2009年第8期7
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
(湖南省澧县一中,415500)
(本讲适合高中)1 知识简介
x0y+xy0
Ax0x+B+Cy0y+
2
记G(x,y)=Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F.
1.1 二次曲线中点弦的方程
设Pi(xi,yi)(i=1,2)是曲线G(x,y)=0的弦P1P2的两个端点,P0(x0,y0)是弦P1P2的中点.则
22
Ax1+Bx1y1+Cy1+Dx1+Ey1+F0,2
A(2x0-x1)+010y1)2
C(2y0-y)(1)E(2y0-y1+=0.②①-②可得
(2Ax0+By0+D)(x0-x1)+(2Cy0+Bx0+E)(y0-y1)=0.
因为(x0-x1,y0-y1)是弦P1P2的方向向量,所以,(2Ax0+By0+D,2Cy0+Bx0+E)是弦P1P2的法向量.因此,弦P1P2的方程是
(2
A
x0+By0+D)(x0-x)+(2Cy0+Bx0+E)(y0-y)=0.为记忆方便,上述方程可整理为
x0y+xy0
Ax0x+B+Cy0y+
2
x0+xy0+yD+E+F
2222
=Ax0+Bx0y0+Cy0+Dx0+Ey0+F.1.2 二次曲线的切线方程
当曲线G(x,y)=0的弦P1P2的两个端点Pi(xi,yi)(i=1,2)重合时,Pi(xi,yi)(i=0,1,2)三点重合于曲线上一点P0(x0,y0),直线P1P2就是曲线G(x,y)=0在点P0处的切线.由于P0(x0,y0)在曲线上,于是,
22
Ax0+Bx0y0+Cy0+Dx0+Ey0+F=0.故曲线G(x,y)=0在其上一点P0(x0,y0)处的切线方程是
收稿日期:2008-12-11 修回日期:2009-04-14
22
x+xy+y
D+E+F=0.
22
1.3 二次曲线的切点弦方程
设从点P0(x0,y0)G(x,y)=0的两条切线xi,yi)(i=1,2).ixi,iii
i+Cyiy+
2
xi+xyi+yD+E+F=0(i=1,2).
22
因点P0(x0,y0)在上述两切线上,所以,
xiy0+x0yi
Axix0+B+Cyiy0+
2
x+xy+yD+E+F=0(i=1,2).
22
以上两式说明,点Pi(xi,yi)(i=1,2)都在以下直线上:
x0y+xy0
Ax0x+B+Cy0y+
2
x0+xy0+yD+E+F=0.①
22
因此,从点P0(x0,y0)引曲线G(x,y)=0的两条切线所得切点弦的方程为式①.1.4 双切线方程
从二次曲线外一点引曲线的两条切线,称为该点关于该曲线的双切线.把切点弦看成双重合直线,则双切线就是过该双重合直线与二次曲线公共点的相交双直线.因而,可用二次曲线方程和切点弦方程表示为
22
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F+
xy+xyAx0x+B+Cy0y+
2
2
x+xy+yD+E+F=0(≠0).
22
把双切线交点P0(x0,y0)代入上述方程
8中等数学
可以确定,进而求出双切线方程.2
四种方程的应用
例1 如图1,P是抛物
2
线y=2x上的动点,点B、C在y轴上,圆
22
(x-1)+y=1内切于△PBC.求△PBC面积的最小值.
图1
(2008,全国高中数学联赛)
讲解:由抛物线的对称性,不妨设
2
P(2t,2t)(t>0).
22
yx0,,切点弦MN22
2tx+2tyx2t)=0,22
即 (2t-1)x+2ty-2t=0.
故双切线PB、PC就是通过二重直线
222
[(2t-1)x+2ty-2t]=0
与圆的所有公共点的二次曲线,其方程为
22222
(x-1)+y-1+[(2t-1)x+2ty-2t]=0.
把点P
的坐标代入上式得=-4.于
4t
是,双切线PB、PC的方程可以写成
22222
(x-1)+y-1-4[(2t-1)x+2ty-2t]=0.
4t
在上式中令x=0,得
y=y-1或y=1-y.
t
t
因此,所求最小值是8.注:题中M、N、B、C的位置都依赖点P的位置,而点P的位置只需一个自由变量即可描述,于是,可把这种解析几何最值问题转化为函数最值问题.另外,借切点弦方程,用双切线方程求点B、C的坐标能起到减少解题环节的作用.
例2
如图2,过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆
2
25
+
2
9
=1
的切线PM、PN,为,2
)P在直线l上运动时,证明:直
因为当t=1时,只有一条切线PB和轴
22
相交,当01.
于是,yB,yC=,1+t1-t
2
BC=-.
1+t1-tt2-1
2
线MN恒过定点Q;
(2)当MN∥l时,定点Q平分线段MN.(2008,湖南省高中数学竞赛)讲解:(1)在直线l上任取一点P(7t+7,5t-5),
故P关于椭圆的切点弦MN的方程为
・x・y-1=0259
Ζx+tx-y-1=0.
259259x+y=0,259x-y-1=0.
259
解方程组得x=,y=-.
1410
,-因此,直线MN恒过定点.
14(2)注意到
(-7)Ζt.MN∥lΖ=5∶
259533
当t时,MN的方程为533=0.35
2
故S△PBC=BC|xP|=2・2t
22t-14
22=2+(t-1)2≥8.
t-t-1
5x-7y-
当且仅当t=2时,上式等号成立.故点Q关于椭圆的中点弦方程为
2009年第8期9
2
-xy251492514即 5x-7y-=0.35
9-,2
所以,Q也是MN的中点,即定点Q平分线段MN.
注:从曲线的含变化参数的方程(实际上就是曲线系方程)求出曲线上的定点,是证明曲线过定点的常规方法.由于本题中的切点弦MN只依赖点P的位置,因此,使用切点弦方程正是时机.证明点Q平分线段MN实际上是使用了同一法,同时也发挥了中点弦方程的作用.
2
例3 已知抛物线y=-x+bx+c与抛
2
物线y=x相切.求该抛物线顶点的几何位置.
(第17讲解:x1y1则y+yx+x
=-x1x+b+c,22y1+y
=x1x.2
因为两抛物线相切,所以,它们在切点处有相同的切线.因而,上述两方程相同,有
-x1+
bx1
样运动,都有AQP=BQP?证明你的结论.
(2007,)讲解:(1)由A=(>0),知A、P、B三点共线,且点P在A、B之间.
设M(x0,y0).则切点弦AB的方程为x0x=2(y0+y).①把点P的坐标代入方程①得y0=-8.因此,点M的纵坐标为定值-8.
(2)检查特殊点M(0,-8)是否可以作为点Q.
方程①可以写成y=x0x+8,代入抛物
2
22
线=4x-2x-=0.
BB-32.
y+8y+8
故kBM+kAMxB
xA
xB
2
=
+8
xB
xA
2
+
+8
xA
xB
2
=
-
xAxBxA
2
xB
+
-
xAxB
xA
=0.
2
=x1,
2
+c=0.
bx1
2
由此可得x1=
,c=-=-.
428
2
于是,抛物线y=-x+bxc
写成y=-x+bx-
2
2
8
.故顶点为
2
,.
2
8
例4 如图3,已知
2
抛物线x=4y及定点P(0,8),A、B上的两动点,且A=(>0).过A、B
两点分别作抛物线的切线,设其
交点为M.
图3
(1)证明:点M的纵坐标为定值;
(2)是否存在定点Q,使得无论AB怎
所以,直线AM、BM关于y轴对称.因此,点M是符合条件的点Q.例5 如图4,AB为一椭圆的长轴,O为中心,F为焦点,P为椭圆上的一点,CD为通过O的弦且平行于过P的切线,直线PF与CD(或其延长线)图4交于点Q.证明
或否定PQ=OA=OB.
讲解:设椭圆方程为
2+2=1(a>b>0).ab
).则过点P的椭圆的设P(acosθ,bsinθ
2
2
切线方程为
=1,
a
b
即 xbcosθ+yasinθ=ab.
由此可得CD的方程为xbcosθ+yasinθ=0.
10中等数学
记CD的法向量α=(θ),,asinθ
β==(acosθ+c,bsinθ),αβ的夹角记为φ、.又点P到CD的距离为
dP-CDbcosθ+asinθdP-CDdP-CD
2
2
2
2
=2
|α|
,
故PQ|cosφ|
=
|α|・|β|
2
2
β||α・
θ22
|abcosθ+absinθ+bccosθ|
()()θ|a+c
cosθ|
=a=OA=OB.注:“算不离形”,.
例6 如图,设M是椭圆的一条弦UV
2
2
2
2
的中点,过M再作弦AB、CD,设AC、BD分别与UV交于点P、Q.求证:M也图5是线段PQ的中点.
(第24届美国普特南数学竞赛)讲解:设M(x0,y0).则椭圆方程为22
ax+by=c(a、b、cN+),lAB:a1(x-x0)+b1(y-y0)=0,lCD:a2(x-x0)+b2(y-y0)=0,
点M(
x0,y0)关于椭圆的中点弦UV的方程为
22
ax0x+by0y=ax0+by0.于是,双直线AC、BD的方程可以设为
22
(ax+by-c)+[a1(x-x0)+b1(y-y0)]・[a2(x-x0)+b2(y-y0)]=0(≠0),
22
即 (a1a2+a)x+(b1b2+b)y+(a1b2+a2b1)xy-[(a1b2+a2b1)y0+2a1a2x0]x-[(a1b2+a2b1)x0+2b1b2y0]y+
22
a1a2x0+b1b2y0+(a1b2+a2b1)x0
y0-c=0.点M(x0,y0)关于双直线AC、BD(也是
二次曲线)的中点弦的方程为
(a1a2+a)x0x+(b1b2+b)y0y+
x0y+y0x
(a1b2+a2b1)-2
x+x
[(a1b2+a2b1)y0+2a1a2x0-2
y0+y
[(a1b
2+a2b1)x0+2b1b2y02
22
=(a1a2+a)x0+(b1b2+b)y0+(a1b2+a2b1)x0y0-[(a1b2+a2b1)y0+2a1a2x0]x0-[(a1b2+a2b1)
x0+2b1b2y0]y0,
22
即 ax0x+by0y=ax0by0.
2
,ax0x0y0+by0.
,点(x0AC、()的中点弦仍然在直线UV.因而,M也是线段PQ的中点.
注:中点弦方程不仅适用于圆锥曲线,
也适用于退化的二次曲线.另外,该证明实际上已经证明了M也是线段P′Q′的中点,其中,P′、Q′分别是弦AD、BC与弦UV的交点.
例7 如图6,段数有限的折线内接于抛物线,其始点与抛物线的顶点重合,折线中任意共顶点的两线段与抛物线在该点处的切线
图6都成等角.证明:这
样的折线只能位于抛物线对称轴的一侧.
(第22届全苏数学奥林匹克)
2
讲解:不妨设抛物线为y=ax(a>0).
2
依次取折线上三个相邻的顶点Ai(xi,axi)(i=n,n+1,n+2,nN).
由抛物线在点An+1处的切线方程(或求导数)可知其斜率
k=2axn+1,
22
a(xn-xn+1)
k1=kAnAn+1=a(xn+xn+1),
xn-xn+122
a(xn-xn)
k2=kAn+1An+2==a(xn+2+xn+1).
xn+2-xn+1
因为AnAn+1、An+1An+2与抛物线在点
2009年第8期11
An+1处的切线夹角相等,所以,
k-kk-k1+k1k
Ζ
1+kk2
a(xn-xn+1)
=
2
1+2axn+1(xn+xn+1)
a(xn+1-xn+2)
2
1+2axn+1(xn+1+xn+2)
2
Ζ(4a2x2
n+1+1)(xn+1-xn)
2
=(4axnxn+1+1)(xn+2-xn+1)(xn+1-xn).当xn和xn+1同号时,xn+2-xn+1和xn+1-
有相关弦的中点Q(x1,y1)的横坐标相同且都是x0-2.
(2)将点P的相关弦AB的方程代入抛2
物线y=4x,由韦达定理知
2
f(t)=AB=(t+4)(4x0-8-t),
2
(0,4x0-8).其中,t=y1
易知当x0>3时,二次函数f(t)能取到最大值f(2x0-6)=(2x0-2),与此同时,AB能取最大值2x0-2;当2
3.求抛物线方程,x轴、
,并求抛物线的y(1,0).
:0)关于抛物线的切点弦
(0,2)的直线l:2x+y-2=(1,0)、
0.易求得抛物线方程为
2
(2x-y)-4(2x+y)+4=0.
故抛物线的对称轴为10x-5y-6=0,
,顶点为.)252
4.设抛物线y=4ax的两条切线相交成θ角(θ是常量).求角的顶点的轨迹方程.
(提示:设角的顶点为P(x0,y0),切点为
A(at,2at)、B(as,2as),代入切点弦AB的
2
2
2
xn也同号,即当数列{xk}的首项与第二项同
号时,该数列是单调数列.
因此,当折线起于原点时,折线总在抛物线对称轴———y轴的同侧.
注:例7的条件可以减弱,,.
练习题
1.对于椭圆上的点P,设d是从椭圆的
中心到过点P的切线的距离.证明:当P在
2
椭圆上运动时,PF1・PF2d是常数,这里,PF1与PF2是从点P到椭圆的焦点F1与F2的距离.
(第37届美国普特南数学竞赛)
222222
(提示:由椭圆方程bx+ay=ab(a>b>0)及切线方程,利用点到直线的距
2
离公式、两点间距离公式知PF1・PF2d=
ab(定值).)
2
2
方程y0y=2a(x0+x).
所以,t、s是关于u的一元二次方程au
-y0u+x0=0的两个根.由韦达定理有
t+s=
y0a,ts=
x0a.
2
2.若A、B是抛物线y=4x上不同的两
2
①
2
点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)存在无穷多条相关弦.给定x0>2.
(1)证明:点P(x0,0)的所有相关弦的中点的横坐标相同;
(2)试问:点P(x0,0)的相关弦的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示);若不存在,请说明理由.
(提示:(1)利用中点弦方程求出相关弦AB的垂直平分线的方程,知点P(x0,0)的所
切线PA的方程为
2aty=2a(at+x)Ζx-ty+at=0.于是,α=(1,-t)是切线PA的法向量.同理,β=(1,-s)是切线PB的法向量.
2
由题意有
β|=|α|・|β|cosθ|α・
Ζ(1+ts)2=(1+t2)(1+s2)cos2θ.把式①代入上式化简,易知所求轨迹方程为
222
)x-xsinθ+2a(1+cosθ2222
ycosθ+asinθ=0.
12中等数学
从高考到竞赛
数学竞赛中的二次函数问题(下)
曹贤鸣
(浙江省台州市第一中学,318000)
3 二次函数与二次不等式
例6 已知当
x[0,1]时,不等式
22
xcosθ-x(1-x)+(1-x)sinθ>0恒成立.试求θ的取值范围.
(1999,全国高中数学联赛)讲解:设
22
f(x)=x-x
)1)
要使f(x>x[1],只要当x[0,1](x)min>0即可.
注意到
2)x-f(x)=(1+sinθ+cosθ
(1+2sinθ)x+sinθ
)・=(1+sinθ+cosθ
2
x-+2(1+sinθ+cos2
sinθ-.)4(1+sinθ+cosθ
于是,需判断二次函数图像开口状况及对称轴与闭区间[0,1]的相对位置关系.
先利用条件控制θ的范围.
由于对任意的x[0,1],恒有f(x)>0,则sinθ
=f(0)
>0,cosθ=f(1)>0.故
2k
(k
Z).
此时,有1+sinθ+cosθ>0,
0
)2(1+sinθ+cosθ 5.有一动直线y=
2
所以,f(x)>0恒成立等价于
2
f(x)min=sinθ->0,)4(1+sinθ+cosθ
2
)sin
-(1+2sinθ)即 4(1+sinθ+cosθ
θ.=2
2
sinθ
,即因此,
2m
(mm
θ
Z).
1212综上所述,θ的取值范围为
(k2k+
1212
说明:恒成立问题是函数问题中的常见题型.求解此类问题的方法多样,转化为相应的最值问题比较常用.
2
例7 设函数f(x)=ax+8x+3(a
(1998,全国高中数学联赛)讲解:2f(x)=x++3-a
a
的对称轴为x=-
a
.
t
(x-t-1)(t为参
数),及一抛物线y=4x.问该直线与抛物线
的两交点连线的中点轨迹是什么?求证:该轨迹和直线x+y+1=0相切.
(提示:设中点P(x0,y0).则P关于抛物
线y=4x的中点弦方程为
2
y0y-2(x0+x)=y0-4x0.
此直线与已知动直线是同一直线.比较对应项系数并消去t,可得所求中点轨迹方程
2
为2x-1=(y+1).利用判别式通过计算可证明,该曲线与直线x+y+1=0相切.)
2
2009年第8期7
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
(湖南省澧县一中,415500)
(本讲适合高中)1 知识简介
x0y+xy0
Ax0x+B+Cy0y+
2
记G(x,y)=Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F.
1.1 二次曲线中点弦的方程
设Pi(xi,yi)(i=1,2)是曲线G(x,y)=0的弦P1P2的两个端点,P0(x0,y0)是弦P1P2的中点.则
22
Ax1+Bx1y1+Cy1+Dx1+Ey1+F0,2
A(2x0-x1)+010y1)2
C(2y0-y)(1)E(2y0-y1+=0.②①-②可得
(2Ax0+By0+D)(x0-x1)+(2Cy0+Bx0+E)(y0-y1)=0.
因为(x0-x1,y0-y1)是弦P1P2的方向向量,所以,(2Ax0+By0+D,2Cy0+Bx0+E)是弦P1P2的法向量.因此,弦P1P2的方程是
(2
A
x0+By0+D)(x0-x)+(2Cy0+Bx0+E)(y0-y)=0.为记忆方便,上述方程可整理为
x0y+xy0
Ax0x+B+Cy0y+
2
x0+xy0+yD+E+F
2222
=Ax0+Bx0y0+Cy0+Dx0+Ey0+F.1.2 二次曲线的切线方程
当曲线G(x,y)=0的弦P1P2的两个端点Pi(xi,yi)(i=1,2)重合时,Pi(xi,yi)(i=0,1,2)三点重合于曲线上一点P0(x0,y0),直线P1P2就是曲线G(x,y)=0在点P0处的切线.由于P0(x0,y0)在曲线上,于是,
22
Ax0+Bx0y0+Cy0+Dx0+Ey0+F=0.故曲线G(x,y)=0在其上一点P0(x0,y0)处的切线方程是
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22
x+xy+y
D+E+F=0.
22
1.3 二次曲线的切点弦方程
设从点P0(x0,y0)G(x,y)=0的两条切线xi,yi)(i=1,2).ixi,iii
i+Cyiy+
2
xi+xyi+yD+E+F=0(i=1,2).
22
因点P0(x0,y0)在上述两切线上,所以,
xiy0+x0yi
Axix0+B+Cyiy0+
2
x+xy+yD+E+F=0(i=1,2).
22
以上两式说明,点Pi(xi,yi)(i=1,2)都在以下直线上:
x0y+xy0
Ax0x+B+Cy0y+
2
x0+xy0+yD+E+F=0.①
22
因此,从点P0(x0,y0)引曲线G(x,y)=0的两条切线所得切点弦的方程为式①.1.4 双切线方程
从二次曲线外一点引曲线的两条切线,称为该点关于该曲线的双切线.把切点弦看成双重合直线,则双切线就是过该双重合直线与二次曲线公共点的相交双直线.因而,可用二次曲线方程和切点弦方程表示为
22
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F+
xy+xyAx0x+B+Cy0y+
2
2
x+xy+yD+E+F=0(≠0).
22
把双切线交点P0(x0,y0)代入上述方程
8中等数学
可以确定,进而求出双切线方程.2
四种方程的应用
例1 如图1,P是抛物
2
线y=2x上的动点,点B、C在y轴上,圆
22
(x-1)+y=1内切于△PBC.求△PBC面积的最小值.
图1
(2008,全国高中数学联赛)
讲解:由抛物线的对称性,不妨设
2
P(2t,2t)(t>0).
22
yx0,,切点弦MN22
2tx+2tyx2t)=0,22
即 (2t-1)x+2ty-2t=0.
故双切线PB、PC就是通过二重直线
222
[(2t-1)x+2ty-2t]=0
与圆的所有公共点的二次曲线,其方程为
22222
(x-1)+y-1+[(2t-1)x+2ty-2t]=0.
把点P
的坐标代入上式得=-4.于
4t
是,双切线PB、PC的方程可以写成
22222
(x-1)+y-1-4[(2t-1)x+2ty-2t]=0.
4t
在上式中令x=0,得
y=y-1或y=1-y.
t
t
因此,所求最小值是8.注:题中M、N、B、C的位置都依赖点P的位置,而点P的位置只需一个自由变量即可描述,于是,可把这种解析几何最值问题转化为函数最值问题.另外,借切点弦方程,用双切线方程求点B、C的坐标能起到减少解题环节的作用.
例2
如图2,过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆
2
25
+
2
9
=1
的切线PM、PN,为,2
)P在直线l上运动时,证明:直
因为当t=1时,只有一条切线PB和轴
22
相交,当01.
于是,yB,yC=,1+t1-t
2
BC=-.
1+t1-tt2-1
2
线MN恒过定点Q;
(2)当MN∥l时,定点Q平分线段MN.(2008,湖南省高中数学竞赛)讲解:(1)在直线l上任取一点P(7t+7,5t-5),
故P关于椭圆的切点弦MN的方程为
・x・y-1=0259
Ζx+tx-y-1=0.
259259x+y=0,259x-y-1=0.
259
解方程组得x=,y=-.
1410
,-因此,直线MN恒过定点.
14(2)注意到
(-7)Ζt.MN∥lΖ=5∶
259533
当t时,MN的方程为533=0.35
2
故S△PBC=BC|xP|=2・2t
22t-14
22=2+(t-1)2≥8.
t-t-1
5x-7y-
当且仅当t=2时,上式等号成立.故点Q关于椭圆的中点弦方程为
2009年第8期9
2
-xy251492514即 5x-7y-=0.35
9-,2
所以,Q也是MN的中点,即定点Q平分线段MN.
注:从曲线的含变化参数的方程(实际上就是曲线系方程)求出曲线上的定点,是证明曲线过定点的常规方法.由于本题中的切点弦MN只依赖点P的位置,因此,使用切点弦方程正是时机.证明点Q平分线段MN实际上是使用了同一法,同时也发挥了中点弦方程的作用.
2
例3 已知抛物线y=-x+bx+c与抛
2
物线y=x相切.求该抛物线顶点的几何位置.
(第17讲解:x1y1则y+yx+x
=-x1x+b+c,22y1+y
=x1x.2
因为两抛物线相切,所以,它们在切点处有相同的切线.因而,上述两方程相同,有
-x1+
bx1
样运动,都有AQP=BQP?证明你的结论.
(2007,)讲解:(1)由A=(>0),知A、P、B三点共线,且点P在A、B之间.
设M(x0,y0).则切点弦AB的方程为x0x=2(y0+y).①把点P的坐标代入方程①得y0=-8.因此,点M的纵坐标为定值-8.
(2)检查特殊点M(0,-8)是否可以作为点Q.
方程①可以写成y=x0x+8,代入抛物
2
22
线=4x-2x-=0.
BB-32.
y+8y+8
故kBM+kAMxB
xA
xB
2
=
+8
xB
xA
2
+
+8
xA
xB
2
=
-
xAxBxA
2
xB
+
-
xAxB
xA
=0.
2
=x1,
2
+c=0.
bx1
2
由此可得x1=
,c=-=-.
428
2
于是,抛物线y=-x+bxc
写成y=-x+bx-
2
2
8
.故顶点为
2
,.
2
8
例4 如图3,已知
2
抛物线x=4y及定点P(0,8),A、B上的两动点,且A=(>0).过A、B
两点分别作抛物线的切线,设其
交点为M.
图3
(1)证明:点M的纵坐标为定值;
(2)是否存在定点Q,使得无论AB怎
所以,直线AM、BM关于y轴对称.因此,点M是符合条件的点Q.例5 如图4,AB为一椭圆的长轴,O为中心,F为焦点,P为椭圆上的一点,CD为通过O的弦且平行于过P的切线,直线PF与CD(或其延长线)图4交于点Q.证明
或否定PQ=OA=OB.
讲解:设椭圆方程为
2+2=1(a>b>0).ab
).则过点P的椭圆的设P(acosθ,bsinθ
2
2
切线方程为
=1,
a
b
即 xbcosθ+yasinθ=ab.
由此可得CD的方程为xbcosθ+yasinθ=0.
10中等数学
记CD的法向量α=(θ),,asinθ
β==(acosθ+c,bsinθ),αβ的夹角记为φ、.又点P到CD的距离为
dP-CDbcosθ+asinθdP-CDdP-CD
2
2
2
2
=2
|α|
,
故PQ|cosφ|
=
|α|・|β|
2
2
β||α・
θ22
|abcosθ+absinθ+bccosθ|
()()θ|a+c
cosθ|
=a=OA=OB.注:“算不离形”,.
例6 如图,设M是椭圆的一条弦UV
2
2
2
2
的中点,过M再作弦AB、CD,设AC、BD分别与UV交于点P、Q.求证:M也图5是线段PQ的中点.
(第24届美国普特南数学竞赛)讲解:设M(x0,y0).则椭圆方程为22
ax+by=c(a、b、cN+),lAB:a1(x-x0)+b1(y-y0)=0,lCD:a2(x-x0)+b2(y-y0)=0,
点M(
x0,y0)关于椭圆的中点弦UV的方程为
22
ax0x+by0y=ax0+by0.于是,双直线AC、BD的方程可以设为
22
(ax+by-c)+[a1(x-x0)+b1(y-y0)]・[a2(x-x0)+b2(y-y0)]=0(≠0),
22
即 (a1a2+a)x+(b1b2+b)y+(a1b2+a2b1)xy-[(a1b2+a2b1)y0+2a1a2x0]x-[(a1b2+a2b1)x0+2b1b2y0]y+
22
a1a2x0+b1b2y0+(a1b2+a2b1)x0
y0-c=0.点M(x0,y0)关于双直线AC、BD(也是
二次曲线)的中点弦的方程为
(a1a2+a)x0x+(b1b2+b)y0y+
x0y+y0x
(a1b2+a2b1)-2
x+x
[(a1b2+a2b1)y0+2a1a2x0-2
y0+y
[(a1b
2+a2b1)x0+2b1b2y02
22
=(a1a2+a)x0+(b1b2+b)y0+(a1b2+a2b1)x0y0-[(a1b2+a2b1)y0+2a1a2x0]x0-[(a1b2+a2b1)
x0+2b1b2y0]y0,
22
即 ax0x+by0y=ax0by0.
2
,ax0x0y0+by0.
,点(x0AC、()的中点弦仍然在直线UV.因而,M也是线段PQ的中点.
注:中点弦方程不仅适用于圆锥曲线,
也适用于退化的二次曲线.另外,该证明实际上已经证明了M也是线段P′Q′的中点,其中,P′、Q′分别是弦AD、BC与弦UV的交点.
例7 如图6,段数有限的折线内接于抛物线,其始点与抛物线的顶点重合,折线中任意共顶点的两线段与抛物线在该点处的切线
图6都成等角.证明:这
样的折线只能位于抛物线对称轴的一侧.
(第22届全苏数学奥林匹克)
2
讲解:不妨设抛物线为y=ax(a>0).
2
依次取折线上三个相邻的顶点Ai(xi,axi)(i=n,n+1,n+2,nN).
由抛物线在点An+1处的切线方程(或求导数)可知其斜率
k=2axn+1,
22
a(xn-xn+1)
k1=kAnAn+1=a(xn+xn+1),
xn-xn+122
a(xn-xn)
k2=kAn+1An+2==a(xn+2+xn+1).
xn+2-xn+1
因为AnAn+1、An+1An+2与抛物线在点
2009年第8期11
An+1处的切线夹角相等,所以,
k-kk-k1+k1k
Ζ
1+kk2
a(xn-xn+1)
=
2
1+2axn+1(xn+xn+1)
a(xn+1-xn+2)
2
1+2axn+1(xn+1+xn+2)
2
Ζ(4a2x2
n+1+1)(xn+1-xn)
2
=(4axnxn+1+1)(xn+2-xn+1)(xn+1-xn).当xn和xn+1同号时,xn+2-xn+1和xn+1-
有相关弦的中点Q(x1,y1)的横坐标相同且都是x0-2.
(2)将点P的相关弦AB的方程代入抛2
物线y=4x,由韦达定理知
2
f(t)=AB=(t+4)(4x0-8-t),
2
(0,4x0-8).其中,t=y1
易知当x0>3时,二次函数f(t)能取到最大值f(2x0-6)=(2x0-2),与此同时,AB能取最大值2x0-2;当2
3.求抛物线方程,x轴、
,并求抛物线的y(1,0).
:0)关于抛物线的切点弦
(0,2)的直线l:2x+y-2=(1,0)、
0.易求得抛物线方程为
2
(2x-y)-4(2x+y)+4=0.
故抛物线的对称轴为10x-5y-6=0,
,顶点为.)252
4.设抛物线y=4ax的两条切线相交成θ角(θ是常量).求角的顶点的轨迹方程.
(提示:设角的顶点为P(x0,y0),切点为
A(at,2at)、B(as,2as),代入切点弦AB的
2
2
2
xn也同号,即当数列{xk}的首项与第二项同
号时,该数列是单调数列.
因此,当折线起于原点时,折线总在抛物线对称轴———y轴的同侧.
注:例7的条件可以减弱,,.
练习题
1.对于椭圆上的点P,设d是从椭圆的
中心到过点P的切线的距离.证明:当P在
2
椭圆上运动时,PF1・PF2d是常数,这里,PF1与PF2是从点P到椭圆的焦点F1与F2的距离.
(第37届美国普特南数学竞赛)
222222
(提示:由椭圆方程bx+ay=ab(a>b>0)及切线方程,利用点到直线的距
2
离公式、两点间距离公式知PF1・PF2d=
ab(定值).)
2
2
方程y0y=2a(x0+x).
所以,t、s是关于u的一元二次方程au
-y0u+x0=0的两个根.由韦达定理有
t+s=
y0a,ts=
x0a.
2
2.若A、B是抛物线y=4x上不同的两
2
①
2
点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)存在无穷多条相关弦.给定x0>2.
(1)证明:点P(x0,0)的所有相关弦的中点的横坐标相同;
(2)试问:点P(x0,0)的相关弦的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示);若不存在,请说明理由.
(提示:(1)利用中点弦方程求出相关弦AB的垂直平分线的方程,知点P(x0,0)的所
切线PA的方程为
2aty=2a(at+x)Ζx-ty+at=0.于是,α=(1,-t)是切线PA的法向量.同理,β=(1,-s)是切线PB的法向量.
2
由题意有
β|=|α|・|β|cosθ|α・
Ζ(1+ts)2=(1+t2)(1+s2)cos2θ.把式①代入上式化简,易知所求轨迹方程为
222
)x-xsinθ+2a(1+cosθ2222
ycosθ+asinθ=0.
12中等数学
从高考到竞赛
数学竞赛中的二次函数问题(下)
曹贤鸣
(浙江省台州市第一中学,318000)
3 二次函数与二次不等式
例6 已知当
x[0,1]时,不等式
22
xcosθ-x(1-x)+(1-x)sinθ>0恒成立.试求θ的取值范围.
(1999,全国高中数学联赛)讲解:设
22
f(x)=x-x
)1)
要使f(x>x[1],只要当x[0,1](x)min>0即可.
注意到
2)x-f(x)=(1+sinθ+cosθ
(1+2sinθ)x+sinθ
)・=(1+sinθ+cosθ
2
x-+2(1+sinθ+cos2
sinθ-.)4(1+sinθ+cosθ
于是,需判断二次函数图像开口状况及对称轴与闭区间[0,1]的相对位置关系.
先利用条件控制θ的范围.
由于对任意的x[0,1],恒有f(x)>0,则sinθ
=f(0)
>0,cosθ=f(1)>0.故
2k
(k
Z).
此时,有1+sinθ+cosθ>0,
0
)2(1+sinθ+cosθ 5.有一动直线y=
2
所以,f(x)>0恒成立等价于
2
f(x)min=sinθ->0,)4(1+sinθ+cosθ
2
)sin
-(1+2sinθ)即 4(1+sinθ+cosθ
θ.=2
2
sinθ
,即因此,
2m
(mm
θ
Z).
1212综上所述,θ的取值范围为
(k2k+
1212
说明:恒成立问题是函数问题中的常见题型.求解此类问题的方法多样,转化为相应的最值问题比较常用.
2
例7 设函数f(x)=ax+8x+3(a
(1998,全国高中数学联赛)讲解:2f(x)=x++3-a
a
的对称轴为x=-
a
.
t
(x-t-1)(t为参
数),及一抛物线y=4x.问该直线与抛物线
的两交点连线的中点轨迹是什么?求证:该轨迹和直线x+y+1=0相切.
(提示:设中点P(x0,y0).则P关于抛物
线y=4x的中点弦方程为
2
y0y-2(x0+x)=y0-4x0.
此直线与已知动直线是同一直线.比较对应项系数并消去t,可得所求中点轨迹方程
2
为2x-1=(y+1).利用判别式通过计算可证明,该曲线与直线x+y+1=0相切.)
2