实验2 一、二阶系统的阶跃响应
一、 实验目的：
1. 熟悉MA TLAB 软件分析系统时域响应方法。通过观察典型二阶系统在单位阶跃、脉冲、斜坡信号作用下的动态特性，熟悉各种典型的响应曲线。
2. 通过二阶系统定性及定量了解参数变化对动态特性的影响。分析参数变化时对系统响应的影响。
二、 实验设备和仪器
1) PC机一台 2) MATLAB软件
三、 实验原理
1. 一阶系统阶跃响应：
图2-1示RC 网络为一阶系统
图2-1 一阶RC 网络
研究图2-1所示电路, 其运动方程为
(t ) +c (t ) =r (t ) T c
式中, T =RC 为时间常数. 当初始条件为零时, 其传递函数为
φ(s ) =
C (s ) R (s )
=
1Ts +1
若R=1Ω，C=0.01F, 则T=RC=0.01s。
传递函数 Ф(s)= 1/(0.01s+1)
2．位置随动系统可以用如下二阶系统模型描述：
Φ(s ) =
C (s ) R (s )
=
ωn
2
2
2
s +2ξωn s +ωn
ωn—自然频率, ξ—相对阻尼系数
四、 实验内容及步骤
1、 求当K=1, T=0.1, 0.5, 1 , 2s时的一阶惯性系统单位阶跃响应的MA TLAB 程序如下： % Example 2.1
clear num=[1]; den=[0.1 1]; step(num,den,'r--') hold on den=[0.5 1]; step(num,den,'g-.') hold on den=[1 1]; step(num,den,'b:') hold on den=[2 1]; step(num,den,'k') axis([0 10 0 1.05])
legend('k=1,T=0.1','k=1,T=0.5','k=1,T=1','k=1,T=2',4) 执行后可得如下图形：
图2-1
由上图可知，当T=0.1时，ts=0.39s;当T=0.5时，ts=1.96s;当T=1时，ts=3.91s;当T=2时， ts=7.82s;由于时间常数T 反映系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小，其响应过程越快； 反之，惯性越大，响应越慢。
2、 绘制二阶系统当ωn=6, ξ=0.2, 0.4, …… 1.0, 2.0时的单位阶跃响应。
MATLAB 程序： % Example 2.2
wn=6;
kosi=[0.2:0.2:1.0 ,2.0]; figure(1) hold on for kos=kosi num=wn.^2;
den=[1,2*kos*wn,wn.^2]; step(num,den) end
title('Step Response') grid on hold off
执行后可得如下图形：
图2-2 数据列表如下：
数据结果分析：当ωn相同ξ不同时，在过阻尼（ξ>1）和临界阻尼（ξ=1）响应曲线中，临界
阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼（0
3．绘制典型二阶系统 , 当ξ=0.7, ωn=2, 4, 6, 8时的单位阶跃响应。 MATLAB 程序：
% Example 2.3 w=[2:2:8];
kos=0.7; figure(1) hold on for wn=w num=wn.^2;
den=[1,2*kos*wn,wn.^2]; step(num,den) end
title('Step Response') axis([0 4 0 1.1]) grid on hold off
执行后可得如下图形：
图2-3 数据列表如下：
数据结果分析：在二阶系统中，当ξ相同ωn不同时，ωn越大，响应速度越快；反之，响应速度 越慢。
4．求二阶系统的ξ=0.5, ωn=10时的单位冲激响应。
Φ(s ) =
MATLAB 程序：
ωn
2
2
2
s +2ξωn s +ωn
%Example 2.4 wn =10; kos=0.5; figure(1) num=wn.^2;
den=[1,2*kos*wn, wn.^2];
impulse(num,den) grid on
title('Impulse Response');
执行后可得如下图形：
图2-4 由图得ts=0.93s,tp=0.12s 5．求高阶系统的单位阶跃响应: Φ(s ) =
3(s +5s +7) s +6s +8s +4s +1
4
3
2
2
MATLAB 程序：
% Example 2.5 num=[3 15 21]; den=[1 6 8 4 1]; step (num,den); grid on
title(' Step Response')
执行后可得如下图形：
图2-5 由图得，σ%=5.34，tr=4.64s,ts=13.1s,tp=9.57s 上述程序如加语句：
[z, p]=tf2zp(num,den)
则执行结果如下： z =
-2.5000 + 0.8660i -2.5000 - 0.8660i p =
-4.3652 -1.0000 -0.3174 + 0.3583i -0.3174 - 0.3583i
由结果知，其极点全部在左半s 平面，故该系统稳定。
实验报告要求
1．画出典型二阶系统各种典型的响应曲线。
2．对曲线进行动态特性分析，总结参数变化对动态特性的影响。
实验3 控制系统的根轨迹
一、 实验目的
1) 掌握MA TLAB 软件绘制根轨迹的方法。 2) 分析参数变化对根轨迹的影响。 3) 利用根轨迹法对控制系统性能进行分析。
二、 实验设备和仪器
1) PC机一台 2) MATLAB软件
三、 实验原理
(1) 根轨迹的概念
经典控制理论中，为了避开直接求解高阶特征方程式根时遇到的困难，提出了一种图解求根的方法，即根轨迹法。根轨迹是指当系统的某个参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在复平面上的变化曲线。
常规根轨迹一般取开环增益K 作为可变参数，根轨迹上的点应满足根轨迹方程：
m
K
G (s ) H (s ) =
*
∏(s -z
j =1
j
) =-1
n
∏(s -
i =1
p i )
其中z j ---开环零点，p i ---开环极点，K *---根轨迹增益，是一个变化的参数（0→∞），
K
*
=AK , A 为一常数。系统结构图如下
:
图3-1 闭环系统结构图
闭环特征根（即根轨迹上的点）应满足
m
（1） 幅值条件：
K
*
B (s )
∏|(s -z
=K
*
j =1n
j
) |=1；
A (s )
∏|(s -
i =1
p i ) |
m
n
（2） 相角条件：∑∠(s -z j ) -
j =1
∑∠(s -
i =1
p i ) =(2k +1) π。
（2）用MATLAB 软件绘制根轨迹
MATLAB7.0提供的工具箱给出了一系列关于根轨迹的函数，如表3-1所示。使用这些函数能够很方便地绘制出系统的常规根轨迹和参数根轨迹，还能基于根轨迹对系统性能进行分析。
表3-1 根轨迹函数
① pzmap
调用格式：pzmap(sys); [p,z]=pzmap(sys) ② rlocfind
调用格式：[k,poles]=rlocfind(sys); [k,poles]=rlocfind(sys,p) ③ rlocus
调用格式：rlocus(sys); rlocus(sys,k); [r,k]=rlocus(sys); r=rlocus(sys,k) ④ rltool
调用格式：rltool(plant); rltool(plant,comp) ⑤ sgrid
调用格式：sgrid; sgrid(z,wn) ⑥ zgrid
调用格式：zgrid; zgrid(z,wn)
四、 实验内容
系统的开环传递函数：G (s ) H (s ) = 绘制系统的根轨迹图。
K
*
s (s +1)(s +2)
程序： num=[1]；
den=[1 3 2 0]； rlocus(num,den) 执行后得到如下图形：
（1） 采用上述方法绘制开环传递函数
G (s ) =
K (s +1) s (s +a )
2*
, K
*
>0
当a=0.1, 0.5, 7, 9时的MATLAB 程序： clear
G1=tf([1 1],[1 0.1 0 0]); G2=tf([1 1],[1 0.5 0 0]); G3=tf([1 1],[1 7 0 0]); G4=tf([1 1],[1 9 0 0]); subplot(221) rlocus(G1) title('a=0.1') subplot(222) rlocus(G2) title('a=0.5') subplot(223) rlocus(G3) title('a=7') subplot(224)
rlocus(G4) title('a=9')
执行后可得如下图形：
由图知，当开环系统的极点变化时，该系统的闭环根轨迹的变化方向趋向于开环系统的极点 的变化方向。
（2）a. 绘制开环传递函数G (s ) =
K
3
2*
s +2s +3s +1
的开环传递函数的闭环根轨迹，确定
与虚轴交点处的 K *值。 MATLAB 程序：
num=[1];
den=[1 2 3 1]; rlocus(num,den) [k,p]=rlocfind(num,den)
执行后可得如下图形：
运行结果如下： k = 5.1444 p =
-2.0204 0.0102 + 1.7439i 0.0102 - 1.7439i b. 绘制开环传递函数。
G (s ) =
K
2*
s (s +4)(s +4s +m )
, m =0, 5, 20
的开环传递函数的闭环根轨迹，确定与虚轴交点处的 K *值。
MATLAB 程序： num=[1];
s1=conv([1 0],[1 4]); s2=conv(s1,[1 4 0]); den=s2; rlocus(num,den) [k,p]=rlocfind(num,den)
执行后可得如下图形：
运行结果如下： k = 0.0105 p =
-4.0002 + 0.0256i -4.0002 - 0.0256i 0.0002 + 0.0256i 0.0002 - 0.0256i c. 求开环传递函数G (s ) =
K (s +5) s +5s +6s
3
2*
, K
*
>0
K
*
=5时的单位阶跃响应和冲激响应曲线。
，当
MATLAB 程序： K=5;
s1=tf([10 5*5],[1 5 6 0]);
sys=feedback(s1,1); step(sys);
impulse(sys);
执行后可得如下图形：
（3）一种具有高性能微型机器人的传递函数为：
G (s ) H (s ) =
K (s +1)(s +2)(s +3)
s (s -1)
3
*
, K
*
>0
（a ）画出系统的根轨迹图；
（b ）求使闭环系统稳定的增益范围。 MATLAB 程序： z=[-1,-2,-3]; p=[0,0,0,1]; k=1; G=zpk(z,p,k); rlocus(G)； sys=feedback(G,1); step(sys);
由根轨迹图和运行数据知，当K>2.96时，闭环系统稳定。与之对应的振荡频率为4.08rad/sec。
五、 实验报告要求
① 画出各系统根轨迹图并讨论；
② 确定根轨迹上的分离点、与虚轴的交点；
③ 从根轨迹上能分析系统的性能（稳定性、动态响应）。
六、 思考题
1. 在实验（1）中，不同a 值构成的根轨迹若画在一张图上如下图：
若K 值固定，以a 为参数的系统参数根轨迹应该如何在MATLAB 中画出？ G*(s)=as^2/(k*(s+1)+s^3)
2. 在实验（2）中，根轨迹上具有相同开环增益K 值的点应有几个？ 答：有两个。
实验4 控制系统的频率特性(设计性实验)
一、实验目的
1) 掌握运用MATLAB 软件绘制控制系统波特图的方法； 2) 掌握MATLAB 软件绘制奈奎斯特图的方法； 3) 利用波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析。
二、实验设备和仪器
1) PC机一台 2) MATLAB软件
三、实验原理
1. 奈奎斯特稳定判据及稳定裕量
（1）奈氏（Nyquist ）判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的
圈数R 等于开环传递函数右半s 平面的极点数P , 即R=P ;否则闭环系统不稳定, 闭环正实部特征根个数Z 可按下式确定
Z=P-R=P-2N （2）稳定裕量
利用G (j ω) H (j ω) 轨迹上两个特殊点的位置来度量相角裕度和增益裕度。其中
G (j ω) H (j ω) 与单位圆的交点处的频率为ωc （截止频率）；G (j ω) H (j ω) 与负实轴的交点频率
为ωx （穿越频率）。则
相角裕度：γ=180+∠G (j ωc ) H (j ωc ) =180+ϕ(ωc ) 增益裕度：h =
1
G (j ωx ) H (j ωx )
=
1A (ωx )
（对数形式：h =-20lg G (j ωx ) H (j ωx ) =-20lg A (ωx ) 2. 对数频率稳定判据
将系统开环频率特性曲线分为幅频特性和相频特性，分别画在两个坐标上，横轴都用频率ω，纵轴一个用对数幅值和相角，这两条曲线画成的图就是Bode 图，即对数频率特性图。
因为Bode 图与奈氏图有一一对应关系，因此，奈氏稳定判据就可描述为基于Bode 图的对数频率稳定判据：
（1）开环系统稳定，即开环系统没有极点在正右半根平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正负穿越次数相等，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
（2）开环系统不稳定，有P 个极点在正右半平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正穿越次数大于负穿越次数P/2，闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
3．利用MATLAB 绘制Nyquist 图和Bode 图
MATLAB 控制系统工具箱提供了许多函数，用来绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图以及Nichols 图。并可以进行增益裕度和相角裕度的分析。相关常用函数如表4-1所示。
表4-1 MATLAB频率特性函数
四、实验内容
绘制下例各控制系统波特图和奈奎斯特图。
① 系统开环传递函数为：G (s ) =
1s (s +1)
; 绘制系统Nyquist 图和波特图。
② 系统开环传递函数为：G (s ) =
2(s +1)
s (0. 04s +1)(0. 4s +1)
2
; 绘制Nyquist 图和波特图, 并求出
系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ③ 系统开环传递函数为：
500（0. 0167s +1)
s (0. 05s +1)(0. 0025s +1)(0. 001s +1)
，绘制系统波特图，并求出
系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ④ 已知控制系统开环传递函数为：G 0(s ) =
K
(s +1)(0. 5s +1)(0. 2s +1)
，试用奈奎斯特稳
定判据判定开环放大系数K 为10和50时闭环系统的稳定性。
五、实验步骤
（1）画图程序： ①k=1; z=[]; p=[0,-1]; G=zpk(z,p,k);
subplot(211); nyquist(G); subplot(212); bode(G) margin(G)
运行结果如下图所示：
② num=[2 2];
den=conv(conv([1,0 0],[0.04,1]), [0.4,1]);
G=tf(num,den); bode(G); margin(G)；
[Gm,Pm,Wc]=margin(G) 运行结果如下图所示：
Gm =7.6999 db, Pm =20.9451deg, Wc =5.9161rad/sec ③ num=500*[0.0167,1];
den1=conv([1,0],[0.05,1]); den2=conv([0.0025,1],[0.001,1]); den=conv(den1,den2); G0=tf(num,den); w=logspace(0,4,50); bode(G0,w); margin(G0);
运行结果如下图所示：
由程序运行结果和图示知道，幅值穿越频率w= 163 rad/s, 相角稳定裕量r= 45.5deg; 相角穿越频率w= 589rad/sec, 幅值稳定裕量k= 7.1db。 ④当K=10时和当K=50时 程序如下：
G1=tf(10,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1]))); subplot(211) nyquist(G1);
G2=tf(50,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1]))); subplot(212) nyquist(G2);
由上面两个开环系统奈奎斯特图知道，当K=10时，极坐标图不包围（-1，j0）点，又因p=0,故闭环系统稳定。当K=50时，R=-4,故极坐标图顺时针包围（-1，j0）点4圈，故闭环系统不稳定。该系统有4个右半s 平面的极点。
六、实验报告要求
1）画出各系统的奈奎斯特图和波特图；
2）利用系统波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析；
七、思考题
（1）对本实验原理中给出的常用频率特性函数在MATLAB 中熟悉其调用格式，它们的返回值都是什么量？
（2）自已添加MATLAB 画出来的特性图的横纵坐标。
（3）通常改变开环传函的哪些参数，能够显著改善闭环系统的增益裕度和相角裕度？
实验5 控制系统的校正（设计性实验）
一、实验目的
1．理解超前、滞后校正环节的作用；
2．熟悉利用MATLAB 软件实现频域校正的方法； 3．用频域法设计典型超前、滞后校正环节。
二、实验设备和仪器
1) PC计算机一台 2) MATLAB软件
三、实验原理
设计示例
例1：一单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
K s (s +1)
，
试用频率特性法设计一个超前校正环节，使得e ss ≤0. 1rad ，截止频率ωc ≥4. 4s
' '
裕量γ≥45，幅值裕量h ≥10dB 。
' '
' ' -1
, 相位
1．按规定的稳态误差系数确定放大系数K ，此题K =10。 2．画出未校正系统的伯德图并求出其增益裕量和相位裕量。 3．MA TLAB 程序：
num=[10]; den=[1 1 0]; bode(num,den); margin(num,den); 运行程序可得如下图：
读出未校正系统的增益裕量（Gm=infdB）、相位裕量（Pm18deg ）、截止（剪切） 频率ωc =3.08rad/sec。
4．在新的增益穿越频率ωc =4. 4s
' '
-1
'
处，点击并拖动读出原系统的幅值：
10lg |G (j ω) |ω=4. 4=-6dB =10lg a
算出a ，再由T =
1
ωm
a
⇒T ⇒aG c (s ) =
1+aTs 1+Ts
验算 G (s ) =G 0(s ) aG c (s ) 的性能指标。
例2：一单位反馈系统的开环传递函数为
G 0(s ) =
K
s (s +1)(0. 5s +1)
，
试用频率特性法设计一个滞后校正环节，使得K v ≥5, 相位裕量为40°，截止频率不低于0.4，并求穿越频率ωc ：
1．按规定的稳态误差系数确定放大系数K 。1/K v ≤0. 1rad ⇒K =K v ≥5。 2．画出未校正系统的伯德图并求出其增益裕量和相位裕量 未校正系统的传递函数为：G 0(s ) =
5
s (s +1)(0. 5s +1)
在MATLAB COMMAND WINDOWS窗口中绘制BODE 图：
3．寻找一新的幅值穿越ωc ，在ωc 处G (j ω) 的相角应等于-180 º加上所要求的相位裕量，再
加-6º（补偿滞后校正环节造成的相位滞后）。 4．MA TALB 程序：
num=[5];
c=conv([1 1 0],[0.5 1]); den=c; bode(num,den); margin(num,den); 可得如图：
Bode Diagram
Gm = -4.44 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -13 deg (at 1.8 rad/sec)
M a g n i t u d e (d B ) P h a s e (d e g
)
-210
10
-1
10
10
1
10
2
从图中读出系统的增益裕量（Gm ）、相位裕量（Pm ）、剪切频率ωc 、ωg 。 5．求新的增益穿越频率ωc ：确定位置，要求的相位：40 º+6º=46º，
令ϕ(ωc ) =-(180 º-46º），在ϕ(ω) 曲线上用鼠标点击后拖动找出-134 º的点，记录对应的频率，即为ωc =_0.543_rad/s.
6．在幅频特性上ωc 处读取幅频L (ωc ) ≈20lg b =
1bT
≈
"
"
"
"
"
⇒b 。由
ωc
10
"
⇒T ⇒G c (s ) =
1+bTs 1+Ts
， b =T =
滞后校正环节的第一转角频率ω1=1/bT =________，第二转角频率ω2=1/T =_______。 第二种方法：在MA TLAB COMMAND WINDOWS窗口键入如下命令： [mar,pha,wx,wc]=bode(num,den)
可得出不同的w 值对应的相角（PHA ）和（MAR ）
mar = , pha = , ωx = , ωc = 。
找出近似满足pha =-134 时对应的ω值，即为ωc ，再用Workspace 找出对应序号下的幅频和角频率。记录20lg L (ωc ) ，其余同上。
7. 校验校正后新系统的性能指标：（将G c (s)与G c (s)串联）
校验：新系统 G (s ) =G c (s ) G 0(s ) =
5
1+bTs
"
"
窗口双击对应的变量，
s (s +1)(0. 5s +1) 1+Ts
, 绘制MATLAB 波特图，用
上述方法验算新系统的相角、增益裕量等是否满足要求。
分析总结设计过程，给出结论。
四、实验内容
按照上述方法完成以下实验内容： 1．一单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
K s (s +1)
试设计一串联超前校正装置，使系统满足如下指标： （1）, 相位裕量γ≥45 (2)ess=7.5rad/s
' '
解：由（2）知1/k15 取K=16.则：G(s)=16/(s(s+1)) 待校正Bode 图：
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 14.2 deg (at 3.94 rad/sec)
M a g n i t u d e (d B )
P h a s e (d e g )
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
其截止频率 Wc ’=4(rad/s),此时系统达不到要求的性能指标。
要求截止频率Wc>=7.5(rad/s),则校正后系统截止频率Wc ”=7.5(rad/s)=Wn. 则：L ’(Wc”)+10lga=0,由图知L ’(Wc”)=-11，a=(1/TWn)^2 解得：a=12.36,T=0.038,aT=0.469 12.36Gc(s)=(1+0.469s)/(1+0.038)
G ’(s)=G(s)*12.36Gc(s)=16(0.469+1)/(0.038s^3+1.038s^2+1) 验算校正后的的系统，校正后的图：
Bode Diagram
M a g n i t u d e (d B )
P h a s e (d e g )
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
10
10
由图知满足条件。
2. 一单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
K
s (0. 1s +1)(0. 2s +1)
K v ≥30s
-1
试用频率特性法设计一个滞后校正环节，使得ωc ≥2. 3s
-1
, 相位裕量为40°，截止频率不低于
。、
解：由条件知K=30,G0(s)=30/(s（0.1s+1）(0.2s+1)) 待校正系统图：
Bode Diagram
Gm = -6.02 dB (at 7.07 rad/sec) , Pm = -17.2 deg (at 9.77 rad/sec)
M a g n i t u d e (d B )
P h a s e (d e g )
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
Wc ’=10rad/s, 求新的增益穿越频率令ϕ(ωc )
"
ωc
"
：确定位置，要求的相位：40 º+6º=46º，
=-(180 º-46º），在ϕ(ω) 曲线上用鼠标点击后拖动找出-134 º的点，记录对应的频ωc
"
率，即为
在幅频特性上
ωc
"
=2.76rad/s.
L (ωc ) ≈19. 2
"
处读取幅频
1≈
dB
。令20lg b =-L ' (wc " ) ⇒b 。由
ωc
10
"
bT
⇒T ⇒G c (s ) =
1+bTs
1+Ts ， b =0. 09
T =41s
滞后校正环节的第一转角频率ω1=1/bT =0.27，第二转角频率ω2=1/T =0.024。
G (s ) =G c (s ) G 0(s ) =
30
1+3. 69s
s (0. 1s +1)(0. 2s +1) 1+41s ,
G (s ) =
110. 7s +30
s (0. 1s +1)(0. 2s +1)(1+41s )
验算校正后的的系统，校正后的图：
Bode Diagram
M a g n i t u d e (d B ) P h a s e (d e g )
10
10
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
由图知满足指标要求。
五、实验步骤
1．对于频率特性，给出如下内容：
① 绘制设计题目1、2中校正前后的波特图，记录校正相关参数（如穿越频率、相角裕量、增益裕量等）。
② 求校正环节的传递函数G c (s ) 。 2．写出实验体会并进行校正前后的比较。 3．所有的图形须通过Matlab 软件绘制。
六、实验报告要求
1）自行上机调试、计算设计示例，画出各系统校正前和校正后的波特图。 2）利用系统波特图对控制系统性能进行分析；
3）实验报告要求仿照示例的格式完成，并进行分析，给出结论。
七、实验思考题
1．在什么情况下采用超前校正？什么情况下采用滞后校正？
2．利用MA TLAB COMMAND WINDOWS方法，如果数据列表中未显示pha =-134 数值，怎样修改程序使其显示出来？
实验2 一、二阶系统的阶跃响应
一、 实验目的：
1. 熟悉MA TLAB 软件分析系统时域响应方法。通过观察典型二阶系统在单位阶跃、脉冲、斜坡信号作用下的动态特性，熟悉各种典型的响应曲线。
2. 通过二阶系统定性及定量了解参数变化对动态特性的影响。分析参数变化时对系统响应的影响。
二、 实验设备和仪器
1) PC机一台 2) MATLAB软件
三、 实验原理
1. 一阶系统阶跃响应：
图2-1示RC 网络为一阶系统
图2-1 一阶RC 网络
研究图2-1所示电路, 其运动方程为
(t ) +c (t ) =r (t ) T c
式中, T =RC 为时间常数. 当初始条件为零时, 其传递函数为
φ(s ) =
C (s ) R (s )
=
1Ts +1
若R=1Ω，C=0.01F, 则T=RC=0.01s。
传递函数 Ф(s)= 1/(0.01s+1)
2．位置随动系统可以用如下二阶系统模型描述：
Φ(s ) =
C (s ) R (s )
=
ωn
2
2
2
s +2ξωn s +ωn
ωn—自然频率, ξ—相对阻尼系数
四、 实验内容及步骤
1、 求当K=1, T=0.1, 0.5, 1 , 2s时的一阶惯性系统单位阶跃响应的MA TLAB 程序如下： % Example 2.1
clear num=[1]; den=[0.1 1]; step(num,den,'r--') hold on den=[0.5 1]; step(num,den,'g-.') hold on den=[1 1]; step(num,den,'b:') hold on den=[2 1]; step(num,den,'k') axis([0 10 0 1.05])
legend('k=1,T=0.1','k=1,T=0.5','k=1,T=1','k=1,T=2',4) 执行后可得如下图形：
图2-1
由上图可知，当T=0.1时，ts=0.39s;当T=0.5时，ts=1.96s;当T=1时，ts=3.91s;当T=2时， ts=7.82s;由于时间常数T 反映系统的惯性，所以一阶系统的惯性越小，其响应过程越快； 反之，惯性越大，响应越慢。
2、 绘制二阶系统当ωn=6, ξ=0.2, 0.4, …… 1.0, 2.0时的单位阶跃响应。
MATLAB 程序： % Example 2.2
wn=6;
kosi=[0.2:0.2:1.0 ,2.0]; figure(1) hold on for kos=kosi num=wn.^2;
den=[1,2*kos*wn,wn.^2]; step(num,den) end
title('Step Response') grid on hold off
执行后可得如下图形：
图2-2 数据列表如下：
数据结果分析：当ωn相同ξ不同时，在过阻尼（ξ>1）和临界阻尼（ξ=1）响应曲线中，临界
阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼（0
3．绘制典型二阶系统 , 当ξ=0.7, ωn=2, 4, 6, 8时的单位阶跃响应。 MATLAB 程序：
% Example 2.3 w=[2:2:8];
kos=0.7; figure(1) hold on for wn=w num=wn.^2;
den=[1,2*kos*wn,wn.^2]; step(num,den) end
title('Step Response') axis([0 4 0 1.1]) grid on hold off
执行后可得如下图形：
图2-3 数据列表如下：
数据结果分析：在二阶系统中，当ξ相同ωn不同时，ωn越大，响应速度越快；反之，响应速度 越慢。
4．求二阶系统的ξ=0.5, ωn=10时的单位冲激响应。
Φ(s ) =
MATLAB 程序：
ωn
2
2
2
s +2ξωn s +ωn
%Example 2.4 wn =10; kos=0.5; figure(1) num=wn.^2;
den=[1,2*kos*wn, wn.^2];
impulse(num,den) grid on
title('Impulse Response');
执行后可得如下图形：
图2-4 由图得ts=0.93s,tp=0.12s 5．求高阶系统的单位阶跃响应: Φ(s ) =
3(s +5s +7) s +6s +8s +4s +1
4
3
2
2
MATLAB 程序：
% Example 2.5 num=[3 15 21]; den=[1 6 8 4 1]; step (num,den); grid on
title(' Step Response')
执行后可得如下图形：
图2-5 由图得，σ%=5.34，tr=4.64s,ts=13.1s,tp=9.57s 上述程序如加语句：
[z, p]=tf2zp(num,den)
则执行结果如下： z =
-2.5000 + 0.8660i -2.5000 - 0.8660i p =
-4.3652 -1.0000 -0.3174 + 0.3583i -0.3174 - 0.3583i
由结果知，其极点全部在左半s 平面，故该系统稳定。
实验报告要求
1．画出典型二阶系统各种典型的响应曲线。
2．对曲线进行动态特性分析，总结参数变化对动态特性的影响。
实验3 控制系统的根轨迹
一、 实验目的
1) 掌握MA TLAB 软件绘制根轨迹的方法。 2) 分析参数变化对根轨迹的影响。 3) 利用根轨迹法对控制系统性能进行分析。
二、 实验设备和仪器
1) PC机一台 2) MATLAB软件
三、 实验原理
(1) 根轨迹的概念
经典控制理论中，为了避开直接求解高阶特征方程式根时遇到的困难，提出了一种图解求根的方法，即根轨迹法。根轨迹是指当系统的某个参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在复平面上的变化曲线。
常规根轨迹一般取开环增益K 作为可变参数，根轨迹上的点应满足根轨迹方程：
m
K
G (s ) H (s ) =
*
∏(s -z
j =1
j
) =-1
n
∏(s -
i =1
p i )
其中z j ---开环零点，p i ---开环极点，K *---根轨迹增益，是一个变化的参数（0→∞），
K
*
=AK , A 为一常数。系统结构图如下
:
图3-1 闭环系统结构图
闭环特征根（即根轨迹上的点）应满足
m
（1） 幅值条件：
K
*
B (s )
∏|(s -z
=K
*
j =1n
j
) |=1；
A (s )
∏|(s -
i =1
p i ) |
m
n
（2） 相角条件：∑∠(s -z j ) -
j =1
∑∠(s -
i =1
p i ) =(2k +1) π。
（2）用MATLAB 软件绘制根轨迹
MATLAB7.0提供的工具箱给出了一系列关于根轨迹的函数，如表3-1所示。使用这些函数能够很方便地绘制出系统的常规根轨迹和参数根轨迹，还能基于根轨迹对系统性能进行分析。
表3-1 根轨迹函数
① pzmap
调用格式：pzmap(sys); [p,z]=pzmap(sys) ② rlocfind
调用格式：[k,poles]=rlocfind(sys); [k,poles]=rlocfind(sys,p) ③ rlocus
调用格式：rlocus(sys); rlocus(sys,k); [r,k]=rlocus(sys); r=rlocus(sys,k) ④ rltool
调用格式：rltool(plant); rltool(plant,comp) ⑤ sgrid
调用格式：sgrid; sgrid(z,wn) ⑥ zgrid
调用格式：zgrid; zgrid(z,wn)
四、 实验内容
系统的开环传递函数：G (s ) H (s ) = 绘制系统的根轨迹图。
K
*
s (s +1)(s +2)
程序： num=[1]；
den=[1 3 2 0]； rlocus(num,den) 执行后得到如下图形：
（1） 采用上述方法绘制开环传递函数
G (s ) =
K (s +1) s (s +a )
2*
, K
*
>0
当a=0.1, 0.5, 7, 9时的MATLAB 程序： clear
G1=tf([1 1],[1 0.1 0 0]); G2=tf([1 1],[1 0.5 0 0]); G3=tf([1 1],[1 7 0 0]); G4=tf([1 1],[1 9 0 0]); subplot(221) rlocus(G1) title('a=0.1') subplot(222) rlocus(G2) title('a=0.5') subplot(223) rlocus(G3) title('a=7') subplot(224)
rlocus(G4) title('a=9')
执行后可得如下图形：
由图知，当开环系统的极点变化时，该系统的闭环根轨迹的变化方向趋向于开环系统的极点 的变化方向。
（2）a. 绘制开环传递函数G (s ) =
K
3
2*
s +2s +3s +1
的开环传递函数的闭环根轨迹，确定
与虚轴交点处的 K *值。 MATLAB 程序：
num=[1];
den=[1 2 3 1]; rlocus(num,den) [k,p]=rlocfind(num,den)
执行后可得如下图形：
运行结果如下： k = 5.1444 p =
-2.0204 0.0102 + 1.7439i 0.0102 - 1.7439i b. 绘制开环传递函数。
G (s ) =
K
2*
s (s +4)(s +4s +m )
, m =0, 5, 20
的开环传递函数的闭环根轨迹，确定与虚轴交点处的 K *值。
MATLAB 程序： num=[1];
s1=conv([1 0],[1 4]); s2=conv(s1,[1 4 0]); den=s2; rlocus(num,den) [k,p]=rlocfind(num,den)
执行后可得如下图形：
运行结果如下： k = 0.0105 p =
-4.0002 + 0.0256i -4.0002 - 0.0256i 0.0002 + 0.0256i 0.0002 - 0.0256i c. 求开环传递函数G (s ) =
K (s +5) s +5s +6s
3
2*
, K
*
>0
K
*
=5时的单位阶跃响应和冲激响应曲线。
，当
MATLAB 程序： K=5;
s1=tf([10 5*5],[1 5 6 0]);
sys=feedback(s1,1); step(sys);
impulse(sys);
执行后可得如下图形：
（3）一种具有高性能微型机器人的传递函数为：
G (s ) H (s ) =
K (s +1)(s +2)(s +3)
s (s -1)
3
*
, K
*
>0
（a ）画出系统的根轨迹图；
（b ）求使闭环系统稳定的增益范围。 MATLAB 程序： z=[-1,-2,-3]; p=[0,0,0,1]; k=1; G=zpk(z,p,k); rlocus(G)； sys=feedback(G,1); step(sys);
由根轨迹图和运行数据知，当K>2.96时，闭环系统稳定。与之对应的振荡频率为4.08rad/sec。
五、 实验报告要求
① 画出各系统根轨迹图并讨论；
② 确定根轨迹上的分离点、与虚轴的交点；
③ 从根轨迹上能分析系统的性能（稳定性、动态响应）。
六、 思考题
1. 在实验（1）中，不同a 值构成的根轨迹若画在一张图上如下图：
若K 值固定，以a 为参数的系统参数根轨迹应该如何在MATLAB 中画出？ G*(s)=as^2/(k*(s+1)+s^3)
2. 在实验（2）中，根轨迹上具有相同开环增益K 值的点应有几个？ 答：有两个。
实验4 控制系统的频率特性(设计性实验)
一、实验目的
1) 掌握运用MATLAB 软件绘制控制系统波特图的方法； 2) 掌握MATLAB 软件绘制奈奎斯特图的方法； 3) 利用波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析。
二、实验设备和仪器
1) PC机一台 2) MATLAB软件
三、实验原理
1. 奈奎斯特稳定判据及稳定裕量
（1）奈氏（Nyquist ）判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的
圈数R 等于开环传递函数右半s 平面的极点数P , 即R=P ;否则闭环系统不稳定, 闭环正实部特征根个数Z 可按下式确定
Z=P-R=P-2N （2）稳定裕量
利用G (j ω) H (j ω) 轨迹上两个特殊点的位置来度量相角裕度和增益裕度。其中
G (j ω) H (j ω) 与单位圆的交点处的频率为ωc （截止频率）；G (j ω) H (j ω) 与负实轴的交点频率
为ωx （穿越频率）。则
相角裕度：γ=180+∠G (j ωc ) H (j ωc ) =180+ϕ(ωc ) 增益裕度：h =
1
G (j ωx ) H (j ωx )
=
1A (ωx )
（对数形式：h =-20lg G (j ωx ) H (j ωx ) =-20lg A (ωx ) 2. 对数频率稳定判据
将系统开环频率特性曲线分为幅频特性和相频特性，分别画在两个坐标上，横轴都用频率ω，纵轴一个用对数幅值和相角，这两条曲线画成的图就是Bode 图，即对数频率特性图。
因为Bode 图与奈氏图有一一对应关系，因此，奈氏稳定判据就可描述为基于Bode 图的对数频率稳定判据：
（1）开环系统稳定，即开环系统没有极点在正右半根平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正负穿越次数相等，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
（2）开环系统不稳定，有P 个极点在正右半平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对-180线正穿越次数大于负穿越次数P/2，闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
3．利用MATLAB 绘制Nyquist 图和Bode 图
MATLAB 控制系统工具箱提供了许多函数，用来绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图以及Nichols 图。并可以进行增益裕度和相角裕度的分析。相关常用函数如表4-1所示。
表4-1 MATLAB频率特性函数
四、实验内容
绘制下例各控制系统波特图和奈奎斯特图。
① 系统开环传递函数为：G (s ) =
1s (s +1)
; 绘制系统Nyquist 图和波特图。
② 系统开环传递函数为：G (s ) =
2(s +1)
s (0. 04s +1)(0. 4s +1)
2
; 绘制Nyquist 图和波特图, 并求出
系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ③ 系统开环传递函数为：
500（0. 0167s +1)
s (0. 05s +1)(0. 0025s +1)(0. 001s +1)
，绘制系统波特图，并求出
系统的相角稳定裕量和幅值稳定裕量。 ④ 已知控制系统开环传递函数为：G 0(s ) =
K
(s +1)(0. 5s +1)(0. 2s +1)
，试用奈奎斯特稳
定判据判定开环放大系数K 为10和50时闭环系统的稳定性。
五、实验步骤
（1）画图程序： ①k=1; z=[]; p=[0,-1]; G=zpk(z,p,k);
subplot(211); nyquist(G); subplot(212); bode(G) margin(G)
运行结果如下图所示：
② num=[2 2];
den=conv(conv([1,0 0],[0.04,1]), [0.4,1]);
G=tf(num,den); bode(G); margin(G)；
[Gm,Pm,Wc]=margin(G) 运行结果如下图所示：
Gm =7.6999 db, Pm =20.9451deg, Wc =5.9161rad/sec ③ num=500*[0.0167,1];
den1=conv([1,0],[0.05,1]); den2=conv([0.0025,1],[0.001,1]); den=conv(den1,den2); G0=tf(num,den); w=logspace(0,4,50); bode(G0,w); margin(G0);
运行结果如下图所示：
由程序运行结果和图示知道，幅值穿越频率w= 163 rad/s, 相角稳定裕量r= 45.5deg; 相角穿越频率w= 589rad/sec, 幅值稳定裕量k= 7.1db。 ④当K=10时和当K=50时 程序如下：
G1=tf(10,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1]))); subplot(211) nyquist(G1);
G2=tf(50,conv([1,1],conv([0.5,1],[0.2,1]))); subplot(212) nyquist(G2);
由上面两个开环系统奈奎斯特图知道，当K=10时，极坐标图不包围（-1，j0）点，又因p=0,故闭环系统稳定。当K=50时，R=-4,故极坐标图顺时针包围（-1，j0）点4圈，故闭环系统不稳定。该系统有4个右半s 平面的极点。
六、实验报告要求
1）画出各系统的奈奎斯特图和波特图；
2）利用系统波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析；
七、思考题
（1）对本实验原理中给出的常用频率特性函数在MATLAB 中熟悉其调用格式，它们的返回值都是什么量？
（2）自已添加MATLAB 画出来的特性图的横纵坐标。
（3）通常改变开环传函的哪些参数，能够显著改善闭环系统的增益裕度和相角裕度？
实验5 控制系统的校正（设计性实验）
一、实验目的
1．理解超前、滞后校正环节的作用；
2．熟悉利用MATLAB 软件实现频域校正的方法； 3．用频域法设计典型超前、滞后校正环节。
二、实验设备和仪器
1) PC计算机一台 2) MATLAB软件
三、实验原理
设计示例
例1：一单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
K s (s +1)
，
试用频率特性法设计一个超前校正环节，使得e ss ≤0. 1rad ，截止频率ωc ≥4. 4s
' '
裕量γ≥45，幅值裕量h ≥10dB 。
' '
' ' -1
, 相位
1．按规定的稳态误差系数确定放大系数K ，此题K =10。 2．画出未校正系统的伯德图并求出其增益裕量和相位裕量。 3．MA TLAB 程序：
num=[10]; den=[1 1 0]; bode(num,den); margin(num,den); 运行程序可得如下图：
读出未校正系统的增益裕量（Gm=infdB）、相位裕量（Pm18deg ）、截止（剪切） 频率ωc =3.08rad/sec。
4．在新的增益穿越频率ωc =4. 4s
' '
-1
'
处，点击并拖动读出原系统的幅值：
10lg |G (j ω) |ω=4. 4=-6dB =10lg a
算出a ，再由T =
1
ωm
a
⇒T ⇒aG c (s ) =
1+aTs 1+Ts
验算 G (s ) =G 0(s ) aG c (s ) 的性能指标。
例2：一单位反馈系统的开环传递函数为
G 0(s ) =
K
s (s +1)(0. 5s +1)
，
试用频率特性法设计一个滞后校正环节，使得K v ≥5, 相位裕量为40°，截止频率不低于0.4，并求穿越频率ωc ：
1．按规定的稳态误差系数确定放大系数K 。1/K v ≤0. 1rad ⇒K =K v ≥5。 2．画出未校正系统的伯德图并求出其增益裕量和相位裕量 未校正系统的传递函数为：G 0(s ) =
5
s (s +1)(0. 5s +1)
在MATLAB COMMAND WINDOWS窗口中绘制BODE 图：
3．寻找一新的幅值穿越ωc ，在ωc 处G (j ω) 的相角应等于-180 º加上所要求的相位裕量，再
加-6º（补偿滞后校正环节造成的相位滞后）。 4．MA TALB 程序：
num=[5];
c=conv([1 1 0],[0.5 1]); den=c; bode(num,den); margin(num,den); 可得如图：
Bode Diagram
Gm = -4.44 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -13 deg (at 1.8 rad/sec)
M a g n i t u d e (d B ) P h a s e (d e g
)
-210
10
-1
10
10
1
10
2
从图中读出系统的增益裕量（Gm ）、相位裕量（Pm ）、剪切频率ωc 、ωg 。 5．求新的增益穿越频率ωc ：确定位置，要求的相位：40 º+6º=46º，
令ϕ(ωc ) =-(180 º-46º），在ϕ(ω) 曲线上用鼠标点击后拖动找出-134 º的点，记录对应的频率，即为ωc =_0.543_rad/s.
6．在幅频特性上ωc 处读取幅频L (ωc ) ≈20lg b =
1bT
≈
"
"
"
"
"
⇒b 。由
ωc
10
"
⇒T ⇒G c (s ) =
1+bTs 1+Ts
， b =T =
滞后校正环节的第一转角频率ω1=1/bT =________，第二转角频率ω2=1/T =_______。 第二种方法：在MA TLAB COMMAND WINDOWS窗口键入如下命令： [mar,pha,wx,wc]=bode(num,den)
可得出不同的w 值对应的相角（PHA ）和（MAR ）
mar = , pha = , ωx = , ωc = 。
找出近似满足pha =-134 时对应的ω值，即为ωc ，再用Workspace 找出对应序号下的幅频和角频率。记录20lg L (ωc ) ，其余同上。
7. 校验校正后新系统的性能指标：（将G c (s)与G c (s)串联）
校验：新系统 G (s ) =G c (s ) G 0(s ) =
5
1+bTs
"
"
窗口双击对应的变量，
s (s +1)(0. 5s +1) 1+Ts
, 绘制MATLAB 波特图，用
上述方法验算新系统的相角、增益裕量等是否满足要求。
分析总结设计过程，给出结论。
四、实验内容
按照上述方法完成以下实验内容： 1．一单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
K s (s +1)
试设计一串联超前校正装置，使系统满足如下指标： （1）, 相位裕量γ≥45 (2)ess=7.5rad/s
' '
解：由（2）知1/k15 取K=16.则：G(s)=16/(s(s+1)) 待校正Bode 图：
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 14.2 deg (at 3.94 rad/sec)
M a g n i t u d e (d B )
P h a s e (d e g )
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
其截止频率 Wc ’=4(rad/s),此时系统达不到要求的性能指标。
要求截止频率Wc>=7.5(rad/s),则校正后系统截止频率Wc ”=7.5(rad/s)=Wn. 则：L ’(Wc”)+10lga=0,由图知L ’(Wc”)=-11，a=(1/TWn)^2 解得：a=12.36,T=0.038,aT=0.469 12.36Gc(s)=(1+0.469s)/(1+0.038)
G ’(s)=G(s)*12.36Gc(s)=16(0.469+1)/(0.038s^3+1.038s^2+1) 验算校正后的的系统，校正后的图：
Bode Diagram
M a g n i t u d e (d B )
P h a s e (d e g )
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
10
10
由图知满足条件。
2. 一单位反馈系统的开环传递函数为
G (s ) =
K
s (0. 1s +1)(0. 2s +1)
K v ≥30s
-1
试用频率特性法设计一个滞后校正环节，使得ωc ≥2. 3s
-1
, 相位裕量为40°，截止频率不低于
。、
解：由条件知K=30,G0(s)=30/(s（0.1s+1）(0.2s+1)) 待校正系统图：
Bode Diagram
Gm = -6.02 dB (at 7.07 rad/sec) , Pm = -17.2 deg (at 9.77 rad/sec)
M a g n i t u d e (d B )
P h a s e (d e g )
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
Wc ’=10rad/s, 求新的增益穿越频率令ϕ(ωc )
"
ωc
"
：确定位置，要求的相位：40 º+6º=46º，
=-(180 º-46º），在ϕ(ω) 曲线上用鼠标点击后拖动找出-134 º的点，记录对应的频ωc
"
率，即为
在幅频特性上
ωc
"
=2.76rad/s.
L (ωc ) ≈19. 2
"
处读取幅频
1≈
dB
。令20lg b =-L ' (wc " ) ⇒b 。由
ωc
10
"
bT
⇒T ⇒G c (s ) =
1+bTs
1+Ts ， b =0. 09
T =41s
滞后校正环节的第一转角频率ω1=1/bT =0.27，第二转角频率ω2=1/T =0.024。
G (s ) =G c (s ) G 0(s ) =
30
1+3. 69s
s (0. 1s +1)(0. 2s +1) 1+41s ,
G (s ) =
110. 7s +30
s (0. 1s +1)(0. 2s +1)(1+41s )
验算校正后的的系统，校正后的图：
Bode Diagram
M a g n i t u d e (d B ) P h a s e (d e g )
10
10
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
由图知满足指标要求。
五、实验步骤
1．对于频率特性，给出如下内容：
① 绘制设计题目1、2中校正前后的波特图，记录校正相关参数（如穿越频率、相角裕量、增益裕量等）。
② 求校正环节的传递函数G c (s ) 。 2．写出实验体会并进行校正前后的比较。 3．所有的图形须通过Matlab 软件绘制。
六、实验报告要求
1）自行上机调试、计算设计示例，画出各系统校正前和校正后的波特图。 2）利用系统波特图对控制系统性能进行分析；
3）实验报告要求仿照示例的格式完成，并进行分析，给出结论。
七、实验思考题
1．在什么情况下采用超前校正？什么情况下采用滞后校正？
2．利用MA TLAB COMMAND WINDOWS方法，如果数据列表中未显示pha =-134 数值，怎样修改程序使其显示出来？