第三章 线性方程组
第一节 线性方程组与矩阵的行等价
一 线性方程组
以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2定义3.1 多元一次方程组⎨称为线性方程组. ⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m
方程组有m 个方程, n 个未知数x i (i =1,2, , n ), 而a ij (i =1,2, , n ; j =1, 2, , m ) 是未知数的系数, b j (j =1, 2, , m ) 是常数项.
如果b j =0(j =1, 2, , m ), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组c 1, c 2, , c n 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数x 1, x 2, , x n , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.
定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.
按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.
通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.
⎧2x 1-x 2+3x 3=1⎪ 例3.1 解线性方程组⎨2x 1+x 2+x 3=5.
⎪4x +x +2x =523⎩1
⎧⎪解 从上向下消元, 得同解方程组⎨⎪⎩
组. 2x 1-x 2+3x 3=12x 2-2x 3=4. 这种方程组称为阶梯形方程-x 3=-3
⎧2x 1=-3⎪从下向上消元, 得同解方程组⎨2x 2=10.
⎪-x =-3⎩3
再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解x 1=-3/2, x 2=5, x 3=3.
解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.
定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.
(1) 交换两个方程的位置;
(2) 用一个非零常数乘以一个方程;
(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.
注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.
定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.
证 先证明只进行一次初等变换.
首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.
最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.
二 矩阵的行等价
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2用矩阵乘法, 可以将线性方程组⎨写作 ⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m
⎛a 11a 12 a 1n ⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫ ⎪⎪ ⎪
a 21a 22 a 2n ⎪x 2⎪= b 2⎪, ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝a m 1a m 2 a mn ⎭⎝x n ⎭⎝b m ⎭
称为线性方程组的矩阵表示. 其中m ⨯n 矩阵A =(a ij ) 称为方程组的系数矩阵, n ⨯1列矩阵x =(x 1, x 2, , x n ) '称为未知数(矩阵), m ⨯1列矩阵b =(b 1, b 2, , b m ) '称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作Ax =b .
如果数组c 1, c 2, , c n 是线性方程组Ax =b 的解, 令列矩阵ξ=(c 1, c 2, , c n ) ', 则有矩阵等式A ξ=b . 列矩阵ξ=(c 1, c 2, , c n ) '是方程组的解的矩阵表示.
将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵=(A , b ) , 称为线性方程组的增广矩阵.
线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.
定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.
(1) 交换A 的两行;
(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;
(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.
定义3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作A −−→B .
仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.
性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质. r
−→A ; (1) 反身性: A −
(2) 对称性: 如果A −−→B , 则B −−→A ; r
r r r −→B , B −−→C , 则A −−→C . (3) 传递性: 如果A −
当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为A =B . 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号A −−→B .
用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作: r r r
定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.
通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.
如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.
定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.
(1) 非零行在上, 零行在下;
(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素) 在上面的非零行的首元素的右下方.
⎛2-131⎫ ⎪例3.2 用行初等变换化简矩阵A = 2115⎪.
4125⎪⎝⎭
解 做行初等变换, 得
1⎫⎛2-131⎫⎛2-131⎫⎛2-13 ⎪r ⎪r ⎪−→ 02-24⎪−−→ 02-24⎪. A = 2115⎪−
03-43⎪ 00-1-3⎪ 4125⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得
1⎫⎛2-13⎛2-10-8⎫⎛200-3⎫ ⎪r ⎪r ⎪r A −−→02-24−−→02010−−→02010 ⎪ ⎪ ⎪.
00-1-3⎪ 00-1-3⎪ 00-1-3⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
最后, 每行除以其首元素, 得
⎛200-3⎫⎛100-3/2⎫ ⎪ ⎪r r A −−→02010−−→0105 ⎪ ⎪.
00-1-3⎪ 0013⎪⎝⎭⎝⎭
定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.
(1) 每个非零行的首元素等于1;
(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.
在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.
定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.
如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.
其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.
习题3-1
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=5⎪x +2x -x +4x =-2⎪12341. 写出线性方程组⎨的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解. 2x -3x -x -5x =-2234⎪1
⎪⎩3x 1+x 2+2x 3+11x 4=0
⎛21-3-15⎫ ⎪45⎪, 写出该线性方程组, 并用消元法2. 设线性方程组的增广矩阵为 3-22
5-3-1-816⎪⎝⎭
求解.
3. 求下列矩阵的行等价标准形.
02-1⎫⎛02-31⎫⎪ ⎪031⎪; (2) 03-43⎪;
04-7-1⎪04-3⎪⎭⎝⎭
-13-43⎫⎛231-3-7⎫⎪ ⎪-35-41⎪120-2-4⎪. ; (4) 3-2830⎪-23-20⎪⎪ ⎪ 2-374-34-2-1⎪3⎪⎭⎝⎭
⎛1-23-11⎫ ⎪ 4. 求t 的值, 使得矩阵 3-15-32⎪的行等价标准形恰有两个非零行.
212-2t ⎪⎝⎭
⎛1 （1） 2 3⎝⎛1 3(3) 2 3⎝
第二节 矩阵的秩
一 矩阵的秩的定义
定义3.8 设矩阵A =(a ij ) m ⨯n , 从A 中任意选取k 行, k 列(k ≤min{m , n }), 位于这些行与列的交叉点上的k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式. 2
42⎫⎛13 ⎪9⎪的第一, 三行, 第二，四列的二阶子式为 例如, 位于矩阵A = 0-17
02-1-3⎪⎝⎭
32=-13. 2-3
一个m ⨯n 矩阵有C m C n 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.
定义3.9 如果矩阵A =(a ij ) m ⨯n 中有一个r 阶子式不等于零, 而所有r +1阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作rank(A ) =r .
如果矩阵的所有r +1阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.
约定 对于零矩阵O , 约定rank(O ) =0.
由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:
(1) 设A 是非零矩阵, 则rank(A ) ≥1; k k
(2) 设A 是m ⨯n 矩阵, 则rank(A ) ≤min{m , n };
(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为rank(A ) =n . 于是, 可逆阵又称为满秩阵.
⎛1230⎫ ⎪ 例3.3 设A = 0121⎪, 求它的秩.
2460⎪⎝⎭
解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, rank(A ) =2. 例3.4 求对角阵A =diag(a 1, a 2, , a n ) 的秩.
解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.
例3.5 设矩阵A 的秩等于r >0, 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?
解 因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.
已知ra n k(A ) =r , 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则rank(B ) =r . 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的r -1行中, 至少有一个r -1阶子式不等于0. 于是rank(B ) ≥r -1.
仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者r +1.
性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则
(1) 转置: rank(A ') =rank(A ) ;
(2) 数乘: 如果k ≠0, 则rank(kA ) =rank(A ) .
证 只证(2).
考虑矩阵A 的一个s 阶子式D s , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于k D s . 已知k ≠0, 因此k D s =0的充分必要条件为D s =0.
设rank(A ) =r , 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有r +1阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, rank(kA ) =r .
s s
二 行初等变换
用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.
定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank(A ) =rank(B ) .
证 设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r a n k (A ) =r , 则A 的所有r +1阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有r +1阶子式也都等于0.
(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个r +1阶子式或者就是A 的相同位置的r +1阶子式, 或者是A 的相同位置的r +1阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有r +1阶子式都等于0.
(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个r +1阶子式D , 则A 有一个r +1阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有r +1阶子式都等于0.
(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个r +1阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的r +1子式. 如果B 的一个r +1阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为D 1+kD 2, 其中D 1就是A 的相同位置的r +1子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则D 2可以由A 的某个r +1阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则D 2有两个
相同的行. 于是, B 的所有r +1阶子式都等于0.
总之, rank(B ) ≤r =rank(A ) .
另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有rank(A ) ≤rank(B ) . 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank(A ) =rank(B ) .
最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.
推论3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.
证 设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有r +1阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是rank(R ) =r . 根据定理3.4, 有rank(A ) =r .
⎛1-15-1⎫ ⎪ 11-23⎪ 例3.6 求矩阵A = 的秩. ⎪3-181 ⎪ 13-97⎪⎝⎭
解 用行初等变换, 得
-1⎫⎛1-15-1⎫⎛1-15⎛1-15-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 11-23⎪r 02-74⎪r 02-74⎪A = . −−→ −−→ ⎪⎪⎪3-18102-740000 ⎪ ⎪ ⎪ 13-97⎪ 04-148⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, rank(A ) =2.
⎛B O ⎫ 例3.7 设分块矩阵A = O C ⎪⎪, 求证: rank(A ) =rank(B ) +rank(C ) . ⎝⎭
证 设矩阵B , C 的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得
⎛B O ⎫r ⎛R O ⎫−→ A = O S ⎪⎪, O C ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭
其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.
用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.
习题3-2
⎛1111⎫1. 设矩阵A = 1257⎪⎪，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. ⎝⎭
2. 设m ⨯n 矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: rank(B ) ≥r +s -m . *3. 设A 是m ⨯n 矩阵，求证：rank(A ) =1的充分必要条件为: 存在m ⨯1非零矩阵B 与1⨯n 非零矩阵C ，使得A =BC .
4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.
⎛1 (1) 2
4⎝
⎛1 1
(3) 0 0
0⎝3⎫⎛32⎪ 3-5⎪; (2) 2-1 4571⎪⎭⎝0100⎫⎛1⎪1000⎪ 1 ⎪1100; (4) 1⎪0110⎪ ⎝21011⎪⎭
⎛13 5. 求t 的值, 使得方阵A = 2-1
32⎝
2-1-3-2⎫⎪31-3⎪; -5-61⎪⎭4⎫⎪4135⎪. 4243⎪⎪7-3613⎭2⎫⎪3⎪的秩等于2. t ⎪⎭3-25
第三节 齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的矩阵表示为Ax =0. 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.
齐次线性方程组Ax =0总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:
(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有
非零解;
(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质3.3 如果列矩阵ξ1与ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个特解, 则对于任意的数h , k , 列矩阵h ξ1+k ξ2也是方程组的解. 证 将h ξ1+k ξ2代入方程组, 得
A (h ξ1+k ξ2) =hA ξ1+kA ξ2=0+0=0. 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明. 例1求齐次线性方程组
x 2+2x 3+2x 4+6x 5=0⎧⎪-x -x -x -x -x =0⎪12345的通解. ⎨3x +2x +x +2x -3x =012345⎪⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+4x 4-x 5=0
解 首先写出方程组的系数矩阵.
6⎫⎪-1⎪. -3⎪⎪⎪-1⎭
然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. 122⎛0 -1-1-1-1A = 3212 5434⎝
⎛-1-1-1-1-1⎫ ⎪1226⎪ 0
3212-3⎪ ⎪ 5⎪434-1⎭⎝
⎛-1-1-1-1-1⎫ ⎪1226⎪ 0r −−→ . 00010⎪ ⎪ 0⎪0000⎭⎝
继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.
⎛-1 0
0 0⎝
⎛1 0r −−→ 0 0⎝0105⎫⎪1206⎪0010⎪⎪⎪0000⎭0-10-5⎫⎪1206⎪. 0010⎪⎪⎪0000⎭
从行等价标准形得到同解方程组
⎧x 1-x 3-5x 5=0
⎪x +2x +6x =0⎪235. ⎨x =04⎪⎪0=0⎩
将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移
⎧x 1=x 3+5x 5⎪x =-2x -6x ⎪235到方程组的右边, 得到⎨. x =04⎪⎪0=0⎩
任意取定右边未知数(自由未知数) 的值, 则左边未知数(约束未知数) 的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.
实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设(d 1, d 2, d 3, d 4, d 5) '是方程组的任意的特解, 上面求解时x 3与x 5可以任意取值, 自然包含取值x 3=d 3与x 5=d 5. 由于(d 1, d 2, d 3, d 4, d 5) '是方程组的解, 必须满足方程组.
因此
d 1=d 3+5d 5, d 2=-2d 3-6d 5, d 4=0. 于是, 这个特解可以由上面的方法产生. 令x 3=h , x 5=k , 得到齐次线性方程组的通解x 1=h +5k , x 2=-2h -6k , x 3=h , x 4=0, x 5=k , 其中h , k 是任意常数.
在通解中令h =1, k =0, 得到齐次线性方程组的一个特解ξ=(1,-2,1,0,0) '. 反之, 令h =0, k =1, 得到另一个特解ξ=(5,-6,0,0,1) '. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: x =h ξ+k ξ, 其中h , k 是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解ξ与ξ， 因此, 称ξ, ξ为齐次线性方程组的基础解系.
注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.
定理3.5 设A 是m ⨯n 矩阵, 则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所包含的特解的个数等于n -rank(A ) .
证 根据推论3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩rank(A ) 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.
推论3.2 齐次线性方程组只有零解的充分12121212
必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数. 证 根据定理3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.
推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件为: 行列式|A |≠0.
证 根据推论3.2, 齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件为rank(A ) =n . 由矩阵的秩的定义, rank(A ) =n 的充分必要条件为|A |≠0.
例3.9 设A 是n 阶方阵, 且rank(A ) =r
证 考虑齐次线性方程组Ax =0, 根据定理3.5, 它的n -r 个特解ξ, ξ, , ξ组成基础解系. 即有A ξ=0, i =1, 2, , n -r .
构造分块n 阶方阵B =(ξ, ξ, , ξ,0, ,0) , 即B 的前n -r 列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前n -r 列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此rank(B ) =n -r .
另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有 12n -r i 12n -r
AB =A (ξ1, ξ2, , ξn -r ,0, ,0) =(A ξ1, A ξ2, , A ξn -r ,0, ,0) =O .
习题3-3
1. 求下列齐次线性方程组的通解.
(1)
(3)⎧x 1-x 2+2x 3=0⎪⎨x 1+x 2+x 3=0⎪2x +3x =013⎩; (2)⎧x 1+2x 2-x 3+3x 4-6x 5=0⎪⎨2x 1+4x 2-2x 3-x 4+5x 5=0⎪2x +4x -2x +4x -2x =02345⎩1; ⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=0⎪3x +2x +x +x -3x =0⎪12345⎨⎪x 2+2x 3+2x 4+6x 5=0
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=0
⎧x 1-2x 2+x 3-x 4+x 5=0⎪2x +x -x +2x -3x =0⎪12345⎨⎪3x 1-2x 2-x 3+x 4-2x 5=0
⎪⎩2x 1-5x 2+x 3-2x 4+2x 5=0; （4）.
2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.
3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组⎧ax 1+x 2+x 3=0⎪⎨x 1+ax 2+x 3=0
⎪x +x +x =023⎩1只有零解?
4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组⎧ax 1+x 2+2x 3=0⎪⎨x 1+2x 2+4x 3=0
⎪x -x +x =023⎩1有非零解. 并求其基础解系.
5. 设n >0, 求证: n 次多项式至多有n 个两
两不同的零点.
第四节 非齐次线性方程组的通解
解非齐次线性方程组Ax =b 的基本问题是:
(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;
(2) 如果有解, 求出全部解(通解).
定义3.10 将非齐次线性方程组Ax =b 中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组Ax =0称为方程组Ax =b 的导出组. 性质3.4 设列矩阵η1与η2是线性方程组Ax =b 的两个特解, 则它们的差ξ=η1-η2是它的导出组Ax =0的解.
证 将ξ=η1-η2代入导出组的左边, 得 A ξ=A (η1-η2) =A η1-A η2=b -b =0. 推论3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.
证 首先, 设列矩阵η是方程组Ax =b 的特解, 列矩阵ξ是其导出组Ax =0的特解, 则有
A (ξ+η) =A ξ+A η=b +0=b ,
即列矩阵ξ+η是方程组Ax =b 的解.
其次, 设列矩阵ζ是方程组Ax =b 的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ξ=ζ-η是导出组Ax =0的解. 移项, 得ζ=η+ξ, 即方程组Ax =b 的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组Ax =0的解ξ的和. 综合两方面, 即得本推论.
注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.
在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.
例3.10 求非齐次线性方程组
x 2+2x 3+2x 4+6x 5=24⎧⎪-x -x -x -x -x =-7⎪12345的通解. ⎨⎪3x 1+2x 2+x 3+x 4-3x 5=-3
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=13
解 首先写出方程组的增广矩阵
122⎛0 -1-1-1-1
3211 5433⎝624⎫⎪-1-7⎪. -3-3⎪⎪⎪-113⎭
然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.
⎛-1-1-1-1-1-7⎫ ⎪122624⎪ 0
3211-3-3⎪ ⎪ 5⎪433-113⎭⎝
⎛-1-1-1-1-1-7⎫ ⎪122624⎪ 0r −−→ . 000000⎪ ⎪ 0⎪00000⎭⎝
继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.
⎛-1 0
0 0⎝
⎛10 01r −−→ 00 00⎝011517⎫⎪122624⎪00000⎪⎪⎪00000⎭-1-1-5-17⎫⎪22624⎪. 0000⎪⎪⎪0000⎭
从行等价标准形得到同解方程组⎧x 1-x 3-x 4-5x 5=-17
⎪x +2x +2x +6x =24⎪2345. ⎨0=0⎪⎪0=0⎩
将自由未知数移到右边, 得⎧x 1=x 3+x 4+5x 5-17
⎪x =-2x -2x -6x +24⎪2345. ⎨0=0⎪⎪0=0⎩
将自由未知数取值0, 计算约束未知数的
值, 即得非齐次方程组的一个特解η=(-17, 24, 0, 0, 0) '.
根据推论3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系
ξ1=(1, -2, 1, 0, 0) ', ξ2=(1, -2, 0, 1, 0) ',
ξ2=(5, -6, 0, 0, 1) '.
于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为x =η+k 1ξ1+k 2ξ2+k 3ξ3, 其中k 1, k 2, k 3是任意常数.
例3.11 解非齐次线性方程组
x 2+2x 3+2x 4+6x 5=24⎧⎪-x -x -x -x -x =-7⎪12345. ⎨⎪3x 1+2x 2+x 3+x 4-3x 5=-2
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=13
解 这个方程组的增广矩阵为
122⎛0 -1-1-1-1
3211 5433⎝
⎛-1-1-1-1 122 0
0000 0000⎝624⎫⎪-1-7⎪. -3-3⎪⎪⎪-113⎭-1-7⎫⎪624⎪. 01⎪⎪⎪00⎭通过行初等变换, 得到行阶梯形阵
在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 0=1. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.
于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.
定理3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.
证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
推论3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.
证 综合定理3.6和推论3.2即可. 例3.12 当a , b 取何值时, 非齐次线性方
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=0⎪x +2x +2x =1⎪234程组⎨有唯一解, 无⎪-x 2+(a -3) x 3-2x 4=b
⎪⎩3x 1+2x 2+x 3+ax 4=-1
解, 有无穷多解? 对后者求通解.
解 对增广矩阵做行初等变换, 得
110⎫⎛11 ⎪221⎪ 01
0-1a -3-2b ⎪ ⎪ 32⎪1a -1⎝⎭
110⎫⎛11 ⎪1221⎪r 0−−→ 0-1a -3-2b ⎪ 0-1-2a -3-1⎪⎪⎝⎭
0⎫⎪1221⎪
0a -10b +1⎪⎪⎪00a -10⎭
0-1-1-1⎫⎪1221⎪ 0a -10b +1⎪⎪⎪00a -10⎭
根据定理3.6, 当a =1, b ≠-1时无解. 当a =1, b =-1时, 非齐次线性方程组的特解为η=(-1, 1, 0, 0) ', 导出组的基础解系为ξ1=(1, -2, 1, 0) ', ξ2=(1, -2, 0, 1) '，通解为⎛1 0r −−→ 0 0⎝⎛1 0r −−→ 0 0⎝111
x =η+k 1ξ1+k 2ξ2, 其中k 1, k 2是任意常数. 当a ≠1时有唯一解
1η=(b -a +2, a -2b -3, b +1, 0) '. a -1
例3.13 设A 是n 阶方阵, 且|A |≠0. 将A 分块A =(B , C ) , 其中C 是A 的最后一列, 求证: 线性方程组Bx =C 无解.
证 线性方程组的增广矩阵就是A , 由|A |≠0, 增广矩阵的秩等于n . 而线性方程组的系数矩阵B 只有n -1列, 它的秩不大于n -1. 根据定理3.6, 线性方程组Bx =C 无解.
推论3.6 设A 是n 阶方阵, 则线性方程组Ax =b 有唯一解的充分必要条件为: 行列式|A |≠0.
证 充分性. 设|A |≠0, 则方阵A 的秩等于其列数n . 又方程组的增广矩阵(A , b ) 只有n 行, 于是, 由例3.5, 有
n =rank(A ) ≤rank(A , b ) ≤n .
根据推论3.5, 方程组有唯一解.
必要性. 设方程组Ax =b 有唯一解, 根
据推论3.5, 方阵A 的秩等于其列数n . 于是, 行列式|A |≠0.
条件|A |≠0保证方阵A 可逆. 用A 的逆阵左乘Ax =b , 得x =A b . 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有 -1
1A *b , x =A b =|A |
其中方阵A *是A 的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j 行的元素, 得
1x j =(A 1j b 1+A 2j b 2+ +A nj b n ) , |A |
j =1, 2, , n . -1
根据定理1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b 代替系数行列式|A |的第j 列所得的行列式, 按照第j 列的展开式. 将这个行列式记作D j , 又将|A |改写作D , 则上式为
x j =D j
D , j =1, 2, , n .
这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.
习题3-4
1. 设列矩阵η(i =1, 2, , , m ) 是非齐次线性方程组Ax =b 的特解, 数k (i =1, 2, , , m ) 满足k +k + +k =1, 求证: 列矩阵k η+k η+ +k η也是方程组Ax =b 的特解.
2. 求下列非齐次线性方程组的通解. i i 12m 1122m m
(1)
(3) ⎧x 1+x 3-x 4=-3⎪2x -x +4x -3x =-4⎪1234⎨⎪3x 1+x 2+x 3=1⎪⎩7x 1+7x 3-3x 4=3⎧x 1+2x 2+2x 3=2⎪3x -2x -x =5⎪123⎨⎪2x 1-5x 2+3x 3=-4
⎪⎩x 1+4x 2+6x 3=0; (2) ⎧x 1-2x 2+3x 3-4x 4=4⎪⎨x 2-x 3+x 4=-3⎪x +x -2x =-2134⎩; , ; (4) ⎧x 2+x 3+ +x n -1+x n =1⎪x +x + +x +x =2⎪13n -1n ⎨⎪ ⎪⎩x 1+x 2 +x n -2+x n -1=n 其中n >1.
3. 求证: 线性方程组
4. 求b
⎧2x 1-x 2+x 3+x 4=1⎪⎨x 1+2x 2-x 3+4x 4=2
⎪x +7x -4x +11x =b 234⎩1⎧x 1+2x 2+x 3-x 4=2⎪⎨x 1+x 2+2x 3+x 4=3⎪x -x +4x +5x =2234⎩1无解. 的值, 使得线性方程组有解, 并求其通解.
5. 当a , b , c , d 满足什么条件时, 线性方程组
⎧x 1+x 2=a ⎪x +x =b ⎪34⎨⎪x 1+x 3=c
⎪⎩x 2+x 4=d 有解? 并求其通解.
⎧x 1+2x 2+3x 3=1⎪⎨x 1+3x 2+6x 3=2
⎪2x +3x +ax =b 23⎩1 6. 当a , b 取何值时, 线性方程组
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.
*7. 设A 是n 阶方阵, b 是n ⨯1矩阵, 且分块方
⎛A b ⎫阵满足rank b '0⎪⎪=rank(A ) , 求证: 非齐次线性方程⎝⎭
组Ax =b 有解.
第五节 初等方阵与初等变换
一 初等方阵
定义3.11 对单位阵E 做行初等变换所得方阵称为初等方阵.
三种行初等变换产生三种初等方阵:
(1) 交换E 的第i 行与第j 行所得方阵记作
P ij ;
(2) 用非零常数k 乘以E 的第i 行所得方阵记作D i (k ) ;
(3) 将E 的第j 行的k 倍加到第i 行所得方阵记作T ij (k ) .
三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有
-1P ij =P ij , D i -1(k ) ⎛1⎫-1=D i ⎪, T ij (k ) =T ij (-k ) . ⎝k ⎭
定理3.7 对矩阵A 做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.
注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.
推论3.7 任意矩阵A 可以表示成A =E 1E 2 E s R , 其中E i 是初等方阵, R 是A 的行等价标准形.
证 对A 做行初等变换, 可得其行等价标
准形R . 这个过程相当于用一系列初等方阵E i 左乘矩阵A . 即有E s E 2E 1A =R . 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得
-1-1-1A =E 1E 2 E s R . 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.
推论3.8 方阵A 可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.
例3.14 设A , B 都是m ⨯n 矩阵, 求证: A 与B 行等价的充分必要条件为存在m 阶可逆阵P , 使得PA =B .
二 矩阵方程
矩阵方程AX =B , 其中A 是n 阶可逆阵, B 是n ⨯m 矩阵, 而X 是n ⨯m 未知矩阵.
已知A 是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得
-1矩阵方程的解X =A B .
对于可逆阵A , 存在初等方阵E i , 使得E s E 2E 1A =E . 用同样的初等方阵左乘矩阵
方程AX =B , 得
E s E 2E 1AX =EX =X =E s E 2E 1B 这个等式说明, 对可逆阵A 与矩阵B 做相同的行初等变换, 当将A 变成单位阵时, 矩阵B 变成矩阵方程AX =B 的解X =A -1B .
例3.15
⎛21
设方阵A = -1⎫
210⎪⎛
⎪, B = 1-1
43
⎝1-11⎪⎭ ⎝1-2
矩阵方程AX =B .
解 做分块矩阵: 左边部分是A , 分是B . 做行初等变换, 得
(A |B )=
⎛ 21-11-13⎫
210432⎪
⎪
⎝1-111-25⎪⎭
⎛1-111-25⎫
−−→r 210432⎪
⎪
⎝21-11-13⎪⎭
3⎫2⎪⎪⎪, 解5⎭右边部
5⎫⎪3-227-8⎪
0-1-3-41⎪⎭
002/3-18/3⎫⎪108/35-10/3⎪.
0134-1⎪⎭
8/3⎫⎛2/3-1 ⎪-1于是，X =A B = 8/35-10/3⎪. 3⎪4-1⎝⎭
如果矩阵方程AX =B 中的方阵A 可逆, 方阵B 是单位阵E , 则用这个方法得到的矩阵方程的解X =A -1E =A -1就是A 的逆阵. 由此得⎛1r −−→ 0 0⎝⎛1r −−→ 0 0⎝-111-2到计算逆阵的简单方法.
⎛101⎫ ⎪ 例3.16 求方阵A = 210⎪的逆阵. -32-5⎪⎝⎭
解 用初等变换法.
(A |E )=
⎛101100⎫ ⎪ 210010⎪ -32-5001⎪⎝⎭
100⎫⎛101⎪r −−→ 01-2-210⎪
002⎪7-21⎝⎭
⎛100-5/21-1/2⎫⎪r −−→ 0105-11⎪
0017/2-11/2⎪⎝⎭
⎛-5/21-1/2⎫ ⎪-1-11⎪. 于是 A = 5
7/2-11/2⎪⎝⎭
如果X 与B 是列矩阵, 用这里的方法可以得
-1到线性方程组AX =B 的解X =A B . 而且这
种解法正是前面的消元法.
性质3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.
证 设A 是m ⨯p 矩阵, B 是p ⨯n 矩阵, rank(A ) =r . 先证明rank(AB ) ≤r . 根据推论3.7, 有E s E 2E 1A =R , 其中A 的行等价标准形R 恰有r 个非零行. 用矩阵B 右乘此式, 得E s E 2E 1(AB ) =RB . 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB 至多有r 个非零行. 根据定理3.4, 有
rank(AB ) =rank(RB ) ≤r =rank(A ) .
转置可证明另一部分.
例3.17 设A 是可逆阵, 则rank(AB ) =rank(B ) .
证1 记矩阵C =AB . 由性质3.5, 有rank(C ) ≤rank(B ) . 用逆阵A -1左乘C =AB , 得 B =A -1C , 从而有rank(B ) ≤rank(C ) .
上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.
证2 已知A 是可逆阵，根据推论3.8, 有AB =E s E 2E 1B . 再根据定理3.4, 有rank(AB ) =rank(B ) .
三 初等变换
与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.
定义3.12 设A 是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A 的列初等变换.
(1) 交换A 的两列;
(2) 用非零常数k 乘以A 的一列;
(3) 将A 的一列的k 倍加到另一列上去, 与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.
性质3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.
(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;
(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;
(3) 矩阵的列等价是等价关系;
(4) 矩阵B 与A 列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q , 使得AQ =B .
与用行初等变换解矩阵方程AX =B 类似, 可以用列初等变换解矩阵方程XA =B .
⎛21-1⎫ ⎪⎛1-13⎫⎪, 例3.18设A = 210⎪, B = ⎝432⎭ 1-11⎪⎝⎭
解矩阵方程XA =B .
解 做分块矩阵, 上边是A , 下边是B . 然后做列初等变换. 当将A 变成单位阵时, B 变成矩阵方程的解X =BA -1. 如果用→表示列等价, 则有
⎛21-1⎫⎛1-12⎫⎛1 ⎪ ⎪ 0⎪ 102⎪ 1 21
1-11⎪→ -111⎪→ -1 ⎪ ⎪ 1-13⎪ -131⎪ -1 43⎪ ⎪ 2⎭⎝324⎭⎝3⎝
00⎫⎛1 ⎪10⎪ 0
→ 001⎪. ⎪1⎪ -22 -8/35-2/3⎪⎝⎭
21⎫⎛-2⎪. 于是X = ⎝-8/35-2/3⎭010250⎫⎪0⎪3⎪⎪3⎪⎪-2⎭
例3.19 设分块矩阵(A , B ) , 求证: rank(A , B ) ≤rank(A ) +rank(B ) .
证 设矩阵A , B 的列等价标准形分别为R , S , 则R 与S 分别有ra nk(A ) 与rank(B ) 个非零列. 从而分块矩阵(R , S ) 有rank(A ) +rank(B ) 个非零列. 另一方面, 如果在矩阵(A , B ) 中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵(R , S ) . 于是, 有
rank(A , B ) =rank(R , S ) ≤rank(A ) +rank(B ) .
定义3.13 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. 如果经过初等变换可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称A 与B 等价. 由于矩阵的行等价与列等价都是等价关系, 矩阵的等价也是等价关系.
定理3.8 设矩阵A 的秩等于r , 则A 与形⎛E r 如 ⎝O O ⎫⎪的分块矩阵等价, 其中E r 是r 阶单O ⎭
位阵.
证 先做行初等变换, 将矩阵A 变成行等价标准形. 再做列初等变换: 用各非零行的首元素消去其右方的非零元素. 最后, 将中间的零列移到非零列的右边, 而不改变非零列的顺序. 经过这些初等变换所得到的矩阵的左上角是一个单位阵, 其他元素等于0. 因为初等变换不改变矩阵的秩, 所以位于左上角的单位阵的阶等于r .
这种形式的矩阵称为矩阵A 的等价标准形.
仿照矩阵的初等变换，可以定义分块矩阵的初等变换. 分块矩阵的初等变换, 相当于对矩
阵的若干行(或列) 同时做初等变换. 例如, 设A , B , C , D 都是m ⨯n 矩阵, 则分块矩阵的初等变换
B ⎫r ⎛A +C B +D ⎫⎪−⎪ −→ D ⎭D ⎭⎝C
相当于将这个2m ⨯2n 矩阵的第m +1行加到第一行, 第m +2行加到第二行, 等等. 因此, ⎛A ⎝C 分块矩阵的初等变换也不改变矩阵的秩. 从分块矩阵的初等变换的观点, 可以得到例
3.19的另一个证明. 用分块矩阵的初等变换与例3.7, 有
⎛A B ⎫⎛A O ⎫rank(A , B ) ≤rank ⎪=rank ⎪⎝O B ⎭⎝O B ⎭
=rank(A ) +rank(B ) .
习题3-5
⎛1-20⎫⎛-14⎫ ⎪ ⎪5⎪. 1. 解矩阵方程 4-2-1⎪X = 2
-31⎪ 1-3⎪2⎝⎭⎝⎭
1-1⎫⎛1 ⎪2. 设可逆阵A = -111⎪, 求方阵X , 1-11⎪⎝⎭
*-1满足条件A X =A +2X .
3. 求下列矩阵的逆阵.
⎛1a b ⎫ ⎪ (1) A = 01a ⎪; 001⎪⎝⎭
⎛3-20-1⎫ ⎪21⎪ 02(2) A = ; 1-2-3-2⎪ ⎪ 01⎪21⎝⎭
11⎫⎛11 ⎪ 11-1-1⎪ (3) A = ; 1-11-1⎪ 1-1-11⎪⎪⎝⎭
⎛1a a 2a 3a 4⎫ ⎪ 01a a 2a 3⎪ ⎪2(4) A = 001a a ⎪.
0001a ⎪ ⎪01⎭⎝000
4. 设m >n , 且n ⨯m 矩阵A 与m ⨯n 矩阵B 满足
条件AB =E , 求证:
rank(A ) =rank(B ) =n .
⎛3-2⎫⎛-12⎫⎪. ⎪= 5. 解矩阵方程X ⎝5-4⎭⎝-56⎭
6. 求方阵X , 满足条件
⎛2-31⎫⎛976⎫⎛20-2⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 4-52⎪X 112⎪= 18129⎪. 5-73⎪ 111⎪ 231511⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7. 设A , B 是m ⨯n 矩阵， 求证：A 与B 等价的充分必要条件为: 存在m 阶可逆阵P 与n 阶可逆阵Q ，使得B =PAQ .
8. 求证: 两个同型矩阵等价的充分必要条件为: 它们具有相同的秩.
9. 设A , B 是同型矩阵，求证：
rank(A +B ) ≤rank(A ) +rank(B ) .
10. 设A 是n 阶方阵, 求证:
rank(E -A ) +rank(A ) ≥n .
补充材料
一 列满秩阵与行满秩阵
可逆阵的秩等于它的阶数(即行数或列数), 因此又称为满秩阵. 在推论3.2中, 满足条件: 秩等于其列数的矩阵称为列满秩阵. 设A 是m ⨯n 列满秩阵, 则m ≥n =rank(A ) . 对于方阵, 列满秩阵就是可逆阵. 因此, 可逆阵可以看作列满秩阵的特例. 可逆阵有许多特殊性质. 这里介绍列满秩阵的相应性质.
在推论3.8的证明中得到: 可逆阵的行等价标准形是单位阵. 用类似的方法可以证明关于列满秩阵的相应结果.
E ⎫ 命题1 列满秩阵的行等价标准形为⎛ O ⎪⎪. ⎝⎭
对于可逆阵A 与同阶方阵B , 有rank(AB ) =rank(BA ) =rank(B ) . 列满秩阵保留了这里的左乘部分.
命题2 设A 是列满秩阵，则rank(AB ) =rank(B ) .
证 根据定理3.4与命题1, 有
⎡⎛E ⎫⎤⎛B ⎫rank(AB ) =rank ⎢ ⎪B ⎥=rank ⎪=rank(B ) . ⎝O ⎭⎣⎝O ⎭⎦
由命题2可以证明: 如果A 是列满秩阵,
且AB =O , 则B =O .
仿照列满秩阵, 可以定义行满秩阵. 行满秩阵的列等价标准形为(E , O ). 而且当用行满秩阵右乘一个矩阵时, 也不改变矩阵的秩.
二 多项式插值
命题3 对于任意给定的数对(x , y ) , (x , y ) , , (x , y ) , 其中x
证 设多项式P (x ) =a +a x + +a x +a x 满足条件, 则有 0011n n 01n n -1n 01n -1n i i n -1n
01n -1n
n -1n ⎧a 0+a 1x 0+ +a n -1x 0+a n x 0=y 0⎪n -1n ⎪a 0+a 1x 1+ +a n -1x 1+a n x 1=y 1⎨ ⎪
n -1n ⎪⎩a 0+a 1x n + +a n -1x n +a n x n =y n .
这是有n +1个未知数a , a , , a , a 的线性方程组, 其系数行列式是范德蒙行列式的转置. 已知x
01n -1n 01n
三 隐函数定理
命题4 设点P (u , v , x , y ) 的坐标满足隐函数组⎧F (u , v , x , y ) =0， 其中F , G 在点P 处有连续偏导数, 且⎨G (u , v , x , y ) =00000⎩
雅可比(Jacobi) 行列式∂F
∂u ∂G
∂u ∂F ∂v ≠0∂G ∂v , 则隐函数组在
该点的一个邻域内唯一确定有连续偏导数的函数u =u (x , y ) 与v =v (x , y ) .
证 以x , y 为自变量，u , v 为函数. 对自变量x 求导, 得 ⎧∂F ⎪∂u ⎨∂G ⎪⎩∂u ∂u ∂F ∂v ∂F ++=0∂x ∂v ∂x ∂x ∂u ∂G ∂v ∂F ++=0∂x ∂v ∂x ∂x , 即⎧∂F ⎪∂u ⎨∂G ⎪⎩∂u ∂u ∂F ∂v ∂F +=-∂x ∂v ∂x ∂x ∂u ∂G ∂v ∂F +=-∂x ∂v ∂x ∂x . 已知其中F , G 在点P 处有连续偏导数, 且雅可比行列式∂F
∂u ∂G
∂u ∂F ∂v ≠0∂G ∂v , 由连续函数的性质, 存在点P
的一个邻域, 使得在该邻域内, 雅可比行列式都不等于0. 根据推论3.6, 在该邻域内, 可以u ∂v 唯一地解出偏导函数∂与. 由连续函数的性∂x ∂x
质, 有偏导函数连续. 与此类似, 对自变量y
u ∂v 求导, 可以唯一解出∂与. 由此可得: 隐函∂y ∂y
数组在该点的一个邻域内唯一确定有连续偏导数的函数u =u (x , y ) 与v =v (x , y ) .
70
第三章 线性方程组
第一节 线性方程组与矩阵的行等价
一 线性方程组
以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2定义3.1 多元一次方程组⎨称为线性方程组. ⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m
方程组有m 个方程, n 个未知数x i (i =1,2, , n ), 而a ij (i =1,2, , n ; j =1, 2, , m ) 是未知数的系数, b j (j =1, 2, , m ) 是常数项.
如果b j =0(j =1, 2, , m ), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组c 1, c 2, , c n 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数x 1, x 2, , x n , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.
定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.
按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.
通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.
⎧2x 1-x 2+3x 3=1⎪ 例3.1 解线性方程组⎨2x 1+x 2+x 3=5.
⎪4x +x +2x =523⎩1
⎧⎪解 从上向下消元, 得同解方程组⎨⎪⎩
组. 2x 1-x 2+3x 3=12x 2-2x 3=4. 这种方程组称为阶梯形方程-x 3=-3
⎧2x 1=-3⎪从下向上消元, 得同解方程组⎨2x 2=10.
⎪-x =-3⎩3
再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解x 1=-3/2, x 2=5, x 3=3.
解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.
定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.
(1) 交换两个方程的位置;
(2) 用一个非零常数乘以一个方程;
(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.
注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.
定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.
证 先证明只进行一次初等变换.
首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.
最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.
二 矩阵的行等价
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2用矩阵乘法, 可以将线性方程组⎨写作 ⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m
⎛a 11a 12 a 1n ⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫ ⎪⎪ ⎪
a 21a 22 a 2n ⎪x 2⎪= b 2⎪, ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝a m 1a m 2 a mn ⎭⎝x n ⎭⎝b m ⎭
称为线性方程组的矩阵表示. 其中m ⨯n 矩阵A =(a ij ) 称为方程组的系数矩阵, n ⨯1列矩阵x =(x 1, x 2, , x n ) '称为未知数(矩阵), m ⨯1列矩阵b =(b 1, b 2, , b m ) '称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作Ax =b .
如果数组c 1, c 2, , c n 是线性方程组Ax =b 的解, 令列矩阵ξ=(c 1, c 2, , c n ) ', 则有矩阵等式A ξ=b . 列矩阵ξ=(c 1, c 2, , c n ) '是方程组的解的矩阵表示.
将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵=(A , b ) , 称为线性方程组的增广矩阵.
线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.
定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.
(1) 交换A 的两行;
(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;
(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.
定义3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作A −−→B .
仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.
性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质. r
−→A ; (1) 反身性: A −
(2) 对称性: 如果A −−→B , 则B −−→A ; r
r r r −→B , B −−→C , 则A −−→C . (3) 传递性: 如果A −
当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为A =B . 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号A −−→B .
用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作: r r r
定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.
通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.
如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.
定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.
(1) 非零行在上, 零行在下;
(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素) 在上面的非零行的首元素的右下方.
⎛2-131⎫ ⎪例3.2 用行初等变换化简矩阵A = 2115⎪.
4125⎪⎝⎭
解 做行初等变换, 得
1⎫⎛2-131⎫⎛2-131⎫⎛2-13 ⎪r ⎪r ⎪−→ 02-24⎪−−→ 02-24⎪. A = 2115⎪−
03-43⎪ 00-1-3⎪ 4125⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得
1⎫⎛2-13⎛2-10-8⎫⎛200-3⎫ ⎪r ⎪r ⎪r A −−→02-24−−→02010−−→02010 ⎪ ⎪ ⎪.
00-1-3⎪ 00-1-3⎪ 00-1-3⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
最后, 每行除以其首元素, 得
⎛200-3⎫⎛100-3/2⎫ ⎪ ⎪r r A −−→02010−−→0105 ⎪ ⎪.
00-1-3⎪ 0013⎪⎝⎭⎝⎭
定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.
(1) 每个非零行的首元素等于1;
(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.
在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.
定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.
如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.
其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.
习题3-1
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=5⎪x +2x -x +4x =-2⎪12341. 写出线性方程组⎨的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解. 2x -3x -x -5x =-2234⎪1
⎪⎩3x 1+x 2+2x 3+11x 4=0
⎛21-3-15⎫ ⎪45⎪, 写出该线性方程组, 并用消元法2. 设线性方程组的增广矩阵为 3-22
5-3-1-816⎪⎝⎭
求解.
3. 求下列矩阵的行等价标准形.
02-1⎫⎛02-31⎫⎪ ⎪031⎪; (2) 03-43⎪;
04-7-1⎪04-3⎪⎭⎝⎭
-13-43⎫⎛231-3-7⎫⎪ ⎪-35-41⎪120-2-4⎪. ; (4) 3-2830⎪-23-20⎪⎪ ⎪ 2-374-34-2-1⎪3⎪⎭⎝⎭
⎛1-23-11⎫ ⎪ 4. 求t 的值, 使得矩阵 3-15-32⎪的行等价标准形恰有两个非零行.
212-2t ⎪⎝⎭
⎛1 （1） 2 3⎝⎛1 3(3) 2 3⎝
第二节 矩阵的秩
一 矩阵的秩的定义
定义3.8 设矩阵A =(a ij ) m ⨯n , 从A 中任意选取k 行, k 列(k ≤min{m , n }), 位于这些行与列的交叉点上的k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式. 2
42⎫⎛13 ⎪9⎪的第一, 三行, 第二，四列的二阶子式为 例如, 位于矩阵A = 0-17
02-1-3⎪⎝⎭
32=-13. 2-3
一个m ⨯n 矩阵有C m C n 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.
定义3.9 如果矩阵A =(a ij ) m ⨯n 中有一个r 阶子式不等于零, 而所有r +1阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作rank(A ) =r .
如果矩阵的所有r +1阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.
约定 对于零矩阵O , 约定rank(O ) =0.
由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:
(1) 设A 是非零矩阵, 则rank(A ) ≥1; k k
(2) 设A 是m ⨯n 矩阵, 则rank(A ) ≤min{m , n };
(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为rank(A ) =n . 于是, 可逆阵又称为满秩阵.
⎛1230⎫ ⎪ 例3.3 设A = 0121⎪, 求它的秩.
2460⎪⎝⎭
解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, rank(A ) =2. 例3.4 求对角阵A =diag(a 1, a 2, , a n ) 的秩.
解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.
例3.5 设矩阵A 的秩等于r >0, 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?
解 因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.
已知ra n k(A ) =r , 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则rank(B ) =r . 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的r -1行中, 至少有一个r -1阶子式不等于0. 于是rank(B ) ≥r -1.
仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者r +1.
性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则
(1) 转置: rank(A ') =rank(A ) ;
(2) 数乘: 如果k ≠0, 则rank(kA ) =rank(A ) .
证 只证(2).
考虑矩阵A 的一个s 阶子式D s , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于k D s . 已知k ≠0, 因此k D s =0的充分必要条件为D s =0.
设rank(A ) =r , 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有r +1阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, rank(kA ) =r .
s s
二 行初等变换
用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.
定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank(A ) =rank(B ) .
证 设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r a n k (A ) =r , 则A 的所有r +1阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有r +1阶子式也都等于0.
(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个r +1阶子式或者就是A 的相同位置的r +1阶子式, 或者是A 的相同位置的r +1阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有r +1阶子式都等于0.
(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个r +1阶子式D , 则A 有一个r +1阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有r +1阶子式都等于0.
(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个r +1阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的r +1子式. 如果B 的一个r +1阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为D 1+kD 2, 其中D 1就是A 的相同位置的r +1子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则D 2可以由A 的某个r +1阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则D 2有两个
相同的行. 于是, B 的所有r +1阶子式都等于0.
总之, rank(B ) ≤r =rank(A ) .
另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有rank(A ) ≤rank(B ) . 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank(A ) =rank(B ) .
最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.
推论3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.
证 设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有r +1阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是rank(R ) =r . 根据定理3.4, 有rank(A ) =r .
⎛1-15-1⎫ ⎪ 11-23⎪ 例3.6 求矩阵A = 的秩. ⎪3-181 ⎪ 13-97⎪⎝⎭
解 用行初等变换, 得
-1⎫⎛1-15-1⎫⎛1-15⎛1-15-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 11-23⎪r 02-74⎪r 02-74⎪A = . −−→ −−→ ⎪⎪⎪3-18102-740000 ⎪ ⎪ ⎪ 13-97⎪ 04-148⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, rank(A ) =2.
⎛B O ⎫ 例3.7 设分块矩阵A = O C ⎪⎪, 求证: rank(A ) =rank(B ) +rank(C ) . ⎝⎭
证 设矩阵B , C 的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得
⎛B O ⎫r ⎛R O ⎫−→ A = O S ⎪⎪, O C ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭
其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.
用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.
习题3-2
⎛1111⎫1. 设矩阵A = 1257⎪⎪，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. ⎝⎭
2. 设m ⨯n 矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: rank(B ) ≥r +s -m . *3. 设A 是m ⨯n 矩阵，求证：rank(A ) =1的充分必要条件为: 存在m ⨯1非零矩阵B 与1⨯n 非零矩阵C ，使得A =BC .
4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.
⎛1 (1) 2
4⎝
⎛1 1
(3) 0 0
0⎝3⎫⎛32⎪ 3-5⎪; (2) 2-1 4571⎪⎭⎝0100⎫⎛1⎪1000⎪ 1 ⎪1100; (4) 1⎪0110⎪ ⎝21011⎪⎭
⎛13 5. 求t 的值, 使得方阵A = 2-1
32⎝
2-1-3-2⎫⎪31-3⎪; -5-61⎪⎭4⎫⎪4135⎪. 4243⎪⎪7-3613⎭2⎫⎪3⎪的秩等于2. t ⎪⎭3-25
第三节 齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的矩阵表示为Ax =0. 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.
齐次线性方程组Ax =0总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:
(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有
非零解;
(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质3.3 如果列矩阵ξ1与ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个特解, 则对于任意的数h , k , 列矩阵h ξ1+k ξ2也是方程组的解. 证 将h ξ1+k ξ2代入方程组, 得
A (h ξ1+k ξ2) =hA ξ1+kA ξ2=0+0=0. 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明. 例1求齐次线性方程组
x 2+2x 3+2x 4+6x 5=0⎧⎪-x -x -x -x -x =0⎪12345的通解. ⎨3x +2x +x +2x -3x =012345⎪⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+4x 4-x 5=0
解 首先写出方程组的系数矩阵.
6⎫⎪-1⎪. -3⎪⎪⎪-1⎭
然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. 122⎛0 -1-1-1-1A = 3212 5434⎝
⎛-1-1-1-1-1⎫ ⎪1226⎪ 0
3212-3⎪ ⎪ 5⎪434-1⎭⎝
⎛-1-1-1-1-1⎫ ⎪1226⎪ 0r −−→ . 00010⎪ ⎪ 0⎪0000⎭⎝
继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.
⎛-1 0
0 0⎝
⎛1 0r −−→ 0 0⎝0105⎫⎪1206⎪0010⎪⎪⎪0000⎭0-10-5⎫⎪1206⎪. 0010⎪⎪⎪0000⎭
从行等价标准形得到同解方程组
⎧x 1-x 3-5x 5=0
⎪x +2x +6x =0⎪235. ⎨x =04⎪⎪0=0⎩
将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移
⎧x 1=x 3+5x 5⎪x =-2x -6x ⎪235到方程组的右边, 得到⎨. x =04⎪⎪0=0⎩
任意取定右边未知数(自由未知数) 的值, 则左边未知数(约束未知数) 的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.
实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设(d 1, d 2, d 3, d 4, d 5) '是方程组的任意的特解, 上面求解时x 3与x 5可以任意取值, 自然包含取值x 3=d 3与x 5=d 5. 由于(d 1, d 2, d 3, d 4, d 5) '是方程组的解, 必须满足方程组.
因此
d 1=d 3+5d 5, d 2=-2d 3-6d 5, d 4=0. 于是, 这个特解可以由上面的方法产生. 令x 3=h , x 5=k , 得到齐次线性方程组的通解x 1=h +5k , x 2=-2h -6k , x 3=h , x 4=0, x 5=k , 其中h , k 是任意常数.
在通解中令h =1, k =0, 得到齐次线性方程组的一个特解ξ=(1,-2,1,0,0) '. 反之, 令h =0, k =1, 得到另一个特解ξ=(5,-6,0,0,1) '. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: x =h ξ+k ξ, 其中h , k 是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解ξ与ξ， 因此, 称ξ, ξ为齐次线性方程组的基础解系.
注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.
定理3.5 设A 是m ⨯n 矩阵, 则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所包含的特解的个数等于n -rank(A ) .
证 根据推论3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩rank(A ) 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.
推论3.2 齐次线性方程组只有零解的充分12121212
必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数. 证 根据定理3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.
推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件为: 行列式|A |≠0.
证 根据推论3.2, 齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件为rank(A ) =n . 由矩阵的秩的定义, rank(A ) =n 的充分必要条件为|A |≠0.
例3.9 设A 是n 阶方阵, 且rank(A ) =r
证 考虑齐次线性方程组Ax =0, 根据定理3.5, 它的n -r 个特解ξ, ξ, , ξ组成基础解系. 即有A ξ=0, i =1, 2, , n -r .
构造分块n 阶方阵B =(ξ, ξ, , ξ,0, ,0) , 即B 的前n -r 列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前n -r 列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此rank(B ) =n -r .
另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有 12n -r i 12n -r
AB =A (ξ1, ξ2, , ξn -r ,0, ,0) =(A ξ1, A ξ2, , A ξn -r ,0, ,0) =O .
习题3-3
1. 求下列齐次线性方程组的通解.
(1)
(3)⎧x 1-x 2+2x 3=0⎪⎨x 1+x 2+x 3=0⎪2x +3x =013⎩; (2)⎧x 1+2x 2-x 3+3x 4-6x 5=0⎪⎨2x 1+4x 2-2x 3-x 4+5x 5=0⎪2x +4x -2x +4x -2x =02345⎩1; ⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=0⎪3x +2x +x +x -3x =0⎪12345⎨⎪x 2+2x 3+2x 4+6x 5=0
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=0
⎧x 1-2x 2+x 3-x 4+x 5=0⎪2x +x -x +2x -3x =0⎪12345⎨⎪3x 1-2x 2-x 3+x 4-2x 5=0
⎪⎩2x 1-5x 2+x 3-2x 4+2x 5=0; （4）.
2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.
3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组⎧ax 1+x 2+x 3=0⎪⎨x 1+ax 2+x 3=0
⎪x +x +x =023⎩1只有零解?
4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组⎧ax 1+x 2+2x 3=0⎪⎨x 1+2x 2+4x 3=0
⎪x -x +x =023⎩1有非零解. 并求其基础解系.
5. 设n >0, 求证: n 次多项式至多有n 个两
两不同的零点.
第四节 非齐次线性方程组的通解
解非齐次线性方程组Ax =b 的基本问题是:
(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;
(2) 如果有解, 求出全部解(通解).
定义3.10 将非齐次线性方程组Ax =b 中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组Ax =0称为方程组Ax =b 的导出组. 性质3.4 设列矩阵η1与η2是线性方程组Ax =b 的两个特解, 则它们的差ξ=η1-η2是它的导出组Ax =0的解.
证 将ξ=η1-η2代入导出组的左边, 得 A ξ=A (η1-η2) =A η1-A η2=b -b =0. 推论3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.
证 首先, 设列矩阵η是方程组Ax =b 的特解, 列矩阵ξ是其导出组Ax =0的特解, 则有
A (ξ+η) =A ξ+A η=b +0=b ,
即列矩阵ξ+η是方程组Ax =b 的解.
其次, 设列矩阵ζ是方程组Ax =b 的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ξ=ζ-η是导出组Ax =0的解. 移项, 得ζ=η+ξ, 即方程组Ax =b 的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组Ax =0的解ξ的和. 综合两方面, 即得本推论.
注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.
在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.
例3.10 求非齐次线性方程组
x 2+2x 3+2x 4+6x 5=24⎧⎪-x -x -x -x -x =-7⎪12345的通解. ⎨⎪3x 1+2x 2+x 3+x 4-3x 5=-3
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=13
解 首先写出方程组的增广矩阵
122⎛0 -1-1-1-1
3211 5433⎝624⎫⎪-1-7⎪. -3-3⎪⎪⎪-113⎭
然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.
⎛-1-1-1-1-1-7⎫ ⎪122624⎪ 0
3211-3-3⎪ ⎪ 5⎪433-113⎭⎝
⎛-1-1-1-1-1-7⎫ ⎪122624⎪ 0r −−→ . 000000⎪ ⎪ 0⎪00000⎭⎝
继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.
⎛-1 0
0 0⎝
⎛10 01r −−→ 00 00⎝011517⎫⎪122624⎪00000⎪⎪⎪00000⎭-1-1-5-17⎫⎪22624⎪. 0000⎪⎪⎪0000⎭
从行等价标准形得到同解方程组⎧x 1-x 3-x 4-5x 5=-17
⎪x +2x +2x +6x =24⎪2345. ⎨0=0⎪⎪0=0⎩
将自由未知数移到右边, 得⎧x 1=x 3+x 4+5x 5-17
⎪x =-2x -2x -6x +24⎪2345. ⎨0=0⎪⎪0=0⎩
将自由未知数取值0, 计算约束未知数的
值, 即得非齐次方程组的一个特解η=(-17, 24, 0, 0, 0) '.
根据推论3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系
ξ1=(1, -2, 1, 0, 0) ', ξ2=(1, -2, 0, 1, 0) ',
ξ2=(5, -6, 0, 0, 1) '.
于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为x =η+k 1ξ1+k 2ξ2+k 3ξ3, 其中k 1, k 2, k 3是任意常数.
例3.11 解非齐次线性方程组
x 2+2x 3+2x 4+6x 5=24⎧⎪-x -x -x -x -x =-7⎪12345. ⎨⎪3x 1+2x 2+x 3+x 4-3x 5=-2
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=13
解 这个方程组的增广矩阵为
122⎛0 -1-1-1-1
3211 5433⎝
⎛-1-1-1-1 122 0
0000 0000⎝624⎫⎪-1-7⎪. -3-3⎪⎪⎪-113⎭-1-7⎫⎪624⎪. 01⎪⎪⎪00⎭通过行初等变换, 得到行阶梯形阵
在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 0=1. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.
于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.
定理3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.
证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
推论3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.
证 综合定理3.6和推论3.2即可. 例3.12 当a , b 取何值时, 非齐次线性方
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=0⎪x +2x +2x =1⎪234程组⎨有唯一解, 无⎪-x 2+(a -3) x 3-2x 4=b
⎪⎩3x 1+2x 2+x 3+ax 4=-1
解, 有无穷多解? 对后者求通解.
解 对增广矩阵做行初等变换, 得
110⎫⎛11 ⎪221⎪ 01
0-1a -3-2b ⎪ ⎪ 32⎪1a -1⎝⎭
110⎫⎛11 ⎪1221⎪r 0−−→ 0-1a -3-2b ⎪ 0-1-2a -3-1⎪⎪⎝⎭
0⎫⎪1221⎪
0a -10b +1⎪⎪⎪00a -10⎭
0-1-1-1⎫⎪1221⎪ 0a -10b +1⎪⎪⎪00a -10⎭
根据定理3.6, 当a =1, b ≠-1时无解. 当a =1, b =-1时, 非齐次线性方程组的特解为η=(-1, 1, 0, 0) ', 导出组的基础解系为ξ1=(1, -2, 1, 0) ', ξ2=(1, -2, 0, 1) '，通解为⎛1 0r −−→ 0 0⎝⎛1 0r −−→ 0 0⎝111
x =η+k 1ξ1+k 2ξ2, 其中k 1, k 2是任意常数. 当a ≠1时有唯一解
1η=(b -a +2, a -2b -3, b +1, 0) '. a -1
例3.13 设A 是n 阶方阵, 且|A |≠0. 将A 分块A =(B , C ) , 其中C 是A 的最后一列, 求证: 线性方程组Bx =C 无解.
证 线性方程组的增广矩阵就是A , 由|A |≠0, 增广矩阵的秩等于n . 而线性方程组的系数矩阵B 只有n -1列, 它的秩不大于n -1. 根据定理3.6, 线性方程组Bx =C 无解.
推论3.6 设A 是n 阶方阵, 则线性方程组Ax =b 有唯一解的充分必要条件为: 行列式|A |≠0.
证 充分性. 设|A |≠0, 则方阵A 的秩等于其列数n . 又方程组的增广矩阵(A , b ) 只有n 行, 于是, 由例3.5, 有
n =rank(A ) ≤rank(A , b ) ≤n .
根据推论3.5, 方程组有唯一解.
必要性. 设方程组Ax =b 有唯一解, 根
据推论3.5, 方阵A 的秩等于其列数n . 于是, 行列式|A |≠0.
条件|A |≠0保证方阵A 可逆. 用A 的逆阵左乘Ax =b , 得x =A b . 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有 -1
1A *b , x =A b =|A |
其中方阵A *是A 的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j 行的元素, 得
1x j =(A 1j b 1+A 2j b 2+ +A nj b n ) , |A |
j =1, 2, , n . -1
根据定理1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b 代替系数行列式|A |的第j 列所得的行列式, 按照第j 列的展开式. 将这个行列式记作D j , 又将|A |改写作D , 则上式为
x j =D j
D , j =1, 2, , n .
这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.
习题3-4
1. 设列矩阵η(i =1, 2, , , m ) 是非齐次线性方程组Ax =b 的特解, 数k (i =1, 2, , , m ) 满足k +k + +k =1, 求证: 列矩阵k η+k η+ +k η也是方程组Ax =b 的特解.
2. 求下列非齐次线性方程组的通解. i i 12m 1122m m
(1)
(3) ⎧x 1+x 3-x 4=-3⎪2x -x +4x -3x =-4⎪1234⎨⎪3x 1+x 2+x 3=1⎪⎩7x 1+7x 3-3x 4=3⎧x 1+2x 2+2x 3=2⎪3x -2x -x =5⎪123⎨⎪2x 1-5x 2+3x 3=-4
⎪⎩x 1+4x 2+6x 3=0; (2) ⎧x 1-2x 2+3x 3-4x 4=4⎪⎨x 2-x 3+x 4=-3⎪x +x -2x =-2134⎩; , ; (4) ⎧x 2+x 3+ +x n -1+x n =1⎪x +x + +x +x =2⎪13n -1n ⎨⎪ ⎪⎩x 1+x 2 +x n -2+x n -1=n 其中n >1.
3. 求证: 线性方程组
4. 求b
⎧2x 1-x 2+x 3+x 4=1⎪⎨x 1+2x 2-x 3+4x 4=2
⎪x +7x -4x +11x =b 234⎩1⎧x 1+2x 2+x 3-x 4=2⎪⎨x 1+x 2+2x 3+x 4=3⎪x -x +4x +5x =2234⎩1无解. 的值, 使得线性方程组有解, 并求其通解.
5. 当a , b , c , d 满足什么条件时, 线性方程组
⎧x 1+x 2=a ⎪x +x =b ⎪34⎨⎪x 1+x 3=c
⎪⎩x 2+x 4=d 有解? 并求其通解.
⎧x 1+2x 2+3x 3=1⎪⎨x 1+3x 2+6x 3=2
⎪2x +3x +ax =b 23⎩1 6. 当a , b 取何值时, 线性方程组
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.
*7. 设A 是n 阶方阵, b 是n ⨯1矩阵, 且分块方
⎛A b ⎫阵满足rank b '0⎪⎪=rank(A ) , 求证: 非齐次线性方程⎝⎭
组Ax =b 有解.
第五节 初等方阵与初等变换
一 初等方阵
定义3.11 对单位阵E 做行初等变换所得方阵称为初等方阵.
三种行初等变换产生三种初等方阵:
(1) 交换E 的第i 行与第j 行所得方阵记作
P ij ;
(2) 用非零常数k 乘以E 的第i 行所得方阵记作D i (k ) ;
(3) 将E 的第j 行的k 倍加到第i 行所得方阵记作T ij (k ) .
三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有
-1P ij =P ij , D i -1(k ) ⎛1⎫-1=D i ⎪, T ij (k ) =T ij (-k ) . ⎝k ⎭
定理3.7 对矩阵A 做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.
注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.
推论3.7 任意矩阵A 可以表示成A =E 1E 2 E s R , 其中E i 是初等方阵, R 是A 的行等价标准形.
证 对A 做行初等变换, 可得其行等价标
准形R . 这个过程相当于用一系列初等方阵E i 左乘矩阵A . 即有E s E 2E 1A =R . 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得
-1-1-1A =E 1E 2 E s R . 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.
推论3.8 方阵A 可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.
例3.14 设A , B 都是m ⨯n 矩阵, 求证: A 与B 行等价的充分必要条件为存在m 阶可逆阵P , 使得PA =B .
二 矩阵方程
矩阵方程AX =B , 其中A 是n 阶可逆阵, B 是n ⨯m 矩阵, 而X 是n ⨯m 未知矩阵.
已知A 是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得
-1矩阵方程的解X =A B .
对于可逆阵A , 存在初等方阵E i , 使得E s E 2E 1A =E . 用同样的初等方阵左乘矩阵
方程AX =B , 得
E s E 2E 1AX =EX =X =E s E 2E 1B 这个等式说明, 对可逆阵A 与矩阵B 做相同的行初等变换, 当将A 变成单位阵时, 矩阵B 变成矩阵方程AX =B 的解X =A -1B .
例3.15
⎛21
设方阵A = -1⎫
210⎪⎛
⎪, B = 1-1
43
⎝1-11⎪⎭ ⎝1-2
矩阵方程AX =B .
解 做分块矩阵: 左边部分是A , 分是B . 做行初等变换, 得
(A |B )=
⎛ 21-11-13⎫
210432⎪
⎪
⎝1-111-25⎪⎭
⎛1-111-25⎫
−−→r 210432⎪
⎪
⎝21-11-13⎪⎭
3⎫2⎪⎪⎪, 解5⎭右边部
5⎫⎪3-227-8⎪
0-1-3-41⎪⎭
002/3-18/3⎫⎪108/35-10/3⎪.
0134-1⎪⎭
8/3⎫⎛2/3-1 ⎪-1于是，X =A B = 8/35-10/3⎪. 3⎪4-1⎝⎭
如果矩阵方程AX =B 中的方阵A 可逆, 方阵B 是单位阵E , 则用这个方法得到的矩阵方程的解X =A -1E =A -1就是A 的逆阵. 由此得⎛1r −−→ 0 0⎝⎛1r −−→ 0 0⎝-111-2到计算逆阵的简单方法.
⎛101⎫ ⎪ 例3.16 求方阵A = 210⎪的逆阵. -32-5⎪⎝⎭
解 用初等变换法.
(A |E )=
⎛101100⎫ ⎪ 210010⎪ -32-5001⎪⎝⎭
100⎫⎛101⎪r −−→ 01-2-210⎪
002⎪7-21⎝⎭
⎛100-5/21-1/2⎫⎪r −−→ 0105-11⎪
0017/2-11/2⎪⎝⎭
⎛-5/21-1/2⎫ ⎪-1-11⎪. 于是 A = 5
7/2-11/2⎪⎝⎭
如果X 与B 是列矩阵, 用这里的方法可以得
-1到线性方程组AX =B 的解X =A B . 而且这
种解法正是前面的消元法.
性质3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.
证 设A 是m ⨯p 矩阵, B 是p ⨯n 矩阵, rank(A ) =r . 先证明rank(AB ) ≤r . 根据推论3.7, 有E s E 2E 1A =R , 其中A 的行等价标准形R 恰有r 个非零行. 用矩阵B 右乘此式, 得E s E 2E 1(AB ) =RB . 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB 至多有r 个非零行. 根据定理3.4, 有
rank(AB ) =rank(RB ) ≤r =rank(A ) .
转置可证明另一部分.
例3.17 设A 是可逆阵, 则rank(AB ) =rank(B ) .
证1 记矩阵C =AB . 由性质3.5, 有rank(C ) ≤rank(B ) . 用逆阵A -1左乘C =AB , 得 B =A -1C , 从而有rank(B ) ≤rank(C ) .
上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.
证2 已知A 是可逆阵，根据推论3.8, 有AB =E s E 2E 1B . 再根据定理3.4, 有rank(AB ) =rank(B ) .
三 初等变换
与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.
定义3.12 设A 是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A 的列初等变换.
(1) 交换A 的两列;
(2) 用非零常数k 乘以A 的一列;
(3) 将A 的一列的k 倍加到另一列上去, 与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.
性质3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.
(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;
(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;
(3) 矩阵的列等价是等价关系;
(4) 矩阵B 与A 列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q , 使得AQ =B .
与用行初等变换解矩阵方程AX =B 类似, 可以用列初等变换解矩阵方程XA =B .
⎛21-1⎫ ⎪⎛1-13⎫⎪, 例3.18设A = 210⎪, B = ⎝432⎭ 1-11⎪⎝⎭
解矩阵方程XA =B .
解 做分块矩阵, 上边是A , 下边是B . 然后做列初等变换. 当将A 变成单位阵时, B 变成矩阵方程的解X =BA -1. 如果用→表示列等价, 则有
⎛21-1⎫⎛1-12⎫⎛1 ⎪ ⎪ 0⎪ 102⎪ 1 21
1-11⎪→ -111⎪→ -1 ⎪ ⎪ 1-13⎪ -131⎪ -1 43⎪ ⎪ 2⎭⎝324⎭⎝3⎝
00⎫⎛1 ⎪10⎪ 0
→ 001⎪. ⎪1⎪ -22 -8/35-2/3⎪⎝⎭
21⎫⎛-2⎪. 于是X = ⎝-8/35-2/3⎭010250⎫⎪0⎪3⎪⎪3⎪⎪-2⎭
例3.19 设分块矩阵(A , B ) , 求证: rank(A , B ) ≤rank(A ) +rank(B ) .
证 设矩阵A , B 的列等价标准形分别为R , S , 则R 与S 分别有ra nk(A ) 与rank(B ) 个非零列. 从而分块矩阵(R , S ) 有rank(A ) +rank(B ) 个非零列. 另一方面, 如果在矩阵(A , B ) 中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵(R , S ) . 于是, 有
rank(A , B ) =rank(R , S ) ≤rank(A ) +rank(B ) .
定义3.13 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. 如果经过初等变换可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称A 与B 等价. 由于矩阵的行等价与列等价都是等价关系, 矩阵的等价也是等价关系.
定理3.8 设矩阵A 的秩等于r , 则A 与形⎛E r 如 ⎝O O ⎫⎪的分块矩阵等价, 其中E r 是r 阶单O ⎭
位阵.
证 先做行初等变换, 将矩阵A 变成行等价标准形. 再做列初等变换: 用各非零行的首元素消去其右方的非零元素. 最后, 将中间的零列移到非零列的右边, 而不改变非零列的顺序. 经过这些初等变换所得到的矩阵的左上角是一个单位阵, 其他元素等于0. 因为初等变换不改变矩阵的秩, 所以位于左上角的单位阵的阶等于r .
这种形式的矩阵称为矩阵A 的等价标准形.
仿照矩阵的初等变换，可以定义分块矩阵的初等变换. 分块矩阵的初等变换, 相当于对矩
阵的若干行(或列) 同时做初等变换. 例如, 设A , B , C , D 都是m ⨯n 矩阵, 则分块矩阵的初等变换
B ⎫r ⎛A +C B +D ⎫⎪−⎪ −→ D ⎭D ⎭⎝C
相当于将这个2m ⨯2n 矩阵的第m +1行加到第一行, 第m +2行加到第二行, 等等. 因此, ⎛A ⎝C 分块矩阵的初等变换也不改变矩阵的秩. 从分块矩阵的初等变换的观点, 可以得到例
3.19的另一个证明. 用分块矩阵的初等变换与例3.7, 有
⎛A B ⎫⎛A O ⎫rank(A , B ) ≤rank ⎪=rank ⎪⎝O B ⎭⎝O B ⎭
=rank(A ) +rank(B ) .
习题3-5
⎛1-20⎫⎛-14⎫ ⎪ ⎪5⎪. 1. 解矩阵方程 4-2-1⎪X = 2
-31⎪ 1-3⎪2⎝⎭⎝⎭
1-1⎫⎛1 ⎪2. 设可逆阵A = -111⎪, 求方阵X , 1-11⎪⎝⎭
*-1满足条件A X =A +2X .
3. 求下列矩阵的逆阵.
⎛1a b ⎫ ⎪ (1) A = 01a ⎪; 001⎪⎝⎭
⎛3-20-1⎫ ⎪21⎪ 02(2) A = ; 1-2-3-2⎪ ⎪ 01⎪21⎝⎭
11⎫⎛11 ⎪ 11-1-1⎪ (3) A = ; 1-11-1⎪ 1-1-11⎪⎪⎝⎭
⎛1a a 2a 3a 4⎫ ⎪ 01a a 2a 3⎪ ⎪2(4) A = 001a a ⎪.
0001a ⎪ ⎪01⎭⎝000
4. 设m >n , 且n ⨯m 矩阵A 与m ⨯n 矩阵B 满足
条件AB =E , 求证:
rank(A ) =rank(B ) =n .
⎛3-2⎫⎛-12⎫⎪. ⎪= 5. 解矩阵方程X ⎝5-4⎭⎝-56⎭
6. 求方阵X , 满足条件
⎛2-31⎫⎛976⎫⎛20-2⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 4-52⎪X 112⎪= 18129⎪. 5-73⎪ 111⎪ 231511⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7. 设A , B 是m ⨯n 矩阵， 求证：A 与B 等价的充分必要条件为: 存在m 阶可逆阵P 与n 阶可逆阵Q ，使得B =PAQ .
8. 求证: 两个同型矩阵等价的充分必要条件为: 它们具有相同的秩.
9. 设A , B 是同型矩阵，求证：
rank(A +B ) ≤rank(A ) +rank(B ) .
10. 设A 是n 阶方阵, 求证:
rank(E -A ) +rank(A ) ≥n .
补充材料
一 列满秩阵与行满秩阵
可逆阵的秩等于它的阶数(即行数或列数), 因此又称为满秩阵. 在推论3.2中, 满足条件: 秩等于其列数的矩阵称为列满秩阵. 设A 是m ⨯n 列满秩阵, 则m ≥n =rank(A ) . 对于方阵, 列满秩阵就是可逆阵. 因此, 可逆阵可以看作列满秩阵的特例. 可逆阵有许多特殊性质. 这里介绍列满秩阵的相应性质.
在推论3.8的证明中得到: 可逆阵的行等价标准形是单位阵. 用类似的方法可以证明关于列满秩阵的相应结果.
E ⎫ 命题1 列满秩阵的行等价标准形为⎛ O ⎪⎪. ⎝⎭
对于可逆阵A 与同阶方阵B , 有rank(AB ) =rank(BA ) =rank(B ) . 列满秩阵保留了这里的左乘部分.
命题2 设A 是列满秩阵，则rank(AB ) =rank(B ) .
证 根据定理3.4与命题1, 有
⎡⎛E ⎫⎤⎛B ⎫rank(AB ) =rank ⎢ ⎪B ⎥=rank ⎪=rank(B ) . ⎝O ⎭⎣⎝O ⎭⎦
由命题2可以证明: 如果A 是列满秩阵,
且AB =O , 则B =O .
仿照列满秩阵, 可以定义行满秩阵. 行满秩阵的列等价标准形为(E , O ). 而且当用行满秩阵右乘一个矩阵时, 也不改变矩阵的秩.
二 多项式插值
命题3 对于任意给定的数对(x , y ) , (x , y ) , , (x , y ) , 其中x
证 设多项式P (x ) =a +a x + +a x +a x 满足条件, 则有 0011n n 01n n -1n 01n -1n i i n -1n
01n -1n
n -1n ⎧a 0+a 1x 0+ +a n -1x 0+a n x 0=y 0⎪n -1n ⎪a 0+a 1x 1+ +a n -1x 1+a n x 1=y 1⎨ ⎪
n -1n ⎪⎩a 0+a 1x n + +a n -1x n +a n x n =y n .
这是有n +1个未知数a , a , , a , a 的线性方程组, 其系数行列式是范德蒙行列式的转置. 已知x
01n -1n 01n
三 隐函数定理
命题4 设点P (u , v , x , y ) 的坐标满足隐函数组⎧F (u , v , x , y ) =0， 其中F , G 在点P 处有连续偏导数, 且⎨G (u , v , x , y ) =00000⎩
雅可比(Jacobi) 行列式∂F
∂u ∂G
∂u ∂F ∂v ≠0∂G ∂v , 则隐函数组在
该点的一个邻域内唯一确定有连续偏导数的函数u =u (x , y ) 与v =v (x , y ) .
证 以x , y 为自变量，u , v 为函数. 对自变量x 求导, 得 ⎧∂F ⎪∂u ⎨∂G ⎪⎩∂u ∂u ∂F ∂v ∂F ++=0∂x ∂v ∂x ∂x ∂u ∂G ∂v ∂F ++=0∂x ∂v ∂x ∂x , 即⎧∂F ⎪∂u ⎨∂G ⎪⎩∂u ∂u ∂F ∂v ∂F +=-∂x ∂v ∂x ∂x ∂u ∂G ∂v ∂F +=-∂x ∂v ∂x ∂x . 已知其中F , G 在点P 处有连续偏导数, 且雅可比行列式∂F
∂u ∂G
∂u ∂F ∂v ≠0∂G ∂v , 由连续函数的性质, 存在点P
的一个邻域, 使得在该邻域内, 雅可比行列式都不等于0. 根据推论3.6, 在该邻域内, 可以u ∂v 唯一地解出偏导函数∂与. 由连续函数的性∂x ∂x
质, 有偏导函数连续. 与此类似, 对自变量y
u ∂v 求导, 可以唯一解出∂与. 由此可得: 隐函∂y ∂y
数组在该点的一个邻域内唯一确定有连续偏导数的函数u =u (x , y ) 与v =v (x , y ) .
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