高中数学必修3知识点总结:第三章_概率

第三章 概 率

一、随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，

叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事

件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对

于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生

的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，

观察某一事件A是否出现，称n次试

验中事件A出现的次数nA为事件A

出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给

定的随机事件A，如果随着试验次数

的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定

在某个常数上，把这个常数记作P

（A），称为事件A的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，

指此事件发生的次数nA与试验总次nAn

nA

n数n的比值，它具有一定的稳定性，

总在某个常数附近摆动，且随着试验

次数的不断增多，这种摆动幅度越来

越小。我们把这个常数叫做随机事件

的概率，概率从数量上反映了随机事

件发生的可能性的大小。频率在大量

重复试验的前提下可以近似地作为这

个事件的概率

二、概率的基本性质

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称

事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那

么称事件A与事件B互为对立事件；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪

B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立

事件，则A∪B为必然事件，所以P(A

∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—

P(B)

2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因

此0≤P(A)≤1；

2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪

B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事

件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—

P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件

是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，

其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事

件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）

事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件

A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；

（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件

A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

三、古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限

性和所有结果的等可能性。

（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件

数；②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用

公式

P（A）=

A包含的基本事件数总的基本事件个数

四、几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只

与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，

则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；

几何概型的特点：1）试验中所有可能出现

的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件

出现的可能性相等．

练习题一

一、选择题

1. 给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子

有一个以上的球”是必然事件

②“当x为某一实数时可使x0”是不可能事件 ③

“明天广州要下雨”是必然事件

④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是

随机事件，

其中正确命题的个数是 （ ） 2

A．0 B. 1 C. 2

D. 3

2. 某人在比赛（没有“和”局）中赢的概率为0.6，

那么他输的概率是 ( )

A．0.4 B. 0.6 C. 0.36

D. 0.16

3. 下列说法一定正确的是 （ ）

A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三

次，不会出现三投都不中的情况

B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是1，那么掷两2

次一定会出现一次正面的情况

C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的

彩票一定会中奖一元

D．随机事件发生的概率与试验次数无关

4．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某

项活动，每个同学被抽到的概率是1，其中解释正确4

的是 （ ）

A．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是1 4

C．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概

率为1 D．以上说话都不正确 4

5．投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为 （ ）

11A．36 B. 18 C. 1 6

5D. 12

6．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰

是集合{a,b,c}的子集的概率是（ ）

32A．5 B. 5 C. 1 4

D. 7、同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）

A.至少有1枚正面和最多有1枚正面

B.最多1枚正面和恰有2枚正面

C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.

至少有2枚正面和恰有1枚正面 8.、某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组

中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为

组长的概率是___________

9、掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是

_____________

10、从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品

中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品

18

中恰有一件是次品的概率 .

（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回。

11、(10分) 2．袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：

(1)、3个全是红球的概率． (2)、3个颜色全相同的概率．

(3)、3个颜色不全相同的概率． (4)、3个颜色全不相同的概率．

12．（本题满分15分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽

取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40,50，50,60„90,100后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在70,80内的频率，并补全

这个频率分布直方图；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为

第13题图

60,80的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段70,80的概率.

解析：（Ⅰ）分数在70,80内

的频率为：

1(0.0100.0150.0150.0250.005)10

10.70.30.03， ，故0.3

10

如图所示：

-----------------------6分

（求频率3分，作图3分）

（Ⅱ）由题意，60,70分数段的人数为：0.15609人； ----------------8分

70,80分数段的人数为：0.36018人；

----------------10分

∵在60,80的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴60,70分数段抽取2人，分别记为m,n；70,80分数段抽取4人，分别记为a,b,c,d；

设从样本中任取2人，至多有1人在分数段70,80为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有： (m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、……、(c,d)共15种， 则事件A包含的基本事件有：

、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(n,d)共9

种，-----15分 93． ∴P(A)155(m,n)

第三章 概 率

一、随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，

叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事

件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对

于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生

的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，

观察某一事件A是否出现，称n次试

验中事件A出现的次数nA为事件A

出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给

定的随机事件A，如果随着试验次数

的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定

在某个常数上，把这个常数记作P

（A），称为事件A的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，

指此事件发生的次数nA与试验总次nAn

nA

n数n的比值，它具有一定的稳定性，

总在某个常数附近摆动，且随着试验

次数的不断增多，这种摆动幅度越来

越小。我们把这个常数叫做随机事件

的概率，概率从数量上反映了随机事

件发生的可能性的大小。频率在大量

重复试验的前提下可以近似地作为这

个事件的概率

二、概率的基本性质

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称

事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那

么称事件A与事件B互为对立事件；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪

B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立

事件，则A∪B为必然事件，所以P(A

∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—

P(B)

2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因

此0≤P(A)≤1；

2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪

B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事

件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—

P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件

是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，

其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事

件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）

事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件

A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；

（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件

A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

三、古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限

性和所有结果的等可能性。

（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件

数；②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用

公式

P（A）=

A包含的基本事件数总的基本事件个数

四、几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只

与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，

则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；

几何概型的特点：1）试验中所有可能出现

的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件

出现的可能性相等．

练习题一

一、选择题

1. 给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子

有一个以上的球”是必然事件

②“当x为某一实数时可使x0”是不可能事件 ③

“明天广州要下雨”是必然事件

④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是

随机事件，

其中正确命题的个数是 （ ） 2

A．0 B. 1 C. 2

D. 3

2. 某人在比赛（没有“和”局）中赢的概率为0.6，

那么他输的概率是 ( )

A．0.4 B. 0.6 C. 0.36

D. 0.16

3. 下列说法一定正确的是 （ ）

A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三

次，不会出现三投都不中的情况

B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是1，那么掷两2

次一定会出现一次正面的情况

C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的

彩票一定会中奖一元

D．随机事件发生的概率与试验次数无关

4．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某

项活动，每个同学被抽到的概率是1，其中解释正确4

的是 （ ）

A．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是1 4

C．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概

率为1 D．以上说话都不正确 4

5．投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为 （ ）

11A．36 B. 18 C. 1 6

5D. 12

6．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰

是集合{a,b,c}的子集的概率是（ ）

32A．5 B. 5 C. 1 4

D. 7、同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）

A.至少有1枚正面和最多有1枚正面

B.最多1枚正面和恰有2枚正面

C.至多1枚正面和至少有2枚正面 D.

至少有2枚正面和恰有1枚正面 8.、某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组

中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为

组长的概率是___________

9、掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是

_____________

10、从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品

中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品

18

中恰有一件是次品的概率 .

（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回。

11、(10分) 2．袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：

(1)、3个全是红球的概率． (2)、3个颜色全相同的概率．

(3)、3个颜色不全相同的概率． (4)、3个颜色全不相同的概率．

12．（本题满分15分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽

取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40,50，50,60„90,100后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在70,80内的频率，并补全

这个频率分布直方图；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为

第13题图

60,80的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段70,80的概率.

解析：（Ⅰ）分数在70,80内

的频率为：

1(0.0100.0150.0150.0250.005)10

10.70.30.03， ，故0.3

10

如图所示：

-----------------------6分

（求频率3分，作图3分）

（Ⅱ）由题意，60,70分数段的人数为：0.15609人； ----------------8分

70,80分数段的人数为：0.36018人；

----------------10分

∵在60,80的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴60,70分数段抽取2人，分别记为m,n；70,80分数段抽取4人，分别记为a,b,c,d；

设从样本中任取2人，至多有1人在分数段70,80为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有： (m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、……、(c,d)共15种， 则事件A包含的基本事件有：

、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(n,d)共9

种，-----15分 93． ∴P(A)155(m,n)