t )=⎢2⎥x '(t )=⎢2f (t ) =⎢2⎥，（1.3） ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x t f t ()()⎢⎢'⎣n ⎥⎦⎣n ⎥⎦⎢⎣x n (t )⎥⎦

一阶线性微分方程组转化为矩阵微分方程

x '=A (t )x +f (t ) （1.4）

通过变量代换

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⎡x ⎤⎡x 1⎤⎢x '⎥⎢⎥⎢⎥=⎢x 2⎥=x ⎢⎥⎢⎥⎢(n -1)⎥⎢⎥⎢⎥⎣x ⎦⎣x n ⎦

可将高阶的线性微分方程初值问题

⎧d n x d n -1x dx

+a t ++a t +a n (t )x =f (t )⎪n 1()n -1()n -1

dt dt （1.5） ⎨dt

⎪x (t )=η, x '(t )=η, , x (n -1)(t )=η

1020n ⎩0

转化为一阶矩阵微分方程初值问题

⎧10⎡0

⎪⎢001⎪⎢⎪⎪x '=⎢

⎢⎨00⎢0⎪

⎢-a n (t )-a n -1(t )-a n -2(t )⎪⎣⎪⎪⎩x

(t 0)=η

⎤⎡0⎤

⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎥x +⎢⎥⎥⎢⎥ 1⎥0⎢⎥

⎢f (t )⎥-a 1(t )⎥⎦⎣⎦0

其理论定理也可通过一阶矩阵微分方程平行的证明。

从而可将高阶线性微分方程和一阶线性微分方程组统一于一阶矩阵微分方程。

一阶矩阵微分方程（1.4）其形式跟一阶微分方程

x '=a (t )x +f (t ) （1.6）

类似。

对应于一阶微分方程的解，一阶矩阵微分方程的解可以用基解矩阵Φ(t )来表述。所以计算一阶矩阵微分方程的关键就是求其基解矩阵，其中常数矩阵微分方程的计算已经成熟，下面将讨论常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法。

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第2章基本概念及定理

讨论齐次矩阵微分方程

x '=A (t ) x （2.1）

常数矩阵系数微分方程

x '=Ax （2.2）

2.1、基本定义

定义2.1.1 [1，p208]

如果一个 n×n 列矩阵的每一列都是x '=A (t ) x 的解, 我们称这个矩阵为x '=A (t ) x 的解矩阵. 如果该矩阵的列在[a,b]上是的线性无关的解组, 则称该矩阵为方程组

x '=A (t ) x 的基解矩阵. 用 Φ(t ) 表示方程x '=A (t ) x 的由 ϕ1(t), ϕ2(t),…, ϕn (t)

作为列构成的基解矩阵, 即Φ(t ) =[ ϕ1(t), ϕ2(t),…, ϕn (t)]

定义2.1.2 [1，p219]

如果A 是一个n ⨯n 常数矩阵，定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和

A k A 2

exp A =∑=E +A ++

2! k =0k !

∞A m

++m !

（A 0=E ，0! =1）（2.3）

其中E 为n 阶单位矩阵，A m 是矩阵A 的m 次幂。

这个级数对于所有的A 都是收敛的，因而，exp A 是一个确定的矩阵。相应的

A k t A 22

exp At =∑=E +At +t +

k ! 2! k =0

∞

A m m

+t +m !

矩阵指数exp A 有如下性质：[1，p221]

1 如果矩阵A ，B 是可交换的，即AB =BA ，则

exp(A +B ) =exp A +exp B

2 对于任何矩阵A ，(expA ) -1存在，且

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(expA ) -1=exp(-A )

3 如果T 是非奇异矩阵，则

exp(T -1AT ) =T -1(expA ) T

2.2、基本定理

定理2.2.1 [1 p208]

x '=A (t ) x 的一个解矩阵Φ(t ) 是基解矩阵的充要条件是det Φ(t ) ≠0 (a ≤t ≤b ), 而且,

如果对某一 t 0∈[a , b ], det Φ(t 0) ≠0, 则det Φ(t ) ≠0 (a ≤t ≤b ) 。定理2.2.2 [1 p208]

x '=A (t ) x 一定存在一个基解矩阵Φ(t ) ，如果Φ(t ) 是（2.1）的任一解，那么

Φt () ψ(t ) = c （2.4）

这里c 是确定的n 维常数列向量。

定理2.2.3 [1 p209，推论1]

如果是x '=A (t ) x 在a ≤t ≤b 的基解矩阵。C 是非奇异n ⨯n 常数矩阵。那么，Φ(t ) C 也是

x '=A (t ) x 在a ≤t ≤b 区间上的基解矩阵。

定理2.2.4 [1 ,p210,推论2]

如果Φ(t ), ψ(t ) 在a ≤t ≤b 上是（2.1）的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n ⨯n 常数矩阵C ，使得在区间a ≤t ≤b 上

ψ(t ) =Φ(t ) C (2.5)

定理2.2.5 [1 p221] 矩阵

Φ(t ) =exp At （2.6）

是x '=Ax 的基解矩阵，且Φ(0)=E . 定理2.2.6 [1 p228]

基解矩阵exp At 与任一基解Φ(t ) 有如下关系exp At =Φ(t ) Φ-1(0) （2.7）

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第3章基解矩阵的求解

本章讨论常数矩阵系数微分方程

x '=Ax

基解矩阵的求法，其中A 是n ⨯n 常数矩阵由定理2.2.5 只需求exp At

3.1 、利用相似对角化求解

前提：Ａ可对角化

定理3.1.1

设A ∈C n ⨯n 是可对角化的，即存在非奇异矩阵T ∈C n ⨯n n ，使得

T -1AT =diag (λ1, λ2,

, λn ) =Λ

则有

f (A ) =Tdiag (f (λ1), f (λ2),

, f (λ1n )) T -

证明：

+∞+∞+∞

f (A ) =∑a k

-1k

k A =∑a k (T ΛT ) =T (∑a k Λk ) T -1

k =0

+∞+∞

=Tdiag (∑a λk +∞

, ∑a k

k 1

k λ2,

, a k λk n ) T -1

k =0

∑k =0

=Tdiag (f (λ1), f (λ2),

, f (λn )) T -1

推论

设A ∈C n ⨯n 是可对角化的，即存在非奇异矩阵T ∈C n ⨯n n ，使得

T -1AT =diag (λ1, λ2,

, λn ) =Λ

则有

f (At ) =Tdiag (f (λ1t ), f (λ2t ),

, f (λn t )) T -1

例题1 [2 p69，例题3.7]

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⎡460⎤

⎥ ，求矩阵微分方程x '=Ax 的基解矩阵exp At -3-50已知A =⎢⎢⎥

⎢⎣-3-60⎥⎦

解：

令A 的特征行列式

det(λE -A ) =(λ+2)(λ-1) 2

解得A 的特征值为

λ1=-2，λ2=λ3=1

对于特征值λ1=-2，代入线性方程

(-2E -A ) X =O

得其特征向量

T 1=(-1,1,1) T

对于特征值λ2=λ3=1，代入线性方程

(I -A ) X =O

得两个线性无关的特征向量为

T 2=(-2,1,0) T ，T 3=(0,0,1)T

于是

⎡-1-20⎤⎡-2⎤

⎥ 使得T -1AT =⎢⎥ T =⎢1101⎢⎥⎢⎥

⎢⎢1⎥⎣101⎥⎦⎣⎦

故，

⎡e -2t ⎢

exp At =T ⎢

⎢⎣

e t

⎤⎡2e t -2e -2t ⎥-1⎢-2t t ⎥T =⎢e -e

⎢e -2t -e t e t ⎥⎦⎣

2e t -2e -2t 2e -2t -e t 2e -2t -2e t

0⎤

⎥0⎥ e t ⎥⎦

3.2、利用特征值与特征向量公式

前提：

A 有n 个线性无关的特征向量定理3.2.1 [1 p227]

如果矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量v 1, v 2, ，那么矩阵 λ1, λ2, , λn （不必各不相同）

, v n ，它们对应的特征值分别为

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

Φ(t ) =⎡e λ1t v 1, e λ2t v 2, , e λn t v n ⎤，-∞

⎣

⎦

是常数矩阵系数微分方程

x '=Ax

的一个基解矩阵。

例题：

利用以上结论解例1 (第6页) 由例1解得特征值λ1=-2及λ2=λ3=1 对应的特征向量分别为

v 1=(-1,1,1) T ，v 2=(-2,1,0) T ，v 3=(0,0,1)T

由定理3.2.1 得其一基解矩阵

⎡-2e t 0⎤

Φ(t ) =⎡⎣

e λ1t v 1, e λ2t

v λ2, e 3t v 3⎤⎦=⎢⎡-1⎤⎡⎢e ⎢-2⎤⎥⎡0⎤⎤⎡-e -2t

-2t ⎢⎥t t ⎢⎥⎥⎢-2t e t 0⎥⎢⎢1⎥, e ⎢1⎥, e ⎢0⎥⎥=⎢e ⎥⎣

⎢⎣1⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎥⎦⎢⎣e -2t 0

e t ⎥⎦

⎡-1-20⎤-1

Φ-1(0)=⎢⎢110⎥⎡120⎤

=⎢-1-10⎥ ⎢01⎥⎥⎢21⎥

⎣1⎦⎢⎣-1-⎥⎦

由定理定理2.2.6 （第5页）

⎡2e t -2e -2t

2e t -2e -2t 0⎤exp At =Φ(t ) Φ-1(0)=⎢

⎢e -2t -e t

2e -2t -e t 0⎥⎢⎥ ⎣

e -2t -e t 2e -2t -2e t

e t ⎥⎦

3.3、利用分解初值的方法

定理3.3.1[1 p230]

方程（2.2）满足ϕ(0)=η 的解ϕ(t ) 可写为

ϕ(t ) =∑k

λj t

⎡n j -1⎢t i

j =1

⎢A -λj E ⎣

∑i =0i ! (

)i ⎥

⎤

⎥

v j

⎦

证明：假设λ1, λ2,

, λk 分别是矩阵A 的 n 1, n 2, , n k 重不同特征值，由线性代数理论有η=v 1+v 2+

+v k 且分解是唯一的。

3.1）3.2）7

（（

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其中 v j ∈U j (j =1, 2, , k ) ， U j 是由

(A -λj E ) j u =0

产生的n j 维子空间故有

(A -λj E ) j v j =0 ， l ≥n j ，j =1,2, , k （3.3）

所以

⎡e -λj t ⎢

λt λt ⎢e j exp(-λj Et ) =e j ⎢

⎢⎢⎣

⎤⎥⎥

⎥=E ⎥-λt e j ⎥⎦

-λj t

所以

(expAt ) v j =(expAt ) e

λj t

⎡exp(-λj Et ) ⎤v j =e λj t ⎡exp(A -λj E ) t ⎤v j

⎣⎦⎣⎦

2⎡t

=e ⎢E +t (A -λj E ) +A (-λj E 2) +

⎢⎣

再由（3.3.2），知微分方程（2.2）的解

t j

+A (-λj E n (j -!

n -1

n j -1

⎤

) ⎥v j ⎥⎦

ϕ(t ) =(expAt ) η=(expAt ) ∑v j =∑(expAt ) v j

j =1

k k

=∑e

j =1

λj t

2⎡t ⎢E +t (A -λj E ) +A (-λj E 2) +

⎢⎣

t j

+A (-λj E n (j -!

n -1

n j -1

⎤

) ⎥v j

⎥⎦

=∑

λj t ⎢

⎡n j -1i

t ⎢⎣

j =1

A -λj E )⎥v j (∑⎢i =0⎥

⎥⎦

i ⎤

推论

由公式3.1 并注意到

exp At =(expAt ) E =⎡⎣(expAt ) e 1,(expAt ) e 2, ,(expAt ) e n ⎤⎦

依次令η=e 1, η=e 2, 其中

, η=e n ，求得n 个解，以这n 个解为列做成的矩阵即为exp At 。

0⎤, e 2=⎡010e 1=⎡100⎣⎣⎦

例题2[1，p223，例题9]

0⎤⎦,

, e n =⎡⎣0001⎤⎦

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

已知微分方程

⎡3-11x '=Ax 的系数矩阵A =⎢⎤⎢201⎥

2⎥，求基解矩阵exp At 。

⎢⎣1-1⎥⎦

解：

A 的特征方程为

det(λE -A ) =(λ-1)(λ-2) 2=0

λ1=1，λ2=2分别为n 1=1，n 2=2重特征值，

为了确定三维欧几里得空间的子空间U 1和U 2 考虑下面方程组

(A -E ) u =0和(A -2E ) 2u =0

解方程组

⎡2-11⎤

(A -E ) u =⎢⎢2-11⎥u =0 ⎢-11⎥

⎣1⎥⎦

其解为

u 1=[0αα]T

其中α为任意常数。子空间U 1是由向量u 1所张成的。解方程组

⎡000⎤

(A -2E ) 2u =⎢⎢-110⎥u =0 ⎢0⎥

⎣-11⎥⎦

其解为

u 2=[β

γ]T

其中β，γ是任意常数。子空间U 2是由向量u 2所张成的。确定v 1∈U 1，v 2∈U 2 使得能够将初始向量η=v 1+v 2。因为v 1∈U 1，v 2∈U 2，所以

u T

1=[0αα]，u 2=[β

γ]

其中α，β，γ是某些常数，则

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⎡η1⎤⎡0⎤⎡β⎤⎢η⎥=⎢α⎥+⎢β⎥ ⎢2⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣η3⎥⎦⎢⎣α⎥⎦⎢⎣γ⎥⎦

因此β=η1，α+β=η2，α+γ=η3，解得α=η2-η1，β=η1，γ=η3-η2+η1 则

η1⎡0⎤⎡⎤⎥，v =⎢⎥ v 1=⎢η-ηη2121⎢⎥⎢⎥

⎢⎢⎣η3-η1⎥⎦⎣η3-η2+η1⎥⎦

由公式（3.3.1），得满足初始条件ϕ(0)=η的解为

ϕ(t ) =e t Ev 1+e 2t (E +t (A -2E )) v 2

⎡η1⎡0⎤⎡1-11⎤⎤⎡⎤⎥+e 2t ⎢E +t ⎢2-21⎥⎥⎢⎥=e t ⎢η-ηη211⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥

⎢⎢⎢⎣η3-η1⎥⎦⎣1-10⎥⎦⎥⎣η3-η2+η1⎥⎦⎣⎦⎢

-t t ⎤⎡η1⎡0⎤⎡1+t ⎤

⎥+e 2t ⎢2t 1-2t t ⎥⎢⎥=e t ⎢η-ηη211⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎢-t 1⎥⎣η3-η1⎥⎦⎣t ⎦⎢⎣η3-η2+η1⎥⎦⎡0⎤⎡η1+t (η3-η2+η1) ⎤

⎥+e 2t ⎢η+t (η-η+η) ⎥=e t ⎢η-η21321⎥⎢⎥⎢1

⎢⎢⎣η3-η1⎥⎦⎣η3-η2+η1⎥⎦

为了得到exp At ，依次令η等于

⎡1⎤⎡0⎤⎡0⎤

⎢0⎥, ⎢1⎥, ⎢0⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣0⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

代入上式，我们得到三个线性无关的解。将这三个解作为列，即得

⎡(1+t ) e 2t

⎢

exp At =⎢-e t +(1+t ) e 2t

⎢-e t +e 2t ⎣

-te 2t e t -te 2t e t -e 2t

te 2t ⎤⎥te 2t ⎥ e 2t ⎥⎦

补充：改进方法 [5]

初值分解的方法无论是理解还是计算等方面都有一定难度。为了简化初值分解的方法，有如下改进的方法，避开了初值分解的麻烦。由上面讨论将n 维欧氏空间分解为U j (j =1,2, n 个线性无关的向量，则

(j )(j ), u 2, 设u 1, k )的直和。

()

, u n 是U j 的j

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

()()u 1, u 2,

(1)(2)(2)

, u n , u 1, u 2, 1(2)(k )(k )

, u n , u 1, u 2, 2()

, u n （3.4） k

是n 维欧氏空间的n 个线性无关的向量。

由于对于任一常向量C ，(exp At )C 都是方程x '=Ax 的解，分别取u i (j ) 为向量组（3.4）中的每一个向量，则可得方程x '=Ax 的n 个解

ϕi (j )(t )=(exp At )u i (j ) （3.5）

且他们是线性无关的。那么由这n 个解构成的解矩阵Φ(t ) 是基解矩阵，再由（2.7）可得exp At 。下面求ϕi (j )(t )

由于向量u i (j )∈U j ，故

(A -λj E ) j u i (j )=0

因此，

(A -λj E ) l u i (j )=0l ≥n j (j =1,2,

从而

, k )

(expAt ) u i ()=(expAt ) e

λj t

⎡exp(-λj Et ) ⎤u i (j )=e λj t ⎡exp(A -λj E ) t ⎤u i (j )

⎣⎦⎣⎦

⎡t 2

=e ⎢E +t (A -λj E ) +(A -λj E ) 2+

2! ⎢⎣

求解例题2（第9页）解：

由上面的讨论

λj t

t j n j -1⎤(j )+(A -λj E ) ⎥u i （3.6） (n j -1)! ⎥⎦

n -1

λ1=1，λ2=2分别为n 1=1，n 2=2重特征值

(A -E ) u =0

其解为

u (1)=[0α

α]

其中α为任意常数。

取

u 1=[011]

(A -2E ) 2u =0

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其解为

u (2)=[β

βγ]T

其中β，γ是任意常数。取

u T

2=[001]，u 3[110]T

由公式（3.6），得到下面三个解

ϕt t

1(t )=e u 1=⎡⎣

0e e t ⎤⎦

⎡1+t

-t t ⎤⎡ϕE +t (A -2E ) ]u ⎥⎢0⎤2(t )=e 2t [2=e 2t ⎢⎢2t 1-2t t ⎥⎢0⎥=⎡te 2t

te 2t

⎢⎥⎣

⎢⎣t -t 1⎥⎦⎣1⎥⎦⎡1+t

-t t ⎤⎡1⎤ϕ(A -2E ) ]u ⎢⎥⎢3(t )=e 2t [E +t 3=e 2t ⎢2t 1-2t t ⎥⎢1⎥⎥=⎡⎣

e 2t

⎢⎣t -t 1⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

得其基解矩阵

⎡0te 2t e 2t ⎤Φ(t )=⎢

⎢e t

te 2t e 2t ⎥⎢⎥ ⎣

e t e 2t

0⎥⎦

从而

⎡(1+t ) e 2t

-te 2t te 2t ⎤

exp At =Φ(t )Φ-1(0)=⎢

⎢-e t +(1+t ) e 2t

e t -te 2t te 2t ⎥⎢⎥ ⎣

-e t +e 2t e t -e 2t

e 2t ⎥⎦

3.4、利用若尔当标准型求解

对于矩阵A ，由矩阵理论，存在非奇异的矩阵T ，使得

T -1AT =J 其中J 具有若尔当标准型，即

⎡⎢J 1⎤⎥J =⎢

J 2

⎢⎥⎢⎥ ⎣

J ⎥l ⎦

其中

e 2t ⎤T

⎦

0⎤T

⎦

(3.7)

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

⎡⎢λj 1

⎤

J j =⎢

λ⎥

⎢⎢1⎥⎥，(j =1,2, , l )

⎢⎣

λ⎥j ⎥⎦

为n j 阶矩阵，并且n 1+n 2++n l =n ，而l 为矩阵A -λE 的初级因子的个数；

λ1, λ2, , λl 是矩阵A 的特征值（其间可能有相同者）。由于矩阵J 及J j (j =1,2,

, l ) 的特殊形式，由矩阵指数的定义容易计算得到

⎡⎢exp J 1t

⎤exp ⎥

exp Jt =⎢

J 2t

⎢⎥⎥ ⎢⎣

exp J ⎥l t ⎦

下面对exp J j t 进行求解

⎡t 2⎢1t

t n j

-1

⎤⎢

2! (n -1)! ⎥

j ⎢

⎥

⎢1t

t n j -2⎥exp J ⎥j t =⎢

⎢(n -2)! ⎥λj

j ⎢⎥e ⎢⎥⎢⎥⎢⎣

1⎥⎥⎦事实上

⎡⎢λj 1

⎤

⎥J j =⎢

λj

⎢⎢1⎥⎥ ⎢⎣

λ⎥j ⎦⎥

有如下分解式

⎡⎢λj

⎤⎥⎡01

⎤

λj

⎥⎢⎥J j =⎢

⎢+⎢0⎢⎥1⎥⎥ ⎢⎣

λ⎥⎢⎢j ⎦⎥⎣

0⎥⎦

其中右侧第一个矩阵具有λj E 的形式，而第二个矩阵是零幂矩阵。于是对于exp J j t ，有：

3.8）3.9）13

（（

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exp J j t

⎡⎢⎡01⎤1

⎤

⎢⎢⎥⎡001

⎥⎡=e λj t

E ⎢⎢0⎥⎢

t 2⎢0⎥⎢0

n j 0

⎢E +t ⎢

⎥+1⎥+

-1⎢⎢⎢⎢⎢1⎥⎥2! ⎢⎢⎢

0⎥+⎥(n ⎢j -1)! ⎢

⎢⎣⎢⎣0⎥⎦⎢⎣

0⎥⎦⎢⎣

⎡⎢1t

t 2

t n j

-1

⎤⎢

2! (n ⎥

j -1)! ⎢

⎥

t n j -2

=⎢⎢1t ⎥⎥

⎢(n 2)! ⎥λj

j -⎢⎥e

⎢⎥⎢⎥⎢⎣

⎥⎥⎦

可以得到微分方程（2.2）的基解矩阵exp At 的计算公式：

exp At =exp(TJT -1) t =T (expJt ) T -1 . 例题3 [2，p71，例3.8]

⎡-101⎤

已知，A =⎢⎢120⎥，求矩阵微分方程x '=Ax 的基解矩阵exp At ⎢03⎥

⎣-4⎥⎦

解：A 的特征多项式det(λI -A ) =(λ-1) 2(λ-2) 所以A 的特征值为λ1=λ2=1，λ3=2 当λ1=λ2=1解方程组

(E -A ) x =0 ，

得特征向量

T 1=[1-12]T

当λ3=2 解方程组

(2I -A ) x =0 ，

得特征向量

1⎤⎤

0⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥0⎥⎦⎥⎦

3.10） 14

（

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

T 3=[010]T

2重特征值λ1=λ2=1只有一个线性无关的特征向量

T 1=[1-12]T

，

故对应一个若尔当块，所以A 的若尔当标准型为

⎡⎢11⎤

J =⎢1⎥ ⎢⎥

⎣2⎥⎦

设相似变换矩阵T =[T 11, T 2, T 3]，由T -AT =J ，即AT =TJ 得

⎧⎪

AT 1=T 1

⎧⎪

(E -A ) T 1=0

⎨AT 2=T 1+T 2 即 ⎪⎨(E -A ) T ⎩

AT 3=2T

3⎪2=-T 1 ⎩

(2E -A ) T 3=0

可见T 1，T 3 是A 对应特征值1和2的特征向量，而 T 2可由求解非齐次线性方程组

(E -A ) x =-T 1

得到，称T 2为特征值1的广义特征向量。求解方程组

(E -A ) x =-T 1

得其通解为

T T

x =⎡⎢11⎤⎡1⎤⎣-2-20⎥⎦+k ⎢1

⎣2-21⎥

⎦

(k ∈C )取广义特征向量

T 2=[0-11]T

，

故所相似变换矩阵为

⎡100⎤

T =⎢⎢-1-11⎥ ⎢⎥

⎣210⎥⎦

由

⎡11⎤

T -1AT =J =J =⎢⎢1⎥ ⎢⎥

⎣2⎥⎦

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

得

⎡e t ⎢

exp At =T exp JtT -1=T ⎢

⎢⎣

te t e t

⎤⎡(1-2t )e t ⎥-1⎢t 2t T =1+2t e -e ()⎥⎢2t ⎥⎢e ⎦-4te t

⎣

0e 2t 0

⎤⎥

-(1+t )e t +e 2t ⎥ (1+2t )e t ⎥⎦

te t

3.5、待定系数法

3.5.1、利用特征多项式或最小多项式法

定理3.5.1 [2，p72]

设A 是n 阶矩阵，则矩阵函数

f (At )=∑a k A k t k =b n -1(t )A n -1+b n -2(t )A n -2+

k =0

+∞

+b 1(t )A +b 0(t )E

其中b 0, b 1, , b n -1 可有以下公式求得,

r ()(λi )=t l f ()(λ)λ=λi t (l =0, 1, r i =i , -1;

1, 2), s ,

其中λ1, λ2, 其中

, λs 是A 的全部互异特征值，r 1+r 2+r (λ)=b n -1(t )λn -1+b n -2(t )λn -2+

+r s =n +b 1(t )λ+b 0(t )

为用特征多项式∆(λ)除f (λt ) 所得余式。证明：

设A 的特征多项式为

∆(λ)=det (λE -A )=(λ-λ1)1(λ-λ2)2

其中λ1, λ2, 由带余除法

r r

(λ-λs )

r s

（3.11）

, λs 是A 的全部互异特征值，r 1+r 2++r s =n 。

f (λt )=q (λ, t )∆(λ)+r (λ, t ) （3.12）

其中q (A , t ) 是含参数t 的λ 的幂级数， r (λ, t )是含参数t 且次数不超过n-1的的多项式。即

r (λ, t )=b n -1(t )λn -1+b n -2(t )λn -2+

由哈密顿-凯莱定理知∆(A )=0，于是由式（3.12）得

+b 1(t )λ+b 0(t )

f (At )q (A , t )∆(A )+r (A , t )=b n -1(t )A n -1+b n -2(t )A n -2+

+b 1(t )A +b 0(t )E

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

其中b k (t ) (k =0,1, 注意到

, n -1) 为待定系数 ∆()(λi )=0, (l =0,1,

, r i -1; i =1,2,

, s )

将式（3.12）两边对λ 求导，并应用上式，得

d l

f (λt )l d λ

即

λ=λi

d l

=l r (λ, t )d λ

λ=λi

d l t f (μ)l d μ

μ=λi t

d l

=l r (λ, t )d λ

λ=λi

或写为

r ()(λi )=t l f ()(λ)λ=λi t (l =0,1, , r i -1; i =1,2, , s ) （3.13）

例题

由此方法解例题3（第14页）解：

其特征多项式

det(λE -A ) =(λ-1) 2(λ-2)

设

r (λ)=b 2λ2+b 1λ+b 0

则由公式（3.13）

⎧r (1)=b 2+b 1+b 0=e t ⎧b 2=e 2t -e t -te t ⎪⎪⎪⎪t

，解得⎨b 1=-e 2t +2e t +3te t ⎨r '(1)=2b 2+b 1=te

⎪⎪2t t 2t

b =e -2te r 2=4b +2b +b =e ()⎪210⎪⎩0⎩

于是，

⎡(1-2t )e t

⎢

exp At =b 2A 2+b 1A +b 0E =⎢(1+2t )e t -e 2t

t ⎢-4te ⎣

e 2t 0

⎤te t

⎥

-(1+t )e t +e 2t ⎥ (1+2t )e t ⎥⎦

补充：

以上方法中把特征多项式改为最小多项式，定理同样成立，且待定多项式的次数更小，更容易计算。整理为以下定理定理3.5.2 [6]

设A 是n 阶矩阵，则矩阵函数

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

摘要

关键词：矩阵; 微分方程; 基解矩阵；计算方法

computational method to solve the fundamental solution matrix of Constant matrix differential

equation

Abstract

Key words:matrix; differential equation; fundamental solution matrix;the method to

computate

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第1章引言

线性微分方程理论中在微分方程理论中线性微分方程是非常重要的一部分内容，也是研究非线性微分方程的基础。对于一阶线性微分方程组

'=a 11(t )x 1+a 12(t )x 2++a 1n (t )x n +f 1(t )⎧x 1⎪

'=a 21(t )x 1+a 22(t )x 2++a 2n (t )x n +f 2(t )⎪x 2

，（1.1） ⎨

⎪

⎪x '=a (t )x +a (t )x ++a (t )x +f (t )n 11n 22nn n n ⎩n

其中已知函数a ij

(t )(i , j =1,2,

, n )和f i (t )(i =1,2, , n ) 在区间a ≤t ≤b 上是连续的，方

, x n ' 是线性的

程组（0.1 ）关于x 1, x 2,

, x n 及x 1', x 2',

令

⎡a 11(t )a 12(t )

⎢

a 21(t )a 22(t )⎢A (t )=⎢⎢⎢⎣a n 1(t )a n 2(t )

a 1n (t )⎤

⎥a 2n (t )⎥

，（1.2） ⎥⎥a nn (t )⎥⎦

⎡x '(t )⎤⎡x 1(t )⎤⎡f 1(t )⎤1

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'x t f t ()()x t ()x (t )=⎢2⎥x '(t )=⎢2f (t ) =⎢2⎥，（1.3） ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥x t f t ()()⎢⎢'⎣n ⎥⎦⎣n ⎥⎦⎢⎣x n (t )⎥⎦

一阶线性微分方程组转化为矩阵微分方程

x '=A (t )x +f (t ) （1.4）

通过变量代换

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

⎡x ⎤⎡x 1⎤⎢x '⎥⎢⎥⎢⎥=⎢x 2⎥=x ⎢⎥⎢⎥⎢(n -1)⎥⎢⎥⎢⎥⎣x ⎦⎣x n ⎦

可将高阶的线性微分方程初值问题

⎧d n x d n -1x dx

+a t ++a t +a n (t )x =f (t )⎪n 1()n -1()n -1

dt dt （1.5） ⎨dt

⎪x (t )=η, x '(t )=η, , x (n -1)(t )=η

1020n ⎩0

转化为一阶矩阵微分方程初值问题

⎧10⎡0

⎪⎢001⎪⎢⎪⎪x '=⎢

⎢⎨00⎢0⎪

⎢-a n (t )-a n -1(t )-a n -2(t )⎪⎣⎪⎪⎩x

(t 0)=η

⎤⎡0⎤

⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎥x +⎢⎥⎥⎢⎥ 1⎥0⎢⎥

⎢f (t )⎥-a 1(t )⎥⎦⎣⎦0

其理论定理也可通过一阶矩阵微分方程平行的证明。

从而可将高阶线性微分方程和一阶线性微分方程组统一于一阶矩阵微分方程。

一阶矩阵微分方程（1.4）其形式跟一阶微分方程

x '=a (t )x +f (t ) （1.6）

类似。

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第2章基本概念及定理

讨论齐次矩阵微分方程

x '=A (t ) x （2.1）

常数矩阵系数微分方程

x '=Ax （2.2）

2.1、基本定义

定义2.1.1 [1，p208]

x '=A (t ) x 的基解矩阵. 用 Φ(t ) 表示方程x '=A (t ) x 的由 ϕ1(t), ϕ2(t),…, ϕn (t)

作为列构成的基解矩阵, 即Φ(t ) =[ ϕ1(t), ϕ2(t),…, ϕn (t)]

定义2.1.2 [1，p219]

如果A 是一个n ⨯n 常数矩阵，定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和

A k A 2

exp A =∑=E +A ++

2! k =0k !

∞A m

++m !

（A 0=E ，0! =1）（2.3）

其中E 为n 阶单位矩阵，A m 是矩阵A 的m 次幂。

这个级数对于所有的A 都是收敛的，因而，exp A 是一个确定的矩阵。相应的

A k t A 22

exp At =∑=E +At +t +

k ! 2! k =0

∞

A m m

+t +m !

矩阵指数exp A 有如下性质：[1，p221]

1 如果矩阵A ，B 是可交换的，即AB =BA ，则

exp(A +B ) =exp A +exp B

2 对于任何矩阵A ，(expA ) -1存在，且

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

(expA ) -1=exp(-A )

3 如果T 是非奇异矩阵，则

exp(T -1AT ) =T -1(expA ) T

2.2、基本定理

定理2.2.1 [1 p208]

x '=A (t ) x 的一个解矩阵Φ(t ) 是基解矩阵的充要条件是det Φ(t ) ≠0 (a ≤t ≤b ), 而且,

如果对某一 t 0∈[a , b ], det Φ(t 0) ≠0, 则det Φ(t ) ≠0 (a ≤t ≤b ) 。定理2.2.2 [1 p208]

x '=A (t ) x 一定存在一个基解矩阵Φ(t ) ，如果Φ(t ) 是（2.1）的任一解，那么

Φt () ψ(t ) = c （2.4）

这里c 是确定的n 维常数列向量。

定理2.2.3 [1 p209，推论1]

如果是x '=A (t ) x 在a ≤t ≤b 的基解矩阵。C 是非奇异n ⨯n 常数矩阵。那么，Φ(t ) C 也是

x '=A (t ) x 在a ≤t ≤b 区间上的基解矩阵。

定理2.2.4 [1 ,p210,推论2]

如果Φ(t ), ψ(t ) 在a ≤t ≤b 上是（2.1）的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n ⨯n 常数矩阵C ，使得在区间a ≤t ≤b 上

ψ(t ) =Φ(t ) C (2.5)

定理2.2.5 [1 p221] 矩阵

Φ(t ) =exp At （2.6）

是x '=Ax 的基解矩阵，且Φ(0)=E . 定理2.2.6 [1 p228]

基解矩阵exp At 与任一基解Φ(t ) 有如下关系exp At =Φ(t ) Φ-1(0) （2.7）

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第3章基解矩阵的求解

本章讨论常数矩阵系数微分方程

x '=Ax

基解矩阵的求法，其中A 是n ⨯n 常数矩阵由定理2.2.5 只需求exp At

3.1 、利用相似对角化求解

前提：Ａ可对角化

定理3.1.1

设A ∈C n ⨯n 是可对角化的，即存在非奇异矩阵T ∈C n ⨯n n ，使得

T -1AT =diag (λ1, λ2,

, λn ) =Λ

则有

f (A ) =Tdiag (f (λ1), f (λ2),

, f (λ1n )) T -

证明：

+∞+∞+∞

f (A ) =∑a k

-1k

k A =∑a k (T ΛT ) =T (∑a k Λk ) T -1

k =0

+∞+∞

=Tdiag (∑a λk +∞

, ∑a k

k 1

k λ2,

, a k λk n ) T -1

k =0

∑k =0

=Tdiag (f (λ1), f (λ2),

, f (λn )) T -1

推论

设A ∈C n ⨯n 是可对角化的，即存在非奇异矩阵T ∈C n ⨯n n ，使得

T -1AT =diag (λ1, λ2,

, λn ) =Λ

则有

f (At ) =Tdiag (f (λ1t ), f (λ2t ),

, f (λn t )) T -1

例题1 [2 p69，例题3.7]

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

⎡460⎤

⎥ ，求矩阵微分方程x '=Ax 的基解矩阵exp At -3-50已知A =⎢⎢⎥

⎢⎣-3-60⎥⎦

解：

令A 的特征行列式

det(λE -A ) =(λ+2)(λ-1) 2

解得A 的特征值为

λ1=-2，λ2=λ3=1

对于特征值λ1=-2，代入线性方程

(-2E -A ) X =O

得其特征向量

T 1=(-1,1,1) T

对于特征值λ2=λ3=1，代入线性方程

(I -A ) X =O

得两个线性无关的特征向量为

T 2=(-2,1,0) T ，T 3=(0,0,1)T

于是

⎡-1-20⎤⎡-2⎤

⎥ 使得T -1AT =⎢⎥ T =⎢1101⎢⎥⎢⎥

⎢⎢1⎥⎣101⎥⎦⎣⎦

故，

⎡e -2t ⎢

exp At =T ⎢

⎢⎣

e t

⎤⎡2e t -2e -2t ⎥-1⎢-2t t ⎥T =⎢e -e

⎢e -2t -e t e t ⎥⎦⎣

2e t -2e -2t 2e -2t -e t 2e -2t -2e t

0⎤

⎥0⎥ e t ⎥⎦

3.2、利用特征值与特征向量公式

前提：

A 有n 个线性无关的特征向量定理3.2.1 [1 p227]

如果矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量v 1, v 2, ，那么矩阵 λ1, λ2, , λn （不必各不相同）

, v n ，它们对应的特征值分别为

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

Φ(t ) =⎡e λ1t v 1, e λ2t v 2, , e λn t v n ⎤，-∞

⎣

⎦

是常数矩阵系数微分方程

x '=Ax

的一个基解矩阵。

例题：

利用以上结论解例1 (第6页) 由例1解得特征值λ1=-2及λ2=λ3=1 对应的特征向量分别为

v 1=(-1,1,1) T ，v 2=(-2,1,0) T ，v 3=(0,0,1)T

由定理3.2.1 得其一基解矩阵

⎡-2e t 0⎤

Φ(t ) =⎡⎣

e λ1t v 1, e λ2t

v λ2, e 3t v 3⎤⎦=⎢⎡-1⎤⎡⎢e ⎢-2⎤⎥⎡0⎤⎤⎡-e -2t

-2t ⎢⎥t t ⎢⎥⎥⎢-2t e t 0⎥⎢⎢1⎥, e ⎢1⎥, e ⎢0⎥⎥=⎢e ⎥⎣

⎢⎣1⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎥⎦⎢⎣e -2t 0

e t ⎥⎦

⎡-1-20⎤-1

Φ-1(0)=⎢⎢110⎥⎡120⎤

=⎢-1-10⎥ ⎢01⎥⎥⎢21⎥

⎣1⎦⎢⎣-1-⎥⎦

由定理定理2.2.6 （第5页）

⎡2e t -2e -2t

2e t -2e -2t 0⎤exp At =Φ(t ) Φ-1(0)=⎢

⎢e -2t -e t

2e -2t -e t 0⎥⎢⎥ ⎣

e -2t -e t 2e -2t -2e t

e t ⎥⎦

3.3、利用分解初值的方法

定理3.3.1[1 p230]

方程（2.2）满足ϕ(0)=η 的解ϕ(t ) 可写为

ϕ(t ) =∑k

λj t

⎡n j -1⎢t i

j =1

⎢A -λj E ⎣

∑i =0i ! (

)i ⎥

⎤

⎥

v j

⎦

证明：假设λ1, λ2,

, λk 分别是矩阵A 的 n 1, n 2, , n k 重不同特征值，由线性代数理论有η=v 1+v 2+

+v k 且分解是唯一的。

3.1）3.2）7

（（

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

其中 v j ∈U j (j =1, 2, , k ) ， U j 是由

(A -λj E ) j u =0

产生的n j 维子空间故有

(A -λj E ) j v j =0 ， l ≥n j ，j =1,2, , k （3.3）

所以

⎡e -λj t ⎢

λt λt ⎢e j exp(-λj Et ) =e j ⎢

⎢⎢⎣

⎤⎥⎥

⎥=E ⎥-λt e j ⎥⎦

-λj t

所以

(expAt ) v j =(expAt ) e

λj t

⎡exp(-λj Et ) ⎤v j =e λj t ⎡exp(A -λj E ) t ⎤v j

⎣⎦⎣⎦

2⎡t

=e ⎢E +t (A -λj E ) +A (-λj E 2) +

⎢⎣

再由（3.3.2），知微分方程（2.2）的解

t j

+A (-λj E n (j -!

n -1

n j -1

⎤

) ⎥v j ⎥⎦

ϕ(t ) =(expAt ) η=(expAt ) ∑v j =∑(expAt ) v j

j =1

k k

=∑e

j =1

λj t

2⎡t ⎢E +t (A -λj E ) +A (-λj E 2) +

⎢⎣

t j

+A (-λj E n (j -!

n -1

n j -1

⎤

) ⎥v j

⎥⎦

=∑

λj t ⎢

⎡n j -1i

t ⎢⎣

j =1

A -λj E )⎥v j (∑⎢i =0⎥

⎥⎦

i ⎤

推论

由公式3.1 并注意到

exp At =(expAt ) E =⎡⎣(expAt ) e 1,(expAt ) e 2, ,(expAt ) e n ⎤⎦

依次令η=e 1, η=e 2, 其中

, η=e n ，求得n 个解，以这n 个解为列做成的矩阵即为exp At 。

0⎤, e 2=⎡010e 1=⎡100⎣⎣⎦

例题2[1，p223，例题9]

0⎤⎦,

, e n =⎡⎣0001⎤⎦

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

已知微分方程

⎡3-11x '=Ax 的系数矩阵A =⎢⎤⎢201⎥

2⎥，求基解矩阵exp At 。

⎢⎣1-1⎥⎦

解：

A 的特征方程为

det(λE -A ) =(λ-1)(λ-2) 2=0

λ1=1，λ2=2分别为n 1=1，n 2=2重特征值，

为了确定三维欧几里得空间的子空间U 1和U 2 考虑下面方程组

(A -E ) u =0和(A -2E ) 2u =0

解方程组

⎡2-11⎤

(A -E ) u =⎢⎢2-11⎥u =0 ⎢-11⎥

⎣1⎥⎦

其解为

u 1=[0αα]T

其中α为任意常数。子空间U 1是由向量u 1所张成的。解方程组

⎡000⎤

(A -2E ) 2u =⎢⎢-110⎥u =0 ⎢0⎥

⎣-11⎥⎦

其解为

u 2=[β

γ]T

其中β，γ是任意常数。子空间U 2是由向量u 2所张成的。确定v 1∈U 1，v 2∈U 2 使得能够将初始向量η=v 1+v 2。因为v 1∈U 1，v 2∈U 2，所以

u T

1=[0αα]，u 2=[β

γ]

其中α，β，γ是某些常数，则

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

⎡η1⎤⎡0⎤⎡β⎤⎢η⎥=⎢α⎥+⎢β⎥ ⎢2⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣η3⎥⎦⎢⎣α⎥⎦⎢⎣γ⎥⎦

因此β=η1，α+β=η2，α+γ=η3，解得α=η2-η1，β=η1，γ=η3-η2+η1 则

η1⎡0⎤⎡⎤⎥，v =⎢⎥ v 1=⎢η-ηη2121⎢⎥⎢⎥

⎢⎢⎣η3-η1⎥⎦⎣η3-η2+η1⎥⎦

由公式（3.3.1），得满足初始条件ϕ(0)=η的解为

ϕ(t ) =e t Ev 1+e 2t (E +t (A -2E )) v 2

⎡η1⎡0⎤⎡1-11⎤⎤⎡⎤⎥+e 2t ⎢E +t ⎢2-21⎥⎥⎢⎥=e t ⎢η-ηη211⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥

⎢⎢⎢⎣η3-η1⎥⎦⎣1-10⎥⎦⎥⎣η3-η2+η1⎥⎦⎣⎦⎢

-t t ⎤⎡η1⎡0⎤⎡1+t ⎤

⎥+e 2t ⎢2t 1-2t t ⎥⎢⎥=e t ⎢η-ηη211⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎢-t 1⎥⎣η3-η1⎥⎦⎣t ⎦⎢⎣η3-η2+η1⎥⎦⎡0⎤⎡η1+t (η3-η2+η1) ⎤

⎥+e 2t ⎢η+t (η-η+η) ⎥=e t ⎢η-η21321⎥⎢⎥⎢1

⎢⎢⎣η3-η1⎥⎦⎣η3-η2+η1⎥⎦

为了得到exp At ，依次令η等于

⎡1⎤⎡0⎤⎡0⎤

⎢0⎥, ⎢1⎥, ⎢0⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣0⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦

代入上式，我们得到三个线性无关的解。将这三个解作为列，即得

⎡(1+t ) e 2t

⎢

exp At =⎢-e t +(1+t ) e 2t

⎢-e t +e 2t ⎣

-te 2t e t -te 2t e t -e 2t

te 2t ⎤⎥te 2t ⎥ e 2t ⎥⎦

补充：改进方法 [5]

(j )(j ), u 2, 设u 1, k )的直和。

()

, u n 是U j 的j

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

()()u 1, u 2,

(1)(2)(2)

, u n , u 1, u 2, 1(2)(k )(k )

, u n , u 1, u 2, 2()

, u n （3.4） k

是n 维欧氏空间的n 个线性无关的向量。

由于对于任一常向量C ，(exp At )C 都是方程x '=Ax 的解，分别取u i (j ) 为向量组（3.4）中的每一个向量，则可得方程x '=Ax 的n 个解

ϕi (j )(t )=(exp At )u i (j ) （3.5）

且他们是线性无关的。那么由这n 个解构成的解矩阵Φ(t ) 是基解矩阵，再由（2.7）可得exp At 。下面求ϕi (j )(t )

由于向量u i (j )∈U j ，故

(A -λj E ) j u i (j )=0

因此，

(A -λj E ) l u i (j )=0l ≥n j (j =1,2,

从而

, k )

(expAt ) u i ()=(expAt ) e

λj t

⎡exp(-λj Et ) ⎤u i (j )=e λj t ⎡exp(A -λj E ) t ⎤u i (j )

⎣⎦⎣⎦

⎡t 2

=e ⎢E +t (A -λj E ) +(A -λj E ) 2+

2! ⎢⎣

求解例题2（第9页）解：

由上面的讨论

λj t

t j n j -1⎤(j )+(A -λj E ) ⎥u i （3.6） (n j -1)! ⎥⎦

n -1

λ1=1，λ2=2分别为n 1=1，n 2=2重特征值

(A -E ) u =0

其解为

u (1)=[0α

α]

其中α为任意常数。

取

u 1=[011]

(A -2E ) 2u =0

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

其解为

u (2)=[β

βγ]T

其中β，γ是任意常数。取

u T

2=[001]，u 3[110]T

由公式（3.6），得到下面三个解

ϕt t

1(t )=e u 1=⎡⎣

0e e t ⎤⎦

⎡1+t

-t t ⎤⎡ϕE +t (A -2E ) ]u ⎥⎢0⎤2(t )=e 2t [2=e 2t ⎢⎢2t 1-2t t ⎥⎢0⎥=⎡te 2t

te 2t

⎢⎥⎣

⎢⎣t -t 1⎥⎦⎣1⎥⎦⎡1+t

-t t ⎤⎡1⎤ϕ(A -2E ) ]u ⎢⎥⎢3(t )=e 2t [E +t 3=e 2t ⎢2t 1-2t t ⎥⎢1⎥⎥=⎡⎣

e 2t

⎢⎣t -t 1⎥⎦⎢⎣0⎥⎦

得其基解矩阵

⎡0te 2t e 2t ⎤Φ(t )=⎢

⎢e t

te 2t e 2t ⎥⎢⎥ ⎣

e t e 2t

0⎥⎦

从而

⎡(1+t ) e 2t

-te 2t te 2t ⎤

exp At =Φ(t )Φ-1(0)=⎢

⎢-e t +(1+t ) e 2t

e t -te 2t te 2t ⎥⎢⎥ ⎣

-e t +e 2t e t -e 2t

e 2t ⎥⎦

3.4、利用若尔当标准型求解

对于矩阵A ，由矩阵理论，存在非奇异的矩阵T ，使得

T -1AT =J 其中J 具有若尔当标准型，即

⎡⎢J 1⎤⎥J =⎢

J 2

⎢⎥⎢⎥ ⎣

J ⎥l ⎦

其中

e 2t ⎤T

⎦

0⎤T

⎦

(3.7)

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

⎡⎢λj 1

⎤

J j =⎢

λ⎥

⎢⎢1⎥⎥，(j =1,2, , l )

⎢⎣

λ⎥j ⎥⎦

为n j 阶矩阵，并且n 1+n 2++n l =n ，而l 为矩阵A -λE 的初级因子的个数；

λ1, λ2, , λl 是矩阵A 的特征值（其间可能有相同者）。由于矩阵J 及J j (j =1,2,

, l ) 的特殊形式，由矩阵指数的定义容易计算得到

⎡⎢exp J 1t

⎤exp ⎥

exp Jt =⎢

J 2t

⎢⎥⎥ ⎢⎣

exp J ⎥l t ⎦

下面对exp J j t 进行求解

⎡t 2⎢1t

t n j

-1

⎤⎢

2! (n -1)! ⎥

j ⎢

⎥

⎢1t

t n j -2⎥exp J ⎥j t =⎢

⎢(n -2)! ⎥λj

j ⎢⎥e ⎢⎥⎢⎥⎢⎣

1⎥⎥⎦事实上

⎡⎢λj 1

⎤

⎥J j =⎢

λj

⎢⎢1⎥⎥ ⎢⎣

λ⎥j ⎦⎥

有如下分解式

⎡⎢λj

⎤⎥⎡01

⎤

λj

⎥⎢⎥J j =⎢

⎢+⎢0⎢⎥1⎥⎥ ⎢⎣

λ⎥⎢⎢j ⎦⎥⎣

0⎥⎦

其中右侧第一个矩阵具有λj E 的形式，而第二个矩阵是零幂矩阵。于是对于exp J j t ，有：

3.8）3.9）13

（（

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

exp J j t

⎡⎢⎡01⎤1

⎤

⎢⎢⎥⎡001

⎥⎡=e λj t

E ⎢⎢0⎥⎢

t 2⎢0⎥⎢0

n j 0

⎢E +t ⎢

⎥+1⎥+

-1⎢⎢⎢⎢⎢1⎥⎥2! ⎢⎢⎢

0⎥+⎥(n ⎢j -1)! ⎢

⎢⎣⎢⎣0⎥⎦⎢⎣

0⎥⎦⎢⎣

⎡⎢1t

t 2

t n j

-1

⎤⎢

2! (n ⎥

j -1)! ⎢

⎥

t n j -2

=⎢⎢1t ⎥⎥

⎢(n 2)! ⎥λj

j -⎢⎥e

⎢⎥⎢⎥⎢⎣

⎥⎥⎦

可以得到微分方程（2.2）的基解矩阵exp At 的计算公式：

exp At =exp(TJT -1) t =T (expJt ) T -1 . 例题3 [2，p71，例3.8]

⎡-101⎤

已知，A =⎢⎢120⎥，求矩阵微分方程x '=Ax 的基解矩阵exp At ⎢03⎥

⎣-4⎥⎦

解：A 的特征多项式det(λI -A ) =(λ-1) 2(λ-2) 所以A 的特征值为λ1=λ2=1，λ3=2 当λ1=λ2=1解方程组

(E -A ) x =0 ，

得特征向量

T 1=[1-12]T

当λ3=2 解方程组

(2I -A ) x =0 ，

得特征向量

1⎤⎤

0⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥0⎥⎦⎥⎦

3.10） 14

（

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

T 3=[010]T

2重特征值λ1=λ2=1只有一个线性无关的特征向量

T 1=[1-12]T

，

故对应一个若尔当块，所以A 的若尔当标准型为

⎡⎢11⎤

J =⎢1⎥ ⎢⎥

⎣2⎥⎦

设相似变换矩阵T =[T 11, T 2, T 3]，由T -AT =J ，即AT =TJ 得

⎧⎪

AT 1=T 1

⎧⎪

(E -A ) T 1=0

⎨AT 2=T 1+T 2 即 ⎪⎨(E -A ) T ⎩

AT 3=2T

3⎪2=-T 1 ⎩

(2E -A ) T 3=0

可见T 1，T 3 是A 对应特征值1和2的特征向量，而 T 2可由求解非齐次线性方程组

(E -A ) x =-T 1

得到，称T 2为特征值1的广义特征向量。求解方程组

(E -A ) x =-T 1

得其通解为

T T

x =⎡⎢11⎤⎡1⎤⎣-2-20⎥⎦+k ⎢1

⎣2-21⎥

⎦

(k ∈C )取广义特征向量

T 2=[0-11]T

，

故所相似变换矩阵为

⎡100⎤

T =⎢⎢-1-11⎥ ⎢⎥

⎣210⎥⎦

由

⎡11⎤

T -1AT =J =J =⎢⎢1⎥ ⎢⎥

⎣2⎥⎦

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

得

⎡e t ⎢

exp At =T exp JtT -1=T ⎢

⎢⎣

te t e t

⎤⎡(1-2t )e t ⎥-1⎢t 2t T =1+2t e -e ()⎥⎢2t ⎥⎢e ⎦-4te t

⎣

0e 2t 0

⎤⎥

-(1+t )e t +e 2t ⎥ (1+2t )e t ⎥⎦

te t

3.5、待定系数法

3.5.1、利用特征多项式或最小多项式法

定理3.5.1 [2，p72]

设A 是n 阶矩阵，则矩阵函数

f (At )=∑a k A k t k =b n -1(t )A n -1+b n -2(t )A n -2+

k =0

+∞

+b 1(t )A +b 0(t )E

其中b 0, b 1, , b n -1 可有以下公式求得,

r ()(λi )=t l f ()(λ)λ=λi t (l =0, 1, r i =i , -1;

1, 2), s ,

其中λ1, λ2, 其中

, λs 是A 的全部互异特征值，r 1+r 2+r (λ)=b n -1(t )λn -1+b n -2(t )λn -2+

+r s =n +b 1(t )λ+b 0(t )

为用特征多项式∆(λ)除f (λt ) 所得余式。证明：

设A 的特征多项式为

∆(λ)=det (λE -A )=(λ-λ1)1(λ-λ2)2

其中λ1, λ2, 由带余除法

r r

(λ-λs )

r s

（3.11）

, λs 是A 的全部互异特征值，r 1+r 2++r s =n 。

f (λt )=q (λ, t )∆(λ)+r (λ, t ) （3.12）

其中q (A , t ) 是含参数t 的λ 的幂级数， r (λ, t )是含参数t 且次数不超过n-1的的多项式。即

r (λ, t )=b n -1(t )λn -1+b n -2(t )λn -2+

由哈密顿-凯莱定理知∆(A )=0，于是由式（3.12）得

+b 1(t )λ+b 0(t )

f (At )q (A , t )∆(A )+r (A , t )=b n -1(t )A n -1+b n -2(t )A n -2+

+b 1(t )A +b 0(t )E

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

其中b k (t ) (k =0,1, 注意到

, n -1) 为待定系数 ∆()(λi )=0, (l =0,1,

, r i -1; i =1,2,

, s )

将式（3.12）两边对λ 求导，并应用上式，得

d l

f (λt )l d λ

即

λ=λi

d l

=l r (λ, t )d λ

λ=λi

d l t f (μ)l d μ

μ=λi t

d l

=l r (λ, t )d λ

λ=λi

或写为

r ()(λi )=t l f ()(λ)λ=λi t (l =0,1, , r i -1; i =1,2, , s ) （3.13）

例题

由此方法解例题3（第14页）解：

其特征多项式

det(λE -A ) =(λ-1) 2(λ-2)

设

r (λ)=b 2λ2+b 1λ+b 0

则由公式（3.13）

⎧r (1)=b 2+b 1+b 0=e t ⎧b 2=e 2t -e t -te t ⎪⎪⎪⎪t

，解得⎨b 1=-e 2t +2e t +3te t ⎨r '(1)=2b 2+b 1=te

⎪⎪2t t 2t

b =e -2te r 2=4b +2b +b =e ()⎪210⎪⎩0⎩

于是，

⎡(1-2t )e t

⎢

exp At =b 2A 2+b 1A +b 0E =⎢(1+2t )e t -e 2t

t ⎢-4te ⎣

e 2t 0

⎤te t

⎥

-(1+t )e t +e 2t ⎥ (1+2t )e t ⎥⎦

补充：

以上方法中把特征多项式改为最小多项式，定理同样成立，且待定多项式的次数更小，更容易计算。整理为以下定理定理3.5.2 [6]

设A 是n 阶矩阵，则矩阵函数

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

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