第十一讲：托勒密定理和西姆松定理
一、托勒密定理
圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两
组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：设四边形ABCD内接于圆，则有
ABgCD+ADgBC=ACgBD；
定理：在四边形ABCD中，有ABgCD+ADgBCACgBD，并且当
且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。
AC，D【解析】在四边形ABCD内取点E，使ABE=
BAE=CAD，
则：ABE和 ACD相似，所以
又因为
ABBE=ABgCD=ACgBE，ACCDABAE=且BAC=DAE，所以ABC和DAE相似，ACAD
所以ABgCD+ADgBC=ACgBE+ED，
所以ABgCD+ADgBCACgBD，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、
C、D四点共圆时成立。
1.1 直接应用托勒密定理
»上任一点(不与B、例1 如图所示，P是正△ABC外接圆的劣弧ABC重合)，
求证：PA=PB+PC．
【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，
∵AB=BC=AC． ∴PA=PB+PC．
1. 2 完善图形 借助托勒密定理
AC=AB+BC．例2 证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：
【解析】：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC． ①，又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②
把②代人①，得AC=AB+BC．
例3 如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
【解析】：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴ BD=CD．故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．
1.3 构造图形 借助托勒密定理
222222
例4 若a、b、x、y是实数，且a+b=1，x2+y2=1．求证：ax+by1．
【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，
使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题
设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵22
CDAB=1，∴ax+by1 ．
1.4 巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理
例5 已知a、b、c是△ABC的三边，且a=b(b+c)，求证：∠A=2∠B． 2
分析：将a=b(b+c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰2
梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
【解析】：如图 ，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于
¼BDC¼∴∠ABD=∠BAC．又D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，∴ACD
»AC»，则BD=AC=b ∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．于是BD
依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC． ①，
a=bgc+b． ②， 而已知a=b(b+c)，即ag22
»BD»，∠3=∠1=∠2，∴∠BAC=2∠ABC． 1○2得CD=b=BD，CD比较○
1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
例6 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，求证：111。 ABACBC
【解析】：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，
边结AD、CD．在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD＋
BC·AD=AB·CD，易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，
两端同除以ABgBCgAC，得111。 ABACBC
二、 西姆松定理
西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足
分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。
证明：连接DE、DF，显然，只需证明，即可；因为BDP=BEP=90，
所以B、E、P、D四点共圆，所以BED=BPE，
同理可得：FDC=PFC，又因为BEP=PFC=90，
oo
且PFC=180PBA=PBE，所以BPE=FPC，所以BDE=FDC，所以D、E、F三点共线。
西姆松逆定理：从一点P向ABC的三边（或它们的延长线）作垂线，若垂足L、M、N在同一直线上，则P在ABC的外接圆上。
例7 设ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；
从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，
求证P、Q、R、S在同一直线上。
【解析】设ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆，因为
由西姆松定理有：Q、R、S三点共线，又因为O、F、B、D四点
共圆，且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线，所以P、Q、R、S
四点共圆
例8 四边形ABCD是圆内接四边形，且是直角，若从B作直线AC、AD
的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。
【解析】作BGDC，由西姆松定理有：F、E、G共线，又因为o
BFD=FDG=DGB90o，所以四边形BFDG为矩形，所以对角线
FG平分另一条对角线BD。
例9 求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，
且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。
【解析】如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，
BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G，所以
BGF=BGC+CGFBEC+CDA，所以BGFA=180o，
即圆ABF过点G，同理圆AED也过点G，所以圆BCE、圆CDF、圆ABF、
圆AED交于同一点G，若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分
别为E、L、M、N、P，有西姆松定理可知，L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上。
例10 四边形ABCD是圆内接四边形，且是直角，若从B点作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E，F，求证：EF或其延长线平分BD；
【解析】由B作DC的垂线BG，由西姆松定理可知E、F、G共线，所以BFD=FDG=90，四边形BGDF是矩形，BD被另一对角线FG所平分。
o
第十一讲：托勒密定理和西姆松定理
一、托勒密定理
圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两
组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：设四边形ABCD内接于圆，则有
ABgCD+ADgBC=ACgBD；
定理：在四边形ABCD中，有ABgCD+ADgBCACgBD，并且当
且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。
AC，D【解析】在四边形ABCD内取点E，使ABE=
BAE=CAD，
则：ABE和 ACD相似，所以
又因为
ABBE=ABgCD=ACgBE，ACCDABAE=且BAC=DAE，所以ABC和DAE相似，ACAD
所以ABgCD+ADgBC=ACgBE+ED，
所以ABgCD+ADgBCACgBD，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、
C、D四点共圆时成立。
1.1 直接应用托勒密定理
»上任一点(不与B、例1 如图所示，P是正△ABC外接圆的劣弧ABC重合)，
求证：PA=PB+PC．
【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，
∵AB=BC=AC． ∴PA=PB+PC．
1. 2 完善图形 借助托勒密定理
AC=AB+BC．例2 证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：
【解析】：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC． ①，又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②
把②代人①，得AC=AB+BC．
例3 如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
【解析】：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴ BD=CD．故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．
1.3 构造图形 借助托勒密定理
222222
例4 若a、b、x、y是实数，且a+b=1，x2+y2=1．求证：ax+by1．
【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，
使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题
设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵22
CDAB=1，∴ax+by1 ．
1.4 巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理
例5 已知a、b、c是△ABC的三边，且a=b(b+c)，求证：∠A=2∠B． 2
分析：将a=b(b+c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰2
梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
【解析】：如图 ，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于
¼BDC¼∴∠ABD=∠BAC．又D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，∴ACD
»AC»，则BD=AC=b ∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．于是BD
依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC． ①，
a=bgc+b． ②， 而已知a=b(b+c)，即ag22
»BD»，∠3=∠1=∠2，∴∠BAC=2∠ABC． 1○2得CD=b=BD，CD比较○
1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
例6 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，求证：111。 ABACBC
【解析】：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，
边结AD、CD．在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD＋
BC·AD=AB·CD，易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，
两端同除以ABgBCgAC，得111。 ABACBC
二、 西姆松定理
西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足
分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。
证明：连接DE、DF，显然，只需证明，即可；因为BDP=BEP=90，
所以B、E、P、D四点共圆，所以BED=BPE，
同理可得：FDC=PFC，又因为BEP=PFC=90，
oo
且PFC=180PBA=PBE，所以BPE=FPC，所以BDE=FDC，所以D、E、F三点共线。
西姆松逆定理：从一点P向ABC的三边（或它们的延长线）作垂线，若垂足L、M、N在同一直线上，则P在ABC的外接圆上。
例7 设ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；
从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，
求证P、Q、R、S在同一直线上。
【解析】设ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆，因为
由西姆松定理有：Q、R、S三点共线，又因为O、F、B、D四点
共圆，且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线，所以P、Q、R、S
四点共圆
例8 四边形ABCD是圆内接四边形，且是直角，若从B作直线AC、AD
的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。
【解析】作BGDC，由西姆松定理有：F、E、G共线，又因为o
BFD=FDG=DGB90o，所以四边形BFDG为矩形，所以对角线
FG平分另一条对角线BD。
例9 求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，
且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。
【解析】如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，
BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G，所以
BGF=BGC+CGFBEC+CDA，所以BGFA=180o，
即圆ABF过点G，同理圆AED也过点G，所以圆BCE、圆CDF、圆ABF、
圆AED交于同一点G，若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分
别为E、L、M、N、P，有西姆松定理可知，L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上。
例10 四边形ABCD是圆内接四边形，且是直角，若从B点作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E，F，求证：EF或其延长线平分BD；
【解析】由B作DC的垂线BG，由西姆松定理可知E、F、G共线，所以BFD=FDG=90，四边形BGDF是矩形，BD被另一对角线FG所平分。
o