13解分式方程

13、解分式方程

一、教学目标

1、了解什么是分式方程。

2、分式方程的特征，知道分式方程的解法。 3、懂得应用分式方程解实际应用题。 二、教学重点、难点

重点：1、分式方程的概念。2、分式方程的步骤。3、分式方程的增根及产生的原因。 难点：1、分式方程的概念。2、分式方程的步骤。3、分式方程的增根及产生的原因。 三、分式方程的概念

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的速度为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，则：

轮船顺流航行速度为 千米/时，逆流航行速度为 千米/时，顺流航行100千米所用时间为 小时，逆流航行60千米所用时间为 小时。

根据“两次航行所用时间相等”，这一等量关系，可以得到方程

10020v



6020v

①

方程①的分母中含有未知数v，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程(fractional equation).

分式方程①中各分母的最简公分母是(20v)(20v), 方程两边同乘以(20v)(20v)，得100(20v)=60(20v) 解得 v=5.

检验：将v=5代入①中，左边=4=右边，因此v=5是分式方程①的解。 有以上可知，江水的流速为5千米/时。 在讨论一个分式方程

1x5



10x25

2

去分母，两边同乘最简公分母x5x5，得整式方程 x510. 解得 x5.

将x5代入原分式方程检验，发现这时分母x5和x225的值都为0，相应的分式无意

义。因此x5虽然是整式方程x510的解，但不是原分式方程上这个分式方程无解。

讨论：为什么会无解？

1x5



10x25

2

的解。实际

原因：把分式方程化为整式方程，解的范围扩大了，整式方程的解为全体实数，而分式方程的解是x5。我们把使得分式方程的分母为0的整式方程的根叫做原分式方程的增根。 增根的特点：（1）增根是去分母后所得整式方程的跟，（2）增根是使原分式方程分母为0的未知数的值.

四、解分式方程的步骤

1、解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数。 2、解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去。

3、 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：

xx1



2x1

1

分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根。

解：方程两边都乘以(x1)(x1)，得

x

2

2(x1)(x1)(x1)，

2

即x2xx2

2

12，

x3

经检验：x

32

是原方程的根。

课堂练习：解下列分式方程 （1）

（3）

例2. 解方程

x1x2

x6x7

x2x3

x5x6

1x1

3x

； （2）

2x3



1x

0；

x1x1



4x1

2

1； （4）

5xx3



x54x

分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现

(x6)与(x7)、(x2)与(x3)的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相

差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为： 方程两边通分，得

1(x6)(x7)



1(x2)(x3)

x6x7

x5x6

x2x3

x1x2

所以(x6)(x7)(x2)(x3)即8x36x

92

92。

经检验：原方程的根是x

例3. 解方程：

12x104x3



32x348x9



24x238x7



16x194x5

分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3

1

4x38x9

2222即8x98x68x108x7

4

2

3

28x7

4

14x5

，

于是

1

(8x9)(8x6)



1

(8x10)(8x7)

所以(8x9)(8x6)(8x10)(8x7)

解得：x1

经检验：x1是原方程的根。

例4. 解方程：

6y12y4y4





y4y4y4

2

2



y

2

2

y4

0

分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：

6y2

6(y2)(y2)

2



(y2)(y2)(y2)

2



y

2

(y2)(y2)

0

约分，得



y2y2



y

2

(y2)(y2)

0

方程两边都乘以(y2)(y2)，得 6(y2)(y2)2y20

整理，得2y16

y8

经检验：y8是原方程的根。

注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。

课后练习：解下列分式方程

（1）

（3） （5）

（7）

x1x1



2x12x

0； （2）

xx3

2

4x3

；

2xx2



3x2

2； （4）

7xx

2



3xx

2

1

7x

2

2

x1

5x42x4



2x53x2



12

（6）

1x1



1x5



1x2



1x4

xx2



x9x7



x1x1



x8x6

2

例5 若关于x的分式方程

x3

1

mx3

有增根，求m的值.

解： 方程两边都乘以x3，得

2x3m， 即xm5 因为方程有增根，所以x=3，代入上式，算得m

2

例6 若分式方程

2xax2

1的解是正数，求a的取值范围.

提示：x

2a3

0且

x2，a2

且a4.

解：方程两边都乘以

x2，得

2a3

2xa2x， 即x

x

2a3

0，

所以2a0，即a2，又因为x2， 所以a2且a4.

例7 解关于x的方程

xabx



cd

(cd0)

提示：（1）a,b,c,d是已知数；（2）c解：方程两边都乘以dbx，得 dxacbx，化简得 cdxadbc，因为c x

课后练习

解关于x的方程： （1）

1a1x2b

d0

d0，得

adbccd

； （2）

1a



ax



1b



bx

(ab).

3．如果解关于x的方程

4．当k为何值时，关于x的方程

5．已知关于x的分式方程

易错知识辨析：

(1)去分母时，不要漏乘没有分母的项.

(2)解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母,使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根.

(3)如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求

kx2

2

xx2

会产生增根，求k的值.

x3x2



k(x1)(x2)

1的解为非负数.

2a1x1

a无解，试求a的值.

出参数的值.

五、中考题解： 例1．若解分式方程 A. 1或2 C. 1或2

2xx1

m1xx

x1x

产生增根，则m的值是（ ）

B. 1或2

D. 1或2

分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：

22

x0或x1，化简原方程为：2x(m1)(x1)，把x0或x1代入解得

m1或2，故选择D。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：

60x

66x2

60x12066x

x20

经检验：x20是原方程的根x222

答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

六、题型展示：

例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时

42807

xyxy

由题意，得

40707xyxy

x17

解得：

y3

x17

经检验：是原方程的根

y3

答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m为何值时，关于x的方程

2x2



mxx



4



3x2

会产生增根？

解：方程两边都乘以x24，得2x4mx3x6 整理，得(m1)x10

当m1时，x

10m1

2

如果方程产生增根，那么x40，即x2或x2

（1）若x2，则

2m4m110

（2）若x2，则2m6

m1

（3）综上所述，当m4或6时，原方程产生增根

10

说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

【实战模拟】

1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.

Sab

Savb1

Savab

2Sab

B.

2

C.

mx3

D.

2. 如果关于x的方程 A. 3 3. 解方程：

（1）

1x10



x3

有增根，则m的值等于（）

B. 2 C. 1 D. 3

1(x1)(x2)



1(x2)(x3)

„

1

(x9)(x10)

2

（2）

x1x



x1x



2x1x

2



4x1x

4

0

（3）

xx1

4x4x

4；

（4）

x

y

x7x6



x9x8



x10x9



x6x51x6

提示：（1）换元法，设

4. 求x为何值时，代数式

x1

；（2）裂项法，

x7x6

1

2x9x3



1x3



2x

的值等于2？

5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的队单独完成各需多少天？

23

，求甲、乙两

【试题答案】

1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为（Sav）千米。 又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为 2. 把方程两边都乘以x3，得2x3m

Savb

千米/小时，应选B。

x5m.

若方程有增根，则x3，即5m3m2应选B。

3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解：原方程可变为



1x1

12

12

2

1x10



1x1



1x2



1x2



1x3

„

1x9



1x10

2

1n(n1)



1n



1n1

裂项，即用

即2x21

x

经检验：原方程的根是x

（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法 解：x(

11x



11x11x



21x11x



2



41x

2

4

)04

因为其中的



21x



1x

4

1x1x1x21x41x

42

2



21x

2



41x

4



21x41x

42

41x81x

84

0

x0

经检验：x0是原方程的根。 4. 解：由已知得

2x9x3



1x3

2x2

即2

3

3x3

1

1x32x



2x

2

x3x332

32

0

解得x

经检验：x是原方程的根。

2x9x3

1x3

2x

当x

32

时，代数式

的值等于2。

23x

5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需 由题意，得

1x2(

1x

123x)1

天。

即

1x



2x



3x

1

解得：x6

经检验x6是原方程的根 x6时，

23x4

答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。

13、解分式方程

一、教学目标

1、了解什么是分式方程。

2、分式方程的特征，知道分式方程的解法。 3、懂得应用分式方程解实际应用题。 二、教学重点、难点

重点：1、分式方程的概念。2、分式方程的步骤。3、分式方程的增根及产生的原因。 难点：1、分式方程的概念。2、分式方程的步骤。3、分式方程的增根及产生的原因。 三、分式方程的概念

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的速度为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，则：

轮船顺流航行速度为 千米/时，逆流航行速度为 千米/时，顺流航行100千米所用时间为 小时，逆流航行60千米所用时间为 小时。

根据“两次航行所用时间相等”，这一等量关系，可以得到方程

10020v



6020v

①

方程①的分母中含有未知数v，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程(fractional equation).

分式方程①中各分母的最简公分母是(20v)(20v), 方程两边同乘以(20v)(20v)，得100(20v)=60(20v) 解得 v=5.

检验：将v=5代入①中，左边=4=右边，因此v=5是分式方程①的解。 有以上可知，江水的流速为5千米/时。 在讨论一个分式方程

1x5



10x25

2

去分母，两边同乘最简公分母x5x5，得整式方程 x510. 解得 x5.

将x5代入原分式方程检验，发现这时分母x5和x225的值都为0，相应的分式无意

义。因此x5虽然是整式方程x510的解，但不是原分式方程上这个分式方程无解。

讨论：为什么会无解？

1x5



10x25

2

的解。实际

原因：把分式方程化为整式方程，解的范围扩大了，整式方程的解为全体实数，而分式方程的解是x5。我们把使得分式方程的分母为0的整式方程的根叫做原分式方程的增根。 增根的特点：（1）增根是去分母后所得整式方程的跟，（2）增根是使原分式方程分母为0的未知数的值.

四、解分式方程的步骤

1、解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数。 2、解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去。

3、 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：

xx1



2x1

1

分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根。

解：方程两边都乘以(x1)(x1)，得

x

2

2(x1)(x1)(x1)，

2

即x2xx2

2

12，

x3

经检验：x

32

是原方程的根。

课堂练习：解下列分式方程 （1）

（3）

例2. 解方程

x1x2

x6x7

x2x3

x5x6

1x1

3x

； （2）

2x3



1x

0；

x1x1



4x1

2

1； （4）

5xx3



x54x

分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现

(x6)与(x7)、(x2)与(x3)的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相

差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为： 方程两边通分，得

1(x6)(x7)



1(x2)(x3)

x6x7

x5x6

x2x3

x1x2

所以(x6)(x7)(x2)(x3)即8x36x

92

92。

经检验：原方程的根是x

例3. 解方程：

12x104x3



32x348x9



24x238x7



16x194x5

分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3

1

4x38x9

2222即8x98x68x108x7

4

2

3

28x7

4

14x5

，

于是

1

(8x9)(8x6)



1

(8x10)(8x7)

所以(8x9)(8x6)(8x10)(8x7)

解得：x1

经检验：x1是原方程的根。

例4. 解方程：

6y12y4y4





y4y4y4

2

2



y

2

2

y4

0

分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：

6y2

6(y2)(y2)

2



(y2)(y2)(y2)

2



y

2

(y2)(y2)

0

约分，得



y2y2



y

2

(y2)(y2)

0

方程两边都乘以(y2)(y2)，得 6(y2)(y2)2y20

整理，得2y16

y8

经检验：y8是原方程的根。

注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。

课后练习：解下列分式方程

（1）

（3） （5）

（7）

x1x1



2x12x

0； （2）

xx3

2

4x3

；

2xx2



3x2

2； （4）

7xx

2



3xx

2

1

7x

2

2

x1

5x42x4



2x53x2



12

（6）

1x1



1x5



1x2



1x4

xx2



x9x7



x1x1



x8x6

2

例5 若关于x的分式方程

x3

1

mx3

有增根，求m的值.

解： 方程两边都乘以x3，得

2x3m， 即xm5 因为方程有增根，所以x=3，代入上式，算得m

2

例6 若分式方程

2xax2

1的解是正数，求a的取值范围.

提示：x

2a3

0且

x2，a2

且a4.

解：方程两边都乘以

x2，得

2a3

2xa2x， 即x

x

2a3

0，

所以2a0，即a2，又因为x2， 所以a2且a4.

例7 解关于x的方程

xabx



cd

(cd0)

提示：（1）a,b,c,d是已知数；（2）c解：方程两边都乘以dbx，得 dxacbx，化简得 cdxadbc，因为c x

课后练习

解关于x的方程： （1）

1a1x2b

d0

d0，得

adbccd

； （2）

1a



ax



1b



bx

(ab).

3．如果解关于x的方程

4．当k为何值时，关于x的方程

5．已知关于x的分式方程

易错知识辨析：

(1)去分母时，不要漏乘没有分母的项.

(2)解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母,使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根.

(3)如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求

kx2

2

xx2

会产生增根，求k的值.

x3x2



k(x1)(x2)

1的解为非负数.

2a1x1

a无解，试求a的值.

出参数的值.

五、中考题解： 例1．若解分式方程 A. 1或2 C. 1或2

2xx1

m1xx

x1x

产生增根，则m的值是（ ）

B. 1或2

D. 1或2

分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：

22

x0或x1，化简原方程为：2x(m1)(x1)，把x0或x1代入解得

m1或2，故选择D。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：

60x

66x2

60x12066x

x20

经检验：x20是原方程的根x222

答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

六、题型展示：

例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时

42807

xyxy

由题意，得

40707xyxy

x17

解得：

y3

x17

经检验：是原方程的根

y3

答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m为何值时，关于x的方程

2x2



mxx



4



3x2

会产生增根？

解：方程两边都乘以x24，得2x4mx3x6 整理，得(m1)x10

当m1时，x

10m1

2

如果方程产生增根，那么x40，即x2或x2

（1）若x2，则

2m4m110

（2）若x2，则2m6

m1

（3）综上所述，当m4或6时，原方程产生增根

10

说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

【实战模拟】

1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.

Sab

Savb1

Savab

2Sab

B.

2

C.

mx3

D.

2. 如果关于x的方程 A. 3 3. 解方程：

（1）

1x10



x3

有增根，则m的值等于（）

B. 2 C. 1 D. 3

1(x1)(x2)



1(x2)(x3)

„

1

(x9)(x10)

2

（2）

x1x



x1x



2x1x

2



4x1x

4

0

（3）

xx1

4x4x

4；

（4）

x

y

x7x6



x9x8



x10x9



x6x51x6

提示：（1）换元法，设

4. 求x为何值时，代数式

x1

；（2）裂项法，

x7x6

1

2x9x3



1x3



2x

的值等于2？

5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的队单独完成各需多少天？

23

，求甲、乙两

【试题答案】

1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为（Sav）千米。 又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为 2. 把方程两边都乘以x3，得2x3m

Savb

千米/小时，应选B。

x5m.

若方程有增根，则x3，即5m3m2应选B。

3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解：原方程可变为



1x1

12

12

2

1x10



1x1



1x2



1x2



1x3

„

1x9



1x10

2

1n(n1)



1n



1n1

裂项，即用

即2x21

x

经检验：原方程的根是x

（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法 解：x(

11x



11x11x



21x11x



2



41x

2

4

)04

因为其中的



21x



1x

4

1x1x1x21x41x

42

2



21x

2



41x

4



21x41x

42

41x81x

84

0

x0

经检验：x0是原方程的根。 4. 解：由已知得

2x9x3



1x3

2x2

即2

3

3x3

1

1x32x



2x

2

x3x332

32

0

解得x

经检验：x是原方程的根。

2x9x3

1x3

2x

当x

32

时，代数式

的值等于2。

23x

5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需 由题意，得

1x2(

1x

123x)1

天。

即

1x



2x



3x

1

解得：x6

经检验x6是原方程的根 x6时，

23x4

答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。