教案一 多项式插值法和拉格朗日插值
基本内容提要
1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法 教学目的和要求
1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法
5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程 教学重点
1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想 教学难点
1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计
3 Aitken逐次线性插值法的计算过程 课程类型 新知识理论课 教学方法
结合提问，以讲授法为主 教学过程
问题引入
实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。
§2.1 多项式插值
2.1.1 基本概念
假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0
P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。
(2.1)
把P(x)称为f(x)的插值多项式（函 通常把上述x0
数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法。
如果P(x)为m次多项式
Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,
则称该插值法为多项式插值；如果P(x)为三角多项式，则称为三角插值；如果P(x)为分段多项式，则称为分段插值。
画图说明插值法的几何意义。
2.1.2 插值多项式的存在性与唯一性
如果插值函数是如下m次的多项式：
Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,
那么插值函数的构造就是要确定Pm(x)表达式中的m+1个系数a0,a1,L,am。由于插值条件包含n+1个独立等式，所以只要m=n，就可以证明这样的插值多项式是唯一存在的。
实际上，由n+1个插值条件可得
nn−1
⎧a0x0+a1x0+Lan−1x0+an=y0⎪nn−1
⎪a0x1+a1x1+Lan−1x1+an=y1
⎨ （2.2）
M⎪
nn−1⎪⎩a0xn+a1xn+Lan−1xn+an=yn
这是一个关于a0,a1,L,an的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应行列式是线性代数中著名的范德蒙（Vandermonde）行列式。该行列式的值
Vn(x0,x1,L,xn)=∏∏(xi−xj)
i=1j=0n
i
因为i≠j时，xi≠xj，所以Vn(x0,x1,L,xn)≠0。从而满足插值条件的多项式唯一存在。
§2.2 拉格朗日插值法 2.2.1 拉格朗日插值多项式的构造 利用节点直接构造如下多项式
'πn(x)πn+1(x)
, = li(x)='+1
'
()πn+1(xi)(x−xi)πnxi+1
其中，
πn+1(x)=(x−x0)(x−x1)L(x−xn),π
'
n+1
(x)=(x−x0)L(x−xi−1)(x−xi+1)L(x−xn).
容易验证该多项式具有性质：
⎧0
li(xj)=⎨
⎩1因此，n次多项式
j≠i
j=i
Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+L+ln(x)yn=∑lk(x)yk
k=0
n
一定具有性质
Ln(xi)=∑lk(xi)yk=li(xi)yi=yi,i=0,1,L,n,
k=0
n
即满足插值条件。根据插值多项式的惟一性知，Ln(x)即为所求。
称Ln(x)为拉格朗日插值多项式，构成Ln(x)的li(x)(i=0,1,L,n)，称为拉格朗日插值基函数。实际上，拉格朗日插值多项式是n+1个基函数的线性组合，而组合系数是插值条件中的已知函数值。
例 2.2.1 写出已知两个和三个插值节点条件的拉格朗日插值多项式。
本例有两个目的，一是要说明拉格朗日插值多项式的构造过程，二是要从几何上说明拉格朗日插值基函数的基本性质。
2.2.2 拉格朗日插值多项式的截断误差
在区间[a,b]上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指 Rn(x)=f(x)−Ln(x) 通常称Rn(x)为拉格朗日插值余项。
定理2.2.1 假设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在。Ln(x)是满足插值条件（2.1）的拉格朗日插值多项式，则对任何x∈[a,b]，插值余项
Rn(x)=f(x)−Ln(x)=
1
f(n+1)(ξ)πn+1(x) （2.3）
(n+1)!
其中ξ∈(a,b)依赖于x。
例2.2.3 写出线性插值和抛物线插值的余项。 解 根据定理2.2.1知，线性插值余项：
1
R(x)=f''(ξ)(x−x0)(x−x1) （2.4）
2其中，ξ∈[x0,x1]。
抛物线插值余项：
1
R2(x)f'''(ξ)(x−x0)(x−x1)(x−x2) （2.5）
6
其中，ξ∈[x0,x2]。
总结：公式（2.3）从理论上说明了运用插值法时必须注意下列问题： 1）如果f(x)本身是次数不超过n的多项式，那么满足n+1个插值条件的插值多项式就是它本身。这是因为
f(n+1)(x)≡0,x∈[a,b],
从而Rn(x)≡0。
2）如果插值区间[a,b]很大，那么对给定的x,|πn+1(x)|的值一般会很大（因为这时许多因数都将大于1）。因此，误差Rn(x)可能很大。反过来，如果插值区间[a,b]很小，比如b−a
一句话，小的区间上插值有利于减少误差。
3）因为在很大的区间上插值，|πn+1(x)|的值可能会很大，所以，n→∞时，
limRn(x)未必趋于零。换句话说，依靠增多插值节点不一定能减少误差。 4） 插值多项式一般仅用来估计插值区间内点的函数值（即内插）。用它来计算插值区间外点的函数值（即外插）时，误差可能会较大。
2.2.3 截断误差的实用估计式
提问：既然公式（2.3）估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？
： 假设插值条件中包含n+2组数据（比一般实际情况下多一组） f(xi)=yi,i=0,1,L,n,n+1
那么利用前n+1组数据我们可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。利用公式（2.3）知，它们各自的插值余项为
1
fn+1(ξ)(x−x0)(x−x1)L(x−xn),
(n+1)!
1n+1*
f(x)−L*x=fξ()()(x−x1)(x−x2)L(x−xn+1).n
(n+1)!
f(x)−Ln(x)=
两式相减得：
L*n(x)−Ln(x)≈
并可写成
1
fn+1(ξ)(x−x1)L(x−xn)(xn+1−x0),
(n+1)!
L*(x)−Ln(x)1n+1
（2.6） f(ξ)(x−x1)L(x−xn)≈n
(n+1)!xn+1−x0注意到上式中利用了fn+1(ξ)≈fn+1(ξ*)。
利用（2.6）可得：
Ln(x)−L*n(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x)≈(x−x0)
x0−xn+1
*Rn(x)=f(x)−L*n(x)≈
L(x)−Ln(x)
(x−xn+1).
xn+1−x0
*n
（2.7）
（2.7）式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式。它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。
例2.2.5 已知
f(0)=2,f(1)=3,f(2)=12.
利用拉格朗日插值法计算未知函数y=f(x)在x=1.2078处的函数值f(1.2078)，并估计误差。
课堂中利用本例说明：1）利用函数在某些点上的信息如何计算该函数在其他指定点上的值；2）利用截断误差的实用估计式估计插值误差的过程。
§2.3 逐次线性插值法
2.3.1 逐次线性插值思想
如果插值条件中包含n+2组数据：
f(xi)=yi,i=0,1,L,n+1,
那么利用前n+1组数据，可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)；利用后n+1组数据，可以构造另一个拉格朗日插值多项式L*n(x)。它们的实用截断误差估计式为
Ln(x)−L*n(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x)≈(x−x0)
x0−xn+1
*Rn(x)=f(x)−L*n(x)≈
L(x)−Ln(x)
(x−xn+1).
xn+1−x0
*n
（2.8）
那么n+1次多项式
L*(x)−Ln(x)
Pn+1(x)=L(x)+n(x−xn+1)
xn+1−x0
*n
应该是f(x)的更好的近似函数。
上述的Pn+1(x)满足插值条件：
Pn+1(xi)=yi,i=0,1,L,n,n+1.
就是说，Pn+1(x)恰好是由已知n+2个插值节点确定的拉格朗日插值多项式
Ln+1(x)。
这意味着从任何n+1个插值节点构造n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，可以先选用合适的两个节点构造线性插值多项式，再利用线性插值多项式构造2次插
值多项式，利用2次插值多项式又可以构造3次插值多项式，……，直到构造出n次插值多项式。当不关心最终插值多项式的表达式，而只需要利用插值方法计算未知函数或复杂函数的函数值时，这种思路方法特别有效，可以保证选用尽量少的节点，计算出满足给定精度要求的函数值。 2.3.2 艾特肯（Aitken）算法
对未知函数或复杂函数f(x)，假设已知如下信息：
f(xi)=yi,i=0,1,L,n.
问题是利用以上信息计算f(x)在任何一点x=处的函数值f(，且误差不超过上限ε0。
第一步：利用节点x0,x1构造线性插值多项式N0,1(x)，利用节点x0,x2构造另一个线性插值多项式N0,2(x)。
计算N0,1()和N0,2(。利用实用误差估计式估计N0,1()的误差
R0,1(=若R0,1(
N0,1(−N0,2(x1−x2
.
f()≈N0,1()+R0,1( 否则记
N0,1,2(=N0,1()+R0,1(), 转第二步。
第二步：利用节点x0,x3构造线性插值多项式N0,3(x)，并计算N0,3()。与N0,1,2()的计算方式相同，利用N0,1()和N0,3()可计算N0,1,3(。利用N0,1,2()和N0,1,3(可计算
N0,1,2,3(=N0,1,2()+
N0,1,2(−N0,1,3()
x2−x3
.
如果
R0,1,2(=
N0,1,2(−N0,1,3(x2−x3
算法终止，且
f(≈N0,1,2,3(). 否则转第三步。
第三步：利用节点x0,x4构造线性插值多项式N0,4(x)，并计算N0,4(。与
N0,1,2()的计算方式相同，利用N0,1(和N0,4(可计算N0,1,4(。与N0,1,2,3(的计算方式相同，利用N0,1,2(和N0,1,4()可计算N0,1,2,4()。最后利用N0,1,2,3(和
N0,1,2,4()可计算
N0,1,2,3,4(=N0,1,2,3(+如果
N0,1,2,3(−N0,1,2,4()
x3−x4
R0,1,2,3()=算法终止，且
N0,1,2,3()−N0,1,2,4(x3−x4
f()≈N0,1,2,3,4( 否则将上述步骤重复下去。
课堂演示 例2.3.1，说明Aitken法的计算过程。
课堂小结
布置作业
参考文献
1. Burden R L, Faires J D.Numerical Ananlysis(Fourth Edition). Prindle, Boston, Weder and Schmidt,1989.
2. Stoer J.,Bulirsch R.,Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, Springer- Verlag, NewYork, 1992.
3. A. Ralston and P.Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, Dover Publication, 2001.
4. 邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001. 5. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003.
教案一 多项式插值法和拉格朗日插值
基本内容提要
1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法 教学目的和要求
1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法
5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程 教学重点
1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想 教学难点
1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计
3 Aitken逐次线性插值法的计算过程 课程类型 新知识理论课 教学方法
结合提问，以讲授法为主 教学过程
问题引入
实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。
§2.1 多项式插值
2.1.1 基本概念
假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0
P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。
(2.1)
把P(x)称为f(x)的插值多项式（函 通常把上述x0
数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法。
如果P(x)为m次多项式
Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,
则称该插值法为多项式插值；如果P(x)为三角多项式，则称为三角插值；如果P(x)为分段多项式，则称为分段插值。
画图说明插值法的几何意义。
2.1.2 插值多项式的存在性与唯一性
如果插值函数是如下m次的多项式：
Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,
那么插值函数的构造就是要确定Pm(x)表达式中的m+1个系数a0,a1,L,am。由于插值条件包含n+1个独立等式，所以只要m=n，就可以证明这样的插值多项式是唯一存在的。
实际上，由n+1个插值条件可得
nn−1
⎧a0x0+a1x0+Lan−1x0+an=y0⎪nn−1
⎪a0x1+a1x1+Lan−1x1+an=y1
⎨ （2.2）
M⎪
nn−1⎪⎩a0xn+a1xn+Lan−1xn+an=yn
这是一个关于a0,a1,L,an的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应行列式是线性代数中著名的范德蒙（Vandermonde）行列式。该行列式的值
Vn(x0,x1,L,xn)=∏∏(xi−xj)
i=1j=0n
i
因为i≠j时，xi≠xj，所以Vn(x0,x1,L,xn)≠0。从而满足插值条件的多项式唯一存在。
§2.2 拉格朗日插值法 2.2.1 拉格朗日插值多项式的构造 利用节点直接构造如下多项式
'πn(x)πn+1(x)
, = li(x)='+1
'
()πn+1(xi)(x−xi)πnxi+1
其中，
πn+1(x)=(x−x0)(x−x1)L(x−xn),π
'
n+1
(x)=(x−x0)L(x−xi−1)(x−xi+1)L(x−xn).
容易验证该多项式具有性质：
⎧0
li(xj)=⎨
⎩1因此，n次多项式
j≠i
j=i
Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+L+ln(x)yn=∑lk(x)yk
k=0
n
一定具有性质
Ln(xi)=∑lk(xi)yk=li(xi)yi=yi,i=0,1,L,n,
k=0
n
即满足插值条件。根据插值多项式的惟一性知，Ln(x)即为所求。
称Ln(x)为拉格朗日插值多项式，构成Ln(x)的li(x)(i=0,1,L,n)，称为拉格朗日插值基函数。实际上，拉格朗日插值多项式是n+1个基函数的线性组合，而组合系数是插值条件中的已知函数值。
例 2.2.1 写出已知两个和三个插值节点条件的拉格朗日插值多项式。
本例有两个目的，一是要说明拉格朗日插值多项式的构造过程，二是要从几何上说明拉格朗日插值基函数的基本性质。
2.2.2 拉格朗日插值多项式的截断误差
在区间[a,b]上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指 Rn(x)=f(x)−Ln(x) 通常称Rn(x)为拉格朗日插值余项。
定理2.2.1 假设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在。Ln(x)是满足插值条件（2.1）的拉格朗日插值多项式，则对任何x∈[a,b]，插值余项
Rn(x)=f(x)−Ln(x)=
1
f(n+1)(ξ)πn+1(x) （2.3）
(n+1)!
其中ξ∈(a,b)依赖于x。
例2.2.3 写出线性插值和抛物线插值的余项。 解 根据定理2.2.1知，线性插值余项：
1
R(x)=f''(ξ)(x−x0)(x−x1) （2.4）
2其中，ξ∈[x0,x1]。
抛物线插值余项：
1
R2(x)f'''(ξ)(x−x0)(x−x1)(x−x2) （2.5）
6
其中，ξ∈[x0,x2]。
总结：公式（2.3）从理论上说明了运用插值法时必须注意下列问题： 1）如果f(x)本身是次数不超过n的多项式，那么满足n+1个插值条件的插值多项式就是它本身。这是因为
f(n+1)(x)≡0,x∈[a,b],
从而Rn(x)≡0。
2）如果插值区间[a,b]很大，那么对给定的x,|πn+1(x)|的值一般会很大（因为这时许多因数都将大于1）。因此，误差Rn(x)可能很大。反过来，如果插值区间[a,b]很小，比如b−a
一句话，小的区间上插值有利于减少误差。
3）因为在很大的区间上插值，|πn+1(x)|的值可能会很大，所以，n→∞时，
limRn(x)未必趋于零。换句话说，依靠增多插值节点不一定能减少误差。 4） 插值多项式一般仅用来估计插值区间内点的函数值（即内插）。用它来计算插值区间外点的函数值（即外插）时，误差可能会较大。
2.2.3 截断误差的实用估计式
提问：既然公式（2.3）估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？
： 假设插值条件中包含n+2组数据（比一般实际情况下多一组） f(xi)=yi,i=0,1,L,n,n+1
那么利用前n+1组数据我们可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。利用公式（2.3）知，它们各自的插值余项为
1
fn+1(ξ)(x−x0)(x−x1)L(x−xn),
(n+1)!
1n+1*
f(x)−L*x=fξ()()(x−x1)(x−x2)L(x−xn+1).n
(n+1)!
f(x)−Ln(x)=
两式相减得：
L*n(x)−Ln(x)≈
并可写成
1
fn+1(ξ)(x−x1)L(x−xn)(xn+1−x0),
(n+1)!
L*(x)−Ln(x)1n+1
（2.6） f(ξ)(x−x1)L(x−xn)≈n
(n+1)!xn+1−x0注意到上式中利用了fn+1(ξ)≈fn+1(ξ*)。
利用（2.6）可得：
Ln(x)−L*n(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x)≈(x−x0)
x0−xn+1
*Rn(x)=f(x)−L*n(x)≈
L(x)−Ln(x)
(x−xn+1).
xn+1−x0
*n
（2.7）
（2.7）式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式。它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。
例2.2.5 已知
f(0)=2,f(1)=3,f(2)=12.
利用拉格朗日插值法计算未知函数y=f(x)在x=1.2078处的函数值f(1.2078)，并估计误差。
课堂中利用本例说明：1）利用函数在某些点上的信息如何计算该函数在其他指定点上的值；2）利用截断误差的实用估计式估计插值误差的过程。
§2.3 逐次线性插值法
2.3.1 逐次线性插值思想
如果插值条件中包含n+2组数据：
f(xi)=yi,i=0,1,L,n+1,
那么利用前n+1组数据，可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)；利用后n+1组数据，可以构造另一个拉格朗日插值多项式L*n(x)。它们的实用截断误差估计式为
Ln(x)−L*n(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x)≈(x−x0)
x0−xn+1
*Rn(x)=f(x)−L*n(x)≈
L(x)−Ln(x)
(x−xn+1).
xn+1−x0
*n
（2.8）
那么n+1次多项式
L*(x)−Ln(x)
Pn+1(x)=L(x)+n(x−xn+1)
xn+1−x0
*n
应该是f(x)的更好的近似函数。
上述的Pn+1(x)满足插值条件：
Pn+1(xi)=yi,i=0,1,L,n,n+1.
就是说，Pn+1(x)恰好是由已知n+2个插值节点确定的拉格朗日插值多项式
Ln+1(x)。
这意味着从任何n+1个插值节点构造n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，可以先选用合适的两个节点构造线性插值多项式，再利用线性插值多项式构造2次插
值多项式，利用2次插值多项式又可以构造3次插值多项式，……，直到构造出n次插值多项式。当不关心最终插值多项式的表达式，而只需要利用插值方法计算未知函数或复杂函数的函数值时，这种思路方法特别有效，可以保证选用尽量少的节点，计算出满足给定精度要求的函数值。 2.3.2 艾特肯（Aitken）算法
对未知函数或复杂函数f(x)，假设已知如下信息：
f(xi)=yi,i=0,1,L,n.
问题是利用以上信息计算f(x)在任何一点x=处的函数值f(，且误差不超过上限ε0。
第一步：利用节点x0,x1构造线性插值多项式N0,1(x)，利用节点x0,x2构造另一个线性插值多项式N0,2(x)。
计算N0,1()和N0,2(。利用实用误差估计式估计N0,1()的误差
R0,1(=若R0,1(
N0,1(−N0,2(x1−x2
.
f()≈N0,1()+R0,1( 否则记
N0,1,2(=N0,1()+R0,1(), 转第二步。
第二步：利用节点x0,x3构造线性插值多项式N0,3(x)，并计算N0,3()。与N0,1,2()的计算方式相同，利用N0,1()和N0,3()可计算N0,1,3(。利用N0,1,2()和N0,1,3(可计算
N0,1,2,3(=N0,1,2()+
N0,1,2(−N0,1,3()
x2−x3
.
如果
R0,1,2(=
N0,1,2(−N0,1,3(x2−x3
算法终止，且
f(≈N0,1,2,3(). 否则转第三步。
第三步：利用节点x0,x4构造线性插值多项式N0,4(x)，并计算N0,4(。与
N0,1,2()的计算方式相同，利用N0,1(和N0,4(可计算N0,1,4(。与N0,1,2,3(的计算方式相同，利用N0,1,2(和N0,1,4()可计算N0,1,2,4()。最后利用N0,1,2,3(和
N0,1,2,4()可计算
N0,1,2,3,4(=N0,1,2,3(+如果
N0,1,2,3(−N0,1,2,4()
x3−x4
R0,1,2,3()=算法终止，且
N0,1,2,3()−N0,1,2,4(x3−x4
f()≈N0,1,2,3,4( 否则将上述步骤重复下去。
课堂演示 例2.3.1，说明Aitken法的计算过程。
课堂小结
布置作业
参考文献
1. Burden R L, Faires J D.Numerical Ananlysis(Fourth Edition). Prindle, Boston, Weder and Schmidt,1989.
2. Stoer J.,Bulirsch R.,Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, Springer- Verlag, NewYork, 1992.
3. A. Ralston and P.Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, Dover Publication, 2001.
4. 邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001. 5. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003.