平行四边形相关知识梳理与常考题型总结
1.平行四边形的定义:(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2)表示:平行四边形用符号“□”来表示。 2.平行四边形性质: (1)边:两组对边分别平行且相等; (2)角:对角相等、邻角互补; (3)对角线:对角线互相平分。 3.平行四边形的判别方法:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4、三角形中位线——构造平行四边形
(1) 定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
(2)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.
三角形中位线定理的作用:①位置关系:可以证明两条直线平行.
②数量关系:可以证明线段的倍分关系.
1、已知如图,E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点
. 求证:四边形EFGH是平行四边形
2、分别以△ABC的三边为边向同一侧作等边△ABD、△BCE、△ACF,连接DE、EF. 求证:四边形AFED是平行四边形.
B
3、已知如图,在四边形
ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点.
1
求证: EF
2
B
4、已知:如图,四边形
(1)说明∆CEF (2)∆CEF
5.(黄冈市中考题)如图所示,平行四边形ABCD中,G、H是对角线BD上两点,且DG=BH,DF=BE.
求证:四边形EHFG是平行四边形
.
6 已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,E,F在直线BC上,且BE=BC=CF.求证:AF⊥DE.
EBC F
7.(江西省中考题)已知:如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BC,CF⊥BD,垂足分别为E、F,G、H分别是AD、BC的中点,GH交BD于点O.
求证:GH与EF互相平分
.
8.(河南省中考题)已知:如图,平行四边形ABCD中,对角线AC的平行线MN分别交DA、DC延长线于点M、N,交AB、BC于点P、Q.
求证:MQ=NP.
1.已知:如图,平行四边形ABCD中,AB=2BC,E为AB中点,DF⊥BC,垂足F. 求证:∠AED=∠EFB.
2.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,CE⊥AB,垂足为E,求证:∠DME=3∠AEM.
作业
1.如下图所示,ABCD是平行四边形,以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF,连结BD、EF,且它们相交于O,求证:EO=FO,
DO=BO.
2.如图所示,∠EDA是平行四边形ABCD的外角,DF平分∠EDA与BA延长线交于F,FD延长线与BC延长线交于G.求证:
BF=BG.
3.如图所示,平行四边形ABCD中,作AF⊥BC于F,交BD于E,若DE=2AB.求证:∠ABD=2∠EBC.
取 G 为 DE 中点,连接 AG.
在RT△ADE中,AG为斜边上的中线。 ∴DE/2 = AG = EG = DG = AB
∴∠ABE = ∠AGE ,∠ADE=∠GAD
∴∠ABE = ∠AGE = ∠ADE+∠GAD=2∠ADE = 2∠CBD
证明: ∵ABCD平行四边形 AF⊥BC ∴∠EAD=90°
取DE中点M, 则AM=MD=ED(直角三角形斜边上中线等于斜边一半) ∵DE=2AB ∴AB=AM=MD ∠ADM=∠DAM
∠ABD=∠AMB
∵∠AMB=∠ADM+∠DAM=2∠ADM ∴∠ABD=2∠ADM ∵∠ADM=∠DBC ∴∠ABD=2∠DBC
4.如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证:△AEF为等边三角形
.
5.如图所示,在△ABC中,BD平分∠B,DE∥BC交AB于E,EF∥AC交BC于F,求证:
BE=FC
6.如图所示,平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是CD中点,分别延长BA和DC到G、H,使AG=CH,连结GF、EH,求证:GF∥
EH
7.如图所示,平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,AF与BE相交于G,CE与DF相交于H.求证:EF与GH互相平分
(1)在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA 因为∠EBC=∠DBE=60° 所以∠ABC=∠DBE BC=BE
因此△ABC≌△DBE,DE=AC。
△ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE 在△ABC和△FEC中 AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA ∠FCE=∠FCA-∠ECA 因为∠ECB=∠FCA=60° 所以∠ACB=∠FCE BC=EC
因此△ABC≌△FEC,EF=AB
因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF 四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形
平行四边形相关知识梳理与常考题型总结
1.平行四边形的定义:(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2)表示:平行四边形用符号“□”来表示。 2.平行四边形性质: (1)边:两组对边分别平行且相等; (2)角:对角相等、邻角互补; (3)对角线:对角线互相平分。 3.平行四边形的判别方法:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4、三角形中位线——构造平行四边形
(1) 定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
(2)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.
三角形中位线定理的作用:①位置关系:可以证明两条直线平行.
②数量关系:可以证明线段的倍分关系.
1、已知如图,E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点
. 求证:四边形EFGH是平行四边形
2、分别以△ABC的三边为边向同一侧作等边△ABD、△BCE、△ACF,连接DE、EF. 求证:四边形AFED是平行四边形.
B
3、已知如图,在四边形
ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点.
1
求证: EF
2
B
4、已知:如图,四边形
(1)说明∆CEF (2)∆CEF
5.(黄冈市中考题)如图所示,平行四边形ABCD中,G、H是对角线BD上两点,且DG=BH,DF=BE.
求证:四边形EHFG是平行四边形
.
6 已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,E,F在直线BC上,且BE=BC=CF.求证:AF⊥DE.
EBC F
7.(江西省中考题)已知:如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BC,CF⊥BD,垂足分别为E、F,G、H分别是AD、BC的中点,GH交BD于点O.
求证:GH与EF互相平分
.
8.(河南省中考题)已知:如图,平行四边形ABCD中,对角线AC的平行线MN分别交DA、DC延长线于点M、N,交AB、BC于点P、Q.
求证:MQ=NP.
1.已知:如图,平行四边形ABCD中,AB=2BC,E为AB中点,DF⊥BC,垂足F. 求证:∠AED=∠EFB.
2.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,CE⊥AB,垂足为E,求证:∠DME=3∠AEM.
作业
1.如下图所示,ABCD是平行四边形,以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF,连结BD、EF,且它们相交于O,求证:EO=FO,
DO=BO.
2.如图所示,∠EDA是平行四边形ABCD的外角,DF平分∠EDA与BA延长线交于F,FD延长线与BC延长线交于G.求证:
BF=BG.
3.如图所示,平行四边形ABCD中,作AF⊥BC于F,交BD于E,若DE=2AB.求证:∠ABD=2∠EBC.
取 G 为 DE 中点,连接 AG.
在RT△ADE中,AG为斜边上的中线。 ∴DE/2 = AG = EG = DG = AB
∴∠ABE = ∠AGE ,∠ADE=∠GAD
∴∠ABE = ∠AGE = ∠ADE+∠GAD=2∠ADE = 2∠CBD
证明: ∵ABCD平行四边形 AF⊥BC ∴∠EAD=90°
取DE中点M, 则AM=MD=ED(直角三角形斜边上中线等于斜边一半) ∵DE=2AB ∴AB=AM=MD ∠ADM=∠DAM
∠ABD=∠AMB
∵∠AMB=∠ADM+∠DAM=2∠ADM ∴∠ABD=2∠ADM ∵∠ADM=∠DBC ∴∠ABD=2∠DBC
4.如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证:△AEF为等边三角形
.
5.如图所示,在△ABC中,BD平分∠B,DE∥BC交AB于E,EF∥AC交BC于F,求证:
BE=FC
6.如图所示,平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是CD中点,分别延长BA和DC到G、H,使AG=CH,连结GF、EH,求证:GF∥
EH
7.如图所示,平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,AF与BE相交于G,CE与DF相交于H.求证:EF与GH互相平分
(1)在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB,∠DBE=∠DBA-∠EBA 因为∠EBC=∠DBE=60° 所以∠ABC=∠DBE BC=BE
因此△ABC≌△DBE,DE=AC。
△ACF是等边三角形,所以AF=AC=DE 在△ABC和△FEC中 AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA ∠FCE=∠FCA-∠ECA 因为∠ECB=∠FCA=60° 所以∠ACB=∠FCE BC=EC
因此△ABC≌△FEC,EF=AB
因为△ABD是等边三角形,所以AD=AB=EF 四边形ADFE两组对边分别相等,是平行四边形