S-储蓄率 n-人口增长率
为了说明外生增长与内生增长的关系，考虑劳动增进型的柯布－道格拉斯生产函数
y=k[α](al)[1-α]。假定不存在折旧，因此k=sy；此外，假定劳动和技术进步的增长率分别为n和g。对生产函数取对数并对时间求导得：
如果(2)式两端等于零，即产出增长率仅等于外生参数劳动增长率和技术进步率之和(n+g)，则就是一个外生增长模型；如果(2)式两端均为正，则在外生参数n和g之外，由模型本身产生了增长，因此是一个内生增长模型。新古典增长模型之所以是一个外生增长模型，最主要的原因是资本收益递减规律的存在（即{图}随着资本存量的增加而下降），使得(2)式右端在稳态中不能大于零。由此可以看出，任何内生增长模型都必须想方设法使资本边际产品不致下降得太快。基本方法不外乎如下两个方面：或者放弃新古典生产函数的核心假定（主要是资本收益递减假定），或者在模型中引入其他机制，以使得资本边际产品不至于下降得太快。所谓新增长理论或内生增长理论，不外乎从经济本身寻找某种内在机制，使得资本收益递减不至于下降得太快。最简单的方式是直接放弃资本收益递减规律的假定，这正是ak模型的做法。ak模型又称凸性模型或线性模型，它通过假定产出是资本存量的线性函数而放弃了资本收益递减的假定。这类模型的主要贡献是揭示了“线性”对内生增长的重要性，但它同新古典增长模型一样，并没有深入地研究技术进步的内在机制。
1.ak模型。上文表明，新古典增长模型之所以不能产生内生增长，最重要的原因是资本收益递减规律的存在。一种不存在资本收益递减的最简单的生产函数是：y=ak，其中a＞0是反映技术水平的常数，ak模型的称谓正是由此而来。显然，ak函数对应于α=1时的柯布－道格拉斯生产函数。假定资本积累方程仍为通常的k=sy-(n+g+δ)k，由生产函数y=ak和资本积累方程可得{图}，即人均产出和人均资本的增长率均为sa-(n+g+δ)。显然，只要sa＞n+g+δ，经济就可以实现持续的增长。由此可以看出，即使不存在人口增长和外生的技术进步(n+g=0)，ak模型也可以产生内生增长（人均产出增长率为sa-δ）。
ak模型揭示了放弃资本收益递减规律如何能够导致内生增长。不过，该模型存在明显的缺陷：其一，该模型似乎过于简单，直接放弃资本收益递减规律似乎不符合人们的常识；其二，该模型不能预测绝对收敛或条件收敛，而条件收敛显然是一条经验规律。如果将k仅视为物质资本，那么ak生产函数显然不符合经验规律。不过，如果将k理解为包括人力资本在内的广义资本概念，该生产函数也还大致说得过去。此外，ak模型直接放弃资本收益递减规律似乎过于突兀，不过，内生增长模型（尤其是下文介绍的外部性模型）在很大程度上可以归结为ak模型的形式：在这些模型中，虽然在个体水平上存在收益递减，但由于外部性或溢出效应的存在，总量水平上则表现出不变收益或递增收益。ak模型有助于我们理解这些更重要的模型。
至于ak模型对经验规律即条件收敛的违反，我们可以对ak模型进行简单的扩展，从而在保留资本收益不变特征的同时恢复模型的收敛性质。这正是多数凸性增长模型（如琼斯和真野惠里1990、雷贝洛1991等）的实际做法。我们知道，新古典生产函数能够产生收敛，ak生产函数则能够产生内生增长，将二者结合在一起，我们就可以得到既具有内生增长又具有收敛性质的经济增长模型。例如，假定生产函数是ak函数和柯布－道格拉斯函数的组合y=ak+k[α](bl)[1-α]。当k较小时，该生产函数表现出了新古典生产函数的性质，但随着k
的增加，它渐进地收敛于ak形式；也就是说，该生产函数具有资本收益递减的性质（从而具有收敛性质），但资本边际产品的递减是有下界的（从而产生内生增长）。
2.外部性模型。既不放弃资本收益递减假定和完全竞争，又能产生内生增长的经济增长模型，是以外部性和知识溢出为基础的增长模型。它在经济增长理论中具有较长的研究传统，也是第一轮内生增长模型的核心，在增长理论文献中占有重要的位置。这类增长模型的基本特征是：其一，技术进步、知识积累或人力资本积累是其他经济活动的副产品，因而不需要补偿并可维持完全竞争的分析框架；其二，个别厂商的生产函数表现为不变规模收益，但就整个经济而言表现为规模收益递增；其三，上述两个特征决定了这类模型具有不同于新古典增长理论的政策含义，即政府政策不仅具有水平效应，而且具有增长效应。根据外部性来源的不同，这类模型有多种构造方式，如罗默的知识溢出模型、卢卡斯的人力资本模型和巴罗的公共品模型等，阿罗及其后继者提出的“干中学”模型则是这类模型的重要先驱。
(1)“干中学”模型。针对新古典增长理论外生技术进步的假定，阿罗试图提出一个“知识积累的内生理论”并以此解释技术进步现象。阿罗认为，知识的获得即“学习”，是“经验的产物”，而不仅仅是时间的函数。企业在进行投资和生产的过程中会逐步积累起生产经验和更有效的生产知识，而这些知识能够提高企业的生产效率；由于一个企业获得的生产经验和生产知识也能够被其他企业所利用，因此一个企业的生产率可以视为整个经济总投资的函数。也就是说，知识的创造是投资的“副产品”（即干中学），知识的溢出导致了整个经济生产率的提高（即溢出效应）。也就是说，从整个经济来看，生产过程因生产率的提高而表现出递增收益。不过，由于知识的创造是投资的“副产品”，不需要进行补偿，因此仍可以维持完全竞争的分析框架。同时，由于生产率的提高是企业投资的“副产品”，个别厂商并没有考虑到其投资活动对这个经济生产率的影响，而是将它视为外生变量，因此，它的行为仍然像新古典模型中的厂商一样。于是，通过干中学和溢出效应（或投资的外部性），我们可以在完全竞争的框架下得到内生的技术进步和经济增长。
(2)罗默的知识溢出模型。在引起广泛关注并重新焕发人们对增长问题产生兴趣的罗默的经典论文中，罗默以阿罗的“干中学”概念为基础，提出了以知识生产和知识溢出为基础的知识溢出模型。罗默假定代表性厂商的产出是该厂商的知识水平k[,i]、其他有形投入x[,i]（例如物质资本和原始劳动等）和总知识存量k的函数：y[,i]=f(k[,i],k,x[,i])。对于个别厂商的自身投入k[,i]和x[,i]而言，该生产函数表现出不变规模收益、满足新古典生产函数的假定。然而，如果将k考虑在内，则这一生产函数对于代表性厂商和整个经济具有不同的含义：代表性厂商将总知识水平k视为给定的变量，因此生产函数表现为不变规模收益；但对整个经济（假定它由n个同质的厂商组成）而言，由于对于任何常数λ＞1有f(λk[,i],λk,λx[,i])＞
f(λk[,i],k,λx[,i])=λf(k[,i],k,x[,i])，因此生产函数y=f(k,k,x)=f(k,nk,x)表现为规模收益递增。在这里，总知识水平k成为外部性的来源。此外，罗默还假定k的增长率取决于k水平和投资数额（产出中没有用于消费的部分）。这样，罗默模型实际上同“干中学”模型一样，通过知识积累的“副产品”性质和知识存量的外部性得到了内生增长。
(3)卢卡斯的人力资本模型。在论述经济增长的经典论文《论经济发展的机制》中，卢卡斯提出和比较了三个模型：基于物质资本积累和技术进步的新古典增长模型、通过教育积累人力资本的内生增长模型和通过“干中学”积累特定人力资本的增长模型。其中，第二个模型是
该文的核心模型，并被人们称为卢卡斯模型。其核心假定是：其一，人力资本的增长率是人们用于积累人力资本的时间比例的线性函数（这与纯粹的“干中学”模型有所不同），从而引入了人力资本生产部门；其二，工人的人力资本水平不仅影响自身的生产率，而且能够对整个社会的生产率产生影响（每一经济个体在进行决策时不考虑这部分影响），这是该模型能够产生递增规模收益（整个经济水平）和政府政策增长效应的基础。由此可以看出，除了第一个假定在性质上基本介于外部性模型和r&d模型之间外，卢卡斯模型与“干中学”模型和罗默模型并没有本质的不同。
3.r&d模型。外部性模型通过引入知识积累或人力资本积累，并借助于溢出效应得到了内生增长。r&d模型则明确地将技术进步或创新归结为厂商有意识的、旨在获取垄断收益的活动，并运用垄断竞争的分析框架进行分析。罗默指出，技术具有不同于传统经济物品的两大特点：它是非竞争性的和部分排他性的。非竞争性意味着生产表现为规模收益递增；部分排他性则为从事r&d活动的厂商提供了激励（外部性模型抓住了技术的第一个特征，但没有抓住第二个特征）。以r&d为基础的增长模型主要有两类：一类是将技术进步理解为产品种类的增加（例如新行业的开辟），一类是将技术进步理解为产品质量的改进（例如同类产品的升级换代）。这两类模型的主要区别在于后者引入了熊彼特的“创造性破坏性”概念，即新产品的出现往往意味着旧产品的被淘汰。
r&d模型之所以能够提出，在很大程度上得益于产业组织理论的进展，使得经济学家能够对规模收益递增和不完全竞争进行简洁的分析和处理。其中，迪克西特－斯蒂格利茨(d-s)模型对r&d模型尤其产生了决定性的影响。几乎所有的r&d模型都吸收了迪克西特和斯蒂格利茨的技巧：不是将创新视为产品种类的增加，就是将创新视为固定种类的产品质量的改进。其中，格罗斯曼和赫尔普曼、塞格斯特罗姆采用了原本意义上的d-s函数（即把d-s函数视为效用函数）；罗默、阿洪和霍维特则把它作为生产函数。
尽管存在这些不同，这类模型的核心特征是一致的：技术进步或创新是企业有意识进行r&d投资的结果；来自创新的垄断利润则为企业从事r&d活动提供了市场激励；分权经济增长率一般不等于社会最优水平，政府政策具有增长效应等。这些增长模型的主要区别是：在产品种类增加模型中，由于r&d活动的正外部性和市场结构的不完全竞争特征，分权经济增长率总是低于社会最优水平；在产品质量改进模型中，由于新产品具有淘汰原有产品的“创造性破坏效应”（个别企业不考虑这种负外部性），因此分权经济下的增长率既可能低于也可能高于社会最优增长率。
总的说来，尽管内生增长理论表现为形形色色的不同增长模型，但是绝大多数的内生增长模型实际上都可归结为上述模型之一或这些模型的某种组合。一般而言，外部性模型具有简洁、便于扩展和应用、易于进行计量检验的优点，r&d模型则更符合人们的直觉，具有更良好的经济含义和更坚实的微观基础。利用这些模型，我们就能够根据经济的实际情况，更深入地分析经济增长的内在机制。在具体的研究过程中，外部性模型比较适合于那些在总量水平上促进创新和技术进步的因素（如教育、经验积累和基础研究等），r&d模型则比较适合于对产业层次的创新活动并易于通过市场机制提供激励（相对易于排他）的经济活动的分
S-储蓄率 n-人口增长率
为了说明外生增长与内生增长的关系，考虑劳动增进型的柯布－道格拉斯生产函数
y=k[α](al)[1-α]。假定不存在折旧，因此k=sy；此外，假定劳动和技术进步的增长率分别为n和g。对生产函数取对数并对时间求导得：
如果(2)式两端等于零，即产出增长率仅等于外生参数劳动增长率和技术进步率之和(n+g)，则就是一个外生增长模型；如果(2)式两端均为正，则在外生参数n和g之外，由模型本身产生了增长，因此是一个内生增长模型。新古典增长模型之所以是一个外生增长模型，最主要的原因是资本收益递减规律的存在（即{图}随着资本存量的增加而下降），使得(2)式右端在稳态中不能大于零。由此可以看出，任何内生增长模型都必须想方设法使资本边际产品不致下降得太快。基本方法不外乎如下两个方面：或者放弃新古典生产函数的核心假定（主要是资本收益递减假定），或者在模型中引入其他机制，以使得资本边际产品不至于下降得太快。所谓新增长理论或内生增长理论，不外乎从经济本身寻找某种内在机制，使得资本收益递减不至于下降得太快。最简单的方式是直接放弃资本收益递减规律的假定，这正是ak模型的做法。ak模型又称凸性模型或线性模型，它通过假定产出是资本存量的线性函数而放弃了资本收益递减的假定。这类模型的主要贡献是揭示了“线性”对内生增长的重要性，但它同新古典增长模型一样，并没有深入地研究技术进步的内在机制。
1.ak模型。上文表明，新古典增长模型之所以不能产生内生增长，最重要的原因是资本收益递减规律的存在。一种不存在资本收益递减的最简单的生产函数是：y=ak，其中a＞0是反映技术水平的常数，ak模型的称谓正是由此而来。显然，ak函数对应于α=1时的柯布－道格拉斯生产函数。假定资本积累方程仍为通常的k=sy-(n+g+δ)k，由生产函数y=ak和资本积累方程可得{图}，即人均产出和人均资本的增长率均为sa-(n+g+δ)。显然，只要sa＞n+g+δ，经济就可以实现持续的增长。由此可以看出，即使不存在人口增长和外生的技术进步(n+g=0)，ak模型也可以产生内生增长（人均产出增长率为sa-δ）。
ak模型揭示了放弃资本收益递减规律如何能够导致内生增长。不过，该模型存在明显的缺陷：其一，该模型似乎过于简单，直接放弃资本收益递减规律似乎不符合人们的常识；其二，该模型不能预测绝对收敛或条件收敛，而条件收敛显然是一条经验规律。如果将k仅视为物质资本，那么ak生产函数显然不符合经验规律。不过，如果将k理解为包括人力资本在内的广义资本概念，该生产函数也还大致说得过去。此外，ak模型直接放弃资本收益递减规律似乎过于突兀，不过，内生增长模型（尤其是下文介绍的外部性模型）在很大程度上可以归结为ak模型的形式：在这些模型中，虽然在个体水平上存在收益递减，但由于外部性或溢出效应的存在，总量水平上则表现出不变收益或递增收益。ak模型有助于我们理解这些更重要的模型。
至于ak模型对经验规律即条件收敛的违反，我们可以对ak模型进行简单的扩展，从而在保留资本收益不变特征的同时恢复模型的收敛性质。这正是多数凸性增长模型（如琼斯和真野惠里1990、雷贝洛1991等）的实际做法。我们知道，新古典生产函数能够产生收敛，ak生产函数则能够产生内生增长，将二者结合在一起，我们就可以得到既具有内生增长又具有收敛性质的经济增长模型。例如，假定生产函数是ak函数和柯布－道格拉斯函数的组合y=ak+k[α](bl)[1-α]。当k较小时，该生产函数表现出了新古典生产函数的性质，但随着k
的增加，它渐进地收敛于ak形式；也就是说，该生产函数具有资本收益递减的性质（从而具有收敛性质），但资本边际产品的递减是有下界的（从而产生内生增长）。
2.外部性模型。既不放弃资本收益递减假定和完全竞争，又能产生内生增长的经济增长模型，是以外部性和知识溢出为基础的增长模型。它在经济增长理论中具有较长的研究传统，也是第一轮内生增长模型的核心，在增长理论文献中占有重要的位置。这类增长模型的基本特征是：其一，技术进步、知识积累或人力资本积累是其他经济活动的副产品，因而不需要补偿并可维持完全竞争的分析框架；其二，个别厂商的生产函数表现为不变规模收益，但就整个经济而言表现为规模收益递增；其三，上述两个特征决定了这类模型具有不同于新古典增长理论的政策含义，即政府政策不仅具有水平效应，而且具有增长效应。根据外部性来源的不同，这类模型有多种构造方式，如罗默的知识溢出模型、卢卡斯的人力资本模型和巴罗的公共品模型等，阿罗及其后继者提出的“干中学”模型则是这类模型的重要先驱。
(1)“干中学”模型。针对新古典增长理论外生技术进步的假定，阿罗试图提出一个“知识积累的内生理论”并以此解释技术进步现象。阿罗认为，知识的获得即“学习”，是“经验的产物”，而不仅仅是时间的函数。企业在进行投资和生产的过程中会逐步积累起生产经验和更有效的生产知识，而这些知识能够提高企业的生产效率；由于一个企业获得的生产经验和生产知识也能够被其他企业所利用，因此一个企业的生产率可以视为整个经济总投资的函数。也就是说，知识的创造是投资的“副产品”（即干中学），知识的溢出导致了整个经济生产率的提高（即溢出效应）。也就是说，从整个经济来看，生产过程因生产率的提高而表现出递增收益。不过，由于知识的创造是投资的“副产品”，不需要进行补偿，因此仍可以维持完全竞争的分析框架。同时，由于生产率的提高是企业投资的“副产品”，个别厂商并没有考虑到其投资活动对这个经济生产率的影响，而是将它视为外生变量，因此，它的行为仍然像新古典模型中的厂商一样。于是，通过干中学和溢出效应（或投资的外部性），我们可以在完全竞争的框架下得到内生的技术进步和经济增长。
(2)罗默的知识溢出模型。在引起广泛关注并重新焕发人们对增长问题产生兴趣的罗默的经典论文中，罗默以阿罗的“干中学”概念为基础，提出了以知识生产和知识溢出为基础的知识溢出模型。罗默假定代表性厂商的产出是该厂商的知识水平k[,i]、其他有形投入x[,i]（例如物质资本和原始劳动等）和总知识存量k的函数：y[,i]=f(k[,i],k,x[,i])。对于个别厂商的自身投入k[,i]和x[,i]而言，该生产函数表现出不变规模收益、满足新古典生产函数的假定。然而，如果将k考虑在内，则这一生产函数对于代表性厂商和整个经济具有不同的含义：代表性厂商将总知识水平k视为给定的变量，因此生产函数表现为不变规模收益；但对整个经济（假定它由n个同质的厂商组成）而言，由于对于任何常数λ＞1有f(λk[,i],λk,λx[,i])＞
f(λk[,i],k,λx[,i])=λf(k[,i],k,x[,i])，因此生产函数y=f(k,k,x)=f(k,nk,x)表现为规模收益递增。在这里，总知识水平k成为外部性的来源。此外，罗默还假定k的增长率取决于k水平和投资数额（产出中没有用于消费的部分）。这样，罗默模型实际上同“干中学”模型一样，通过知识积累的“副产品”性质和知识存量的外部性得到了内生增长。
(3)卢卡斯的人力资本模型。在论述经济增长的经典论文《论经济发展的机制》中，卢卡斯提出和比较了三个模型：基于物质资本积累和技术进步的新古典增长模型、通过教育积累人力资本的内生增长模型和通过“干中学”积累特定人力资本的增长模型。其中，第二个模型是
该文的核心模型，并被人们称为卢卡斯模型。其核心假定是：其一，人力资本的增长率是人们用于积累人力资本的时间比例的线性函数（这与纯粹的“干中学”模型有所不同），从而引入了人力资本生产部门；其二，工人的人力资本水平不仅影响自身的生产率，而且能够对整个社会的生产率产生影响（每一经济个体在进行决策时不考虑这部分影响），这是该模型能够产生递增规模收益（整个经济水平）和政府政策增长效应的基础。由此可以看出，除了第一个假定在性质上基本介于外部性模型和r&d模型之间外，卢卡斯模型与“干中学”模型和罗默模型并没有本质的不同。
3.r&d模型。外部性模型通过引入知识积累或人力资本积累，并借助于溢出效应得到了内生增长。r&d模型则明确地将技术进步或创新归结为厂商有意识的、旨在获取垄断收益的活动，并运用垄断竞争的分析框架进行分析。罗默指出，技术具有不同于传统经济物品的两大特点：它是非竞争性的和部分排他性的。非竞争性意味着生产表现为规模收益递增；部分排他性则为从事r&d活动的厂商提供了激励（外部性模型抓住了技术的第一个特征，但没有抓住第二个特征）。以r&d为基础的增长模型主要有两类：一类是将技术进步理解为产品种类的增加（例如新行业的开辟），一类是将技术进步理解为产品质量的改进（例如同类产品的升级换代）。这两类模型的主要区别在于后者引入了熊彼特的“创造性破坏性”概念，即新产品的出现往往意味着旧产品的被淘汰。
r&d模型之所以能够提出，在很大程度上得益于产业组织理论的进展，使得经济学家能够对规模收益递增和不完全竞争进行简洁的分析和处理。其中，迪克西特－斯蒂格利茨(d-s)模型对r&d模型尤其产生了决定性的影响。几乎所有的r&d模型都吸收了迪克西特和斯蒂格利茨的技巧：不是将创新视为产品种类的增加，就是将创新视为固定种类的产品质量的改进。其中，格罗斯曼和赫尔普曼、塞格斯特罗姆采用了原本意义上的d-s函数（即把d-s函数视为效用函数）；罗默、阿洪和霍维特则把它作为生产函数。
尽管存在这些不同，这类模型的核心特征是一致的：技术进步或创新是企业有意识进行r&d投资的结果；来自创新的垄断利润则为企业从事r&d活动提供了市场激励；分权经济增长率一般不等于社会最优水平，政府政策具有增长效应等。这些增长模型的主要区别是：在产品种类增加模型中，由于r&d活动的正外部性和市场结构的不完全竞争特征，分权经济增长率总是低于社会最优水平；在产品质量改进模型中，由于新产品具有淘汰原有产品的“创造性破坏效应”（个别企业不考虑这种负外部性），因此分权经济下的增长率既可能低于也可能高于社会最优增长率。
总的说来，尽管内生增长理论表现为形形色色的不同增长模型，但是绝大多数的内生增长模型实际上都可归结为上述模型之一或这些模型的某种组合。一般而言，外部性模型具有简洁、便于扩展和应用、易于进行计量检验的优点，r&d模型则更符合人们的直觉，具有更良好的经济含义和更坚实的微观基础。利用这些模型，我们就能够根据经济的实际情况，更深入地分析经济增长的内在机制。在具体的研究过程中，外部性模型比较适合于那些在总量水平上促进创新和技术进步的因素（如教育、经验积累和基础研究等），r&d模型则比较适合于对产业层次的创新活动并易于通过市场机制提供激励（相对易于排他）的经济活动的分