圆周率π的计算及简单应用

圆周率π的计算及简单应用

一、的来历

即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。的历史是饶有趣味的。对的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。 实际上，在古代长期使用＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用

分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。 由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：

3.[***********][**************]88这个数，从此也把它称为

之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的值。的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。

二、π的定义

圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，可以严格地定义为满足sinx0的最小正实数x。

而圆内接正2n边形是由n个这样的相邻三角形组OAC,OCB拼成的，因此由（6）就得到（2）。

从（2）和（3）就可得到(7)S2npnR/2。

当n无限增加时，S2n趋向于A，pn趋向于C，所以(7)的两边就分别趋向于A和CR/2，而CR/2DR/2R2,这就得到(1)。

这样就从另外一个角度——用圆面积来定义了。

三、π的性质

的性质怎样？这是人们研究了几千年的的问题。

关圆周率的性质及人们对它进行研究的历史，不同的数学家研究方法各不相同。在美国数学史家达维德.尤金.史密斯的著作《数论尺规作图及周率》一书中，将的历史分为以下三个时代：

（1）自古时至17世纪中期，这个时代大都是求一个正方形等于一个已知圆等的努力，或用目前的初等教科书中所描述的那种纯粹几何方法，来求的近似值。

（2）自微积分起，到德国数学家兰伯特证明是无理数为止，即约17世纪60年代至18世纪60年代的100年，这一时代的特色，是解析方法替代了古代的几何方法；并认为其著名的研究者为牛顿、莱布尼兹、詹姆斯.伯努利和约翰.伯努利、欧拉等。这个时代求值的方法，不再用古代的“穷竭法”，而是用无穷级数及无穷乘积等。

（3）从18世纪中期至20世纪，其特色是探求的性质，即是否为有理数、代数数、超越数等。

下面要说的是的性质，指的是是一个什么样的数。例如，它是整数还是分数？是常数还是变量？是有理数还是无理数？等等。 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中，就提到了是常数。中国公元前的古书《墨子》中也有“小圆之圆与大圆之圆同”的记载；《周髀算经》中也有“径一而周三”的记载，也认为是一个常数。 虽然古人一直笃信是一个常数，而且知道它的近似值，但其准确值却无人知晓。多数国家的古人最早都认为是整数3.在中国，出上述《周髀算经》等书籍之外，大约在1世纪的《九章算术》中也是这样认为。在古希腊、巴比伦、埃及、印度、日本中关于数学的史料中也是同样的记载。例如，希伯来人的《两个编年史》中就有3的记载。

这种3的认识，大致持续到刘徽之前，即约3世纪。不过古希腊是一个例外--因为阿基米德在公元前200多年就科学地求得实用而较准确的值3.14.

无理数最早由古希腊数学家毕达哥拉斯学派中的西帕索斯发现。他计算出边长为1的正方形的对角线长2。但是2不能用任何两个数的比来表示即不是有理数，也就是是无限不循环小数。在当时叫“没有比”或“不能表示”，后来称之为“不可通约量”。14世纪。数学家布拉德瓦丁最早采用“无理”一词后，至十六七世纪，欧洲人逐渐将无理数纳入运算。荷兰科学家西蒙.斯蒂文、两位英国数学家沃利斯和哈利奥特、法国数学家笛卡尔等都承认无理数。

无理数的本质特征是“无限不循环”，由于在各种形式的的级

数展开式中，始终没有找到一个递减的几何级数，也一直没有找到的“莱布尼兹级数和”的公式，对值的“马拉松”式的计算竞赛中也一直没有发现任何循环现象。于是，认为可能是有理数的希望逐渐消失。事实上，早在十五六世纪，印度数学家尼拉斯塔.萨玛亚吉就确信是无理数了。此后在超越数时期，人们又猜测是超越数，在1822年，林德曼在连续函数的意义下，用欧拉公式ei10，终于证明了是超越数。下面分别给出是无理数好超越数的证明。

是无理数的证明

苏格兰数学家詹姆斯.格雷戈里是第一个企图证明是无理数的人。不过，他的巧妙的证明不很严格，因而不太令人满意。

此外，法国数学家托马斯.范特.德.拉尼也在17世纪末对的物理性做出过推断，这一推断在半个世纪后，有兰伯特证明。

1737年，欧拉给出了用无限连分数计算平方根的一般方法，并将自然对数的底展开成三种无限连分数。

1761年，兰伯特向柏林科学院提交论文，初步证明了也是无理数。他用欧拉的方法，并从欧拉发现的 e11111... 2161014

和数学家布隆克子爵发现的

123252

1... 2224

入手，先得到后来以他姓氏命名的两个连分式：

ex1111111...,tanx...。 xe12/x6/x10/x1/x3/x5/x

兰伯特研究了两个式子的性质之后，得到以下两个定理。 定理1 如果x是0以外的有理数，则tanx必然是无理数；反之，如果tanx是0以外的有理数，则x必然是无理数。

定理2 如果x是0以外的有理数，则ex必然是无理数；反之，如果ex为1以外的有理数，则x必然为无理数。

最后，他假设x/4，则tanx1;因为1是有理数，所以由定理1知道，/4必然是无理数，因而π也必然是无理数。

不过，兰伯特的上述证明并不十分严格。下面给出π是无理数的两种证明方法。

证法一：

首先给出一个定义。

定义 2min0,cos0，即是使cos0的最小正数的两倍。 按这个定义，利用定积分容易得到半径为r的圆的面积为2r，因此这样的定义是合理的。下面证明是无理数。

利用反证法。设是有理数，则2也是有理数，于是存在正整数p ，

pnppn

1。q ，使得。由于0(n),因此存在正整数N使得 qn!n!2

设f是如下定义的2N次多项式

xN(1X)N

f(x), N!

则f满足

f(x)f(1x),f(k)(x)(1)kf(k)(1x)(k1,2,...)

展开f的表达式得

12N

f(x)Cnxn。 N!nN

对其求导k次(0k2N)得

f(k)1(x)NnmaxN,kn(n1)...(nk1)Cxn2Nnk。

若0kN,显然f(k)(0)Z，因此由f(k)(x)(1)kf(k)(1x)，知f(k)(1)Z； 若Nk2N,显然f(k)(0)

Nk!CkZ,因此显然f(k)(1)Z。 N!令F(x)(1)jpNjqjf(2j)(x),则利用fk(0)Z,f(k)(1)Z得到

j0

F(0)Z,F(1)Z。进一步计算得

F(n)(x)F(x)(1)p2j

j0

j1NNjqfj(2j2)(x)2(1)j0NjpNjqjf(2j)(x)(1)

j0N1pNjqj1f(2j)(x)(1)jpNj1qj1f(2j)(x)j0N

(1)NqNf(2N2)(x)pN1q1f(x)pN2f(x),

其中利用了f是2N次多项式，因此f(2N2)(x)0。

再令g(x)F'(x)sinxF(x)cosx,则

g'(x)[F''(x)2F(x)]sinxpN2f(x)sinx。 且F(1)F(0)[g(1)g(0)]。利用Lagrange中值定理得，存在(0,1)，1

使得 F(1)F(0)

由f的定义可知0f()1g'()pNf()sin。 11，于是0f()sin，因此 N!N!

NpN1。 0F(1)F(0)pf()sinN!

但已知F(0)Z,F(1)Z,因此F(1)F(0)Z,与上式矛盾。这就证明了

是无理数。

证法二：

xn(abx)n

,则有 定理 设a,b,n,为正整数，令f(x)n!

（1）f(x)f(x)；

（2）当x0,x时，f(k)(x)(0k2n)取值为整数；

（3）假设是有理数，即,a,b为即约正整数，则0f(x)sinxdx

为整数，由此可知不可能是有理数。

证明 （1）直接验算可得

aa1nn(x)n[ab(x)]n(abx)(bx)na(abx)nxnf(x)f(x)； bn!n!n!ababab

（2）可由（1）得

aaf(k)(x)f(k)(x).(1)k,k1,2,...2n;f(k)(0)f(k)()(1)k,k1,2...,2n;显bb

a然f()f(0)0， b

ak1,2,...n1；由于x0是f(x)的n阶零点，于是f(k)(0)f(k)()0，b

1i1ni(b)i(ni)!an1 ,..,n时，f(n1)(0)Cn利用f(x)Cn(b)ixn1an1，当i0.1n!n!i0

为正整数，所以f(k)(0)和f(k)()均为整数(k0,1,...,2n),f(2n1)(x)0；

（3）假设是有理数，即，其中a,b为即约正整数。 用分部积分法并由（2）的结果，即知0f(x)sinxdx为整数，事

实上，由于f(k)(0),f(k)(),sin(k)(0),sin(k)()(k1,2,...,2n)均为整数，且f(2n1)(x)0， abab

经过分部积分得：



0f(x)sinxdxf(x)(1)n(sinx)(2n)dx0

n(2n1)(1)[f(x)(sinx)

(1)[f(x)(sinx)n0f'(x)(sinx)(2n1)dx]0(2n1)

0f(x)(sinx)'(2n1)

0f''(x)(sinx)(2n1)dx]0

(1)n[f(x)(sinx)(2n1)

0f'(x)(sinx)(2n1)

0..f(2n)(x)sinxdx]0

(1)n[f(x)(sinx)(2n1)f'(x)(sinx)(2n2)...(f(2n1)(x)sinx)(f2n(x)cosx)]

，由此可知0f(x)sinxdx为整数；

另一方面，当0x时，有

1nna1na1na2

n1a2

nnnf(x)xb(x)b[x(x)]b(2)()， n!bn!bn!4bn!4b

1a2

na2即0f(x)()，于是00f(x)sinxdx()0(n)，这就表n!4bn!4bnab

明0f(x)sinxdx不是整数，这个矛盾说明了不是有理数，因此是无

理数。

认识了是无理数，从理论上彻底解决了求精确值的问题。从理论上讲，人们尽管可以求得它准确到任意有限位小数的值，但实际上永远不可能得到准确值--有无限多位。

是超越数的证明 

虽然在1822年，林德曼给出了是超越数的证明，但其证明相当冗长。后来很多数学家对这个证明进行了简化并且给出了初等证明。下面用反证法来说明。

定理 是超越数

证明：若是代数数，则i也是代数数，以1,2,...n表示

的极小多项式的全部零点，记mden()，由e1，则有

(1e1)(1e2)...(1en)0 （1）（1）式也可以写成2n个e之和，其中 11...nn， i为0或1.

假设这些有l个不为零，记1,...,l，那么（1）式写为 qe...e0,q2nl。

1

l

设p为充分大的素数，含多项式f(x)为 f(x)mlpxp1(x1)p...(xl)p 和

JI(k)0e

k1

k1

l

l

k

k

u

f(u)du

四、π的计算

值是多少和它是怎样被计算出来的？国内外关于值计算方面的论著颇丰，但归纳起来主要有五种：割圆术、分析法、椭圆积分法、概率模型法。下面就分别以这四种方法来计算值。

割圆术

古希腊数学家、物理学家阿基米德是割圆术的鼻祖，因此介绍阿基米德的割圆方法，其他割圆方法都可以从此出得来。

阿基米德割圆术的数学思想是：圆周长介于这个圆的内接多边形和外切多边形之间，当这些多边形的边数增加时，圆周长和它们的周长差相差越小；因此，通过计算这些多边形的周长来接近圆的周长--

只要多边形的边数增多到某种程度，就能得到符合精确度的圆周长进而得到一定精度的值。

线。显然，此时有

如图所示，o为圆心，AB为⊙O的外 切正6边形一边的一半，OA为半径， ∠AOB=`30o,O是角∠AOB的角平分

OBOA265

2,。把这两个式子相加，就得到ABAB153

OAAB571OAOBOAOBCBOAOBACCB

,。又或。该式子AB153ABACOAACOAAC

OAAB571OA571

与前面的比较，就得到。 AB153AC153

从这个不等式出发，立即可以推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径之比的上界。同样，计算圆内接正多边形的边长，可以确定比值的下界。利用比例关系和勾股定理重复上述过程，一直算到96边形，最后得到

外切96边形周长 [1**********]336内接正96边形周长

。 

11直径直径71742

由此可得出223/7122/7。事实上采用较简单的22/7，而不取

223/71。

阿基米德首次科学而准确地确定223/7122/7。取两位实用值为3.14或22/7。从理论上指出了一种可以求得任意准确度的值的计算方法——-割圆术即“古典方法”。且第一次在科学中提出误差估计及其准确度和如何确定的问题，即用上下界确定近似值；这与其后的祖冲之确定值的计算方法有异曲同工之妙。

分析法

随着微积分的发现，数学家们对值的计算方法的改进也在不断进行，人们开始摆脱由阿基米德开创的“割圆术”--几何方法，而采用分析法来计算值。下面先来介绍分析法计算值的简要历史，然后提出一种易于理解的计算方式。

1650年，英国数学家沃利斯利用类比、归纳和极限的方法，从计算圆的面积入手，得出



4

24466...

，载于他的著作《无穷算

13355...

述》中。这是分析法计算值正式诞生前的“前奏曲”。1671年，詹姆斯.格雷戈里公开他发现的公式：

x3x5x7x9

arctanxx...(1x1)。

3579

但其没有认识到发现的上述公式已经为计算值开辟了一个新的时代。如果设式子中的x1，就可以得到



1111

1...。 43579

由于是莱布尼兹发现这个式子，后人把它称之为“莱布尼兹公式”或“莱布尼兹级数和”。但是，用莱布尼兹公式算，则收敛太慢，工作量太大。例如，要求出3.14要算628项。而要求出值的第六位小数，就不多不少正好取2106项。由于工作繁杂，所以很少有人实际用这种方法去计算值。

1676年，微积分的发明者牛顿，发现了一个反正弦函数的展开式：

x23x535x7arcsinxx...。

232452467

他设式子中的x1/2，就得到



6

11335..., 3572232245224672

并用他计算出的14位小数。

由于用上述式子计算值效率并不高，所以牛顿的这个值还不如早于他的古典方法。虽然牛顿计算的位数不多，但此时由他和莱布尼兹创立的微积分正开始显示强大的生命力——他的计算是用分析法算值的第一次小试牛刀。

1699年英国数学家阿伯拉罕.夏普假设格雷戈里公式公式里的

x/3，就得到夏普公式：



6

/3(1

1111

234...)。 33353739

他用这个公式将算到小数点后72位，其中71位正确。在夏普之前分析法在提高值位数上并无辉煌战果。69年后的夏普用分析法把值增加到72位，才开始了分析法大规模计算值的实战历程。其后令人眼花缭乱的各种算值的分析法如雨后春笋。这一漫长历程一

直持续了近300年--知道20世纪50年代之后。 1789年威加利用欧拉发现的公式：



45arctan

1311

2arctan2arctanarctan。 77937

将值计算到143位。

1844年德国汉堡的数学家约翰.马丁.扎卡赖亚斯.达什用许尔茨.冯.斯特拉斯尼茨基教授发现的公式：



4

4arctan

111

arctanarctan 57099

将值计算到后205位。

1948年弗格森利用高斯发现的公式：



43arctan

111arctanarctan。 4201985

将值计算到后809位。

1949年6月，美国数学家列维.史密斯和雷恩奇，算出了1121位值，创造了人工算值的最高纪录。

随后随着科学技术的发展，尤其是电子计算机的出现，“人工”算的时代宣告结束，电子计算机在计算的准确性和速度方面比人工计算快乐许多。在1973年，法国数学家让.吉劳德和同事马丁.玻叶等，用CDC-7600型机花去23小时18分钟，将值算到小数点后1001250位，登上100万高峰。直到2010年利用“云计算”利用23天已经达到2000万亿位。

下面从分析法中具体举例如下： 例一：利用沃利斯公式

Wallis公式几种表达式如下：

(1)

或

(2)

或

(3)

下面证明这个公式： 令

(4)

利用分部积分法

于是有关系式

(5)

从上式可知I0=1，I1=π/4.根据这两个初值条件有

(6)

或者

(7)

其中m=0,1,2,...而由(7)式也可知

(8)

将(9)式代入(8)式

即

(9)

其中

由式(9)可知Wm>0且有上限，而

说明Wm随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼定理得其值

Wallis公式得证。

例二 显然Wallis公式比割圆术要易于计算得多，且简单易懂，但是Wallis公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提高计算机计算效率。在计算机上计算最好是只有乘除项之和，如：

在(4)式中，实际上令xcos，则有dxsind.式(4)变为

如果令xsin，则只变换形式不影响结果。可以据此设想利用其它的三角函数也能得到同样的结果。令

(10)

注意这里的积分上限改成了/4，因为/2/4的时候

tan1，将导致积分发散。

对(10)式做变换

于是有关系式

(11)

而初值T0/4，观察规律有

... 总结规律得

(12)

其中m1,2,3...而从式(10)中可知

结合(12)式，得到

(13)

或者

(14)

显然利用这种方法在形式上要比利用Wallis简单得多，计算机执行运算的时候也能更加快速。

例三 椭圆积分法

椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，始作俑者是印度数学家拉马努金。他在1914年“模方程和的逼近”一文中，给出了14个计算的公式。其中之一，是关于椭圆积分变换理论和的快速逼近之间，联系紧密的“拉马努金公式”（“LM”）

22(4n)!110326390n

[]()。 44n9801n0(n!)3961

用“LM”每计算一项就可以得到8位的十进制精度，“LM”的一个有趣的“变种”是

1



22

(1/4)n(1/2)n(3/4)n110326390n

()， 34n2

(n!)99n0



这里(cn)是递增阶乘，即(cn)c(c1)(c2)...(cn1)。

不过，拉马努金没有给出公式的哦证明，仅仅给出了一些不充分的解释。直到1987年，才有加拿大的波尔稳兄弟给出证明。

只取“LM”的前两项就有

1





22(40)!110326390022(41)!1103263901

[]()[]()， 9801(0!)4396409801(1!)439641

由此可以算出3.1415935...3.14159...-得到了六位准确值。由此可见，“LM”是一个收敛很快的公式。 例三 概率法

首先用概率法计算值的是法国数学家蒲丰，该实验也被称之为蒲丰实验，而此类问题也被称为蒲丰问题。

我们先给蒲丰实验做一个通俗的说明。

假设下图中平行线距离为4厘米，针长2厘米。将任意掷向向平

行线时，可能相交--有一端碰到平行线也算相交，也可能不相交。问题是，大量多次投

掷时，投掷总次数n与相交次数k的比值即n/k?

根据“公平竞争”原则，显然每一毫米长的针与直线相交的次数为k/20，没2毫米则为2k/20，等等--针与直线可能相交的次数与针的长度成正比。当然，这个结论对上图所表示的任意形状的、总长位2厘米的针也适用。不过，弯针可能有几处和直线相交，就必须把每个交点都算进去。

现在，改用用直径4厘米，周长4厘米长的圆形针，任然将它投向上述平行线。显然，每次投掷的必然结果是，和两条直线都相交（相切也视为相交）。如果哦投掷n次，则相交次数必为2n次。

对比以上实验，并用上述可能相交次数与长度成正比的结论，就有2/(4)k/2n，也就是n/k。

1777年，蒲丰在1760年写成的《或然算术试验》出版，书中给出了掷针问题的一般情况的解答。如果向画有等距离且距离为a的一组平行线投掷长为l(la)的直针，那么，直针与直线相交的概率为

p2l/(a)。以下证明这一结论。

如左图所示，设AD与平行线中的任意一条MN相交，显然针不可能和两条线相交，只有当且仅当sBC(lsin)/2的时候，针和MN才相交。

又建立一个s随变化的坐标系，同时画一个长为、宽为a/2的矩形。那么，这个矩形的面积表示什么呢？不管线与针相不相交，都有sBCa/2和。所以，矩

形面积表示相交和不相交次数的总和即总投掷次数。

再在上图所示的位置画正弦曲线s(lsin)/2的半周。显然，阴影部分内的点就表示线与针相交，而阴影部分的面积就表示相交的次数。这就得到概率pk/n阴影面积 / 矩形米面积

0

ldsina2l

() 22a

，就是pk/n2l/(a)。这也证明了前述p2l/(a)，并且得到投针法求的一般公式2nl/(ak)。此时，如果向前面那样假设2la就得到

n/k。

蒲丰实验引出过很多数学和其他学科的成果。例如，著名的蒙特卡罗方法即统计方法，他的滥觞就是蒲丰实验。再如，投针问题用频率代替概率，还提供了一种概率模型，计算这种模型的概率叫几何概率。此外，蒲丰实验还启发一门重要的数学分支--积分几何的诞生。因此蒲实验的理论实践意义都十分重大。 五、的应用

是一个奇迹般的数字，数学公式、定理...中几乎无处不在，而随着数学的发展，它也会继续在数学以及其他学科的大海里继续漫游。下面举例说明在数学及其他学科当中的应用。 例一 与曲线图形面积

有关圆或其中一部分的问题要涉及

，这已不足为奇，但求非圆

或圆弧围成的图形面积时，也会出现。例如求心形线

ra(1cos)(a0) 所围平面图形的面积A，有

A22





12rd2

1

.a(1cos)2d 2

3a22

出现的原因，还是求面积过程中积分运算的结果。

再看一个一个名例：求正弦交流电iImsint的平均值IPJ。这就相当于求正弦曲线所围成的曲线图形面积。如图所示正弦交流电的正

负半周对称，所以，在一个周期内交流电的“平均值”为0，这种含义的“平

均值”没有任何意义。而前述IPJ则是先分别取正负半周的绝对值再“平均”，这是有意义的；这种IPJ又叫均绝值。因此，要求它的IPJ，就要先求得正半周的平均值。可以算得电流i的IPJ是



IPJ2Imsintdt/(T/2)

2Im



，

即平均值是最大值Im的2/0.637倍；对电动势和电压也存在这倍数关系。在这里，又一次出现在计算结果中。 例二 与旋转体体积

如图所示，任意曲线yf(x)，他在区间

[a,b]上绕轴旋转，并与垂直于X轴的两个

平面（这两X个平面由xa和xb绕X

轴

旋转而成）的一部分构成一个旋转体。其体积微元即阴影部分的体积就是ydx，所以他的体积Vaf2(x)dx，

2

b

结果中必然含有。

具体来说，计算如图所示星形线x2/3y2/3a2/3围成的星形绕X轴

所产生的旋转体的体积V。由原星形线方程可得y2(a2/3x2/3)3，所以

V(a

01

2/3

x

2/33

32a2

)dx。

105

可见，星形线旋转体的体积公式也含有。 例四 与伯努利难题

雅各布.伯努利对无穷级数很有研究，也求过一些无穷级数的和，但在求1

111

22...——“伯努利级数”时却一筹莫展。在伯努利2

234

死后两年，欧拉用奇妙、大胆的类比求得这个和为2/6。以下是欧拉的求法：

假设有一个2n次代数方程

b0b1x2b2x4...(1)nbnx2n0。 （1） 式（1）有2n个不同的根1,2,...,n。如果两个代数方程有相同的根，而且常数项相等，那么这两个方程其他项的系数也应该分别相等，那么有

b0b1xb2x...(1)bnxb0(1

2

4

n

2n

x2



2

1

)(1

x2



22

)...(1

x2



2

n

)。

比较上式两边x2的系数。就得到

b1b0(

1



21



1



22

...

1



2n

)。 （2）

考虑三角形方程sinx0，他有无穷个根：0,,2,...。将sinx展开为级数后，把方程两边除以x，就得到

1x2/3!x4/5!x6/7!...0。 （3）

显然（3）式的根是：,2,...。

本来（3）式的左方有无穷多项，与代数式（1）的左方明显不同。但欧拉硬拿（1）与（3）类比，并对（3）运用（2），就得到

11112...。 3!(2)2(3)2

这就是著名的

2

6

1

111

22...。这就解决了伯努利难题。 2

234

欧拉采用的类比方法虽然巧妙、大胆，然而有失严密。因为，虽然“一元n次方程有n个根”成立，但既无“一元无限次方程有无限个根”的定理，也不知道一元无限次方程与系数的关系。欧拉个人也认识到自己证明的不足，因而采用其他方法继续研究，最终找到求该级数和的严格方法，并发表在他的《无穷分析引论》中。

例五 与伯努利多项式

a0

三角级数f(x)(ancosnxbnsinnx)中的傅里叶系数an和bn

2n1

可以用

an

1



f(x)cosnxdx (n0,1,2,...)





和

bn

1



f(x)sinnxdx (n1,2,...)





来表示。

对每个自然数n，我们把 n次伯努利多项式n(x)定义为

nn6nn1nn2nn4

n(x)xxB1xB2xB3x...。 2462

n

利用n(x)的主要性质，可以直接确定n(x)的各个傅里叶系数，并进而得到

2k(x)2(1)(2k)!

k1

cos2nx

； 2k

n1(2n)



设上式中的x0，可以得到欧拉求得的关于s是偶数时的尼曼函数

(s)的公式

11122k1

(2k)12k2k...2k...Bk2k。

23n(2k)!

22k1

事实上，利用上述的(2k)Bk2k及伯努利数，就可以求得：

(2k)!22111212

。 (21)

(21)!66

几何中凡是有有关圆、球、旋转体的体积等有关公式中必有。 傅里叶在1811年将偏微分方程的解表示为傅里叶积分形式，其中有。

1781年，欧拉给出欧拉第二积分，其中伽玛函数里也有。例如，

1

()。 2

以下两个和式中也奇怪地出现了：

(nln

n2



n1

2)32ln2ln,n1

132

[nln(1)1]lnn2n2



2

。

通过概率积分exdx，和e被巧妙的联系在一起。 在概率论中，有标准正态分布的概率密度公式

f(x)(2)e

1

1

x22

(xR)，以及和他本质相同的高斯正态分布曲线公式

2f(x)(2)1e



(xa)2

（xR；a是平均值，是标准误差，他们都是常

数，且0），其中都有。 在动态系统、遍历理论中，有lim

n

1n2

。 xi

ni1

总而言之，早已深入到数学的各分支、各领域中：函数变换、奇异积分、椭圆函数、概率论、非欧几何...正如陈省身所说：“这个数浸透了整个数学。” 六、总结及展望

不仅早已深入数学的各个领域，而且在物理学中也是如此。例如，在电学中，库仑定律、电场强度公式里有；在你热学中，麦克斯韦速度分布律里、分子的算术平均速率公式里也有；在相对论中，相对论的场方程里、计算行星近日点的进动公式里也有；在量子理论中最基本的方程。有海森堡（基于矩阵理论）和薛定谔（基于波动理论）的两种不同但等价的表达式中都有；.....

数对促进科学技术的发展和人类的进步产生了非常特殊而重要的作用，是人类在数学史和自然科学上最精妙的发明和发现之一。它是一个常数,又不是普通的常数。同时，它不仅是无理数,而且它还是

超越数。数的发现和计算表现了人类无限的发明创造才能和高超的智慧,数是人类的杰作。现在它依然在推动着科学和人类社会的发展,不休止地发挥着它的功能和作用。随着科学技术的发展，人们对的认识也在不断加深，对人们的吸引力也在不断加深，对的探究值得数学家去深究。

圆周率π的计算及简单应用

一、的来历

即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。的历史是饶有趣味的。对的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。 实际上，在古代长期使用＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用

分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。 由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：

3.[***********][**************]88这个数，从此也把它称为

之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的值。的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。

二、π的定义

圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，可以严格地定义为满足sinx0的最小正实数x。

而圆内接正2n边形是由n个这样的相邻三角形组OAC,OCB拼成的，因此由（6）就得到（2）。

从（2）和（3）就可得到(7)S2npnR/2。

当n无限增加时，S2n趋向于A，pn趋向于C，所以(7)的两边就分别趋向于A和CR/2，而CR/2DR/2R2,这就得到(1)。

这样就从另外一个角度——用圆面积来定义了。

三、π的性质

的性质怎样？这是人们研究了几千年的的问题。

关圆周率的性质及人们对它进行研究的历史，不同的数学家研究方法各不相同。在美国数学史家达维德.尤金.史密斯的著作《数论尺规作图及周率》一书中，将的历史分为以下三个时代：

（1）自古时至17世纪中期，这个时代大都是求一个正方形等于一个已知圆等的努力，或用目前的初等教科书中所描述的那种纯粹几何方法，来求的近似值。

（2）自微积分起，到德国数学家兰伯特证明是无理数为止，即约17世纪60年代至18世纪60年代的100年，这一时代的特色，是解析方法替代了古代的几何方法；并认为其著名的研究者为牛顿、莱布尼兹、詹姆斯.伯努利和约翰.伯努利、欧拉等。这个时代求值的方法，不再用古代的“穷竭法”，而是用无穷级数及无穷乘积等。

（3）从18世纪中期至20世纪，其特色是探求的性质，即是否为有理数、代数数、超越数等。

下面要说的是的性质，指的是是一个什么样的数。例如，它是整数还是分数？是常数还是变量？是有理数还是无理数？等等。 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中，就提到了是常数。中国公元前的古书《墨子》中也有“小圆之圆与大圆之圆同”的记载；《周髀算经》中也有“径一而周三”的记载，也认为是一个常数。 虽然古人一直笃信是一个常数，而且知道它的近似值，但其准确值却无人知晓。多数国家的古人最早都认为是整数3.在中国，出上述《周髀算经》等书籍之外，大约在1世纪的《九章算术》中也是这样认为。在古希腊、巴比伦、埃及、印度、日本中关于数学的史料中也是同样的记载。例如，希伯来人的《两个编年史》中就有3的记载。

这种3的认识，大致持续到刘徽之前，即约3世纪。不过古希腊是一个例外--因为阿基米德在公元前200多年就科学地求得实用而较准确的值3.14.

无理数最早由古希腊数学家毕达哥拉斯学派中的西帕索斯发现。他计算出边长为1的正方形的对角线长2。但是2不能用任何两个数的比来表示即不是有理数，也就是是无限不循环小数。在当时叫“没有比”或“不能表示”，后来称之为“不可通约量”。14世纪。数学家布拉德瓦丁最早采用“无理”一词后，至十六七世纪，欧洲人逐渐将无理数纳入运算。荷兰科学家西蒙.斯蒂文、两位英国数学家沃利斯和哈利奥特、法国数学家笛卡尔等都承认无理数。

无理数的本质特征是“无限不循环”，由于在各种形式的的级

数展开式中，始终没有找到一个递减的几何级数，也一直没有找到的“莱布尼兹级数和”的公式，对值的“马拉松”式的计算竞赛中也一直没有发现任何循环现象。于是，认为可能是有理数的希望逐渐消失。事实上，早在十五六世纪，印度数学家尼拉斯塔.萨玛亚吉就确信是无理数了。此后在超越数时期，人们又猜测是超越数，在1822年，林德曼在连续函数的意义下，用欧拉公式ei10，终于证明了是超越数。下面分别给出是无理数好超越数的证明。

是无理数的证明

苏格兰数学家詹姆斯.格雷戈里是第一个企图证明是无理数的人。不过，他的巧妙的证明不很严格，因而不太令人满意。

此外，法国数学家托马斯.范特.德.拉尼也在17世纪末对的物理性做出过推断，这一推断在半个世纪后，有兰伯特证明。

1737年，欧拉给出了用无限连分数计算平方根的一般方法，并将自然对数的底展开成三种无限连分数。

1761年，兰伯特向柏林科学院提交论文，初步证明了也是无理数。他用欧拉的方法，并从欧拉发现的 e11111... 2161014

和数学家布隆克子爵发现的

123252

1... 2224

入手，先得到后来以他姓氏命名的两个连分式：

ex1111111...,tanx...。 xe12/x6/x10/x1/x3/x5/x

兰伯特研究了两个式子的性质之后，得到以下两个定理。 定理1 如果x是0以外的有理数，则tanx必然是无理数；反之，如果tanx是0以外的有理数，则x必然是无理数。

定理2 如果x是0以外的有理数，则ex必然是无理数；反之，如果ex为1以外的有理数，则x必然为无理数。

最后，他假设x/4，则tanx1;因为1是有理数，所以由定理1知道，/4必然是无理数，因而π也必然是无理数。

不过，兰伯特的上述证明并不十分严格。下面给出π是无理数的两种证明方法。

证法一：

首先给出一个定义。

定义 2min0,cos0，即是使cos0的最小正数的两倍。 按这个定义，利用定积分容易得到半径为r的圆的面积为2r，因此这样的定义是合理的。下面证明是无理数。

利用反证法。设是有理数，则2也是有理数，于是存在正整数p ，

pnppn

1。q ，使得。由于0(n),因此存在正整数N使得 qn!n!2

设f是如下定义的2N次多项式

xN(1X)N

f(x), N!

则f满足

f(x)f(1x),f(k)(x)(1)kf(k)(1x)(k1,2,...)

展开f的表达式得

12N

f(x)Cnxn。 N!nN

对其求导k次(0k2N)得

f(k)1(x)NnmaxN,kn(n1)...(nk1)Cxn2Nnk。

若0kN,显然f(k)(0)Z，因此由f(k)(x)(1)kf(k)(1x)，知f(k)(1)Z； 若Nk2N,显然f(k)(0)

Nk!CkZ,因此显然f(k)(1)Z。 N!令F(x)(1)jpNjqjf(2j)(x),则利用fk(0)Z,f(k)(1)Z得到

j0

F(0)Z,F(1)Z。进一步计算得

F(n)(x)F(x)(1)p2j

j0

j1NNjqfj(2j2)(x)2(1)j0NjpNjqjf(2j)(x)(1)

j0N1pNjqj1f(2j)(x)(1)jpNj1qj1f(2j)(x)j0N

(1)NqNf(2N2)(x)pN1q1f(x)pN2f(x),

其中利用了f是2N次多项式，因此f(2N2)(x)0。

再令g(x)F'(x)sinxF(x)cosx,则

g'(x)[F''(x)2F(x)]sinxpN2f(x)sinx。 且F(1)F(0)[g(1)g(0)]。利用Lagrange中值定理得，存在(0,1)，1

使得 F(1)F(0)

由f的定义可知0f()1g'()pNf()sin。 11，于是0f()sin，因此 N!N!

NpN1。 0F(1)F(0)pf()sinN!

但已知F(0)Z,F(1)Z,因此F(1)F(0)Z,与上式矛盾。这就证明了

是无理数。

证法二：

xn(abx)n

,则有 定理 设a,b,n,为正整数，令f(x)n!

（1）f(x)f(x)；

（2）当x0,x时，f(k)(x)(0k2n)取值为整数；

（3）假设是有理数，即,a,b为即约正整数，则0f(x)sinxdx

为整数，由此可知不可能是有理数。

证明 （1）直接验算可得

aa1nn(x)n[ab(x)]n(abx)(bx)na(abx)nxnf(x)f(x)； bn!n!n!ababab

（2）可由（1）得

aaf(k)(x)f(k)(x).(1)k,k1,2,...2n;f(k)(0)f(k)()(1)k,k1,2...,2n;显bb

a然f()f(0)0， b

ak1,2,...n1；由于x0是f(x)的n阶零点，于是f(k)(0)f(k)()0，b

1i1ni(b)i(ni)!an1 ,..,n时，f(n1)(0)Cn利用f(x)Cn(b)ixn1an1，当i0.1n!n!i0

为正整数，所以f(k)(0)和f(k)()均为整数(k0,1,...,2n),f(2n1)(x)0；

（3）假设是有理数，即，其中a,b为即约正整数。 用分部积分法并由（2）的结果，即知0f(x)sinxdx为整数，事

实上，由于f(k)(0),f(k)(),sin(k)(0),sin(k)()(k1,2,...,2n)均为整数，且f(2n1)(x)0， abab

经过分部积分得：



0f(x)sinxdxf(x)(1)n(sinx)(2n)dx0

n(2n1)(1)[f(x)(sinx)

(1)[f(x)(sinx)n0f'(x)(sinx)(2n1)dx]0(2n1)

0f(x)(sinx)'(2n1)

0f''(x)(sinx)(2n1)dx]0

(1)n[f(x)(sinx)(2n1)

0f'(x)(sinx)(2n1)

0..f(2n)(x)sinxdx]0

(1)n[f(x)(sinx)(2n1)f'(x)(sinx)(2n2)...(f(2n1)(x)sinx)(f2n(x)cosx)]

，由此可知0f(x)sinxdx为整数；

另一方面，当0x时，有

1nna1na1na2

n1a2

nnnf(x)xb(x)b[x(x)]b(2)()， n!bn!bn!4bn!4b

1a2

na2即0f(x)()，于是00f(x)sinxdx()0(n)，这就表n!4bn!4bnab

明0f(x)sinxdx不是整数，这个矛盾说明了不是有理数，因此是无

理数。

认识了是无理数，从理论上彻底解决了求精确值的问题。从理论上讲，人们尽管可以求得它准确到任意有限位小数的值，但实际上永远不可能得到准确值--有无限多位。

是超越数的证明 

虽然在1822年，林德曼给出了是超越数的证明，但其证明相当冗长。后来很多数学家对这个证明进行了简化并且给出了初等证明。下面用反证法来说明。

定理 是超越数

证明：若是代数数，则i也是代数数，以1,2,...n表示

的极小多项式的全部零点，记mden()，由e1，则有

(1e1)(1e2)...(1en)0 （1）（1）式也可以写成2n个e之和，其中 11...nn， i为0或1.

假设这些有l个不为零，记1,...,l，那么（1）式写为 qe...e0,q2nl。

1

l

设p为充分大的素数，含多项式f(x)为 f(x)mlpxp1(x1)p...(xl)p 和

JI(k)0e

k1

k1

l

l

k

k

u

f(u)du

四、π的计算

值是多少和它是怎样被计算出来的？国内外关于值计算方面的论著颇丰，但归纳起来主要有五种：割圆术、分析法、椭圆积分法、概率模型法。下面就分别以这四种方法来计算值。

割圆术

古希腊数学家、物理学家阿基米德是割圆术的鼻祖，因此介绍阿基米德的割圆方法，其他割圆方法都可以从此出得来。

阿基米德割圆术的数学思想是：圆周长介于这个圆的内接多边形和外切多边形之间，当这些多边形的边数增加时，圆周长和它们的周长差相差越小；因此，通过计算这些多边形的周长来接近圆的周长--

只要多边形的边数增多到某种程度，就能得到符合精确度的圆周长进而得到一定精度的值。

线。显然，此时有

如图所示，o为圆心，AB为⊙O的外 切正6边形一边的一半，OA为半径， ∠AOB=`30o,O是角∠AOB的角平分

OBOA265

2,。把这两个式子相加，就得到ABAB153

OAAB571OAOBOAOBCBOAOBACCB

,。又或。该式子AB153ABACOAACOAAC

OAAB571OA571

与前面的比较，就得到。 AB153AC153

从这个不等式出发，立即可以推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径之比的上界。同样，计算圆内接正多边形的边长，可以确定比值的下界。利用比例关系和勾股定理重复上述过程，一直算到96边形，最后得到

外切96边形周长 [1**********]336内接正96边形周长

。 

11直径直径71742

由此可得出223/7122/7。事实上采用较简单的22/7，而不取

223/71。

阿基米德首次科学而准确地确定223/7122/7。取两位实用值为3.14或22/7。从理论上指出了一种可以求得任意准确度的值的计算方法——-割圆术即“古典方法”。且第一次在科学中提出误差估计及其准确度和如何确定的问题，即用上下界确定近似值；这与其后的祖冲之确定值的计算方法有异曲同工之妙。

分析法

随着微积分的发现，数学家们对值的计算方法的改进也在不断进行，人们开始摆脱由阿基米德开创的“割圆术”--几何方法，而采用分析法来计算值。下面先来介绍分析法计算值的简要历史，然后提出一种易于理解的计算方式。

1650年，英国数学家沃利斯利用类比、归纳和极限的方法，从计算圆的面积入手，得出



4

24466...

，载于他的著作《无穷算

13355...

述》中。这是分析法计算值正式诞生前的“前奏曲”。1671年，詹姆斯.格雷戈里公开他发现的公式：

x3x5x7x9

arctanxx...(1x1)。

3579

但其没有认识到发现的上述公式已经为计算值开辟了一个新的时代。如果设式子中的x1，就可以得到



1111

1...。 43579

由于是莱布尼兹发现这个式子，后人把它称之为“莱布尼兹公式”或“莱布尼兹级数和”。但是，用莱布尼兹公式算，则收敛太慢，工作量太大。例如，要求出3.14要算628项。而要求出值的第六位小数，就不多不少正好取2106项。由于工作繁杂，所以很少有人实际用这种方法去计算值。

1676年，微积分的发明者牛顿，发现了一个反正弦函数的展开式：

x23x535x7arcsinxx...。

232452467

他设式子中的x1/2，就得到



6

11335..., 3572232245224672

并用他计算出的14位小数。

由于用上述式子计算值效率并不高，所以牛顿的这个值还不如早于他的古典方法。虽然牛顿计算的位数不多，但此时由他和莱布尼兹创立的微积分正开始显示强大的生命力——他的计算是用分析法算值的第一次小试牛刀。

1699年英国数学家阿伯拉罕.夏普假设格雷戈里公式公式里的

x/3，就得到夏普公式：



6

/3(1

1111

234...)。 33353739

他用这个公式将算到小数点后72位，其中71位正确。在夏普之前分析法在提高值位数上并无辉煌战果。69年后的夏普用分析法把值增加到72位，才开始了分析法大规模计算值的实战历程。其后令人眼花缭乱的各种算值的分析法如雨后春笋。这一漫长历程一

直持续了近300年--知道20世纪50年代之后。 1789年威加利用欧拉发现的公式：



45arctan

1311

2arctan2arctanarctan。 77937

将值计算到143位。

1844年德国汉堡的数学家约翰.马丁.扎卡赖亚斯.达什用许尔茨.冯.斯特拉斯尼茨基教授发现的公式：



4

4arctan

111

arctanarctan 57099

将值计算到后205位。

1948年弗格森利用高斯发现的公式：



43arctan

111arctanarctan。 4201985

将值计算到后809位。

1949年6月，美国数学家列维.史密斯和雷恩奇，算出了1121位值，创造了人工算值的最高纪录。

随后随着科学技术的发展，尤其是电子计算机的出现，“人工”算的时代宣告结束，电子计算机在计算的准确性和速度方面比人工计算快乐许多。在1973年，法国数学家让.吉劳德和同事马丁.玻叶等，用CDC-7600型机花去23小时18分钟，将值算到小数点后1001250位，登上100万高峰。直到2010年利用“云计算”利用23天已经达到2000万亿位。

下面从分析法中具体举例如下： 例一：利用沃利斯公式

Wallis公式几种表达式如下：

(1)

或

(2)

或

(3)

下面证明这个公式： 令

(4)

利用分部积分法

于是有关系式

(5)

从上式可知I0=1，I1=π/4.根据这两个初值条件有

(6)

或者

(7)

其中m=0,1,2,...而由(7)式也可知

(8)

将(9)式代入(8)式

即

(9)

其中

由式(9)可知Wm>0且有上限，而

说明Wm随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼定理得其值

Wallis公式得证。

例二 显然Wallis公式比割圆术要易于计算得多，且简单易懂，但是Wallis公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提高计算机计算效率。在计算机上计算最好是只有乘除项之和，如：

在(4)式中，实际上令xcos，则有dxsind.式(4)变为

如果令xsin，则只变换形式不影响结果。可以据此设想利用其它的三角函数也能得到同样的结果。令

(10)

注意这里的积分上限改成了/4，因为/2/4的时候

tan1，将导致积分发散。

对(10)式做变换

于是有关系式

(11)

而初值T0/4，观察规律有

... 总结规律得

(12)

其中m1,2,3...而从式(10)中可知

结合(12)式，得到

(13)

或者

(14)

显然利用这种方法在形式上要比利用Wallis简单得多，计算机执行运算的时候也能更加快速。

例三 椭圆积分法

椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，始作俑者是印度数学家拉马努金。他在1914年“模方程和的逼近”一文中，给出了14个计算的公式。其中之一，是关于椭圆积分变换理论和的快速逼近之间，联系紧密的“拉马努金公式”（“LM”）

22(4n)!110326390n

[]()。 44n9801n0(n!)3961

用“LM”每计算一项就可以得到8位的十进制精度，“LM”的一个有趣的“变种”是

1



22

(1/4)n(1/2)n(3/4)n110326390n

()， 34n2

(n!)99n0



这里(cn)是递增阶乘，即(cn)c(c1)(c2)...(cn1)。

不过，拉马努金没有给出公式的哦证明，仅仅给出了一些不充分的解释。直到1987年，才有加拿大的波尔稳兄弟给出证明。

只取“LM”的前两项就有

1





22(40)!110326390022(41)!1103263901

[]()[]()， 9801(0!)4396409801(1!)439641

由此可以算出3.1415935...3.14159...-得到了六位准确值。由此可见，“LM”是一个收敛很快的公式。 例三 概率法

首先用概率法计算值的是法国数学家蒲丰，该实验也被称之为蒲丰实验，而此类问题也被称为蒲丰问题。

我们先给蒲丰实验做一个通俗的说明。

假设下图中平行线距离为4厘米，针长2厘米。将任意掷向向平

行线时，可能相交--有一端碰到平行线也算相交，也可能不相交。问题是，大量多次投

掷时，投掷总次数n与相交次数k的比值即n/k?

根据“公平竞争”原则，显然每一毫米长的针与直线相交的次数为k/20，没2毫米则为2k/20，等等--针与直线可能相交的次数与针的长度成正比。当然，这个结论对上图所表示的任意形状的、总长位2厘米的针也适用。不过，弯针可能有几处和直线相交，就必须把每个交点都算进去。

现在，改用用直径4厘米，周长4厘米长的圆形针，任然将它投向上述平行线。显然，每次投掷的必然结果是，和两条直线都相交（相切也视为相交）。如果哦投掷n次，则相交次数必为2n次。

对比以上实验，并用上述可能相交次数与长度成正比的结论，就有2/(4)k/2n，也就是n/k。

1777年，蒲丰在1760年写成的《或然算术试验》出版，书中给出了掷针问题的一般情况的解答。如果向画有等距离且距离为a的一组平行线投掷长为l(la)的直针，那么，直针与直线相交的概率为

p2l/(a)。以下证明这一结论。

如左图所示，设AD与平行线中的任意一条MN相交，显然针不可能和两条线相交，只有当且仅当sBC(lsin)/2的时候，针和MN才相交。

又建立一个s随变化的坐标系，同时画一个长为、宽为a/2的矩形。那么，这个矩形的面积表示什么呢？不管线与针相不相交，都有sBCa/2和。所以，矩

形面积表示相交和不相交次数的总和即总投掷次数。

再在上图所示的位置画正弦曲线s(lsin)/2的半周。显然，阴影部分内的点就表示线与针相交，而阴影部分的面积就表示相交的次数。这就得到概率pk/n阴影面积 / 矩形米面积

0

ldsina2l

() 22a

，就是pk/n2l/(a)。这也证明了前述p2l/(a)，并且得到投针法求的一般公式2nl/(ak)。此时，如果向前面那样假设2la就得到

n/k。

蒲丰实验引出过很多数学和其他学科的成果。例如，著名的蒙特卡罗方法即统计方法，他的滥觞就是蒲丰实验。再如，投针问题用频率代替概率，还提供了一种概率模型，计算这种模型的概率叫几何概率。此外，蒲丰实验还启发一门重要的数学分支--积分几何的诞生。因此蒲实验的理论实践意义都十分重大。 五、的应用

是一个奇迹般的数字，数学公式、定理...中几乎无处不在，而随着数学的发展，它也会继续在数学以及其他学科的大海里继续漫游。下面举例说明在数学及其他学科当中的应用。 例一 与曲线图形面积

有关圆或其中一部分的问题要涉及

，这已不足为奇，但求非圆

或圆弧围成的图形面积时，也会出现。例如求心形线

ra(1cos)(a0) 所围平面图形的面积A，有

A22





12rd2

1

.a(1cos)2d 2

3a22

出现的原因，还是求面积过程中积分运算的结果。

再看一个一个名例：求正弦交流电iImsint的平均值IPJ。这就相当于求正弦曲线所围成的曲线图形面积。如图所示正弦交流电的正

负半周对称，所以，在一个周期内交流电的“平均值”为0，这种含义的“平

均值”没有任何意义。而前述IPJ则是先分别取正负半周的绝对值再“平均”，这是有意义的；这种IPJ又叫均绝值。因此，要求它的IPJ，就要先求得正半周的平均值。可以算得电流i的IPJ是



IPJ2Imsintdt/(T/2)

2Im



，

即平均值是最大值Im的2/0.637倍；对电动势和电压也存在这倍数关系。在这里，又一次出现在计算结果中。 例二 与旋转体体积

如图所示，任意曲线yf(x)，他在区间

[a,b]上绕轴旋转，并与垂直于X轴的两个

平面（这两X个平面由xa和xb绕X

轴

旋转而成）的一部分构成一个旋转体。其体积微元即阴影部分的体积就是ydx，所以他的体积Vaf2(x)dx，

2

b

结果中必然含有。

具体来说，计算如图所示星形线x2/3y2/3a2/3围成的星形绕X轴

所产生的旋转体的体积V。由原星形线方程可得y2(a2/3x2/3)3，所以

V(a

01

2/3

x

2/33

32a2

)dx。

105

可见，星形线旋转体的体积公式也含有。 例四 与伯努利难题

雅各布.伯努利对无穷级数很有研究，也求过一些无穷级数的和，但在求1

111

22...——“伯努利级数”时却一筹莫展。在伯努利2

234

死后两年，欧拉用奇妙、大胆的类比求得这个和为2/6。以下是欧拉的求法：

假设有一个2n次代数方程

b0b1x2b2x4...(1)nbnx2n0。 （1） 式（1）有2n个不同的根1,2,...,n。如果两个代数方程有相同的根，而且常数项相等，那么这两个方程其他项的系数也应该分别相等，那么有

b0b1xb2x...(1)bnxb0(1

2

4

n

2n

x2



2

1

)(1

x2



22

)...(1

x2



2

n

)。

比较上式两边x2的系数。就得到

b1b0(

1



21



1



22

...

1



2n

)。 （2）

考虑三角形方程sinx0，他有无穷个根：0,,2,...。将sinx展开为级数后，把方程两边除以x，就得到

1x2/3!x4/5!x6/7!...0。 （3）

显然（3）式的根是：,2,...。

本来（3）式的左方有无穷多项，与代数式（1）的左方明显不同。但欧拉硬拿（1）与（3）类比，并对（3）运用（2），就得到

11112...。 3!(2)2(3)2

这就是著名的

2

6

1

111

22...。这就解决了伯努利难题。 2

234

欧拉采用的类比方法虽然巧妙、大胆，然而有失严密。因为，虽然“一元n次方程有n个根”成立，但既无“一元无限次方程有无限个根”的定理，也不知道一元无限次方程与系数的关系。欧拉个人也认识到自己证明的不足，因而采用其他方法继续研究，最终找到求该级数和的严格方法，并发表在他的《无穷分析引论》中。

例五 与伯努利多项式

a0

三角级数f(x)(ancosnxbnsinnx)中的傅里叶系数an和bn

2n1

可以用

an

1



f(x)cosnxdx (n0,1,2,...)





和

bn

1



f(x)sinnxdx (n1,2,...)





来表示。

对每个自然数n，我们把 n次伯努利多项式n(x)定义为

nn6nn1nn2nn4

n(x)xxB1xB2xB3x...。 2462

n

利用n(x)的主要性质，可以直接确定n(x)的各个傅里叶系数，并进而得到

2k(x)2(1)(2k)!

k1

cos2nx

； 2k

n1(2n)



设上式中的x0，可以得到欧拉求得的关于s是偶数时的尼曼函数

(s)的公式

11122k1

(2k)12k2k...2k...Bk2k。

23n(2k)!

22k1

事实上，利用上述的(2k)Bk2k及伯努利数，就可以求得：

(2k)!22111212

。 (21)

(21)!66

几何中凡是有有关圆、球、旋转体的体积等有关公式中必有。 傅里叶在1811年将偏微分方程的解表示为傅里叶积分形式，其中有。

1781年，欧拉给出欧拉第二积分，其中伽玛函数里也有。例如，

1

()。 2

以下两个和式中也奇怪地出现了：

(nln

n2



n1

2)32ln2ln,n1

132

[nln(1)1]lnn2n2



2

。

通过概率积分exdx，和e被巧妙的联系在一起。 在概率论中，有标准正态分布的概率密度公式

f(x)(2)e

1

1

x22

(xR)，以及和他本质相同的高斯正态分布曲线公式

2f(x)(2)1e



(xa)2

（xR；a是平均值，是标准误差，他们都是常

数，且0），其中都有。 在动态系统、遍历理论中，有lim

n

1n2

。 xi

ni1

总而言之，早已深入到数学的各分支、各领域中：函数变换、奇异积分、椭圆函数、概率论、非欧几何...正如陈省身所说：“这个数浸透了整个数学。” 六、总结及展望

不仅早已深入数学的各个领域，而且在物理学中也是如此。例如，在电学中，库仑定律、电场强度公式里有；在你热学中，麦克斯韦速度分布律里、分子的算术平均速率公式里也有；在相对论中，相对论的场方程里、计算行星近日点的进动公式里也有；在量子理论中最基本的方程。有海森堡（基于矩阵理论）和薛定谔（基于波动理论）的两种不同但等价的表达式中都有；.....

数对促进科学技术的发展和人类的进步产生了非常特殊而重要的作用，是人类在数学史和自然科学上最精妙的发明和发现之一。它是一个常数,又不是普通的常数。同时，它不仅是无理数,而且它还是

超越数。数的发现和计算表现了人类无限的发明创造才能和高超的智慧,数是人类的杰作。现在它依然在推动着科学和人类社会的发展,不休止地发挥着它的功能和作用。随着科学技术的发展，人们对的认识也在不断加深，对人们的吸引力也在不断加深，对的探究值得数学家去深究。