圆锥曲线知识点小结
圆锥曲线在高考中的地位：
圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。 (3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：+ y 2 =
1. 如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线
段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x = -3于点D （-3，m ）.
（1）求m 2 + k 2的最小值；
2
（2）若∣OG ∣=∣OD ∣·∣OE ∣, ① 求证：直线l 过定点；
② 试问点B 、G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.
（理22）已知动直线l 与椭圆C ：+ = 1相交于P （x 1，y 1），Q （x 2，
y 2）两个不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ =，其中O 为坐标原点．
（1）证明：+ 和+ 均为定值；
（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；
（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G，使得S △ODE = S△ODG = S△OEG =若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
？
(2009年山东卷) 设m ∈R, 在平面直角坐标系中, 已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a
⊥b , 动点M(x,y)的轨迹为E.
（1）求轨迹E 的方程, 并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B, 且OA⊥OB(O为坐标原点), 并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x2+y2=R2(1
椭圆：平面内与两个定点
这两个定点数学语言
：常数2a=常数2a
，轨迹是线段，轨迹不存在；
；
的距离之和等于定长（大于
）的点的轨迹叫做椭圆。
叫做椭圆的焦点，两焦点的距离
叫做椭圆的焦距。
双曲线：平面内与两个F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F 2）的点的轨迹叫做
双曲线。这两个定点
叫做双曲线的焦点，两焦点的距离
叫做双曲线的焦距。
数学语言： MF 1-MF 2=2a （2a
，轨迹是两条射线； ，轨迹不存在；
常数2a=0,轨迹是F 1F 2的中垂线。
抛物线
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛
物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．（注：F 不在l 上）
当F 在l 上时是过F 点且垂直于l 的一条直线。
定义中要重视“括号”内的限制条件
(1)定点F 1(-3, 0), F 2(3, 0) ，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中，是椭圆的是( A ．PF 1+PF 2=4 B ．PF 1+PF 2=6 C ．PF 1+PF D ．PF 2
2=10
1
+PF 2
2
=12
（2）
8表示的曲线是____
二、圆锥曲线的标准方程
x 2y 2y 2x 2
椭圆：焦点在x 轴上时： a 2+b 2=1 焦点在y 轴上时：a 2+b
2=1
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。
)
x 2y 2y 2x 2
双曲线：焦点在x 轴上时：2-2=1 焦点在y 轴上时：2-2=1
a b a b
注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。 抛物线的标准方程：
（1）已知
方程
x 2y 2
+=13+k 2-k
表示
椭圆，则
k
的取
值范围为____
（2）已知方程
x 2y 2
-=1m +2m +1
表示双曲线，求
m 取值范围。
x 2y 2
（3）已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )
m -12-m
（4）抛物线y 2＝mx(m≠0) 的焦准距p 为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．
三、椭圆与双曲线的性质分析
分类 椭圆
双曲线
对称性
关于x 轴和y 轴对称，
也关于原点对称 关于x 轴和y 轴对称， 也关于原点对称
顶点
A 1(-a , 0) B 1(0, -b )
A 2(a , 0) B 2(0, b ) c a
A 1(-a , 0) ，A 2(a , 0)
离心率
e =e =
c a
焦点坐标
F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) b x a
渐近线
无
y =±
抛物线几何性质：
x 2y 2（1）椭圆若椭圆，则m 的值是__ +=1的离心率e =
5m 5
（2）双曲线的渐近线方程是3x ±2y =0，则该双曲线的离心率等于______ （3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为__
x 2y 2
（4）设双曲线2-2=1（a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的
a b
取值范围是________
(5)设a ≠0, a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为________
x 2y 2（6）双曲线的离心率等于，且与椭圆+=1有公共焦点，则该双曲线的方程_____
942
（7）设中心在坐标原点O ，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率e =
2的双曲线C 过点
P (4, -) ，则C 的方程为_______
（8）已知抛物线方程为y 2=8x ，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（9）抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______
x 2y 2
四、点P (x 0, y 0) 和椭圆2+2=1（a >b >0）的关系：
a b
22
x 0y 0
+2=1⇒p 点在椭圆上。 2a b 22x 0y 0
+2
+>1⇒p 点在椭圆外。 a 2b 2
对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。
五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a. 直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法) ，也可以利用方程实
根的个数来判断(解析法).
b. 直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 c. 直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
(2).a.
求弦长。公式：弦长l =1-
x 2=
其中k 为直线的斜率，(x 1, y 1),(x 2, y 2) 是两交点坐标．
b. 求弦所在的直线方程 c. 根据其它条件求圆锥曲线方程
(3).已知一点A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，且中点为A ，求P 、Q 所在的直线方程（点差法）
(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______
x 2y 2
+=1恒有公共点，则m 的取值范围是______ （2）直线y―kx―1=0与椭圆
5m x 2y 2
-=1的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB︱＝4，则这（3）过双曲线12
样的直线有_____条.
x 2y 2
（4）过双曲线2-2＝1外一点P (x 0, y 0) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如
a b
下：
（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
（6）过点(2, 4) 作直线与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，这样的直线有__
x 2y 2
（7）过点(0,2)与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______
916
y 2
（8）过双曲线x -=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB =4，则满足
2
2
条件的直线l 有__条
（9）对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足y 0
（10）过抛物线y 2=4x 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
2
11
+=_______ p q
（11）求椭圆7x 2+4y 2=28上的点到直线3x -2y -16=0的最短距离 （12）直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点。
①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？ ②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？ 1、求弦长问题：：
（1）过抛物线y 2=4x的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x2=6，那么|AB|等于_______
（2）过抛物线y 2=2x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______
2、圆锥曲线的中点弦问题：
x 2y 2
+=1弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （1）如果椭圆
369x 2y 2
（2）已知直线y=－x+1与椭圆2+2=1(a >b >0) 相交于A 、B 两点，且线段
a b
AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______
x 2y 2
（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆+=1上有不同的两点关于直线
43
y =4x +m 对称
特别提醒3、直线恒过定点问题：
（1）A 、B 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点） 求证：直线AB 经过一个定点； （2）抛物线y 2＝2px （p ＞0）上有两个动点A 、B 及一定点M （p 2p ），F 为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB 的垂直平分线过定点。
4、焦点三角形问题： （1）短轴长为，离心率e =
例3图
2
的椭圆的两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆3
于A 、B 两点，则∆ABF 2的周长为________
（2）设P 是等轴双曲线x 2-y 2=a 2(a >0) 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若
PF 2⋅F 1F 2=0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为
（3）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝
6
，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直2
线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且是AF 2与BF 2等差中项，则AB ＝_______
（4）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
∠F 1PF 2=60 ，S ∆PF 1F 2=3．求该双曲线的标准方程。
5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
p
若抛物线的方程为y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F （ ，0）的直线交抛物线与
2A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，则
p 22
(1) y 1y 2＝－p ；x 1x 2＝；
4(2)| AB|＝x 1＋x 2＋p ；通径=2P
112(3) ； |AF||BF|p
(4) 过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为A /、B /，F 抛物线的焦点，则∠A /FB /＝900； (5) 以弦AB 为直径的圆与准线相切。
(6) 设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p，0)
p p
证明：(1)当直线过焦点且垂直于x 轴时，A （，p ）、B ，－p ），因此y 1y 2＝－p 2
22
成立； 当直线过焦点且不与x 轴垂直时，显然直线的斜率k ≠0，直线AB 的方程为：
p y p y p
y ＝k （x －）；由此的x ＋ ；把x ＝＋ 代入y 2＝2px 消去x 得：
2k 2k 2
ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2
∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点都在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上， ∴y 12＝2px 1，y 22＝2px 2；两式相乘得(y1y 2) 2＝2px 1·2px 2 ∴p 4＝4p 2x 1x 2；
p 2
从而x 1x 2＝
4p
(2)过A 、B 两点作准线x ＝－ 的垂线，垂足分别为A /、B /，
2p p
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x 1＋ ＋x 2＝x 1＋x 2＋p
22 (3)∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）∴
1111 |AF||BF|p p
x 1＋ x 2＋22
⑥题
x 1＋x 2＋p x 1＋x 2＋p
＝ ＝p p p p p x 1x 2＋(x1＋x 2) ＋＋(x＋x 2)
244214＝
x 1＋x 2＋p 2
p p 1＋x 2＋p) 2
(4)过A 、B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为A /、B /， 由于点A 、B 是抛物线上的点，F 是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/|
∴∠B /BF ＝1800－2∠B /FB ，∠A /AF ＝1800－2∠A /FA
由∵AA /∥BB / ∴∠B /BF ＋∠A /AF ＝1800 即：1800－2∠B /FB ＋1800－2∠A /FA ＝1800
//0∴∠B FB ＋∠A FA ＝90
（5） N 为线段AB 的中点，过A 、B 、N 分别作准线的垂线，
///
垂足分别为A 、B 、N ， |AA/|＋|BB/|/
∵N 为线段AB 的中点，则|NN|＝
2|AF|＋|BF||AB| ＝
22
∴以AB 为直径的圆与准线相切。
（6）设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p，0) 六．你了解下列结论吗？
⑦题图n x y
x 即±=0m 2m n 2x y
2-2=λ(λ≠0)
m n
λ>0时表示焦点在x 轴上的双曲线；λ
共渐近线的双曲线系：
(1)渐近线方程为：y =±
x 2y 2
(2)与双曲线2-2=1有相同的渐近线的
a b
x 2y 2
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线，且过点(-3, 2) 的双曲线方程为_______
916
(2) 中心在原点，一个焦点为(3，0) ，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是
--------
七、圆锥曲线中的最值问题
（1）如图所示，若A （3，2），F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，求|PF|＋|PA|
的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。
变式：若A （3，5）呢？
（2）. 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求此时AB 中点M 的坐标。
（3）若x , y ∈R ，且3x 2+2y 2=6，则x +y 的最大值是___，x 2+y 2的最小值是
例8图
（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__
八．动点轨迹方程问题：
1、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1．点M 与定点F (0,2)的距离和它到定直线y =8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
变式：已知动点P 到定点F(1,0)和直线x =3的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
2、待定系数法：
已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。 例2、 已知椭圆的焦点坐标为准方程。
变式：抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。
3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
和，且经过点，求椭圆的标
例3、求与圆(x -3) 2+y 2=1及(x +3) 2+y 2=9都外切的动圆圆心的轨迹方程 解：设动圆的半径为r ，则由动圆与定圆都外切得
MF 1=3+r , MF 2=1+r ，
又因为MF 1-MF 2=(3+r ) -(1+r ) =2， 由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支
x 2y 2
-=1(x ≥1) 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18
变式：（1）、一动圆与圆x 2+y 2+6x +5=0外切，同时与圆x 2+y 2-6x -91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
（2 、 已知∆ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使
1
sin B -sin C =sin A ，求点A 的轨迹
2
分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时
1
B (-6, 0), C (6, 0) ，由sin B -sin C =sin A 得
2
1
b -c =a =6, 即|AC |-|AB |=6 所以，点A 的轨迹是以B (-6, 0), C (6, 0) 为焦点，
2
x 2y 2
-=1(x
927
（3）．动点到点(3，0) 的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线
解析：由题意可知，动点到点(3，0) 的距离等于它到直线x ＝－3的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线．答案：D 4、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标x , y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
x 2y 2
例4：点A 位于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上，F 1, F 2是它的两个焦点，求∆AF 1F 2
a b
的重心G 的轨迹方程
分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件
解：设∆AF 1F 2的重心G 的坐标为(x , y ) ，则点A 的坐标为(3x , 3y )
x 2y 2
因为点A 位于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上，从而有
a b
x 2y 2(3x ) 2(3y ) 2
-=1(y ≠0) -2=1(y ≠0) ，即2
a b a b
() 2() 233
x 2y 2
-=1(y ≠0) 所以，∆AF 1F 2的重心G 的轨迹方程为a 2b 2
() () 33
变式：如图，从双曲线C :x 2-y 2=1上一点Q 引直线
l :x +y =2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
解：设P (x , y ) ，Q(x 1, y 1) ，则N (2x -x 1, 2y -y 1) . N 在直线l
∴2x -x 1+2y -y 1=2. ① 又PN ⊥l 得
y -y 1
=1, 即x -y +y 1-x 1=0. ②
x -x 1
3x +y -2⎧x =3x +y -223y +x -22⎪1
2C ∴() -() =1，联解①②得⎪. 又点在双曲线上，Q ⎨22⎪y =3y +x -2
1⎪2⎩
化简整理得：2x -2y -2x +2y -1=0，此即动点P 的轨迹方程.
5、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x , y 间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x , y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y =2px （p >0）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设M (x , y ) ，直线OA 的斜率为k (k ≠0) ，则直线OB 的斜率为-
22
2
1
. 直线OA 的k
x =2⎧y =kx ⎪⎪k ，即A (2p , 2p ) ，同理可得B (2pk 2, -2pk ) . 方程为y =kx ，由⎨2解得⎨2
k k 2p ⎩y =2px ⎪y =
⎪⎩
k
⎧2p
⎧
x =⎪⎪由中点坐标公式，得⎨⎪y =⎪⎩p 2
+pk
2k 2
，消去k ，得y =p (x -2p ) ，此即点M 的轨迹方程.
p
-pk k
6、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的
联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x 2y 2
例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线2-2=1于
a b M 、N 两点，A 1, A 2为双曲线的左、右顶点，求直线A 1M 与
A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
解：设P (x , y ) 及M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1) ，又A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ，可得 直线A 1M 的方程为y =
y 1-y 1
(x +a ) ①；直线A 2N 的方程为y =(x -a ) ②. x 1+a x 1+a
222
x y -y b 2222222111
-=1, ∴-y =(a -x ①×②得y =2③. 又代入③得(x -a ) 11) ，2222
a b a x 1-a
b 22x 2y 22
y =-2(x -a ) ，化简得2+2=1，此即点P 的轨迹方程. 当a =b 时，点P 的轨
a a b
2
迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当a ≠b 时，点P 的轨迹是椭圆.
练习：
(1)与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
(2)线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）(m >0) ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
(3)由动点P 向圆x +y =1作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为2
2
（4）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线l ：x +5=0的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ (5) 一动圆与两圆⊙M ：x +y =1和⊙N ：x +y -8x +12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为
−−→
2222
(6)动点P 是抛物线y =2x 2+1上任一点，定点为A (0, -1) , 点M 分PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________
（7）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使|OP |=|MN |，求点P 的轨迹。
（8）若点P (x 1, y 1) 在圆x 2+y 2=1上运动，则点Q (x 1y 1, x 1+y 1) 的轨迹方程是____ （9）过抛物线x 2=4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________
x 2y 2
（10）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），
a b
Q 是椭圆外的动点，满足|F 1|=2a . 点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足PT ⋅TF 2=0, |TF 2|≠0.
（1）设x 为点P 的横坐标，证明|F 1|=a +
（2）求点T 的轨迹C 的方程；
（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=b 2. 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.
c
x ； a
圆锥曲线知识点小结
圆锥曲线在高考中的地位：
圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。 (3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：+ y 2 =
1. 如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线
段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x = -3于点D （-3，m ）.
（1）求m 2 + k 2的最小值；
2
（2）若∣OG ∣=∣OD ∣·∣OE ∣, ① 求证：直线l 过定点；
② 试问点B 、G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.
（理22）已知动直线l 与椭圆C ：+ = 1相交于P （x 1，y 1），Q （x 2，
y 2）两个不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ =，其中O 为坐标原点．
（1）证明：+ 和+ 均为定值；
（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；
（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G，使得S △ODE = S△ODG = S△OEG =若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
？
(2009年山东卷) 设m ∈R, 在平面直角坐标系中, 已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a
⊥b , 动点M(x,y)的轨迹为E.
（1）求轨迹E 的方程, 并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B, 且OA⊥OB(O为坐标原点), 并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x2+y2=R2(1
椭圆：平面内与两个定点
这两个定点数学语言
：常数2a=常数2a
，轨迹是线段，轨迹不存在；
；
的距离之和等于定长（大于
）的点的轨迹叫做椭圆。
叫做椭圆的焦点，两焦点的距离
叫做椭圆的焦距。
双曲线：平面内与两个F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F 2）的点的轨迹叫做
双曲线。这两个定点
叫做双曲线的焦点，两焦点的距离
叫做双曲线的焦距。
数学语言： MF 1-MF 2=2a （2a
，轨迹是两条射线； ，轨迹不存在；
常数2a=0,轨迹是F 1F 2的中垂线。
抛物线
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛
物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．（注：F 不在l 上）
当F 在l 上时是过F 点且垂直于l 的一条直线。
定义中要重视“括号”内的限制条件
(1)定点F 1(-3, 0), F 2(3, 0) ，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中，是椭圆的是( A ．PF 1+PF 2=4 B ．PF 1+PF 2=6 C ．PF 1+PF D ．PF 2
2=10
1
+PF 2
2
=12
（2）
8表示的曲线是____
二、圆锥曲线的标准方程
x 2y 2y 2x 2
椭圆：焦点在x 轴上时： a 2+b 2=1 焦点在y 轴上时：a 2+b
2=1
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。
)
x 2y 2y 2x 2
双曲线：焦点在x 轴上时：2-2=1 焦点在y 轴上时：2-2=1
a b a b
注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。 抛物线的标准方程：
（1）已知
方程
x 2y 2
+=13+k 2-k
表示
椭圆，则
k
的取
值范围为____
（2）已知方程
x 2y 2
-=1m +2m +1
表示双曲线，求
m 取值范围。
x 2y 2
（3）已知方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )
m -12-m
（4）抛物线y 2＝mx(m≠0) 的焦准距p 为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．
三、椭圆与双曲线的性质分析
分类 椭圆
双曲线
对称性
关于x 轴和y 轴对称，
也关于原点对称 关于x 轴和y 轴对称， 也关于原点对称
顶点
A 1(-a , 0) B 1(0, -b )
A 2(a , 0) B 2(0, b ) c a
A 1(-a , 0) ，A 2(a , 0)
离心率
e =e =
c a
焦点坐标
F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) F 1(-c , 0) ，F 2(c , 0) b x a
渐近线
无
y =±
抛物线几何性质：
x 2y 2（1）椭圆若椭圆，则m 的值是__ +=1的离心率e =
5m 5
（2）双曲线的渐近线方程是3x ±2y =0，则该双曲线的离心率等于______ （3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为__
x 2y 2
（4）设双曲线2-2=1（a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的
a b
取值范围是________
(5)设a ≠0, a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为________
x 2y 2（6）双曲线的离心率等于，且与椭圆+=1有公共焦点，则该双曲线的方程_____
942
（7）设中心在坐标原点O ，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率e =
2的双曲线C 过点
P (4, -) ，则C 的方程为_______
（8）已知抛物线方程为y 2=8x ，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（9）抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______
x 2y 2
四、点P (x 0, y 0) 和椭圆2+2=1（a >b >0）的关系：
a b
22
x 0y 0
+2=1⇒p 点在椭圆上。 2a b 22x 0y 0
+2
+>1⇒p 点在椭圆外。 a 2b 2
对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。
五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a. 直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法) ，也可以利用方程实
根的个数来判断(解析法).
b. 直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 c. 直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
(2).a.
求弦长。公式：弦长l =1-
x 2=
其中k 为直线的斜率，(x 1, y 1),(x 2, y 2) 是两交点坐标．
b. 求弦所在的直线方程 c. 根据其它条件求圆锥曲线方程
(3).已知一点A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，且中点为A ，求P 、Q 所在的直线方程（点差法）
(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______
x 2y 2
+=1恒有公共点，则m 的取值范围是______ （2）直线y―kx―1=0与椭圆
5m x 2y 2
-=1的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB︱＝4，则这（3）过双曲线12
样的直线有_____条.
x 2y 2
（4）过双曲线2-2＝1外一点P (x 0, y 0) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如
a b
下：
（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
（6）过点(2, 4) 作直线与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，这样的直线有__
x 2y 2
（7）过点(0,2)与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______
916
y 2
（8）过双曲线x -=1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB =4，则满足
2
2
条件的直线l 有__条
（9）对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足y 0
（10）过抛物线y 2=4x 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
2
11
+=_______ p q
（11）求椭圆7x 2+4y 2=28上的点到直线3x -2y -16=0的最短距离 （12）直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点。
①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？ ②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？ 1、求弦长问题：：
（1）过抛物线y 2=4x的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x2=6，那么|AB|等于_______
（2）过抛物线y 2=2x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______
2、圆锥曲线的中点弦问题：
x 2y 2
+=1弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （1）如果椭圆
369x 2y 2
（2）已知直线y=－x+1与椭圆2+2=1(a >b >0) 相交于A 、B 两点，且线段
a b
AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______
x 2y 2
（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆+=1上有不同的两点关于直线
43
y =4x +m 对称
特别提醒3、直线恒过定点问题：
（1）A 、B 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点） 求证：直线AB 经过一个定点； （2）抛物线y 2＝2px （p ＞0）上有两个动点A 、B 及一定点M （p 2p ），F 为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB 的垂直平分线过定点。
4、焦点三角形问题： （1）短轴长为，离心率e =
例3图
2
的椭圆的两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆3
于A 、B 两点，则∆ABF 2的周长为________
（2）设P 是等轴双曲线x 2-y 2=a 2(a >0) 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若
PF 2⋅F 1F 2=0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为
（3）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝
6
，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直2
线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且是AF 2与BF 2等差中项，则AB ＝_______
（4）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
∠F 1PF 2=60 ，S ∆PF 1F 2=3．求该双曲线的标准方程。
5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
p
若抛物线的方程为y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点F （ ，0）的直线交抛物线与
2A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，则
p 22
(1) y 1y 2＝－p ；x 1x 2＝；
4(2)| AB|＝x 1＋x 2＋p ；通径=2P
112(3) ； |AF||BF|p
(4) 过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为A /、B /，F 抛物线的焦点，则∠A /FB /＝900； (5) 以弦AB 为直径的圆与准线相切。
(6) 设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p，0)
p p
证明：(1)当直线过焦点且垂直于x 轴时，A （，p ）、B ，－p ），因此y 1y 2＝－p 2
22
成立； 当直线过焦点且不与x 轴垂直时，显然直线的斜率k ≠0，直线AB 的方程为：
p y p y p
y ＝k （x －）；由此的x ＋ ；把x ＝＋ 代入y 2＝2px 消去x 得：
2k 2k 2
ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2
∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点都在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上， ∴y 12＝2px 1，y 22＝2px 2；两式相乘得(y1y 2) 2＝2px 1·2px 2 ∴p 4＝4p 2x 1x 2；
p 2
从而x 1x 2＝
4p
(2)过A 、B 两点作准线x ＝－ 的垂线，垂足分别为A /、B /，
2p p
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x 1＋ ＋x 2＝x 1＋x 2＋p
22 (3)∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）∴
1111 |AF||BF|p p
x 1＋ x 2＋22
⑥题
x 1＋x 2＋p x 1＋x 2＋p
＝ ＝p p p p p x 1x 2＋(x1＋x 2) ＋＋(x＋x 2)
244214＝
x 1＋x 2＋p 2
p p 1＋x 2＋p) 2
(4)过A 、B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为A /、B /， 由于点A 、B 是抛物线上的点，F 是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/|
∴∠B /BF ＝1800－2∠B /FB ，∠A /AF ＝1800－2∠A /FA
由∵AA /∥BB / ∴∠B /BF ＋∠A /AF ＝1800 即：1800－2∠B /FB ＋1800－2∠A /FA ＝1800
//0∴∠B FB ＋∠A FA ＝90
（5） N 为线段AB 的中点，过A 、B 、N 分别作准线的垂线，
///
垂足分别为A 、B 、N ， |AA/|＋|BB/|/
∵N 为线段AB 的中点，则|NN|＝
2|AF|＋|BF||AB| ＝
22
∴以AB 为直径的圆与准线相切。
（6）设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p，0) 六．你了解下列结论吗？
⑦题图n x y
x 即±=0m 2m n 2x y
2-2=λ(λ≠0)
m n
λ>0时表示焦点在x 轴上的双曲线；λ
共渐近线的双曲线系：
(1)渐近线方程为：y =±
x 2y 2
(2)与双曲线2-2=1有相同的渐近线的
a b
x 2y 2
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线，且过点(-3, 2) 的双曲线方程为_______
916
(2) 中心在原点，一个焦点为(3，0) ，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是
--------
七、圆锥曲线中的最值问题
（1）如图所示，若A （3，2），F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，求|PF|＋|PA|
的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。
变式：若A （3，5）呢？
（2）. 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求此时AB 中点M 的坐标。
（3）若x , y ∈R ，且3x 2+2y 2=6，则x +y 的最大值是___，x 2+y 2的最小值是
例8图
（4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__
八．动点轨迹方程问题：
1、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1．点M 与定点F (0,2)的距离和它到定直线y =8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
变式：已知动点P 到定点F(1,0)和直线x =3的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
2、待定系数法：
已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。 例2、 已知椭圆的焦点坐标为准方程。
变式：抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。
3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
和，且经过点，求椭圆的标
例3、求与圆(x -3) 2+y 2=1及(x +3) 2+y 2=9都外切的动圆圆心的轨迹方程 解：设动圆的半径为r ，则由动圆与定圆都外切得
MF 1=3+r , MF 2=1+r ，
又因为MF 1-MF 2=(3+r ) -(1+r ) =2， 由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支
x 2y 2
-=1(x ≥1) 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18
变式：（1）、一动圆与圆x 2+y 2+6x +5=0外切，同时与圆x 2+y 2-6x -91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
（2 、 已知∆ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使
1
sin B -sin C =sin A ，求点A 的轨迹
2
分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件
解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时
1
B (-6, 0), C (6, 0) ，由sin B -sin C =sin A 得
2
1
b -c =a =6, 即|AC |-|AB |=6 所以，点A 的轨迹是以B (-6, 0), C (6, 0) 为焦点，
2
x 2y 2
-=1(x
927
（3）．动点到点(3，0) 的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线
解析：由题意可知，动点到点(3，0) 的距离等于它到直线x ＝－3的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线．答案：D 4、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标x , y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
x 2y 2
例4：点A 位于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上，F 1, F 2是它的两个焦点，求∆AF 1F 2
a b
的重心G 的轨迹方程
分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件
解：设∆AF 1F 2的重心G 的坐标为(x , y ) ，则点A 的坐标为(3x , 3y )
x 2y 2
因为点A 位于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上，从而有
a b
x 2y 2(3x ) 2(3y ) 2
-=1(y ≠0) -2=1(y ≠0) ，即2
a b a b
() 2() 233
x 2y 2
-=1(y ≠0) 所以，∆AF 1F 2的重心G 的轨迹方程为a 2b 2
() () 33
变式：如图，从双曲线C :x 2-y 2=1上一点Q 引直线
l :x +y =2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
解：设P (x , y ) ，Q(x 1, y 1) ，则N (2x -x 1, 2y -y 1) . N 在直线l
∴2x -x 1+2y -y 1=2. ① 又PN ⊥l 得
y -y 1
=1, 即x -y +y 1-x 1=0. ②
x -x 1
3x +y -2⎧x =3x +y -223y +x -22⎪1
2C ∴() -() =1，联解①②得⎪. 又点在双曲线上，Q ⎨22⎪y =3y +x -2
1⎪2⎩
化简整理得：2x -2y -2x +2y -1=0，此即动点P 的轨迹方程.
5、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x , y 间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x , y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y =2px （p >0）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设M (x , y ) ，直线OA 的斜率为k (k ≠0) ，则直线OB 的斜率为-
22
2
1
. 直线OA 的k
x =2⎧y =kx ⎪⎪k ，即A (2p , 2p ) ，同理可得B (2pk 2, -2pk ) . 方程为y =kx ，由⎨2解得⎨2
k k 2p ⎩y =2px ⎪y =
⎪⎩
k
⎧2p
⎧
x =⎪⎪由中点坐标公式，得⎨⎪y =⎪⎩p 2
+pk
2k 2
，消去k ，得y =p (x -2p ) ，此即点M 的轨迹方程.
p
-pk k
6、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的
联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x 2y 2
例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线2-2=1于
a b M 、N 两点，A 1, A 2为双曲线的左、右顶点，求直线A 1M 与
A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
解：设P (x , y ) 及M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1) ，又A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ，可得 直线A 1M 的方程为y =
y 1-y 1
(x +a ) ①；直线A 2N 的方程为y =(x -a ) ②. x 1+a x 1+a
222
x y -y b 2222222111
-=1, ∴-y =(a -x ①×②得y =2③. 又代入③得(x -a ) 11) ，2222
a b a x 1-a
b 22x 2y 22
y =-2(x -a ) ，化简得2+2=1，此即点P 的轨迹方程. 当a =b 时，点P 的轨
a a b
2
迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当a ≠b 时，点P 的轨迹是椭圆.
练习：
(1)与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
(2)线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）(m >0) ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
(3)由动点P 向圆x +y =1作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为2
2
（4）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线l ：x +5=0的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ (5) 一动圆与两圆⊙M ：x +y =1和⊙N ：x +y -8x +12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为
−−→
2222
(6)动点P 是抛物线y =2x 2+1上任一点，定点为A (0, -1) , 点M 分PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________
（7）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使|OP |=|MN |，求点P 的轨迹。
（8）若点P (x 1, y 1) 在圆x 2+y 2=1上运动，则点Q (x 1y 1, x 1+y 1) 的轨迹方程是____ （9）过抛物线x 2=4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________
x 2y 2
（10）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），
a b
Q 是椭圆外的动点，满足|F 1|=2a . 点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足PT ⋅TF 2=0, |TF 2|≠0.
（1）设x 为点P 的横坐标，证明|F 1|=a +
（2）求点T 的轨迹C 的方程；
（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=b 2. 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.
c
x ； a