二次函数常考知识点总结
一、 函数定义与表达式
1. 一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；
2. 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；
3. 交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2) （a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2-4ac ≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 二、 函数图像的性质——抛物线 （1）开口方向——二次项系数a
二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．
当a >0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
当a
y=-2x2
（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线
一般式：x =-
b
2a
对称轴顶点式：x=h 两根式：x=
x 1+x 2
2
一般式：⎛ b 4ac -⎝-2a
b 2⎫
4a ⎪⎭ 顶点式：（h 、k ）
（3）对称轴位置
（4）增减性，最大或最小值
当a>0时，在对称轴左侧（当x
2a
时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当x
b
2a
时），y 随着x 的增大而增大；
当a
2a
时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当x
b
2a
时），y 随着x 的增大而减少；
当a>0时，函数有最小值，并且当x=-
b
2a
，y =4ac -b 2min
4a
；当a
当x=-b 4ac -b
2
2a ，y max =4a
；
（5）常数项c
常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ）。
（6） a\b\c符号判别
二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别：
（1）a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0；
1
（2）c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0；
（3）b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，
Δ= b-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。（1' 当a >0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y >0；2' 当a
①二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则
Δ=b2
-4ac=0；
②二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；
③二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）经过原点，则
c=0； 三、平移、平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )2+k ，确定其顶点坐标(h ，
k )； ⑵ 左右平移变h, 左加右减；上下平移变k ，上加下减。 随堂练：
一、选择题：
1、对于y =ax 2
(a ≠0) 的图象下列叙述正确的是 （ ）
A a 的值越大，开口越大 B a 的值越小，开口越小
C a 的绝对值越小，开口越大 D a 的绝对值越小，开口越小
2、对称轴是x=-2的抛物线是（ ） A. .y= -2x 2
-8x B y= 2x 2
-2
2
C . y=2(x-1)2+3 D. y=2(x+1)2
-3 3、与抛物线y =-
12
x 2
+3x -5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A ．y =-14x 2+32x -52 B ．y =-1
2
x 2-7x +8 C ．y =
12
x 2
+6x +10 D ．y =-x 2+3x -5
4、二次函数y =x 2+bx +c 的图象上有两点(3，－8) 和(－5，－8) ，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1。 5、抛物线y =x 2-mx -m 2+1的图象过原点，则
m 为（ ）
A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 6、把二次函数y =x 2-2x -1配方成顶点式为（ ）
A ．y =(x -1) 2 B. y =(x -1) 2-2C ．y =(x +1) 2+1 D ．y =(x +1) 2- 2 7、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x－1) 2
－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1)
8k 、函数y =kx 2
-6x +3的图象与x 轴有交点，则的取值范围是（ ）
A ．k
9、抛物线y =x 2-mx -n 2(mn ≠0) 则图象与x
轴交点为 （ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点
C ． 无交点 D ． 不能确定
10、二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象如图所示，则abc ， b 2-4ac ，2a +b ，a +b +c 这四个
式子中，值为正数的有（ A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．二、填空题：
1、已知抛物线y =x 2
+4x +3，请回答以下问题：
它的开口向 ，对称轴是直线 ，
顶点坐标为 ；
2、抛物线a y =ax 2
+bx +c (a ≠0) 过第二、三、四象限，则，b ，c ． 3、抛物线y =6(x +1) 2
-2可由抛物线
y =6x 2-2向 平移 个单位得到．
4、抛物线y =-2x 2+4x +1在x 轴上截得的线段
长度是 ．
5、抛物线y =-x 2-2x +m ，若其顶点在x 轴上，则m =．
6、已知二次函数y =(m -1) x 2+2mx +3m -2，则当m =0．
7．二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值的条件是a 0，b 2-4ac 0．
8．已知抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，
1、已知二次函数y=2x ²-4x-6 求：此函数图象的顶点坐标，与x 轴、y 轴的交点坐标
2、已知抛物线y =ax 2
+bx +c 与y 轴交于C （0，c ）
点，与x 轴交于B （c ，0），其中c ＞0， （1） 求证： b ＋1＋ac=0
（2）若C 与B 两点距离等于22，一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式.
四、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 随堂练: 1、 已知关于x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y 轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；
2、 已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；
3、 已知抛物线的对称轴为直线x=2， 且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；
4、 已知抛物线与X 轴交点的横坐标为-2和1 ，且
通过点（2，8），求二次函数的解析式；
5、 已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）
求此抛物线的解析式；
6、 抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X 轴的一
个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；
7、 抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y 最大值=4，求此抛物线的解析式；
3
8．如图，在同一直角坐 标系中，二次函数的图象 与两坐标轴分别交于 A （－1，0）、点B （3，0
和点C （0
，－3）的图象与抛物线交于B 、C ⑴二次函数的解析式为 ． ⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．
⑶ 自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
10、对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－
6
）
的
抛
物
线
的
解
析
式
为 ．
11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
五、二次函数解析式中各参数对图象的影响 a ──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)
h ──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x 轴左右平移:“左加/右减”)
k ──顶点纵坐标即最(沿y 轴上下平移:“上加/下减”)
b ──与a 一起影响对称轴相对于y 轴的位置(“左同/右异”)
c ──与y 轴交点(0,c ) 的位置(c >0时在x 轴上方；c
六、二次函数与一元二次方程及一元二次不
4
等式的关系(a ≠0)
一元二次方程ax 2+bx +c=0 的解是二次函数y=ax2+bx +c
的图象与x 轴交点的横坐标 即 ；
一元二次不等ax 2+bx +c>0的解集是二次函
数y=ax2+bx +c 的图象在x 轴上方的点对应的横坐标的范围，即 ；
一元二次不等式ax 2+bx +c
定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最 值；
定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值
八、抛物线对称变换前后的解析式 九. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数
y =ax 2+bx +c 中a 、b 、c 的符号，或由二
次函数中a 、b 、c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
二次函数常考知识点总结
一、 函数定义与表达式
1. 一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；
2. 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；
3. 交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2) （a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2-4ac ≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 二、 函数图像的性质——抛物线 （1）开口方向——二次项系数a
二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．
当a >0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
当a
y=-2x2
（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线
一般式：x =-
b
2a
对称轴顶点式：x=h 两根式：x=
x 1+x 2
2
一般式：⎛ b 4ac -⎝-2a
b 2⎫
4a ⎪⎭ 顶点式：（h 、k ）
（3）对称轴位置
（4）增减性，最大或最小值
当a>0时，在对称轴左侧（当x
2a
时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当x
b
2a
时），y 随着x 的增大而增大；
当a
2a
时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当x
b
2a
时），y 随着x 的增大而减少；
当a>0时，函数有最小值，并且当x=-
b
2a
，y =4ac -b 2min
4a
；当a
当x=-b 4ac -b
2
2a ，y max =4a
；
（5）常数项c
常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ）。
（6） a\b\c符号判别
二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别：
（1）a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0；
1
（2）c 的符号判别由与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c ＞0；若交点在X 轴的下方，则C ＜0；
（3）b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，则a 、b 同号；若对称轴在Y 轴的右侧，
Δ= b-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。（1' 当a >0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y >0；2' 当a
①二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）与X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在X 轴上，则
Δ=b2
-4ac=0；
②二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点在Y 轴上或二次函数的图象关于Y 轴对称，则b=0；
③二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）经过原点，则
c=0； 三、平移、平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )2+k ，确定其顶点坐标(h ，
k )； ⑵ 左右平移变h, 左加右减；上下平移变k ，上加下减。 随堂练：
一、选择题：
1、对于y =ax 2
(a ≠0) 的图象下列叙述正确的是 （ ）
A a 的值越大，开口越大 B a 的值越小，开口越小
C a 的绝对值越小，开口越大 D a 的绝对值越小，开口越小
2、对称轴是x=-2的抛物线是（ ） A. .y= -2x 2
-8x B y= 2x 2
-2
2
C . y=2(x-1)2+3 D. y=2(x+1)2
-3 3、与抛物线y =-
12
x 2
+3x -5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A ．y =-14x 2+32x -52 B ．y =-1
2
x 2-7x +8 C ．y =
12
x 2
+6x +10 D ．y =-x 2+3x -5
4、二次函数y =x 2+bx +c 的图象上有两点(3，－8) 和(－5，－8) ，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1。 5、抛物线y =x 2-mx -m 2+1的图象过原点，则
m 为（ ）
A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 6、把二次函数y =x 2-2x -1配方成顶点式为（ ）
A ．y =(x -1) 2 B. y =(x -1) 2-2C ．y =(x +1) 2+1 D ．y =(x +1) 2- 2 7、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x－1) 2
－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1)
8k 、函数y =kx 2
-6x +3的图象与x 轴有交点，则的取值范围是（ ）
A ．k
9、抛物线y =x 2-mx -n 2(mn ≠0) 则图象与x
轴交点为 （ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点
C ． 无交点 D ． 不能确定
10、二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象如图所示，则abc ， b 2-4ac ，2a +b ，a +b +c 这四个
式子中，值为正数的有（ A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．二、填空题：
1、已知抛物线y =x 2
+4x +3，请回答以下问题：
它的开口向 ，对称轴是直线 ，
顶点坐标为 ；
2、抛物线a y =ax 2
+bx +c (a ≠0) 过第二、三、四象限，则，b ，c ． 3、抛物线y =6(x +1) 2
-2可由抛物线
y =6x 2-2向 平移 个单位得到．
4、抛物线y =-2x 2+4x +1在x 轴上截得的线段
长度是 ．
5、抛物线y =-x 2-2x +m ，若其顶点在x 轴上，则m =．
6、已知二次函数y =(m -1) x 2+2mx +3m -2，则当m =0．
7．二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值的条件是a 0，b 2-4ac 0．
8．已知抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，
1、已知二次函数y=2x ²-4x-6 求：此函数图象的顶点坐标，与x 轴、y 轴的交点坐标
2、已知抛物线y =ax 2
+bx +c 与y 轴交于C （0，c ）
点，与x 轴交于B （c ，0），其中c ＞0， （1） 求证： b ＋1＋ac=0
（2）若C 与B 两点距离等于22，一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式.
四、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 随堂练: 1、 已知关于x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y 轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；
2、 已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；
3、 已知抛物线的对称轴为直线x=2， 且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；
4、 已知抛物线与X 轴交点的横坐标为-2和1 ，且
通过点（2，8），求二次函数的解析式；
5、 已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）
求此抛物线的解析式；
6、 抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X 轴的一
个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；
7、 抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y 最大值=4，求此抛物线的解析式；
3
8．如图，在同一直角坐 标系中，二次函数的图象 与两坐标轴分别交于 A （－1，0）、点B （3，0
和点C （0
，－3）的图象与抛物线交于B 、C ⑴二次函数的解析式为 ． ⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．
⑶ 自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
10、对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－
6
）
的
抛
物
线
的
解
析
式
为 ．
11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
五、二次函数解析式中各参数对图象的影响 a ──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)
h ──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x 轴左右平移:“左加/右减”)
k ──顶点纵坐标即最(沿y 轴上下平移:“上加/下减”)
b ──与a 一起影响对称轴相对于y 轴的位置(“左同/右异”)
c ──与y 轴交点(0,c ) 的位置(c >0时在x 轴上方；c
六、二次函数与一元二次方程及一元二次不
4
等式的关系(a ≠0)
一元二次方程ax 2+bx +c=0 的解是二次函数y=ax2+bx +c
的图象与x 轴交点的横坐标 即 ；
一元二次不等ax 2+bx +c>0的解集是二次函
数y=ax2+bx +c 的图象在x 轴上方的点对应的横坐标的范围，即 ；
一元二次不等式ax 2+bx +c
定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最 值；
定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值
八、抛物线对称变换前后的解析式 九. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数
y =ax 2+bx +c 中a 、b 、c 的符号，或由二
次函数中a 、b 、c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.