第1章 概述(初稿)
本章将概述的研究对象、研究内容、研究方法及应用前景。
众所周知，在大千固态物质世界中，多孔性固体可谓无所不在。大到自然界的土壤、岩石、树木等，小到人们日常生活中的食品、衣服、纸张、傢俱等。工程材料中更是比比皆是。以传统建筑材料为例，钢结构、木结构及混凝土结构是人们熟知的三大建筑结构。本世纪初，全球每年钢的产量约10亿吨，木材的产量与之相当，混凝土(水泥)产量约30余亿吨。显然，木材与混凝土均属多孔材料。这样，在三大建筑结构材料中，多孔性材料占70%以上。此外，作为建筑材料的砖、瓦等也是多孔性材料。在其它领域诸多新型材料中，如泡沫塑料、粉末冶金材料、航空航天器件中众多复合材料等都属多孔材料。总之，由于多孔性材料广泛存在于自然界，工程界及人们日常生活之中，因此，对它们在不同条件下的行为进行了解，认识与研究无疑是十分重要的。其中，以数值计算方法对有广泛工程背景的多孔材料传热传质现象进行认识与预测，将认识与预测结果经整理后汇编成书，应该说是对材料学科与传热传质学科的结合作了有益的尝试，也为相关专业人员提供一本教材或参考书。
1.1多孔材料的定义与分类
1.1.1 多孔固体、多孔介质及多孔材(物)料 含有大量孔隙的固体称为多孔固体。在多孔固体的孔隙中大都存在流体(液体与/或气体)，因此，多孔固体实质上是固体与流体的多相混合体，或者说，是固体骨架与流体的多相混合体。在不同应用场合，多孔固体又被称为多孔物体、多孔物料、多孔材料或多孔介质。
为了说明上述这些学术名词它们在含义上的相同处与某些差异以及它们的由来，需以追溯这一研究领域的历史作为切入点。
法国水利工程师亨利.菲利贝特.加斯帕特.达西(Henry Philibert Gaspart Darcy) (1803-1858)是这一领域的先驱者。他在1824-1848期间，致力于他出生城市第戎(Dijon)的用水供应系统工程。在经历用深挖井取水方案失败后，完成了利用地表水，即从水库取水的城市供水工程。在他晚年，1855-1856期间，专心于研究泥沙中水的流动，通过实验建立了著名的达西定律，即泥沙渗流中水的流率(单位时间内水的体积流量)与水的静压差成正比。在此后很长一段历史时期内，人们的研究始终停留在土壤与岩石中水的流动问题。直到上世纪30年代，随着石油开采，人们开始关注岩石中天然气与石油的流动问题。长期来，人们在讨论自然界诸如土壤中水分的迁移，岩石缝隙中天然气、石油的渗流等问题时，总是把土壤与岩石视为水、天然气与石油的载体，或介质。这里，人们关心的重点不是土壤及岩石本身而是其中流体的行为。介质这一名词的所涵盖的不仅仅限于作为流体的载体，而是把固相骨架与流体共存的多相体系称为多孔介质[1]。随后，研究领域逐渐扩展到广大工程界，逐渐地，多孔介质传热传质形成了传热讨论诸多由多相体系组成的多孔介质传热传质问题，
传质学科内一个相对独立的重要分支[2-4]。 多孔介质的一个显著特点是，多相体系组成的多孔介质中的流体相是连续相，固相骨架可以是连续相，而更多是非连续相，典型结构示意于图1-1
表征元容积 固体
流体
多孔介质内流场
图1-1多孔介质示意图[2]
从工程传热学的学科发展来看，若以热传导的傅里叶定律[5]问世(1822)作为建立传热学标志，到刘易斯(Lewis)、舍伍德(Sherwood)将传热学扩展成传热传质学经历了一个世纪。作为传质学在工程上的应用，首先应属被誉为化学工程之父的刘易斯，他率先提出了固体材料干燥的原理[6]。之后，干燥技术与理论在广泛工程应用背景推动下迅速发展。大凡在工程领域对各类固体产品的制备与加工中，总是把被加工的对象称为材料或物料，例如木材、粮食，混凝土材料等。由于这些材(物)料含有孔隙，统称为多孔材(物)料。随着多孔材料在材料学科中的地位日趋重要，至今，多孔材料已成为材料学科的一个重要分支[7]。
良好的产品性能是材(物)料加工行业追求的主要目标之一，而产品的性能往往更多地依赖于多孔材(物)料中的固相骨架的性能。因此，讨论这类多孔材(物)料传热传质问题时其重点不仅是材(物)料内流体相的流动与传热传质而更关注固相骨架本身及流体相对固相骨架的影响，例如，木材人造板在经受热压加工过程中，板坯内温度分布与含水率分布直接影响板坯的密度分布，最终影响板材的力学性能。又如，很多多孔性固体产品在干燥过程，为保证产品质量，往往要求控制其变形，而材料的变形与其中温度分布与含水率分布关系密切。
与多孔介质相比，多孔材料的一个显著特点是，多相体系组成的多孔材料中的固相骨架是连续相，流体相可以是连续相，也可以是非连续相。图1-2为软木木材结构示意图[8]，以此作为多孔材料的一种典型。
固相骨架
横向流通道
了
图1-2多孔材料示意图[8]
对照图1-1与图1-2应领悟到，多孔材料传热传质的含义多少有别于多孔介质传热传纵向流通道
质。
综上所述，多孔固体、多孔介质与多孔材(物)料尽管它们的基本内涵是相同的，但在不同应用场合，为了更真实地表示物理过程，更准确的给予数学描述，使用不同的名词是必要的。夲书以材料学科为背景讨论传热传质问题，因此，将更多地使用多孔材料传热传质。 顺便提及，如果人们只关心多孔材料的固体力学性能，从材料学科角度，这类材料被称为复合材料。
1.1.2 多孔材料分类及典型多孔材料
在多孔介质传热传质研究中，一般并不按多孔介质本身的物理、化学性质的不同进行分类，而往往按多孔介质中流体的状态与行为进行分类研究。例如，按孔隙中多组分流体在孔隙中的占有率进行分类[4]。把孔隙中充满液体的称为湿饱和多孔介质，孔隙中液体与蒸气共存的为非饱和多孔介质，孔隙中只有纯蒸气的为干饱和多孔介质。由于液体相在孔隙中状态不同，相继发生的传热传质行为也不同。又如，按控制多孔介质中流体的动量、能量和质量传递的不同模式分类[2,3]。分为：多孔介质中流体流动过程; 多孔介质中热传导及质量扩散过程; 多孔介质中对流传热及对流传质过程; 多孔介质中相变传热及传质过程等。
在材料学科中，为了更好地认识多孔材料的全貌，对繁多的多孔材料进行了分类与鉴别。分类的方式很多，例如，按多孔材料孔隙尺度大小分类[9]，按多孔材料制备工艺分类
[7]，而最常见的是按多孔材料固相骨架的化学成分进行分类，如表1-1所示。
表1-1 多孔材料分类之一 多孔材料
无机多孔材料
金属多孔材料
沉积型复合型) 有机多孔材料 有机生物多孔材料 (木材、竹、谷物、珊瑚、动
物骨骼、海绵) 非金属多孔材料 沫塑料) 非有机生物多孔材料 (含孔橡胶) (粉末型、纤维型、铸造型、(混凝土、陶瓷、砖、瓦、泡
在多孔材料传热传质研究中，参照材料科学分类的惯例，着重考虑对传热传质有直接影响的结构特征进行分类，见表1-2
表1-2 多孔材料分类之二 多孔材料
非吸湿性多孔材料 不含水多孔材料
孔隙封闭固孔隙连通固
气多孔材料 气多孔材料 含水多孔材料 吸湿性多孔材料 有机非生物多孔材料 (活性碳、石英玻璃、粘土) 生物多孔材料 (木材、竹、谷物、珊瑚、动物骨骼、海绵)
吸湿性(adsorption, hygroscopic)材料与非吸湿性(non-hygroscopic)材料是以多孔材料中固相骨架是否吸收水分来划分的。这样，吸湿性多孔材料中包含的水首先是包含在固相骨架内，其次才是贮存在固相骨架间的孔隙之中。而非吸湿性多孔材料中包含的水仅仅贮存在固相骨架间的孔隙中。
虽然上述表格中已列出不同型式的多孔材料，但仍难以囊括全部。尽管各类多孔材料的共同特点是多孔性固体，但由于其结构不同，固相骨架与流体种类与性质不同，被加工或工作时环境条件不同，导致其中的传热传质机理有很大的差别。因此，难以找出一种典型材料，对其中的传热传质的分析可概括全体。纵观表1-2所列各种多孔材料，就其中传热传质过程的复杂程度而言，表中从左到右的排列反映由简单到复杂的过程。本书的叙述大体上按表1-2自左而右的顺序。从表1-2中还看到，生物多孔材料是多孔材料中结构最为复杂的一种，其中的传热传质过程也最为复杂，这里以木材为例作扼要介绍。
木材，包括从森林中砍伐下来的原木以及由木质元素构造成的各种人造板，是一种复杂的多孔材料。其复杂性原于，作为一种生物体，它由各种细胞组成，而细胞的结构是相当
复杂的。作为生物体，树种不同，细胞结构就不同。既便是同一树种，由于生长期
不同，细胞结构也不同。既便是同一树种同样树龄的树木，在一棵树木不同部位由于早生与晚生的不同生长期其细胞结构也不相同。总之，木材的变异性很大。这样，在对它的研究中，也只能取其中的一个典型的木材细胞结构作为研究对象。
图1-3与图1-4所示为一种典型的针叶树材南方松粗视构造以及叶树材细胞壁的各元素间的相互关系。
。
图1-3一种典型的针叶树材南方松粗视构造。
三层细胞壁
胞间层微纤丝
管胞 四层胞间层
微纤丝 晶体
晶胞
图1-4 构成针叶树材细胞壁的各元素间的相互关系
从以上两个简图中，我们可清楚地看到木材结构的复杂性。关于更多木材结构方面的知识，读者可阅读有关木材学教材中的相关章节[10,11]。从木材的宏观特性来看，细胞结构的复杂性表现在如下几个特征同时存在：
(1)、材料物理性质诸参数(如导热系数，渗透率)呈各向异性。由此导致其中传热与流体流动都具各向异性。然而，在一定条件下，如由木质纤维构成的中密度人造板，从其微小的局部来看，由于纤维有明显的趋向而呈各向异性，但从板的整体而言，由于单个纤维的趋向是随机的，整体上可认为各向同性。
(2) 、木材中水分迁移形式复杂。这是由于木材细胞几何特征及水在木材细胞内存在形式决定的。按木材学介绍，木材中的水分按其存在形式不同分为自由水、吸着水与结合水三种。自由水是以游离状态存在于细胞间的缝隙及细胞腔内这类大毛细管的水分，吸着水是以吸附状态存在于细胞壁中微毛细管的水分，而化合水是指与木材细胞壁物质组成呈牢固结合状态的水。水的存在形态不同，相应的迁移机理也不同。木材在加工中水的迁移行为最终会影响木材的宏观性能。
(3)、高孔隙率与低渗透率。如表1-3所示，木材内的孔隙率范围大致在40%~80%。显然，木材有高的孔隙率。另一方面，木材的渗透性并不高(见表4-2)。这一特点也是由木材细胞结构决定的。尽管木材细胞内与细胞间有很大的孔隙，但这些孔隙基本上被细胞壁相互隔离，只是通过细胞壁上的微小纹孔使孔隙间相通。也可以说，尽管木材有高的孔隙率而贡献于流体流动的有效孔隙率很低。
(4)、材料在受热压加工过程中其形状发生变化，相应地，原均匀分布的孔隙率不仅呈不均匀分布状态，且随时间变化。从材料结构上看，细胞腔及细胞间缝隙的空间受不同程度的压缩。从宏观上看，表现为材料密度呈不均匀分布且随时间变化，相应地，材料的导热系数及渗透率呈不均匀分布且随时间变化。
尽管木材作为一种多孔材料具有其特殊性，对它的研究有相当局限性，但其研究内容与研究方法仍不失其普遍意义。
1.1.3 多孔材料中几个常用物理量
(1)孔隙与孔隙率
若多孔材料整体的体积为V ，它由固相体积V s 与非固相体积V φ组成，即，
V =V s +V φ (1.1.1) 孔隙是指多孔材料中非固相所占有的体积V φ，孔隙率(也称孔隙度或孔度)φ的定义为 φ=V φ (1.1.2) V
它是表征多孔材料的一个重要特征量。
用式(1.1.2)定义的孔隙率在概念上是非常清楚的，但在实际应用时，仍有很多细节需要辨清及正确处理。
1.对于非吸湿性多孔材料，由于其固相骨架不吸收水分，多孔材料整体的体积V 不会因为孔隙中是否有水而发生变化，则可用简单的实验方法求得孔隙率。例如，用水将多孔材料中孔隙灌满，而后测量孔隙中水的质量，求得其体积，按式(1.1.2)的定义得到孔隙率。但对于吸湿性多孔材料，固相骨架具有吸收水分的能力。把水浸入多孔材料过程中，在向孔隙充填水的同时，也被固相骨架吸收，导致固相骨架的体积，进而多孔材料整体的体积V 会发生一定的变化(被称为湿胀)。这样，上述简单的实验难以求得孔隙率。
为求吸湿性多孔材料的孔隙率，先将材料烘至绝干，得到烘干后的材料体积V 与质量M d ，由此求得绝干材料的平均密度ρd 为 ρd =M d (1.1.3) V
若已知固相骨架的密度为ρs ，且认为固相骨架的质量为绝干多孔材料的质量，则 M d =ρs (1−φ) V (1.1.4)
将式(1.1.4)代入式(1.1.3)，再经整理后可得 φ=1−ρd (1.1.5) ρs
3式(1.1.5)是多孔材料孔隙率的另一表示形式。例如，如图1-3所示的木材结构，其中固相骨架为细胞壁，对各类不同树种，它们的细胞壁密度大致相同，在1490~1570kg/m这个
范围，平均值为1530kg/m。而不同树种的绝干密度在250~1000kg/m这个范围，则木材的孔隙率分散在32%~84%这个范围，见表1-3。
表1-3 我国部分树种细胞壁密度、绝干密度与孔隙率
树种 孔隙率(%) 细胞壁密度(kg/m3) 木材绝干密度(kg/m3)
陆均松
鸡毛松
子京
红稠
轻木 心材 1512 1515 1513 1543 边材 1535 1517 1520 1531 平均 1523 1516 1516 1537 1518 581 486 1033 1032 244 61.8 67.9 31.9 32.8 83.9 33
2.在实际应用孔隙率这一物理量时，不仅应用它的几何属性，还应用它的物理属性，即它对物理过程的影响。由此，在讨论孔隙率对传热传质过程影响时，引入有效孔隙率的概念。
多孔材料内的孔隙，理论上讲，它们可以是空穴，即孔隙中没有任何物质。这样，多孔材料固相骨架的质量就是多孔材料的质量。而且，孔隙间是否连通对多孔材料的宏观性质不会有影响。但事实上，孔隙中总是有流体。在此条件下， 多孔材料中的孔隙是否连通对多孔材料的宏观性质有着直接影响。例如，用作隔热材料的泡沫塑料，正是利用材料中的孔隙不连通，且气体的导热系数远低于固相塑料的导热系数这一特点达到提高材料热阻，阻止热流通过的隔热效果。相反，诸多多孔材料加热干燥技术，正是利用材料中孔隙的连通性，在受热条件下，将孔隙中水(或水蒸气)通过连通的孔隙输送到材料周围的环境达到使材料干燥的目的。
对于相互连通的孔隙，由于连通程度不同，对传热传质过程的影响也不同
图1-5被用来说明引入有效孔隙率的必要性及孔隙率与有效孔隙率的联系。就孔隙率几何特征而言，比较容易被量化，如式(1.1.2)或式(1.1.5)所示，而有效孔隙率难以准确地被量化。图1-5所示的四种情形，它们的孔隙率都相同，即孔隙在材料内占有的空间都相同。四种情形不同之处的是孔隙间的连通程度不同，有效孔隙率不同。
(b) 中等有效孔隙率 (d) 有效孔隙率接近孔隙率
图1-5 孔隙率与有效孔隙率
如图所示，当材料两端有压力差Δp 时，在(a)情形下，由于孔隙间彼此完全被固相骨架隔开，流体完全不能在孔隙间流动，有效孔隙率为0。在(b)情形下，孔隙间连通的面积很小，有效孔隙率很低，木材结构大都如此，孔隙率很高，有效孔隙率很低。在(c)情形下，孔隙间的连通面积加大，但仍远小于孔隙的面积，此时，使有效孔隙率加大，但在实际孔隙内仍有部分流体相对地处于静止状态，大部分无机多孔材料属于此情形。在(d)情形下，孔隙间的连通面积继续加大，达到与孔隙截面积相当，孔隙内的流体不再有静止部分，有效孔隙率接近孔隙率。
(2)饱和度与含水率
如果说孔隙率是反映多孔材料中非固相介质所具有的相对体积，则饱和度与含水率是反映包含在多孔材料内流体的相对含量。其中，饱和度是相对体积含量，含水率是相对质量含量。
若多孔材料孔隙中被多种组分流体所占据，其中某一种流体在孔隙中占有的份额被称为该种流体的饱和度。液相水的饱和度εl 就是液相水在孔隙中的相对体积，可表示为
εl =V l (1.1.6) V φ
式中V φ与V l 分别为孔隙与孔隙中液相水占有的体积。
将式(1.1.2)代入式(1.1.6)，经整理后可得
V l =εl φ (1.1.7) V
*式(1.1.7)表示液相水在多孔材料整体中所具有的相对体积。 含水率又分绝对含水率W 与相对含水率W ，它们的定义分别为
W =
与
M l (1.1.8) M d
W =*M l (1.1.9) M d +M l
其中M l 与M d 分别为多孔材料中水的质量与绝干固相骨架的质量。
大多数多孔材料在加工过程中其绝干固相骨架的质量M d 是不变的，这样，用绝对含水率来表示多孔材料内的含水量显得更直观更确切，除非特别说明，本书在以后叙述中提及的含水率都为绝对含水率。
对非吸湿性多孔材料而言，液相水饱和度εl 与含水率W 可一一对应，如式(4.5.26)所示，在实际应用中可相互转换，而对于吸湿性多孔材料，两者间一一对应关系就不明显了，且用饱和度εl 来表示水的含量就不甚恰当，因为其中的V l 与V φ都不易确定，更详尽讨论请见第6章。。
(3)平均密度与表征元容积
由固相骨架、液相水与气体多组分共同组成的多孔材料的质量为M ，体积为V ，则平均密度为
=M ρs V s +ρl V l +ρg V g ==(1−φ) ρs +φεl ρl +φ(1−εl ) ρg (1.1.10) V V
液相水密度ρl 及气体密度ρg 式(1.1.10)表明，多孔材料平均密度是固相骨架的密度ρs 、
的加权平均，权系数为各组分的相对体积。
在孔隙率φ及液相水饱和度εl 都均匀分布的多孔材料内，在任意点P 处取包括P 点在内的容积ΔV ，其中包含质量ΔM ，则该容积ΔV 内材料的密度为 ρ=ΔM (1.1.10) ΔV
若ΔV =V ，ΔM =M ，则ρ=，如图1-6中水平实线所示。随着ΔV 逐渐缩小，ρ值但在附近涨落，即在图1-6中两条水平虚线间波动。当ΔV 缩小到某一值V re 将偏离值，后，这种波动明显加剧。上述这个V re 被称为表征元容积(representive elemary volume)，也被称表征体元[12]。如果ΔV 值继续缩小，ρ值的波动加大，最终，取决于点P 的位置，若点P 在固相骨架内，则ρ趋于ρs ，若点P 在孔隙内的液体处，则ρ趋于ρl ，若点P 在孔隙内的气体处，则ρ趋于ρg 。
ρ
图1-6 表征元容积 re ΔV V
表征元容积在研究有多相多组分组成的多孔材料中有重要的作用。在材料学科内，表征元容积被广泛用于讨论复合材料的力学性能，这里，我们将用表征元容积来讨论多孔材料传热传质行为。
1.2 多孔材料传热传质研究的内容与范围
多孔材料由于其组成不同及所处外部条件不同，其内部所发生的传热传质现象是极不相同的。但一般而言，这些不同的现象是由若干基本现象综合而成。这里仍以木材加工为背景，将其中涉及到的诸多基本现象介绍如下。
1.2.1 热传导
热传导是多孔材料传热传质现象中最基本形式之一，它主要(非全部，在某些条件下可能是次要)存在固相骨架内。热传导现象不涉及物质的宏观迁移，热量由高温处传向低温处。热传导也称热扩散。如果多孔材料内固相骨架为各向异性，则相应的导热系数为各向异性，相应地，多孔材料内的传热具有方向性。对于封闭型孔隙的多孔材料，例如泡沫塑料，其中孔隙内的流体可视为处于静止状态，这样，材料内热量的传递也不涉及物质的宏观迁移，这类多孔材料内的传热从其总体效果来看也可视为热传导，只是对材料的导热系数赋予新的含义，引入等效导热系数这一新概念，且得名等效导热系数法。 该方法的关键是根据多孔材料的结构，固相骨架与孔隙中流体的导热系数，正确选取或建立计算等效导热系数的公式。等效导热系数法也可用于高孔隙率低渗透率且含水率很低的木材传热过程，这里，把微弱的热对流因素折合成某种导热因素。
1.2.2 渗流、热对流与对流传热
在多孔材料内的孔隙相互连通的条件下，当相邻孔隙内流体的压力不相同时，流体会从高压处流向低压处，随着流体的流动，也将其携带的能量由高压处传输到低压处，这种能量传输为热对流。在流体热对流过程中，由于温度差别而引起的热传导，也存在于流体内。在某些条件下，如高的有效孔隙率，流体的导热系数大于固相骨架导热系数，流体中的热传导也可超过固相中热传导，但象木材这类低有效孔隙率材料中，在加工过程中，不易出现此情形。对于有效孔隙率低的材料，其渗透率很低，流体的流动速度很慢，流体在孔隙间的流动称为渗流。渗流服从达西定律。通常用雷诺数Re ≤1. 0作为判断渗流的条件。由于渗流的流动速度很小而孔隙内的流体几乎处于静止状态，由此，多孔材料内固相骨架与流体接触处固相与流体之间的温度差别很小，可以假定为相同，也被称为局部热平衡。
当材料处于高温气流环境中被加热时，高温的流体向低温的材料表面传输热量，这种传热方式为对流传热。同样，相反的情形，高温的材料表面向低温的气流传输热量，也是对流传热。就引起流体流动的原因而论，对流传热可区分为自然对流与强制对流两大类。自然对流是由于流体各部分的密度不同而引起的，而强制对流则是由诸如鼓风机等设备强制流体流动。热对流与对流传热的差别是，前者是指流动流体内部由于流动引起的热量传输而后者是指流动流体与其相接触的固体表面间的热量传输。
1.2.3 质扩散与对流传质
对照热扩散，将不涉及物质宏观迁移只由于物质密度差引起的质量传输称为质扩散。它发生在有多种物质(如空气与水蒸气)共同存在的体系内。例如，当木材人造板受热压时，人造板孔隙内有大量的水蒸气与空气，水蒸气的密度差与空气的密度差都会引发它们各自的质扩散。材料表面与静止环境之间也会因为水蒸气密度差而产生质扩散。例如，湿的衣服或
木材在静止空气环境中被晾干，就是多孔材料中的水分以水蒸气形式经历了质扩散过程。
对照对流传热，把水蒸气宻度高的流动的空气流(物质宏观迁移)向水蒸气密度低的湿表面传输质量(水蒸气凝结)称为对流传质。同样，相反的情形，高水蒸气密度的湿材料表面向低水蒸气密度的空气流传输质量(水的蒸发)，也是对流传质。当含水的多孔材料被流动的干空气加热时，多孔材料表面的水蒸气密度大于空气流中水蒸气密度，在空气气流带动下，把大量水蒸气从材料表面带到环境中，使材料干燥，这是对流传质典型的例子。
上一小节1.2.2中提及的热对流其实也伴随着质量的宏观迁移，我们在以后讨论中并不把它称为质对流，以免与本节提及的对流传质混淆。
材料表面的质扩散与对流传质所伴随的水蒸气蒸发是材料干燥的最基本原理。
水蒸气凝结与水的蒸发的相变行为不仅发生在材料表面，也发生在多孔材料内部。在多孔材料孔隙内的湿空气在流动过程中，若遇到温度较低的固体骨架(固相骨架温度低于湿空气露点)，则水蒸气凝结成水并被固相骨架所吸收或停留在孔隙内。相反，由于材料被加热及孔隙间流动等因素，使孔隙中或吸着在固相骨架内的水被蒸发，以蒸气形式停留在孔隙中。
1.2.4 弯曲液面与毛细管力
在含水多孔材料内水分存在及传输的形式有赖于液相水与气体交界面上液体的物理化学性质。图1-7所示为直径由大至小毛细管现象。由图(详见表5-1)可知，毛细管压力与毛细管直径呈反比。这样，尺度不同且相互连通的孔隙犹如直径不同的毛细管群。因此，含水的多孔材料也被称为毛细管材料。毛细管现象中除了毛细管引起水柱升高，还由于液面弯曲引起相应饱和蒸气压的变化。毛细管直径越小，凹型液面对应的饱和蒸气压越低。这一特点直接影响着水的蒸发，进而影响水分迁移。
图1-7 弯曲液面与毛细管力
1.2.5 液相水与水蒸气的热力学平衡
1.2.3中提及的在材料表面上由水蒸发成为水蒸气(或由水蒸气凝结成为水)的过程本质上是从一个热力学平衡状态向另一个热力学平衡状态过渡的过程。
为了理解木材中液相水与气相水蒸气的热力学平衡关系，有必要重温工程热力学中液态水与水蒸气相平衡及木材学中关于木材吸湿性的知识。
若水与其蒸气共处同一温度同一压力的封闭容器内且达到平衡时，则容器内水蒸气压力为容器温度与容器压力条件下的饱和压力，相应地，水蒸气密度为饱和水蒸气密度。在大气环境下某一温度自由水的水表面上也存在液相水与水蒸气的相平衡。水表面上水蒸气密度为水温条件下饱和水蒸气密度。
关于木材中水与水蒸气的平衡，必须结合木材的结构。为此，由图1-5表示木材细胞内水的存在形式及水与水蒸气平衡关系，图中椭圆表示细胞壁的横截面。图(a)表示木材在水中浸泡足够长时间，即木材被湿透后的情形。细胞腔内充满水，称为木材处于水饱和状态。细胞腔内只有自由水，没有水蒸气。在多孔介质传热传热学中称为湿饱和多孔介质。当湿透的木材(图(a)所示)被干燥时，细胞腔内自由水开始减少，水位下降，细胞腔成为水与水蒸
气共存的空间，如图(b)所示。腔内的水与水蒸气处于热力学平衡状态，水蒸气密度为对应于细胞温度与压力下的饱和水蒸气密度，也即，细胞腔内湿空气的相对湿度为100%。此阶段，细胞壁内吸着水的含量没有丝毫变化。在此阶段，称为非饱和多孔介质。图(c)表示当木材继续被干燥且达到某一状态，此状态下，自由水全部迁出细胞腔而细胞腔内相对湿度仍为100%，细胞壁内吸着水还保持原始值。此状态的木材含水率称为纤维饱和点。这时，细胞腔内的相对湿度(水蒸气密度)与木材含水率(细胞壁内的含水量)相平衡，称这种平衡的含水率为平衡含水率。在这一状态下的平衡含水率也即纤维饱和点。
请读者注意，图(a)所示为饱和细胞，图(c)所示为饱和纤维。
细胞壁 细胞腔 相对湿度小于100% 相对湿度小于100% 相对湿度为0
(a)水饱和细胞 (b)非饱和细胞 (c) 饱和纤维 (d)非饱和纤维 (e)干纤维
图1-8 木材细胞内各种含水状态
若木材继续被干燥到另一个新的状态，则相对湿度(细胞腔内水蒸气密度)与木材含水率(细胞壁内吸着水量)相应地下降到另一个新的状态，如图(d)所示。在这新状态下，细胞腔内是水蒸气与空气的混合气体，或者说是湿空气。该湿空气的相对湿度与木材含水率达到新的平衡，此木材含水率仍称平衡含水率。总之，在一定温度与压力条件下，平衡含水率只取决于相对湿度。以此类推，如图(e)所示，等木材干燥到绝干状态，细胞腔内的水蒸气也为0。此阶段，被称为干饱和多孔介质。请读者注意，图(b)所示为非饱和细胞，图(d)所示为非饱和纤维。
关于纤维饱和点以及含水率处于纤维饱和点以上或以下不同的水与水蒸气平衡关系，在研究木材传热传质中置关重要，也是木材(有机生物材料)与其它非吸湿性多孔材料主要区别之一。
1.3 多孔材料传热传质问题的数值研究方法
多孔材料传热传质数值分析实质上是把计算传热传质学应用于多孔材料这一领域。 计算传热传质学是近30年来随着计算机科学发展而诞生，发展，并正日趋完善的一门新兴学科，是研究多孔材料传热传质问题重要手段之一。它与传统的实验方法，与以微积分理论为基础的解析求解的理论研究方法相辅相成，成为当今传热传质这一领域重要分支之
一。它以工程实际中存在的大量传热传质问题为研究对象，将其演绎成恰当的数学问题并对此求解，最终以数学问题的解作为对实际问题的回答。为了说明它在研究方法上所具有的这一特点，不妨将它与实验研究方法，分析求解的理论研究方法进行对比。
传统的实验研究有两种形式。一种是在研究对象的原型上进行，也就是，在原型实际过程中直接对研究对象的相关参数进行测量或数据采集，并对数据加以整理与分析找出规律性结果。另一种则是在研究对象的模型上进行，也就是，在认识原型现象基础上，根据物理相似性原则，设计模型，在实验室建立模型设备以模拟原型的条件，在模型设备上进行测量与数据采集及整理，以此获得的数据代表原型的数据，把在模型上研究所得结果推广到原
型中去。这种模型也常被称为物理模型。这种借助于模型的实验研究方法往往具有所用实验时间短，耗资少等优点而被科学界与工程界广泛采纳。
理论研究方法可扼要地用下列框图表示：
理论研究方法与实验研究方法的出发点是相同的，都是实际的传热传质问题，如第一个方框所示。接下来的步骤分别在下面几小节介绍。
1.3.1 实际问题模型化
处理实际问题的第一步，是对实际问题作模型化处理。由于实际问题往往相当复杂，在保证其基本不变条件下作适当的简化。这里，保证实际问题基本不变是前提，在这个前提下的简化过程称为模型化过程也可称为建立实际问题的物理模型。例如，用作隔热材料的泡沫塑料，在分析其中传热过程时，由于材料中孔隙是封闭的，孔隙内流体在传热过程中被视为静止，从宏观上看，把含有大量封闭型孔隙的泡沫塑料视为一种性质均匀的密实固体材料。这种密实固体就是泡沫塑料的模型。又如，把结构复杂的木材视为一种多孔材料。除了可对材料作模型化处理外，也可对过程作模型化处理。例如，若多孔材料内的孔隙相互连通，则当材料在被加热时，孔隙间的气体就会流动，视这种流动服从达西定律的渗流，这就是多孔材料内流动过程的物理模型。又如，把温度不完全均匀的热板对材料的加热过程视为温度均匀的热板对材料的加热过程。
在建立物理模型时，要对实际问题所涉及的物理现象，支配这些物理现象的基本规律有正确的认识。在建立物理模型过程中要兼顾以下两方面的平衡。一方面，模型要尽可能保持原型问题的真实性，另一方面，要考虑到下一步数学描述与求解的可能性。
1.3.2 物理模型基础上的数学模型
第二步，对已经作模型化处理的问题进行数学描述。也就是，在物理模型基础上建立数学模型。一般而言，视原问题及所建物理模型复杂程度不同相应的数学模型繁易程度也不同。例如，若多孔的泡沫塑料中的孔隙都是封闭的，这样，这一泡沫塑料视为密实的固体材料，在这一物理模型基础上，当讨论该材料加热时，其传热数学模型就简单些，可以归纳为一个关于温度的偏微分方程问题(热传导方程与相应的定解条件)，如果孔隙均匀地分布，则上述固体材料是均匀材料，在这进一步简化的物理模型基础上，上述偏微分方程则为常系数热传导方程。如果多孔材料内的孔隙是连通的，把孔隙内气体流动服从达西定律视为物理模型，则当材料被加热时，其传热传质数学模型就复杂些，是关于温度，气体压力、密度与速度的偏微分方程组问题(含热传导与热对流的能量守恒方程，气体质量守恒方程，气体状态方程以及相应的定解条件)。
总之，建立在物理模型基础上的数学模型就是用一个数学问题来代表一个实际问题，如上述框图中的第二个方框。
在日常研究工作中我们还常见这样的情形，即把实验中(原型实验或模型实验)采集的数据经分析与整理后得到规律性的结果表示成某一数学公式并称此公式为数学模型。例如，反映木材内平衡含水率与环境相对湿度关系的经验公式。应该说，这是另一类的数学模量，可称其为统计数学模型。而建立在物理模型基础上的数学模型则称解析数学模型或机理数学模型。
近年来，在数值计算发展中，人们也把在1.3.3节将要介绍的控制容积法作为建立
数学模型的基本方法。
在对复杂物理过程建立数学模型时应由简入手，从简到繁，逐步逼近实际。
1.3.3 求解数学模型
第三步，对数学模型求解。多孔材料传热传质问题经常讨论到材料内部某一参数(如温度或含水率)或诸多参数(如，温度、含水率、气体压力与速度等)的分布及其随时间变化，而涉及到这类分布函数随时间变化的问题大都是单个偏微分方程或偏微分方程组问题。对它们的求解主要由分析解法与数值解法。
分析解法也称解析解法，是求解偏微分方程的一种经典方法。它以数学分析为基础求解偏微分方程问题，得到以函数形式表示的解。这个函数表示着材料内某一参数(如温度或含水率)的分布。分析解法又分精确分析解法与近似分析解法。精确分析解是指函数形式的解在求解域内逐点精确地满足原微分方程定觧问题，而近似分析解所得到的函数形式在求解域内每点处只是近似地满足原微分方程定解问题。
分析解法的优点是，所得的函数形式的解清晰地反映了相关各物理量之间的内在联系。其主要不足之处是，能用解析法求解的问题非常有限。对诸如多孔材料内有水分迁移的传热问题，就显得无能为力。由此，解析的方法只适用于求解相对比较简单的数学模型。值得一提的是，用解析方法求得的解常常可以作为数值计算结果正确与否的标准。
从上世纪50年代之后，随着计算机技术硬件与软件迅猛发展，数值计算方法越来越成为计算复杂数学问题的主要方法。在数值计算方法中又以有限差分法与有限单元法最受关注。有限差分法是1910年问世1950年以后才逐渐成熟。有限单元法则是1950年后兴起的。它们都是依存于计算机科学的发展而发展起来的。有限差分法与有限单元法都是求解微分方程问题的近似方法，在功能上各有千秋。针对诸如多孔材料结构比较复杂，传热传质并存的非稳态问题，采用有限差分法更具灵活性。本书只介绍用有限差分法求解相关数学模型。
用有限差分法求解问题的基本要点是，将原微分方程问题转换成代数方程问题，也就是，将微分方程形式的数学模型转换成代数方程形式的数学模型。求解代数方程所得到的解被认为是微分方程的近似解。
在代数方程建立方面常有两种途径。其一，从微分方程出发，用差分代替微分，用差商代替微商，将微分方程转换成差分方程，即代数方程组(代数方程形式的数学模型)。其二，在讨论的区域(多孔材料)内取控制容积单元。针对此单元，根据已建立的物理模型，建立代数方程，也即代数形式的数学模型。特别值得一提的是，这里的控制容积单元与1.1.1小节中的表征元容积是一致的。本书中将广泛采用控制容积来建立相应的代数形式数学模型。
关于代数方程形式数学模型的解是否就是微分方程形式数学模型的近似解的问题将在本书第2章中讨论。
对复杂数学问题的求解还有一种物理的方法曾经被人们广泛应用，如电热模拟法、水热模拟法等。在模拟法中，用电压(或水位)代表温度，用测量电压(或水位)的分布来代替对温度分布的求解。这类物理方法在电子计算机尚未被广泛应用之前是求解复杂数学问题的重要方法。
1.3.4 求解结果显示
第四步，求解结果显示。数值计算方法求解得的是代数方程的解，也即，其结果是大量离散的数据，这些数据的值正是数学模型的解，如以上框图中第三个方框。数据的原始形式一般贮存在若干数组内，利用这些数组中的数据可绘制成相应的曲线或图表以示求解数数模型的结果。在计算机可视化技术推动下，这些数据又可以动画的方式表现在计算机屏幕
上，以显示似乎真实的物理过程。
综上所述，计算传热传质学的研究方法是用数学问题去模拟实际问题，用数学问题的解去模拟真实的过程，加上计算机可视化技术，仿佛可将真实过程显示出来。由此，这种方法也被称为数值仿真。
与传统实验方法从实测中获得数据相比，计算传热传质学则是用数值计算方法来获得数据。相应地，这种方法又被称为数值实验。由于数值实验是在一台计算机上实施的，显然具有成本低且效率高的优点。特别是它可以获得更多在实验中难以获得的信息，例如，加工过程中人造板内含水率的分布，至今难以用实测方法获得。数值实验还可以模拟在实验中难以实现的条件，例如，过高的温度，有毒的环境等。
1.3.4 微分方程的适用性
针对多孔材料，读者可能提出如下的疑问。
传统上，用微分方程描述的对象或过程都是在连续的区域内，即连续的时间区域，连续的空间区域，微分方程对连续区域内逐点成立。而多孔材料由固-液-气组成，其中有大量的固-液，固-气与液-气界面。在界面处，很多参数是不连续(光滑连续) 的，例如，密度。相应地，温度等参数在界面处也会不连续。在这种情形下，微分方程还可以用来描述多孔材料内的传热传质现象吗？
作者作如下回答，并愿与读者共同思考与讨论。
用以连续函数为基础的微分方程去描述明显不连续区域内各参数的分布也许不是一个好的办法，对就各种比较熟悉的方法而言，微分方程，尤其是它的差分形式还是一个相对比较好的方法。理由如下：
1. 小到不占空间体积的几何点，这些点的集合构成连续的区域; 另一方面，把这个点理解得足够大，大到是一个多相体系，这个体系内存在着多孔材料的各种元素。也就是说，对一个点而言，包含着孔隙率φ、液相水饱和度εl 、固相密度ρs 、气相密度ρg 等概念。
2. 在数值分析中，点是被放大的。点是一个区域的代表，也可以说，一个点处的参数(如某一点处的温度) 实际是一个区域内参数分布的某种平均值。这个区域可以理解为图1-6所示的表征元容积，也是有限差分法中的控制容积。对这个区域，孔隙率φ、液相水饱和度εl 等参数都有定义。
3. 上述放大的点(或表征元容积或控制容积) 的尺度(如1mm) 比多孔材料尺度(如，大于10mm) 小得多，而比孔隙尺度(如，小于0.1mm) 大得多。
参考文献
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第1章 概述(初稿)
本章将概述的研究对象、研究内容、研究方法及应用前景。
众所周知，在大千固态物质世界中，多孔性固体可谓无所不在。大到自然界的土壤、岩石、树木等，小到人们日常生活中的食品、衣服、纸张、傢俱等。工程材料中更是比比皆是。以传统建筑材料为例，钢结构、木结构及混凝土结构是人们熟知的三大建筑结构。本世纪初，全球每年钢的产量约10亿吨，木材的产量与之相当，混凝土(水泥)产量约30余亿吨。显然，木材与混凝土均属多孔材料。这样，在三大建筑结构材料中，多孔性材料占70%以上。此外，作为建筑材料的砖、瓦等也是多孔性材料。在其它领域诸多新型材料中，如泡沫塑料、粉末冶金材料、航空航天器件中众多复合材料等都属多孔材料。总之，由于多孔性材料广泛存在于自然界，工程界及人们日常生活之中，因此，对它们在不同条件下的行为进行了解，认识与研究无疑是十分重要的。其中，以数值计算方法对有广泛工程背景的多孔材料传热传质现象进行认识与预测，将认识与预测结果经整理后汇编成书，应该说是对材料学科与传热传质学科的结合作了有益的尝试，也为相关专业人员提供一本教材或参考书。
1.1多孔材料的定义与分类
1.1.1 多孔固体、多孔介质及多孔材(物)料 含有大量孔隙的固体称为多孔固体。在多孔固体的孔隙中大都存在流体(液体与/或气体)，因此，多孔固体实质上是固体与流体的多相混合体，或者说，是固体骨架与流体的多相混合体。在不同应用场合，多孔固体又被称为多孔物体、多孔物料、多孔材料或多孔介质。
为了说明上述这些学术名词它们在含义上的相同处与某些差异以及它们的由来，需以追溯这一研究领域的历史作为切入点。
法国水利工程师亨利.菲利贝特.加斯帕特.达西(Henry Philibert Gaspart Darcy) (1803-1858)是这一领域的先驱者。他在1824-1848期间，致力于他出生城市第戎(Dijon)的用水供应系统工程。在经历用深挖井取水方案失败后，完成了利用地表水，即从水库取水的城市供水工程。在他晚年，1855-1856期间，专心于研究泥沙中水的流动，通过实验建立了著名的达西定律，即泥沙渗流中水的流率(单位时间内水的体积流量)与水的静压差成正比。在此后很长一段历史时期内，人们的研究始终停留在土壤与岩石中水的流动问题。直到上世纪30年代，随着石油开采，人们开始关注岩石中天然气与石油的流动问题。长期来，人们在讨论自然界诸如土壤中水分的迁移，岩石缝隙中天然气、石油的渗流等问题时，总是把土壤与岩石视为水、天然气与石油的载体，或介质。这里，人们关心的重点不是土壤及岩石本身而是其中流体的行为。介质这一名词的所涵盖的不仅仅限于作为流体的载体，而是把固相骨架与流体共存的多相体系称为多孔介质[1]。随后，研究领域逐渐扩展到广大工程界，逐渐地，多孔介质传热传质形成了传热讨论诸多由多相体系组成的多孔介质传热传质问题，
传质学科内一个相对独立的重要分支[2-4]。 多孔介质的一个显著特点是，多相体系组成的多孔介质中的流体相是连续相，固相骨架可以是连续相，而更多是非连续相，典型结构示意于图1-1
表征元容积 固体
流体
多孔介质内流场
图1-1多孔介质示意图[2]
从工程传热学的学科发展来看，若以热传导的傅里叶定律[5]问世(1822)作为建立传热学标志，到刘易斯(Lewis)、舍伍德(Sherwood)将传热学扩展成传热传质学经历了一个世纪。作为传质学在工程上的应用，首先应属被誉为化学工程之父的刘易斯，他率先提出了固体材料干燥的原理[6]。之后，干燥技术与理论在广泛工程应用背景推动下迅速发展。大凡在工程领域对各类固体产品的制备与加工中，总是把被加工的对象称为材料或物料，例如木材、粮食，混凝土材料等。由于这些材(物)料含有孔隙，统称为多孔材(物)料。随着多孔材料在材料学科中的地位日趋重要，至今，多孔材料已成为材料学科的一个重要分支[7]。
良好的产品性能是材(物)料加工行业追求的主要目标之一，而产品的性能往往更多地依赖于多孔材(物)料中的固相骨架的性能。因此，讨论这类多孔材(物)料传热传质问题时其重点不仅是材(物)料内流体相的流动与传热传质而更关注固相骨架本身及流体相对固相骨架的影响，例如，木材人造板在经受热压加工过程中，板坯内温度分布与含水率分布直接影响板坯的密度分布，最终影响板材的力学性能。又如，很多多孔性固体产品在干燥过程，为保证产品质量，往往要求控制其变形，而材料的变形与其中温度分布与含水率分布关系密切。
与多孔介质相比，多孔材料的一个显著特点是，多相体系组成的多孔材料中的固相骨架是连续相，流体相可以是连续相，也可以是非连续相。图1-2为软木木材结构示意图[8]，以此作为多孔材料的一种典型。
固相骨架
横向流通道
了
图1-2多孔材料示意图[8]
对照图1-1与图1-2应领悟到，多孔材料传热传质的含义多少有别于多孔介质传热传纵向流通道
质。
综上所述，多孔固体、多孔介质与多孔材(物)料尽管它们的基本内涵是相同的，但在不同应用场合，为了更真实地表示物理过程，更准确的给予数学描述，使用不同的名词是必要的。夲书以材料学科为背景讨论传热传质问题，因此，将更多地使用多孔材料传热传质。 顺便提及，如果人们只关心多孔材料的固体力学性能，从材料学科角度，这类材料被称为复合材料。
1.1.2 多孔材料分类及典型多孔材料
在多孔介质传热传质研究中，一般并不按多孔介质本身的物理、化学性质的不同进行分类，而往往按多孔介质中流体的状态与行为进行分类研究。例如，按孔隙中多组分流体在孔隙中的占有率进行分类[4]。把孔隙中充满液体的称为湿饱和多孔介质，孔隙中液体与蒸气共存的为非饱和多孔介质，孔隙中只有纯蒸气的为干饱和多孔介质。由于液体相在孔隙中状态不同，相继发生的传热传质行为也不同。又如，按控制多孔介质中流体的动量、能量和质量传递的不同模式分类[2,3]。分为：多孔介质中流体流动过程; 多孔介质中热传导及质量扩散过程; 多孔介质中对流传热及对流传质过程; 多孔介质中相变传热及传质过程等。
在材料学科中，为了更好地认识多孔材料的全貌，对繁多的多孔材料进行了分类与鉴别。分类的方式很多，例如，按多孔材料孔隙尺度大小分类[9]，按多孔材料制备工艺分类
[7]，而最常见的是按多孔材料固相骨架的化学成分进行分类，如表1-1所示。
表1-1 多孔材料分类之一 多孔材料
无机多孔材料
金属多孔材料
沉积型复合型) 有机多孔材料 有机生物多孔材料 (木材、竹、谷物、珊瑚、动
物骨骼、海绵) 非金属多孔材料 沫塑料) 非有机生物多孔材料 (含孔橡胶) (粉末型、纤维型、铸造型、(混凝土、陶瓷、砖、瓦、泡
在多孔材料传热传质研究中，参照材料科学分类的惯例，着重考虑对传热传质有直接影响的结构特征进行分类，见表1-2
表1-2 多孔材料分类之二 多孔材料
非吸湿性多孔材料 不含水多孔材料
孔隙封闭固孔隙连通固
气多孔材料 气多孔材料 含水多孔材料 吸湿性多孔材料 有机非生物多孔材料 (活性碳、石英玻璃、粘土) 生物多孔材料 (木材、竹、谷物、珊瑚、动物骨骼、海绵)
吸湿性(adsorption, hygroscopic)材料与非吸湿性(non-hygroscopic)材料是以多孔材料中固相骨架是否吸收水分来划分的。这样，吸湿性多孔材料中包含的水首先是包含在固相骨架内，其次才是贮存在固相骨架间的孔隙之中。而非吸湿性多孔材料中包含的水仅仅贮存在固相骨架间的孔隙中。
虽然上述表格中已列出不同型式的多孔材料，但仍难以囊括全部。尽管各类多孔材料的共同特点是多孔性固体，但由于其结构不同，固相骨架与流体种类与性质不同，被加工或工作时环境条件不同，导致其中的传热传质机理有很大的差别。因此，难以找出一种典型材料，对其中的传热传质的分析可概括全体。纵观表1-2所列各种多孔材料，就其中传热传质过程的复杂程度而言，表中从左到右的排列反映由简单到复杂的过程。本书的叙述大体上按表1-2自左而右的顺序。从表1-2中还看到，生物多孔材料是多孔材料中结构最为复杂的一种，其中的传热传质过程也最为复杂，这里以木材为例作扼要介绍。
木材，包括从森林中砍伐下来的原木以及由木质元素构造成的各种人造板，是一种复杂的多孔材料。其复杂性原于，作为一种生物体，它由各种细胞组成，而细胞的结构是相当
复杂的。作为生物体，树种不同，细胞结构就不同。既便是同一树种，由于生长期
不同，细胞结构也不同。既便是同一树种同样树龄的树木，在一棵树木不同部位由于早生与晚生的不同生长期其细胞结构也不相同。总之，木材的变异性很大。这样，在对它的研究中，也只能取其中的一个典型的木材细胞结构作为研究对象。
图1-3与图1-4所示为一种典型的针叶树材南方松粗视构造以及叶树材细胞壁的各元素间的相互关系。
。
图1-3一种典型的针叶树材南方松粗视构造。
三层细胞壁
胞间层微纤丝
管胞 四层胞间层
微纤丝 晶体
晶胞
图1-4 构成针叶树材细胞壁的各元素间的相互关系
从以上两个简图中，我们可清楚地看到木材结构的复杂性。关于更多木材结构方面的知识，读者可阅读有关木材学教材中的相关章节[10,11]。从木材的宏观特性来看，细胞结构的复杂性表现在如下几个特征同时存在：
(1)、材料物理性质诸参数(如导热系数，渗透率)呈各向异性。由此导致其中传热与流体流动都具各向异性。然而，在一定条件下，如由木质纤维构成的中密度人造板，从其微小的局部来看，由于纤维有明显的趋向而呈各向异性，但从板的整体而言，由于单个纤维的趋向是随机的，整体上可认为各向同性。
(2) 、木材中水分迁移形式复杂。这是由于木材细胞几何特征及水在木材细胞内存在形式决定的。按木材学介绍，木材中的水分按其存在形式不同分为自由水、吸着水与结合水三种。自由水是以游离状态存在于细胞间的缝隙及细胞腔内这类大毛细管的水分，吸着水是以吸附状态存在于细胞壁中微毛细管的水分，而化合水是指与木材细胞壁物质组成呈牢固结合状态的水。水的存在形态不同，相应的迁移机理也不同。木材在加工中水的迁移行为最终会影响木材的宏观性能。
(3)、高孔隙率与低渗透率。如表1-3所示，木材内的孔隙率范围大致在40%~80%。显然，木材有高的孔隙率。另一方面，木材的渗透性并不高(见表4-2)。这一特点也是由木材细胞结构决定的。尽管木材细胞内与细胞间有很大的孔隙，但这些孔隙基本上被细胞壁相互隔离，只是通过细胞壁上的微小纹孔使孔隙间相通。也可以说，尽管木材有高的孔隙率而贡献于流体流动的有效孔隙率很低。
(4)、材料在受热压加工过程中其形状发生变化，相应地，原均匀分布的孔隙率不仅呈不均匀分布状态，且随时间变化。从材料结构上看，细胞腔及细胞间缝隙的空间受不同程度的压缩。从宏观上看，表现为材料密度呈不均匀分布且随时间变化，相应地，材料的导热系数及渗透率呈不均匀分布且随时间变化。
尽管木材作为一种多孔材料具有其特殊性，对它的研究有相当局限性，但其研究内容与研究方法仍不失其普遍意义。
1.1.3 多孔材料中几个常用物理量
(1)孔隙与孔隙率
若多孔材料整体的体积为V ，它由固相体积V s 与非固相体积V φ组成，即，
V =V s +V φ (1.1.1) 孔隙是指多孔材料中非固相所占有的体积V φ，孔隙率(也称孔隙度或孔度)φ的定义为 φ=V φ (1.1.2) V
它是表征多孔材料的一个重要特征量。
用式(1.1.2)定义的孔隙率在概念上是非常清楚的，但在实际应用时，仍有很多细节需要辨清及正确处理。
1.对于非吸湿性多孔材料，由于其固相骨架不吸收水分，多孔材料整体的体积V 不会因为孔隙中是否有水而发生变化，则可用简单的实验方法求得孔隙率。例如，用水将多孔材料中孔隙灌满，而后测量孔隙中水的质量，求得其体积，按式(1.1.2)的定义得到孔隙率。但对于吸湿性多孔材料，固相骨架具有吸收水分的能力。把水浸入多孔材料过程中，在向孔隙充填水的同时，也被固相骨架吸收，导致固相骨架的体积，进而多孔材料整体的体积V 会发生一定的变化(被称为湿胀)。这样，上述简单的实验难以求得孔隙率。
为求吸湿性多孔材料的孔隙率，先将材料烘至绝干，得到烘干后的材料体积V 与质量M d ，由此求得绝干材料的平均密度ρd 为 ρd =M d (1.1.3) V
若已知固相骨架的密度为ρs ，且认为固相骨架的质量为绝干多孔材料的质量，则 M d =ρs (1−φ) V (1.1.4)
将式(1.1.4)代入式(1.1.3)，再经整理后可得 φ=1−ρd (1.1.5) ρs
3式(1.1.5)是多孔材料孔隙率的另一表示形式。例如，如图1-3所示的木材结构，其中固相骨架为细胞壁，对各类不同树种，它们的细胞壁密度大致相同，在1490~1570kg/m这个
范围，平均值为1530kg/m。而不同树种的绝干密度在250~1000kg/m这个范围，则木材的孔隙率分散在32%~84%这个范围，见表1-3。
表1-3 我国部分树种细胞壁密度、绝干密度与孔隙率
树种 孔隙率(%) 细胞壁密度(kg/m3) 木材绝干密度(kg/m3)
陆均松
鸡毛松
子京
红稠
轻木 心材 1512 1515 1513 1543 边材 1535 1517 1520 1531 平均 1523 1516 1516 1537 1518 581 486 1033 1032 244 61.8 67.9 31.9 32.8 83.9 33
2.在实际应用孔隙率这一物理量时，不仅应用它的几何属性，还应用它的物理属性，即它对物理过程的影响。由此，在讨论孔隙率对传热传质过程影响时，引入有效孔隙率的概念。
多孔材料内的孔隙，理论上讲，它们可以是空穴，即孔隙中没有任何物质。这样，多孔材料固相骨架的质量就是多孔材料的质量。而且，孔隙间是否连通对多孔材料的宏观性质不会有影响。但事实上，孔隙中总是有流体。在此条件下， 多孔材料中的孔隙是否连通对多孔材料的宏观性质有着直接影响。例如，用作隔热材料的泡沫塑料，正是利用材料中的孔隙不连通，且气体的导热系数远低于固相塑料的导热系数这一特点达到提高材料热阻，阻止热流通过的隔热效果。相反，诸多多孔材料加热干燥技术，正是利用材料中孔隙的连通性，在受热条件下，将孔隙中水(或水蒸气)通过连通的孔隙输送到材料周围的环境达到使材料干燥的目的。
对于相互连通的孔隙，由于连通程度不同，对传热传质过程的影响也不同
图1-5被用来说明引入有效孔隙率的必要性及孔隙率与有效孔隙率的联系。就孔隙率几何特征而言，比较容易被量化，如式(1.1.2)或式(1.1.5)所示，而有效孔隙率难以准确地被量化。图1-5所示的四种情形，它们的孔隙率都相同，即孔隙在材料内占有的空间都相同。四种情形不同之处的是孔隙间的连通程度不同，有效孔隙率不同。
(b) 中等有效孔隙率 (d) 有效孔隙率接近孔隙率
图1-5 孔隙率与有效孔隙率
如图所示，当材料两端有压力差Δp 时，在(a)情形下，由于孔隙间彼此完全被固相骨架隔开，流体完全不能在孔隙间流动，有效孔隙率为0。在(b)情形下，孔隙间连通的面积很小，有效孔隙率很低，木材结构大都如此，孔隙率很高，有效孔隙率很低。在(c)情形下，孔隙间的连通面积加大，但仍远小于孔隙的面积，此时，使有效孔隙率加大，但在实际孔隙内仍有部分流体相对地处于静止状态，大部分无机多孔材料属于此情形。在(d)情形下，孔隙间的连通面积继续加大，达到与孔隙截面积相当，孔隙内的流体不再有静止部分，有效孔隙率接近孔隙率。
(2)饱和度与含水率
如果说孔隙率是反映多孔材料中非固相介质所具有的相对体积，则饱和度与含水率是反映包含在多孔材料内流体的相对含量。其中，饱和度是相对体积含量，含水率是相对质量含量。
若多孔材料孔隙中被多种组分流体所占据，其中某一种流体在孔隙中占有的份额被称为该种流体的饱和度。液相水的饱和度εl 就是液相水在孔隙中的相对体积，可表示为
εl =V l (1.1.6) V φ
式中V φ与V l 分别为孔隙与孔隙中液相水占有的体积。
将式(1.1.2)代入式(1.1.6)，经整理后可得
V l =εl φ (1.1.7) V
*式(1.1.7)表示液相水在多孔材料整体中所具有的相对体积。 含水率又分绝对含水率W 与相对含水率W ，它们的定义分别为
W =
与
M l (1.1.8) M d
W =*M l (1.1.9) M d +M l
其中M l 与M d 分别为多孔材料中水的质量与绝干固相骨架的质量。
大多数多孔材料在加工过程中其绝干固相骨架的质量M d 是不变的，这样，用绝对含水率来表示多孔材料内的含水量显得更直观更确切，除非特别说明，本书在以后叙述中提及的含水率都为绝对含水率。
对非吸湿性多孔材料而言，液相水饱和度εl 与含水率W 可一一对应，如式(4.5.26)所示，在实际应用中可相互转换，而对于吸湿性多孔材料，两者间一一对应关系就不明显了，且用饱和度εl 来表示水的含量就不甚恰当，因为其中的V l 与V φ都不易确定，更详尽讨论请见第6章。。
(3)平均密度与表征元容积
由固相骨架、液相水与气体多组分共同组成的多孔材料的质量为M ，体积为V ，则平均密度为
=M ρs V s +ρl V l +ρg V g ==(1−φ) ρs +φεl ρl +φ(1−εl ) ρg (1.1.10) V V
液相水密度ρl 及气体密度ρg 式(1.1.10)表明，多孔材料平均密度是固相骨架的密度ρs 、
的加权平均，权系数为各组分的相对体积。
在孔隙率φ及液相水饱和度εl 都均匀分布的多孔材料内，在任意点P 处取包括P 点在内的容积ΔV ，其中包含质量ΔM ，则该容积ΔV 内材料的密度为 ρ=ΔM (1.1.10) ΔV
若ΔV =V ，ΔM =M ，则ρ=，如图1-6中水平实线所示。随着ΔV 逐渐缩小，ρ值但在附近涨落，即在图1-6中两条水平虚线间波动。当ΔV 缩小到某一值V re 将偏离值，后，这种波动明显加剧。上述这个V re 被称为表征元容积(representive elemary volume)，也被称表征体元[12]。如果ΔV 值继续缩小，ρ值的波动加大，最终，取决于点P 的位置，若点P 在固相骨架内，则ρ趋于ρs ，若点P 在孔隙内的液体处，则ρ趋于ρl ，若点P 在孔隙内的气体处，则ρ趋于ρg 。
ρ
图1-6 表征元容积 re ΔV V
表征元容积在研究有多相多组分组成的多孔材料中有重要的作用。在材料学科内，表征元容积被广泛用于讨论复合材料的力学性能，这里，我们将用表征元容积来讨论多孔材料传热传质行为。
1.2 多孔材料传热传质研究的内容与范围
多孔材料由于其组成不同及所处外部条件不同，其内部所发生的传热传质现象是极不相同的。但一般而言，这些不同的现象是由若干基本现象综合而成。这里仍以木材加工为背景，将其中涉及到的诸多基本现象介绍如下。
1.2.1 热传导
热传导是多孔材料传热传质现象中最基本形式之一，它主要(非全部，在某些条件下可能是次要)存在固相骨架内。热传导现象不涉及物质的宏观迁移，热量由高温处传向低温处。热传导也称热扩散。如果多孔材料内固相骨架为各向异性，则相应的导热系数为各向异性，相应地，多孔材料内的传热具有方向性。对于封闭型孔隙的多孔材料，例如泡沫塑料，其中孔隙内的流体可视为处于静止状态，这样，材料内热量的传递也不涉及物质的宏观迁移，这类多孔材料内的传热从其总体效果来看也可视为热传导，只是对材料的导热系数赋予新的含义，引入等效导热系数这一新概念，且得名等效导热系数法。 该方法的关键是根据多孔材料的结构，固相骨架与孔隙中流体的导热系数，正确选取或建立计算等效导热系数的公式。等效导热系数法也可用于高孔隙率低渗透率且含水率很低的木材传热过程，这里，把微弱的热对流因素折合成某种导热因素。
1.2.2 渗流、热对流与对流传热
在多孔材料内的孔隙相互连通的条件下，当相邻孔隙内流体的压力不相同时，流体会从高压处流向低压处，随着流体的流动，也将其携带的能量由高压处传输到低压处，这种能量传输为热对流。在流体热对流过程中，由于温度差别而引起的热传导，也存在于流体内。在某些条件下，如高的有效孔隙率，流体的导热系数大于固相骨架导热系数，流体中的热传导也可超过固相中热传导，但象木材这类低有效孔隙率材料中，在加工过程中，不易出现此情形。对于有效孔隙率低的材料，其渗透率很低，流体的流动速度很慢，流体在孔隙间的流动称为渗流。渗流服从达西定律。通常用雷诺数Re ≤1. 0作为判断渗流的条件。由于渗流的流动速度很小而孔隙内的流体几乎处于静止状态，由此，多孔材料内固相骨架与流体接触处固相与流体之间的温度差别很小，可以假定为相同，也被称为局部热平衡。
当材料处于高温气流环境中被加热时，高温的流体向低温的材料表面传输热量，这种传热方式为对流传热。同样，相反的情形，高温的材料表面向低温的气流传输热量，也是对流传热。就引起流体流动的原因而论，对流传热可区分为自然对流与强制对流两大类。自然对流是由于流体各部分的密度不同而引起的，而强制对流则是由诸如鼓风机等设备强制流体流动。热对流与对流传热的差别是，前者是指流动流体内部由于流动引起的热量传输而后者是指流动流体与其相接触的固体表面间的热量传输。
1.2.3 质扩散与对流传质
对照热扩散，将不涉及物质宏观迁移只由于物质密度差引起的质量传输称为质扩散。它发生在有多种物质(如空气与水蒸气)共同存在的体系内。例如，当木材人造板受热压时，人造板孔隙内有大量的水蒸气与空气，水蒸气的密度差与空气的密度差都会引发它们各自的质扩散。材料表面与静止环境之间也会因为水蒸气密度差而产生质扩散。例如，湿的衣服或
木材在静止空气环境中被晾干，就是多孔材料中的水分以水蒸气形式经历了质扩散过程。
对照对流传热，把水蒸气宻度高的流动的空气流(物质宏观迁移)向水蒸气密度低的湿表面传输质量(水蒸气凝结)称为对流传质。同样，相反的情形，高水蒸气密度的湿材料表面向低水蒸气密度的空气流传输质量(水的蒸发)，也是对流传质。当含水的多孔材料被流动的干空气加热时，多孔材料表面的水蒸气密度大于空气流中水蒸气密度，在空气气流带动下，把大量水蒸气从材料表面带到环境中，使材料干燥，这是对流传质典型的例子。
上一小节1.2.2中提及的热对流其实也伴随着质量的宏观迁移，我们在以后讨论中并不把它称为质对流，以免与本节提及的对流传质混淆。
材料表面的质扩散与对流传质所伴随的水蒸气蒸发是材料干燥的最基本原理。
水蒸气凝结与水的蒸发的相变行为不仅发生在材料表面，也发生在多孔材料内部。在多孔材料孔隙内的湿空气在流动过程中，若遇到温度较低的固体骨架(固相骨架温度低于湿空气露点)，则水蒸气凝结成水并被固相骨架所吸收或停留在孔隙内。相反，由于材料被加热及孔隙间流动等因素，使孔隙中或吸着在固相骨架内的水被蒸发，以蒸气形式停留在孔隙中。
1.2.4 弯曲液面与毛细管力
在含水多孔材料内水分存在及传输的形式有赖于液相水与气体交界面上液体的物理化学性质。图1-7所示为直径由大至小毛细管现象。由图(详见表5-1)可知，毛细管压力与毛细管直径呈反比。这样，尺度不同且相互连通的孔隙犹如直径不同的毛细管群。因此，含水的多孔材料也被称为毛细管材料。毛细管现象中除了毛细管引起水柱升高，还由于液面弯曲引起相应饱和蒸气压的变化。毛细管直径越小，凹型液面对应的饱和蒸气压越低。这一特点直接影响着水的蒸发，进而影响水分迁移。
图1-7 弯曲液面与毛细管力
1.2.5 液相水与水蒸气的热力学平衡
1.2.3中提及的在材料表面上由水蒸发成为水蒸气(或由水蒸气凝结成为水)的过程本质上是从一个热力学平衡状态向另一个热力学平衡状态过渡的过程。
为了理解木材中液相水与气相水蒸气的热力学平衡关系，有必要重温工程热力学中液态水与水蒸气相平衡及木材学中关于木材吸湿性的知识。
若水与其蒸气共处同一温度同一压力的封闭容器内且达到平衡时，则容器内水蒸气压力为容器温度与容器压力条件下的饱和压力，相应地，水蒸气密度为饱和水蒸气密度。在大气环境下某一温度自由水的水表面上也存在液相水与水蒸气的相平衡。水表面上水蒸气密度为水温条件下饱和水蒸气密度。
关于木材中水与水蒸气的平衡，必须结合木材的结构。为此，由图1-5表示木材细胞内水的存在形式及水与水蒸气平衡关系，图中椭圆表示细胞壁的横截面。图(a)表示木材在水中浸泡足够长时间，即木材被湿透后的情形。细胞腔内充满水，称为木材处于水饱和状态。细胞腔内只有自由水，没有水蒸气。在多孔介质传热传热学中称为湿饱和多孔介质。当湿透的木材(图(a)所示)被干燥时，细胞腔内自由水开始减少，水位下降，细胞腔成为水与水蒸
气共存的空间，如图(b)所示。腔内的水与水蒸气处于热力学平衡状态，水蒸气密度为对应于细胞温度与压力下的饱和水蒸气密度，也即，细胞腔内湿空气的相对湿度为100%。此阶段，细胞壁内吸着水的含量没有丝毫变化。在此阶段，称为非饱和多孔介质。图(c)表示当木材继续被干燥且达到某一状态，此状态下，自由水全部迁出细胞腔而细胞腔内相对湿度仍为100%，细胞壁内吸着水还保持原始值。此状态的木材含水率称为纤维饱和点。这时，细胞腔内的相对湿度(水蒸气密度)与木材含水率(细胞壁内的含水量)相平衡，称这种平衡的含水率为平衡含水率。在这一状态下的平衡含水率也即纤维饱和点。
请读者注意，图(a)所示为饱和细胞，图(c)所示为饱和纤维。
细胞壁 细胞腔 相对湿度小于100% 相对湿度小于100% 相对湿度为0
(a)水饱和细胞 (b)非饱和细胞 (c) 饱和纤维 (d)非饱和纤维 (e)干纤维
图1-8 木材细胞内各种含水状态
若木材继续被干燥到另一个新的状态，则相对湿度(细胞腔内水蒸气密度)与木材含水率(细胞壁内吸着水量)相应地下降到另一个新的状态，如图(d)所示。在这新状态下，细胞腔内是水蒸气与空气的混合气体，或者说是湿空气。该湿空气的相对湿度与木材含水率达到新的平衡，此木材含水率仍称平衡含水率。总之，在一定温度与压力条件下，平衡含水率只取决于相对湿度。以此类推，如图(e)所示，等木材干燥到绝干状态，细胞腔内的水蒸气也为0。此阶段，被称为干饱和多孔介质。请读者注意，图(b)所示为非饱和细胞，图(d)所示为非饱和纤维。
关于纤维饱和点以及含水率处于纤维饱和点以上或以下不同的水与水蒸气平衡关系，在研究木材传热传质中置关重要，也是木材(有机生物材料)与其它非吸湿性多孔材料主要区别之一。
1.3 多孔材料传热传质问题的数值研究方法
多孔材料传热传质数值分析实质上是把计算传热传质学应用于多孔材料这一领域。 计算传热传质学是近30年来随着计算机科学发展而诞生，发展，并正日趋完善的一门新兴学科，是研究多孔材料传热传质问题重要手段之一。它与传统的实验方法，与以微积分理论为基础的解析求解的理论研究方法相辅相成，成为当今传热传质这一领域重要分支之
一。它以工程实际中存在的大量传热传质问题为研究对象，将其演绎成恰当的数学问题并对此求解，最终以数学问题的解作为对实际问题的回答。为了说明它在研究方法上所具有的这一特点，不妨将它与实验研究方法，分析求解的理论研究方法进行对比。
传统的实验研究有两种形式。一种是在研究对象的原型上进行，也就是，在原型实际过程中直接对研究对象的相关参数进行测量或数据采集，并对数据加以整理与分析找出规律性结果。另一种则是在研究对象的模型上进行，也就是，在认识原型现象基础上，根据物理相似性原则，设计模型，在实验室建立模型设备以模拟原型的条件，在模型设备上进行测量与数据采集及整理，以此获得的数据代表原型的数据，把在模型上研究所得结果推广到原
型中去。这种模型也常被称为物理模型。这种借助于模型的实验研究方法往往具有所用实验时间短，耗资少等优点而被科学界与工程界广泛采纳。
理论研究方法可扼要地用下列框图表示：
理论研究方法与实验研究方法的出发点是相同的，都是实际的传热传质问题，如第一个方框所示。接下来的步骤分别在下面几小节介绍。
1.3.1 实际问题模型化
处理实际问题的第一步，是对实际问题作模型化处理。由于实际问题往往相当复杂，在保证其基本不变条件下作适当的简化。这里，保证实际问题基本不变是前提，在这个前提下的简化过程称为模型化过程也可称为建立实际问题的物理模型。例如，用作隔热材料的泡沫塑料，在分析其中传热过程时，由于材料中孔隙是封闭的，孔隙内流体在传热过程中被视为静止，从宏观上看，把含有大量封闭型孔隙的泡沫塑料视为一种性质均匀的密实固体材料。这种密实固体就是泡沫塑料的模型。又如，把结构复杂的木材视为一种多孔材料。除了可对材料作模型化处理外，也可对过程作模型化处理。例如，若多孔材料内的孔隙相互连通，则当材料在被加热时，孔隙间的气体就会流动，视这种流动服从达西定律的渗流，这就是多孔材料内流动过程的物理模型。又如，把温度不完全均匀的热板对材料的加热过程视为温度均匀的热板对材料的加热过程。
在建立物理模型时，要对实际问题所涉及的物理现象，支配这些物理现象的基本规律有正确的认识。在建立物理模型过程中要兼顾以下两方面的平衡。一方面，模型要尽可能保持原型问题的真实性，另一方面，要考虑到下一步数学描述与求解的可能性。
1.3.2 物理模型基础上的数学模型
第二步，对已经作模型化处理的问题进行数学描述。也就是，在物理模型基础上建立数学模型。一般而言，视原问题及所建物理模型复杂程度不同相应的数学模型繁易程度也不同。例如，若多孔的泡沫塑料中的孔隙都是封闭的，这样，这一泡沫塑料视为密实的固体材料，在这一物理模型基础上，当讨论该材料加热时，其传热数学模型就简单些，可以归纳为一个关于温度的偏微分方程问题(热传导方程与相应的定解条件)，如果孔隙均匀地分布，则上述固体材料是均匀材料，在这进一步简化的物理模型基础上，上述偏微分方程则为常系数热传导方程。如果多孔材料内的孔隙是连通的，把孔隙内气体流动服从达西定律视为物理模型，则当材料被加热时，其传热传质数学模型就复杂些，是关于温度，气体压力、密度与速度的偏微分方程组问题(含热传导与热对流的能量守恒方程，气体质量守恒方程，气体状态方程以及相应的定解条件)。
总之，建立在物理模型基础上的数学模型就是用一个数学问题来代表一个实际问题，如上述框图中的第二个方框。
在日常研究工作中我们还常见这样的情形，即把实验中(原型实验或模型实验)采集的数据经分析与整理后得到规律性的结果表示成某一数学公式并称此公式为数学模型。例如，反映木材内平衡含水率与环境相对湿度关系的经验公式。应该说，这是另一类的数学模量，可称其为统计数学模型。而建立在物理模型基础上的数学模型则称解析数学模型或机理数学模型。
近年来，在数值计算发展中，人们也把在1.3.3节将要介绍的控制容积法作为建立
数学模型的基本方法。
在对复杂物理过程建立数学模型时应由简入手，从简到繁，逐步逼近实际。
1.3.3 求解数学模型
第三步，对数学模型求解。多孔材料传热传质问题经常讨论到材料内部某一参数(如温度或含水率)或诸多参数(如，温度、含水率、气体压力与速度等)的分布及其随时间变化，而涉及到这类分布函数随时间变化的问题大都是单个偏微分方程或偏微分方程组问题。对它们的求解主要由分析解法与数值解法。
分析解法也称解析解法，是求解偏微分方程的一种经典方法。它以数学分析为基础求解偏微分方程问题，得到以函数形式表示的解。这个函数表示着材料内某一参数(如温度或含水率)的分布。分析解法又分精确分析解法与近似分析解法。精确分析解是指函数形式的解在求解域内逐点精确地满足原微分方程定觧问题，而近似分析解所得到的函数形式在求解域内每点处只是近似地满足原微分方程定解问题。
分析解法的优点是，所得的函数形式的解清晰地反映了相关各物理量之间的内在联系。其主要不足之处是，能用解析法求解的问题非常有限。对诸如多孔材料内有水分迁移的传热问题，就显得无能为力。由此，解析的方法只适用于求解相对比较简单的数学模型。值得一提的是，用解析方法求得的解常常可以作为数值计算结果正确与否的标准。
从上世纪50年代之后，随着计算机技术硬件与软件迅猛发展，数值计算方法越来越成为计算复杂数学问题的主要方法。在数值计算方法中又以有限差分法与有限单元法最受关注。有限差分法是1910年问世1950年以后才逐渐成熟。有限单元法则是1950年后兴起的。它们都是依存于计算机科学的发展而发展起来的。有限差分法与有限单元法都是求解微分方程问题的近似方法，在功能上各有千秋。针对诸如多孔材料结构比较复杂，传热传质并存的非稳态问题，采用有限差分法更具灵活性。本书只介绍用有限差分法求解相关数学模型。
用有限差分法求解问题的基本要点是，将原微分方程问题转换成代数方程问题，也就是，将微分方程形式的数学模型转换成代数方程形式的数学模型。求解代数方程所得到的解被认为是微分方程的近似解。
在代数方程建立方面常有两种途径。其一，从微分方程出发，用差分代替微分，用差商代替微商，将微分方程转换成差分方程，即代数方程组(代数方程形式的数学模型)。其二，在讨论的区域(多孔材料)内取控制容积单元。针对此单元，根据已建立的物理模型，建立代数方程，也即代数形式的数学模型。特别值得一提的是，这里的控制容积单元与1.1.1小节中的表征元容积是一致的。本书中将广泛采用控制容积来建立相应的代数形式数学模型。
关于代数方程形式数学模型的解是否就是微分方程形式数学模型的近似解的问题将在本书第2章中讨论。
对复杂数学问题的求解还有一种物理的方法曾经被人们广泛应用，如电热模拟法、水热模拟法等。在模拟法中，用电压(或水位)代表温度，用测量电压(或水位)的分布来代替对温度分布的求解。这类物理方法在电子计算机尚未被广泛应用之前是求解复杂数学问题的重要方法。
1.3.4 求解结果显示
第四步，求解结果显示。数值计算方法求解得的是代数方程的解，也即，其结果是大量离散的数据，这些数据的值正是数学模型的解，如以上框图中第三个方框。数据的原始形式一般贮存在若干数组内，利用这些数组中的数据可绘制成相应的曲线或图表以示求解数数模型的结果。在计算机可视化技术推动下，这些数据又可以动画的方式表现在计算机屏幕
上，以显示似乎真实的物理过程。
综上所述，计算传热传质学的研究方法是用数学问题去模拟实际问题，用数学问题的解去模拟真实的过程，加上计算机可视化技术，仿佛可将真实过程显示出来。由此，这种方法也被称为数值仿真。
与传统实验方法从实测中获得数据相比，计算传热传质学则是用数值计算方法来获得数据。相应地，这种方法又被称为数值实验。由于数值实验是在一台计算机上实施的，显然具有成本低且效率高的优点。特别是它可以获得更多在实验中难以获得的信息，例如，加工过程中人造板内含水率的分布，至今难以用实测方法获得。数值实验还可以模拟在实验中难以实现的条件，例如，过高的温度，有毒的环境等。
1.3.4 微分方程的适用性
针对多孔材料，读者可能提出如下的疑问。
传统上，用微分方程描述的对象或过程都是在连续的区域内，即连续的时间区域，连续的空间区域，微分方程对连续区域内逐点成立。而多孔材料由固-液-气组成，其中有大量的固-液，固-气与液-气界面。在界面处，很多参数是不连续(光滑连续) 的，例如，密度。相应地，温度等参数在界面处也会不连续。在这种情形下，微分方程还可以用来描述多孔材料内的传热传质现象吗？
作者作如下回答，并愿与读者共同思考与讨论。
用以连续函数为基础的微分方程去描述明显不连续区域内各参数的分布也许不是一个好的办法，对就各种比较熟悉的方法而言，微分方程，尤其是它的差分形式还是一个相对比较好的方法。理由如下：
1. 小到不占空间体积的几何点，这些点的集合构成连续的区域; 另一方面，把这个点理解得足够大，大到是一个多相体系，这个体系内存在着多孔材料的各种元素。也就是说，对一个点而言，包含着孔隙率φ、液相水饱和度εl 、固相密度ρs 、气相密度ρg 等概念。
2. 在数值分析中，点是被放大的。点是一个区域的代表，也可以说，一个点处的参数(如某一点处的温度) 实际是一个区域内参数分布的某种平均值。这个区域可以理解为图1-6所示的表征元容积，也是有限差分法中的控制容积。对这个区域，孔隙率φ、液相水饱和度εl 等参数都有定义。
3. 上述放大的点(或表征元容积或控制容积) 的尺度(如1mm) 比多孔材料尺度(如，大于10mm) 小得多，而比孔隙尺度(如，小于0.1mm) 大得多。
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