基本统计方法
3.1总体和样本
知识梳理
1. 总体与个体：在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个成员
叫做个体. 总体的情况可用数据表表示，也可用各种图表表示，有条形图、线形图、频数图、圆形（饼）图和散点图等等. （1）总体平均数：设总体有N 个个体，它们的值分别为
，则总体平均数
.
（2）总体中位数：将N 个个体从小到大排列，如果N 为奇数，则位于正中位置的数叫做总体中位数；如果N 为偶数，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做总体中位数. （3）总体方差：
（4）总体标准差：
2. 样本：从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本（也叫做子样），样本中所含个体的个数叫做样本容量，抽取样本的过程叫做抽样. （1）样本平均数：设样本中有个元素，分别为
，则样本平均数
.
（2） 样本中位数：将个样本从小到大排列，如果为奇数，则位于该数列正中位置的数叫做样本中位数；如果为偶数，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做样本中位数.
（3）样本方差：
（4）样本标准差：例题点拨
【例1】已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5。若要使该总体的方差最小，则
的取值分别是 .
〖思路分析〗本题考查中位数、方差的意义, 会用相关公式分析问题、解决问题.
〖解〗由中位数意义，可知，依题意，总体中个体的数量为，
∴总体平均数，
于是总体方差当且仅当
时等号成立。所以
。
，
事实上方差是描述全体数据偏离平均值的程度的量，要使方差最小，只须各数据大小应尽可能地接近，故
.
的关系，因为总体的平均值是常数，要使方
〖点评〗本题关键是建立总体的方差关于差最小，只要
最小，其实本题如果理解了方差的本质，根本无需求最小值，而只需
要找到方差最小时的条件即可。
【例2】某居民小区所有263户家庭族人口数分组列表如下：
求总体平均数，总体中位数，总体方差和标准差.
〖思路分析〗该题通过表格给出总体中各个体的数值，即家庭人口数数，从中可知，如果将263户家庭的人口数从小到大排列，可得数列：
共263个个体数值，由此根据各统计量的定义求解.
〖解〗（1）总体平均数，即平均每户家庭人口数为 人.
（2）N=263是奇数，，
那么132为数列的正中位置.
因为，
所以第132个数属于每户4人的那个组. 故总体中位数
（3）总体方差：
（4）总体标准差：
〖点评〗求中位数时注意先将
.
按从小到大的顺序排成一数列，总体的个体是偶
数或奇数，再根据中位数的定义求解. 本题中的中位数，并不是表格中间位置上的数“5”和“6
”的平均数，这是最容易错的地方；至于方差和标准差的计算，可直接在计算器上输入
，利用计算器的功能求出.
3.2抽样技术
知识梳理
1. 简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
⑴用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个
个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；
⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等, 是不放回抽样. ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础． 2. 抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本.
适用范围：总体的个体数不多时.
优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.
3. 随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码.
4. 系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样.
系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．
总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样.
5. 分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层.
6. 常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：
7. 不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样． 随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样. 例题点拨
【例1】在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为妥当？ （1） 从30件产品中抽取5件进行质量检验；
（2） 某文化宫共有35排座位，每排有42个座位（座位号为1～42），一次报告会坐满
了听众，会后为听取意见留下了所有座位号为13的35名听众进行座谈； （3） 某公司有200名员工，其中有业务人员135人，管理人员25人，后勤服务人员40
人，从中抽取一个容量为5的样本. 〖思路分析〗本题考察随机抽样的有关概念，每一选项须仔细斟酌、辨别. 〖解〗 （1）总体中个体数较小，采用简单随机抽样较为妥当.
（2）因为总体中个数较多，又是“等距离”抽取，所以采用系统抽样较为妥当. （3）因为总体中个体差异较大，所以采用分层抽样较为妥当.
〖点评〗 本例虽小，但其中概念性很强，尤其第3小题，使用分层抽样，最敏感的字就是“层”，它源于“样本”差异，差异大了，就要考虑分层了.
【例2】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点. 公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②. 则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )
A. 分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法 C. 系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法
〖思路分析〗此题为抽样方法的选取问题. 当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.
〖解〗依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法. 故选B.
答案：B
〖点评〗采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定.
【例3】一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，„，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，„，10. 现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同. 若m =6，则在第7组中抽取的号码是___________.
〖思路分析〗此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样. 按题目中要求的规则抽取即可.
〖解〗∵m =6，k =7，m +k =13，∴在第7小组中抽取的号码是63.
答案：63
〖点评〗当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样. 采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行.
【例4】某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ （3）已知的概率.
，
，求高三年级中女生比男生多
〖思路分析〗本题考查简单统计知识的应用，考查概率的意义、分层抽样方法及其运算。属于中等难度题。
〖解〗(1)由，解得.
(2)只要求出高三年级人数即可，由（1）知二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是
，设应在高三年级抽取m 人，则
，解得. 答: 应在高三年级抽取12名.
，高三年级女生和男生数记为数对
，则基本事件总数有：
，
（3）设高三年级女生比男生多的事件为由（2）知
共11个，而事件包含的基本事
件有：共5个，∴
〖点评〗本题要注意到分层抽样的实质就是按比例抽样. 关键是基本概念和运算要熟练. 要善于通过文字、表格等判断题中的各种有效信息.
3.3. 统计估计
知识梳理
1. 用样本的频率分布估计总体分布
（1）频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率. 所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布. 可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
（2）总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n 的样本，就是进行了n 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
（3）总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线, 这条曲线叫做总体密度曲线． 2. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数，叫做这组数据的众数. 有时，有两个或几个数据出现的最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数. 一组数据中，每个数据出现的次数一样多，认为这组数据没有众数.
中位数：将一组数据从小到大的顺序排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数是这组数据的中位数. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商叫做平均数，
记作
（2）方差与标准差
.
用样本的标准差计值. 例题点拨
作为总体标准差的点估
【例1】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2000尾，给每尾鱼做上记号，然后放回水库，经过适当的时间，让其充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中有记号的鱼有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数。
〖思路分析〗利用“捕到一尾鱼有记号”，这一随机事件出现的概率在同一水域的同一时刻、同一地点是恒值来估计水库内鱼的尾数。
〖解〗设水库内鱼的尾数为N ，由于每尾鱼被捕到的可能性是一样的，记事件A 为“捕到一
尾鱼有记号”，于是，，则
。
〖点评〗抽签法就是把总体中的N 个个体编号，把号码写在标签上，将标签放在一个容器里，连续抽取次，就得到一个容量为的样本.
【例2】有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下
［10，15］4 ［30，359 ［15，205 ［35，408
［20，2510 ［40，453 ［25，3011 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率) ； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图
〖思路分析〗本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 〖解〗 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表
(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
〖点评〗本题关键在于掌握三种表格的区别与联系.
3.4应用与拓展
例题点拨
【例1】某工厂A 、B 两个车间包装同一种产品，在自动传送带上每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查结果如下： A 车间：102，101，99，103，98，99，98. B 车间：110，115，90，85，75，115，110. （1） 这种抽样是何种抽样方法？
（2） 估计A 、B 两车间的均值与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 〖思路分析〗应用精义判断抽样方法，计算均值、方差，进行比较，得出结论. 〖解〗 （1）由定义知，这是系统抽样方法.
（2）
由于〖点评〗在
，，故A 车间产品较B 车间稳定. 时，还需进一步求
，从而得到结论，不能被假象所迷惑.
【例2】在120个零件中，一级品24个 , 二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20个的样本，分别用三种方法抽样，计算总体中每个个体被抽取的概率，比较这些概率之间的关系.
〖思路分析〗分别用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法来抽取，计算出每个个体抽到的概率.
〖解〗(1)采用简单随机抽样法(抽签法). 每个个体被抽取的概率为.
（2）系统抽样法. 将120个零件分成20组，每组6个零件，每组取1个，每个个体被抽取
的概率为.
（3）分层抽样法. 一、二、三级品之比为，.
分别从一、二、三级品中抽取4个，6个，10个，每个个体被抽到的概率分别为，，
，即都是. 所以无论采用哪一种抽样方法，总体的每一个个体被抽到的概率都是.
〖点评〗三种抽样方法是相互联系又有所差异，不可混淆. 对于有关问题，应准确领会各种抽样方法的含义，根据具体问题特点，灵活选择相应的抽样方法.
【例3】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图； （3）估计电子元件寿命在100～400 h以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400 h以上的概率.
〖思路分析〗通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤. 〖解〗（1）频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如下：
（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400 h 内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400 h内的概率为0.65.
（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.
〖点评〗画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.
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基本统计方法
3.1总体和样本
知识梳理
1. 总体与个体：在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个成员
叫做个体. 总体的情况可用数据表表示，也可用各种图表表示，有条形图、线形图、频数图、圆形（饼）图和散点图等等. （1）总体平均数：设总体有N 个个体，它们的值分别为
，则总体平均数
.
（2）总体中位数：将N 个个体从小到大排列，如果N 为奇数，则位于正中位置的数叫做总体中位数；如果N 为偶数，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做总体中位数. （3）总体方差：
（4）总体标准差：
2. 样本：从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本（也叫做子样），样本中所含个体的个数叫做样本容量，抽取样本的过程叫做抽样. （1）样本平均数：设样本中有个元素，分别为
，则样本平均数
.
（2） 样本中位数：将个样本从小到大排列，如果为奇数，则位于该数列正中位置的数叫做样本中位数；如果为偶数，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做样本中位数.
（3）样本方差：
（4）样本标准差：例题点拨
【例1】已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5。若要使该总体的方差最小，则
的取值分别是 .
〖思路分析〗本题考查中位数、方差的意义, 会用相关公式分析问题、解决问题.
〖解〗由中位数意义，可知，依题意，总体中个体的数量为，
∴总体平均数，
于是总体方差当且仅当
时等号成立。所以
。
，
事实上方差是描述全体数据偏离平均值的程度的量，要使方差最小，只须各数据大小应尽可能地接近，故
.
的关系，因为总体的平均值是常数，要使方
〖点评〗本题关键是建立总体的方差关于差最小，只要
最小，其实本题如果理解了方差的本质，根本无需求最小值，而只需
要找到方差最小时的条件即可。
【例2】某居民小区所有263户家庭族人口数分组列表如下：
求总体平均数，总体中位数，总体方差和标准差.
〖思路分析〗该题通过表格给出总体中各个体的数值，即家庭人口数数，从中可知，如果将263户家庭的人口数从小到大排列，可得数列：
共263个个体数值，由此根据各统计量的定义求解.
〖解〗（1）总体平均数，即平均每户家庭人口数为 人.
（2）N=263是奇数，，
那么132为数列的正中位置.
因为，
所以第132个数属于每户4人的那个组. 故总体中位数
（3）总体方差：
（4）总体标准差：
〖点评〗求中位数时注意先将
.
按从小到大的顺序排成一数列，总体的个体是偶
数或奇数，再根据中位数的定义求解. 本题中的中位数，并不是表格中间位置上的数“5”和“6
”的平均数，这是最容易错的地方；至于方差和标准差的计算，可直接在计算器上输入
，利用计算器的功能求出.
3.2抽样技术
知识梳理
1. 简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
⑴用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个
个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；
⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等, 是不放回抽样. ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础． 2. 抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本.
适用范围：总体的个体数不多时.
优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.
3. 随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码.
4. 系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样.
系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．
总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样.
5. 分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层.
6. 常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：
7. 不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样． 随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样. 例题点拨
【例1】在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为妥当？ （1） 从30件产品中抽取5件进行质量检验；
（2） 某文化宫共有35排座位，每排有42个座位（座位号为1～42），一次报告会坐满
了听众，会后为听取意见留下了所有座位号为13的35名听众进行座谈； （3） 某公司有200名员工，其中有业务人员135人，管理人员25人，后勤服务人员40
人，从中抽取一个容量为5的样本. 〖思路分析〗本题考察随机抽样的有关概念，每一选项须仔细斟酌、辨别. 〖解〗 （1）总体中个体数较小，采用简单随机抽样较为妥当.
（2）因为总体中个数较多，又是“等距离”抽取，所以采用系统抽样较为妥当. （3）因为总体中个体差异较大，所以采用分层抽样较为妥当.
〖点评〗 本例虽小，但其中概念性很强，尤其第3小题，使用分层抽样，最敏感的字就是“层”，它源于“样本”差异，差异大了，就要考虑分层了.
【例2】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点. 公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②. 则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )
A. 分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法 C. 系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法
〖思路分析〗此题为抽样方法的选取问题. 当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.
〖解〗依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法. 故选B.
答案：B
〖点评〗采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定.
【例3】一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，„，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，„，10. 现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m +k 的个位数字相同. 若m =6，则在第7组中抽取的号码是___________.
〖思路分析〗此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样. 按题目中要求的规则抽取即可.
〖解〗∵m =6，k =7，m +k =13，∴在第7小组中抽取的号码是63.
答案：63
〖点评〗当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样. 采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行.
【例4】某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ （3）已知的概率.
，
，求高三年级中女生比男生多
〖思路分析〗本题考查简单统计知识的应用，考查概率的意义、分层抽样方法及其运算。属于中等难度题。
〖解〗(1)由，解得.
(2)只要求出高三年级人数即可，由（1）知二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是
，设应在高三年级抽取m 人，则
，解得. 答: 应在高三年级抽取12名.
，高三年级女生和男生数记为数对
，则基本事件总数有：
，
（3）设高三年级女生比男生多的事件为由（2）知
共11个，而事件包含的基本事
件有：共5个，∴
〖点评〗本题要注意到分层抽样的实质就是按比例抽样. 关键是基本概念和运算要熟练. 要善于通过文字、表格等判断题中的各种有效信息.
3.3. 统计估计
知识梳理
1. 用样本的频率分布估计总体分布
（1）频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率. 所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布. 可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
（2）总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n 的样本，就是进行了n 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
（3）总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线, 这条曲线叫做总体密度曲线． 2. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数，叫做这组数据的众数. 有时，有两个或几个数据出现的最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数. 一组数据中，每个数据出现的次数一样多，认为这组数据没有众数.
中位数：将一组数据从小到大的顺序排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数是这组数据的中位数. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商叫做平均数，
记作
（2）方差与标准差
.
用样本的标准差计值. 例题点拨
作为总体标准差的点估
【例1】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2000尾，给每尾鱼做上记号，然后放回水库，经过适当的时间，让其充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中有记号的鱼有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数。
〖思路分析〗利用“捕到一尾鱼有记号”，这一随机事件出现的概率在同一水域的同一时刻、同一地点是恒值来估计水库内鱼的尾数。
〖解〗设水库内鱼的尾数为N ，由于每尾鱼被捕到的可能性是一样的，记事件A 为“捕到一
尾鱼有记号”，于是，，则
。
〖点评〗抽签法就是把总体中的N 个个体编号，把号码写在标签上，将标签放在一个容器里，连续抽取次，就得到一个容量为的样本.
【例2】有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下
［10，15］4 ［30，359 ［15，205 ［35，408
［20，2510 ［40，453 ［25，3011 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率) ； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图
〖思路分析〗本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 〖解〗 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表
(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
〖点评〗本题关键在于掌握三种表格的区别与联系.
3.4应用与拓展
例题点拨
【例1】某工厂A 、B 两个车间包装同一种产品，在自动传送带上每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查结果如下： A 车间：102，101，99，103，98，99，98. B 车间：110，115，90，85，75，115，110. （1） 这种抽样是何种抽样方法？
（2） 估计A 、B 两车间的均值与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 〖思路分析〗应用精义判断抽样方法，计算均值、方差，进行比较，得出结论. 〖解〗 （1）由定义知，这是系统抽样方法.
（2）
由于〖点评〗在
，，故A 车间产品较B 车间稳定. 时，还需进一步求
，从而得到结论，不能被假象所迷惑.
【例2】在120个零件中，一级品24个 , 二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20个的样本，分别用三种方法抽样，计算总体中每个个体被抽取的概率，比较这些概率之间的关系.
〖思路分析〗分别用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法来抽取，计算出每个个体抽到的概率.
〖解〗(1)采用简单随机抽样法(抽签法). 每个个体被抽取的概率为.
（2）系统抽样法. 将120个零件分成20组，每组6个零件，每组取1个，每个个体被抽取
的概率为.
（3）分层抽样法. 一、二、三级品之比为，.
分别从一、二、三级品中抽取4个，6个，10个，每个个体被抽到的概率分别为，，
，即都是. 所以无论采用哪一种抽样方法，总体的每一个个体被抽到的概率都是.
〖点评〗三种抽样方法是相互联系又有所差异，不可混淆. 对于有关问题，应准确领会各种抽样方法的含义，根据具体问题特点，灵活选择相应的抽样方法.
【例3】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图； （3）估计电子元件寿命在100～400 h以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400 h以上的概率.
〖思路分析〗通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤. 〖解〗（1）频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如下：
（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400 h 内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400 h内的概率为0.65.
（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.
〖点评〗画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.
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