12高等数学研究 Vol110,No13STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMay.,2007
一阶线性常微分方程解法及教学
鲜大权 (西南科技大学理学院 四川绵阳 621010)3摘 要 在讨论求解一阶线性常微分方程的常数变易法、积分因子法的基础上,导出了函数变换法,对比分析了它们在解决一些实际问题的基本思想和方法策略,提出了对教材相应内容的处理意见,学中对学生进行思维能力训练的地位和作用.
关键词 一阶线性 常微分方程 常数变易.1
一、引言
.但许多常微分方,许多内容的联系比较松散.面对这种情况,,使学生在学习中能得到应有思维训练.尤其是一阶线性常微分方程是非常重要的一类方程,它作为常微分方程的基础内容之一,具有完整的系统理论和丰富的实际背景,学好该内容对提高学生学习后继内容的积极性和思维能力具有重要奠基作用.在教学中因此应高度重视该内容教学.本文以此讨论如下一阶线性微分方程的多种解法及其教学问题:
=p(x)y+q(x)dx(1)
(2)对应的齐次线性方程为
二、常用解法概述=p(x)ydx
方程(1)的成熟解法较多,除常见的Lagrange常数变易法外,还有积分因子法、积分变换法、幂级数法等多种.但有些解法如幂级数法等,由于涉及数学知识较多而在教学中很少介绍,在一般的常微分方程教材中介绍的大多是常数变易法,本文先简要讨论两类常用解法.
11常数变易法
显然y=0是(2)的一个常数特解.当y≠0时]=p(x)dxy
积分得:ln|y|=p(x)dx+ln|C|(C≠0)
或y=Ce∫p(x)dx∫(3)
不难看出,(2)的以上两种形式解不等价,前者不包含y=0和负数,但后者在C=0时包含了(2)的常数特解y=0,故后者要全面些,其任意常数C达到真正意义的任意,其中就包括可以取0和负数,因此(3)才是(2)的通解.
pxdx事实上,当C为常数时,由(3)有y=Ce∫p(x)=yp(x)()
代入(2)等式成立,从而(3)是(2)的解.下求(1)的解,为此将(3)代入(1)有:
3收稿日期:2006-07-10;修改稿:2007-03-
22
第10卷第3期 鲜大权:
一阶线性常微分方程解法及教学13
e∫p(x)=Ce∫p(x)+q(x)p(x)dxp(x)dx
显然右边多一项q(x)而致(1)不恒等.为使左边也具有q(x)一项,根据函数乘积的导数公式,若(3)中的常数C不是常数而是x的函数,则有希望多出一项与右边的q(x)这项对应而实现(1)的恒等,据此而将常数C变易成x的函数C(x),至于C(x)具体是什么函数则代回(1)予以确定,这本质上是待定函数思想,此所谓Lagrange常数变易法.
解法 将(2)的通解(3)中的任意常数C变易为x的待定函数C(x)后代入(1)得:
[C(x)e∫p(x)dx]′=p(x)C(x)e∫p(x)dx(x)=q(x)e+q(x)]C′-p(x)dx∫
-p(x)dx从而C(x)=q(x)e∫+C,将此代入(3)得(1)p(x)dx-p(x)dx y=e∫(q(x)e∫)∫∫(4)
公式(4)称为(1),作用较大,其精妙之处是对常数C的变易处理,C的变易思想,对活跃学生思维和提高其理解能21常数变易法是从给定非齐次方程对应的齐次方程通解的构造出发而展开的,若换个角度直接从非齐次方程(1)本身出发寻求突破则会发现新思路.
(5)为此,将方程(1)变形为 -p(x)y=q(x)dx
考察方程(5)不难看出:若p(x)=0,方程左边恰为未知函数的导数,这时只需对方程两边积分就可达到求解目的.但若p(x)≠0则不能直接进行这样的积分,其困难在于方程左端的两项一般来说不是一个完全微分式.若能通过一种变换使其左边转化为完全微分式,则问题可迎刃而解.事实上,并非含有y和y′的一次二项式不可能是全微分式.联想乘积的导数:
(μy)′=μy′(6)+μ′y
它就是含有y和y′的一次二项式,常数变易法也联想过该公式.根据此联想,在(5)两端乘以一个适当的非零函数因子μ(x)得:
μ(x)y′(7)-μ(x)p(x)y=μ(x)q(x)
为使(7)式左端为一完全微分式,比较(6)式,只需恰当选取μ(x)使之满足如下关系即可:
μ′(x)=-μ(x)p(x)(8)
(9)据此可将(5)化为 [μ(x)y]′=μ(x)q(x)
μ(x)y=μ(x)q(x)dx+C对(9)两边积分得
μ(x)μ(x)=-其中C为积分常数.再由(8)得=-p(x)]lnμ(x)p(x)dx∫∫(10)
p(x)dxμ(x)=e-∫∴,将此代入(10)并解出y即得所求(1)的通解:
p(x)dx-p(x)dx y=e∫(q(x)e∫+C)∫(11)
以上解法即为积分因子法,所乘非零函数因子称为积分因子,其本质为待定函数思想,其想法的目的明确,推导过程自然简明,所涉及的都是学生熟悉的知识基础,学生因此易于接受.
三、基于函数变换的新解法
根据现有一些教材体系,学生在学习一阶线性微分方程之前已有的求解常微分方程知识仅局
14高等数学研究 2007年5月限在可分离变量方程和齐次方程的解法,其中的可分离变量方程是基础的基础,用已有知识解决新问题是人类分析解决问题的普遍逻辑和认识规律,设法直接将一阶线性微分方程化归为可分离变量方程求解当符合这个规律.为达到对(1)分离变量的目的,特作如下函数变换:
y(x)=f(x)u(x)(12)
(x)u(x)+f(x)其中f(x)和u(x)为待定函数.由(12)得f′,代入(1)得:xdx
(x)u(x)+f(x)f′=p(x)f(x)u(x)+q(x)dx
(13)(14)]f(x)(x))u()q(x=(p(x)f(x)-f′dx()为使方程(13)变量可分离,令p(x)f(x-则方程(13):
((x)]=]u(x)=dx+Cdxdxf(x)f(x)
p(x)dx由(14)有p(x)=]lnf(x)=p(x)dx+lnC]f(x)=Ce∫(15)(16)
(17)f(x)∫∫将(16)代入(8)得:u(x)=C-p(x)dxdx+C
p(x)dx-p(x)dx将(16)(17)代入(12)得(1)的通解为:y(x)=e∫(q(x)e∫dx+C)∫
以上解法的基本思想是待定函数的化归思想,是基于变量分离的思想引出的,其思路清晰,推导过程简单,涉及的基础知识也都是学生已知的,学生因此不难接受.此解法作者尚未见文献讨论.
四、三种方法比较表方法思想
联想:通过先求对应齐次方程通
常数变
易法解,再代入原非齐次方程,从方程成立的形式推测齐次通解的任意
常数是变或不变.
转化:从常数变易法的逆向观察发
积分因
子法现方程可转化为全微分形式,由此联想借助辅助函数实现方程向全
微分转化.
函数变
换法化归:直接约化为变量分离方程
.典型性好、普适性强.对原理的理解存在一定难度.11本质都具特定一致性优点突出了非齐次方程与对应齐次方程解的关系.不足过程较复杂,技巧性较强.函数的化归思想;21基本目的一致,对后继教学内容具启发性.在方法上与后继教学内容具重复性.所得公式解一致.
五、结论
本文讨论的求解一阶线性微分方程的函数变换法,在教材体系和知识逻辑上具有较好的承前性.同时,方法的具体运用过程较常数变易法简洁明了,符合学生认知规律.它在思想上很好地体现了变换化归的思想,讲授它对突出课程的思想方法教学具有重要作用.而在方法的功能上,它不仅能解决当前的线性方程问题,而且在解决非线性方程方面同样具有重要作用.所以,函数变换法典型性好、普适性强,学生易于接受.讨论该方法的应用对拓展学生思维能力提高其数学(下转33页)
第10卷第3期 孙海娜:从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系33二是要学会将不定积分与变限定积分互相表示的方法.
从以上讨论可以看出熟练掌握不定积分与变限定积分的关系,即f(x)dt=解.所以我认为讲课中必须强调一下不定积分与变限定积分的关系式子(3).
致谢:感谢浙江大学蔡燧林教授的悉心指导!
参考文献[1]吴迪光等.高等数学教程[M].杭州:浙江大学出版社,2000年8月,P120-,;
[2]同济大学数学教研室.高等数学(第四版)[M]北京:;
[3]蔡燧林,胡金德,陈兰祥.2005[M,2004年3月,P266;∫af(t)dt+C,对解∫x决这类抽象函数的性质的题目大有用处,或者可以讲,像上述这类题一定要利用这个式子才能求
,的局限性,,以此扩大学生知识视野而.个人实践是以讲授常数变易法为主,函数变换(上接第14页)法为辅,将其列为课堂讨论题目并作具体推导,但讲而不要求.对积分因子法,则只作为学生思考题目给出,并作适当的提示,让有兴趣和学有余力的学生思考.对教材作这样处理,能在不增加教学难度的情况下,既可突出重点又能较好地分化难点,有利于拓展学生知识视野、激发学生学习兴趣和提高学生对数学的理解能力.
参考文献
[1]中山大学数学力学系.常微分方程[M],北京:人民教育出版社,1978.
[2]东北师范大学数学系.常微分方程[M],北京:高等教育出版社,1982.
[3]王高雄等.常微分方程[M],北京:高等教育出版社.1982.
[4]王柔怀,伍卓群.常微方程讲义[M],北京:人民教育出版社,1963.
[5]M.Braun著,张鸿林译.微分方程及应用[M],北京:人民教育出版社,1979.
(上接第25页)nn因此an=(c1+c2n)2+c33,这里c1,c2,c3为待定常数1
将a0=2,a1=7,a2=21代入得:
c1+c3=2
2c1+2c2+3c3=7
4c1+8c2+9c3=21,
2nn即c1=c2=c3=1,因此an=(1+n)+31
例2 斐波那契(Fibonacci):an+2=an+1+an,a0=a1=11
运用定理1的通项公式
an
=2n+1-2n+11
参考文献:
[1]华东师范大学数学系1数学分析[M]1北京:高等教育出版社,20011
[2]闵嗣鹤,严士健1初等数论(第三版)[M]1北京:高等教育出版社,20031
12高等数学研究 Vol110,No13STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMay.,2007
一阶线性常微分方程解法及教学
鲜大权 (西南科技大学理学院 四川绵阳 621010)3摘 要 在讨论求解一阶线性常微分方程的常数变易法、积分因子法的基础上,导出了函数变换法,对比分析了它们在解决一些实际问题的基本思想和方法策略,提出了对教材相应内容的处理意见,学中对学生进行思维能力训练的地位和作用.
关键词 一阶线性 常微分方程 常数变易.1
一、引言
.但许多常微分方,许多内容的联系比较松散.面对这种情况,,使学生在学习中能得到应有思维训练.尤其是一阶线性常微分方程是非常重要的一类方程,它作为常微分方程的基础内容之一,具有完整的系统理论和丰富的实际背景,学好该内容对提高学生学习后继内容的积极性和思维能力具有重要奠基作用.在教学中因此应高度重视该内容教学.本文以此讨论如下一阶线性微分方程的多种解法及其教学问题:
=p(x)y+q(x)dx(1)
(2)对应的齐次线性方程为
二、常用解法概述=p(x)ydx
方程(1)的成熟解法较多,除常见的Lagrange常数变易法外,还有积分因子法、积分变换法、幂级数法等多种.但有些解法如幂级数法等,由于涉及数学知识较多而在教学中很少介绍,在一般的常微分方程教材中介绍的大多是常数变易法,本文先简要讨论两类常用解法.
11常数变易法
显然y=0是(2)的一个常数特解.当y≠0时]=p(x)dxy
积分得:ln|y|=p(x)dx+ln|C|(C≠0)
或y=Ce∫p(x)dx∫(3)
不难看出,(2)的以上两种形式解不等价,前者不包含y=0和负数,但后者在C=0时包含了(2)的常数特解y=0,故后者要全面些,其任意常数C达到真正意义的任意,其中就包括可以取0和负数,因此(3)才是(2)的通解.
pxdx事实上,当C为常数时,由(3)有y=Ce∫p(x)=yp(x)()
代入(2)等式成立,从而(3)是(2)的解.下求(1)的解,为此将(3)代入(1)有:
3收稿日期:2006-07-10;修改稿:2007-03-
22
第10卷第3期 鲜大权:
一阶线性常微分方程解法及教学13
e∫p(x)=Ce∫p(x)+q(x)p(x)dxp(x)dx
显然右边多一项q(x)而致(1)不恒等.为使左边也具有q(x)一项,根据函数乘积的导数公式,若(3)中的常数C不是常数而是x的函数,则有希望多出一项与右边的q(x)这项对应而实现(1)的恒等,据此而将常数C变易成x的函数C(x),至于C(x)具体是什么函数则代回(1)予以确定,这本质上是待定函数思想,此所谓Lagrange常数变易法.
解法 将(2)的通解(3)中的任意常数C变易为x的待定函数C(x)后代入(1)得:
[C(x)e∫p(x)dx]′=p(x)C(x)e∫p(x)dx(x)=q(x)e+q(x)]C′-p(x)dx∫
-p(x)dx从而C(x)=q(x)e∫+C,将此代入(3)得(1)p(x)dx-p(x)dx y=e∫(q(x)e∫)∫∫(4)
公式(4)称为(1),作用较大,其精妙之处是对常数C的变易处理,C的变易思想,对活跃学生思维和提高其理解能21常数变易法是从给定非齐次方程对应的齐次方程通解的构造出发而展开的,若换个角度直接从非齐次方程(1)本身出发寻求突破则会发现新思路.
(5)为此,将方程(1)变形为 -p(x)y=q(x)dx
考察方程(5)不难看出:若p(x)=0,方程左边恰为未知函数的导数,这时只需对方程两边积分就可达到求解目的.但若p(x)≠0则不能直接进行这样的积分,其困难在于方程左端的两项一般来说不是一个完全微分式.若能通过一种变换使其左边转化为完全微分式,则问题可迎刃而解.事实上,并非含有y和y′的一次二项式不可能是全微分式.联想乘积的导数:
(μy)′=μy′(6)+μ′y
它就是含有y和y′的一次二项式,常数变易法也联想过该公式.根据此联想,在(5)两端乘以一个适当的非零函数因子μ(x)得:
μ(x)y′(7)-μ(x)p(x)y=μ(x)q(x)
为使(7)式左端为一完全微分式,比较(6)式,只需恰当选取μ(x)使之满足如下关系即可:
μ′(x)=-μ(x)p(x)(8)
(9)据此可将(5)化为 [μ(x)y]′=μ(x)q(x)
μ(x)y=μ(x)q(x)dx+C对(9)两边积分得
μ(x)μ(x)=-其中C为积分常数.再由(8)得=-p(x)]lnμ(x)p(x)dx∫∫(10)
p(x)dxμ(x)=e-∫∴,将此代入(10)并解出y即得所求(1)的通解:
p(x)dx-p(x)dx y=e∫(q(x)e∫+C)∫(11)
以上解法即为积分因子法,所乘非零函数因子称为积分因子,其本质为待定函数思想,其想法的目的明确,推导过程自然简明,所涉及的都是学生熟悉的知识基础,学生因此易于接受.
三、基于函数变换的新解法
根据现有一些教材体系,学生在学习一阶线性微分方程之前已有的求解常微分方程知识仅局
14高等数学研究 2007年5月限在可分离变量方程和齐次方程的解法,其中的可分离变量方程是基础的基础,用已有知识解决新问题是人类分析解决问题的普遍逻辑和认识规律,设法直接将一阶线性微分方程化归为可分离变量方程求解当符合这个规律.为达到对(1)分离变量的目的,特作如下函数变换:
y(x)=f(x)u(x)(12)
(x)u(x)+f(x)其中f(x)和u(x)为待定函数.由(12)得f′,代入(1)得:xdx
(x)u(x)+f(x)f′=p(x)f(x)u(x)+q(x)dx
(13)(14)]f(x)(x))u()q(x=(p(x)f(x)-f′dx()为使方程(13)变量可分离,令p(x)f(x-则方程(13):
((x)]=]u(x)=dx+Cdxdxf(x)f(x)
p(x)dx由(14)有p(x)=]lnf(x)=p(x)dx+lnC]f(x)=Ce∫(15)(16)
(17)f(x)∫∫将(16)代入(8)得:u(x)=C-p(x)dxdx+C
p(x)dx-p(x)dx将(16)(17)代入(12)得(1)的通解为:y(x)=e∫(q(x)e∫dx+C)∫
以上解法的基本思想是待定函数的化归思想,是基于变量分离的思想引出的,其思路清晰,推导过程简单,涉及的基础知识也都是学生已知的,学生因此不难接受.此解法作者尚未见文献讨论.
四、三种方法比较表方法思想
联想:通过先求对应齐次方程通
常数变
易法解,再代入原非齐次方程,从方程成立的形式推测齐次通解的任意
常数是变或不变.
转化:从常数变易法的逆向观察发
积分因
子法现方程可转化为全微分形式,由此联想借助辅助函数实现方程向全
微分转化.
函数变
换法化归:直接约化为变量分离方程
.典型性好、普适性强.对原理的理解存在一定难度.11本质都具特定一致性优点突出了非齐次方程与对应齐次方程解的关系.不足过程较复杂,技巧性较强.函数的化归思想;21基本目的一致,对后继教学内容具启发性.在方法上与后继教学内容具重复性.所得公式解一致.
五、结论
本文讨论的求解一阶线性微分方程的函数变换法,在教材体系和知识逻辑上具有较好的承前性.同时,方法的具体运用过程较常数变易法简洁明了,符合学生认知规律.它在思想上很好地体现了变换化归的思想,讲授它对突出课程的思想方法教学具有重要作用.而在方法的功能上,它不仅能解决当前的线性方程问题,而且在解决非线性方程方面同样具有重要作用.所以,函数变换法典型性好、普适性强,学生易于接受.讨论该方法的应用对拓展学生思维能力提高其数学(下转33页)
第10卷第3期 孙海娜:从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系33二是要学会将不定积分与变限定积分互相表示的方法.
从以上讨论可以看出熟练掌握不定积分与变限定积分的关系,即f(x)dt=解.所以我认为讲课中必须强调一下不定积分与变限定积分的关系式子(3).
致谢:感谢浙江大学蔡燧林教授的悉心指导!
参考文献[1]吴迪光等.高等数学教程[M].杭州:浙江大学出版社,2000年8月,P120-,;
[2]同济大学数学教研室.高等数学(第四版)[M]北京:;
[3]蔡燧林,胡金德,陈兰祥.2005[M,2004年3月,P266;∫af(t)dt+C,对解∫x决这类抽象函数的性质的题目大有用处,或者可以讲,像上述这类题一定要利用这个式子才能求
,的局限性,,以此扩大学生知识视野而.个人实践是以讲授常数变易法为主,函数变换(上接第14页)法为辅,将其列为课堂讨论题目并作具体推导,但讲而不要求.对积分因子法,则只作为学生思考题目给出,并作适当的提示,让有兴趣和学有余力的学生思考.对教材作这样处理,能在不增加教学难度的情况下,既可突出重点又能较好地分化难点,有利于拓展学生知识视野、激发学生学习兴趣和提高学生对数学的理解能力.
参考文献
[1]中山大学数学力学系.常微分方程[M],北京:人民教育出版社,1978.
[2]东北师范大学数学系.常微分方程[M],北京:高等教育出版社,1982.
[3]王高雄等.常微分方程[M],北京:高等教育出版社.1982.
[4]王柔怀,伍卓群.常微方程讲义[M],北京:人民教育出版社,1963.
[5]M.Braun著,张鸿林译.微分方程及应用[M],北京:人民教育出版社,1979.
(上接第25页)nn因此an=(c1+c2n)2+c33,这里c1,c2,c3为待定常数1
将a0=2,a1=7,a2=21代入得:
c1+c3=2
2c1+2c2+3c3=7
4c1+8c2+9c3=21,
2nn即c1=c2=c3=1,因此an=(1+n)+31
例2 斐波那契(Fibonacci):an+2=an+1+an,a0=a1=11
运用定理1的通项公式
an
=2n+1-2n+11
参考文献:
[1]华东师范大学数学系1数学分析[M]1北京:高等教育出版社,20011
[2]闵嗣鹤,严士健1初等数论(第三版)[M]1北京:高等教育出版社,20031