三角函数常用公式及用法
珠海市金海岸中学 唐云辉
1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法：
S={β|β=α+k ⋅3600, k ∈Z }，或者S ={β|β=α+2k π, k ∈Z } 用法：用来将任意角转化到0～2π的范围以便于计算。 公式中k 的求法：
如是正角就直接除以360或2π，得到的整数就是我们如果是要求的k ，剩余的角就是公式中的α；负角，就先取绝对值然后再去除以360或者2π，得到的整数加1后再取相反数就是上述公式中的k, α等于360或者2π减去剩余的角的值。 2、L 弧长=0
11n π⋅R nπR
S 扇=L R=R 2= 18022360
2
用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。 3. 三角形面积公式：S ⊿=
1111abc 2
a ⋅h a =ab sin C =bc sin A =ac sin B ==2Rsin A sin B sin C 22224R
a 2sin B sin C b 2sin A sin C c 2sin A sin B
====pr=p (p -a )(p -b )(p -c )
2sin A 2sin B 2sin C
(其中p =
1
(a +b +c ) , r为三角形内切圆半径) 2
y sin θ= x cos θ
4．同角关系：
（1）、商的关系：①tan θ=
用法：一般用来计算三角函数的值。 （2）、平方关系：sin θ+cos θ=1
22用法：凡是见了sin α±cos α=m 或者sin αcos α±sin α±cos α的形式题目都可以用上述平方关系进22行运算，遇到sin α±cos α=m 就先平方而后再运算，遇到sin αcos α±sin α±cos α这类题目就联想
2
2
2
2
到分母为“1”=sin α+cos α进行运算即可。 （3）、辅助角公式：a sin θ±b cos θ=
a 2+b 2sin(θ±ϕ) （其中a>0,b>0，且tan ϕ=
b
） a
用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。 5、函数y=A sin(ω⋅x +ϕ) +k 的图象及性质：（ω>0, A >0） 振幅A ，周期T=
12π
, 频率f=, 相位ω⋅x +ϕ，初相ϕ ωT
求取上上述公式中参数的方法：
A= k=
ω的求法：
6、五点作图法：令ωx +ϕ依次为0
π
2
, π,
3π
, 2π 求出x 与y ，依点(x , y )作图 2
7、函数y =sin x ，y =cosx , y =tanx 的相关性质
2、这些都是标准三角函数的性质，其它扩展性的三角函数性质与这些标准函数是一样的，
只是变量有所变化而已，在解题时我们必须把非标准函数的变量整体代入标准函数的相关性质求解，所得到的就是我们所要求解函数的结论。
8、诱导公式
⎧sin α, k =4m , m ∈Z ; ⎛
⎪cos α, k =4m +1, m ∈Z ;
ππ⎪
①、sin(∙k +α) =⎨ c o ⋅k +α）=
22⎪-sin α, k =4m +2, m ∈Z ;
⎪⎝⎩-cos α, k =4m +3, m ∈Z .
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。本公式中关键在于看公式中的k, 如果是奇数则三角函数名称要改变，而后再根据角所处象限去判断取值的符号；如果是偶数则函数名称不变，符号根据终边所处象限位置决定。其余两组公式也是一个规则，试着写出另外两组公式的变化表。
②、六组诱导公式的用法：
2k π+α) =tan α 公式一：sin(2k π+α) =sin α cos(2k π+α) =cos α tan(
作用：将任意大于2π的正角转化成0～2π这个范围的角。
π+α) = 公式二：sin(π+α) = cos(π+α) = tan(
作用：将由公式一转化到0～2π这个范围内的角转化成锐角0～
π
这个范围. 2
-α) = 公式三： sin(-α) = cos(-α) = tan(
作用：将任意负角转化成正角，再根据公式一转化成0～2π这个范围的角。
π-α) = 公式四：sin(π-α) = cos(π-α) = tan(
作用：将由公式一转化到0～2π这个范围内的角转化成锐角0～
π
这个范围. 2
公式五：sin(
公式六： sin(
π
2
-α) = cos(
π
2
-α) = +α) =
π
2
+α) = cos(
π
2
作用：这两组公式的作用就是在前四组公式化简的基础上，将函数化成异名三角函数进行求值。
9．二倍角公式：(含万能公式) ①sin 2θ=2sin θcos θ=
2
2
2tan θ
2
1+tan θ
2
2
1-tan 2θ
②cos 2θ=cos θ-sin θ=2cos θ-1=1-2sin θ= 2
1+tan θ
2tan θ1+cos 2θtan 2θ1-cos 2θ22
cos θ=sin θ==③tan 2θ= ④ ⑤
21-tan 2θ21+tan 2θ
10、三角函数的图像变化方法
平移口诀：左上加、右下减；左右x 、上下y ；ω小伸长大缩短，A 值变化与ω反。 理解口诀： 变化模式：
一般地, 函数y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0),x∈R 的图象可以看作是由y=sinx通过下面变化得到的:
模式一：（先平移后伸缩，即先平移而后再变换周期）
1. 先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ
2. 再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0
3. 再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00）或者向下(k
1、先把y=sinx的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0
2、再把所得图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ
φ
|个单位; ω
3. 再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00）或者向下(k
a b c
===2R (R 为三角形外接圆半径。 ）s i n A s i n B s i n C
②、正弦定理变式：a :b :c =sin A :sin B :sin C ③、正弦定理的应用范围
A 、 已知两角与一边，求其他两边与一角；
B 、 已知两边与其中一边对角，求其他两角与一边，但是要注意角的个数； C、 判断三角形形状； D、 求三角形的面积：S ∆ABC =（2）、余弦定理 ①、边式余弦定理
a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=a 2+b -2ab cos A ②、角式余弦定理
c 2+b 2-a 2a 2+c 2-b 2b 2+a 2-c 2
cos A = cos B = cos C =
2bc 2ac 2ab
111
ab sin C =ac sin B =bc sin A 222
③、余弦定理的应用范围
A 、 已知两边与其夹角，求其他两角与一边； B 、 已知三边，求三角；
C、 判断三角形形状；
三角函数常用公式及用法
珠海市金海岸中学 唐云辉
1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法：
S={β|β=α+k ⋅3600, k ∈Z }，或者S ={β|β=α+2k π, k ∈Z } 用法：用来将任意角转化到0～2π的范围以便于计算。 公式中k 的求法：
如是正角就直接除以360或2π，得到的整数就是我们如果是要求的k ，剩余的角就是公式中的α；负角，就先取绝对值然后再去除以360或者2π，得到的整数加1后再取相反数就是上述公式中的k, α等于360或者2π减去剩余的角的值。 2、L 弧长=0
11n π⋅R nπR
S 扇=L R=R 2= 18022360
2
用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。 3. 三角形面积公式：S ⊿=
1111abc 2
a ⋅h a =ab sin C =bc sin A =ac sin B ==2Rsin A sin B sin C 22224R
a 2sin B sin C b 2sin A sin C c 2sin A sin B
====pr=p (p -a )(p -b )(p -c )
2sin A 2sin B 2sin C
(其中p =
1
(a +b +c ) , r为三角形内切圆半径) 2
y sin θ= x cos θ
4．同角关系：
（1）、商的关系：①tan θ=
用法：一般用来计算三角函数的值。 （2）、平方关系：sin θ+cos θ=1
22用法：凡是见了sin α±cos α=m 或者sin αcos α±sin α±cos α的形式题目都可以用上述平方关系进22行运算，遇到sin α±cos α=m 就先平方而后再运算，遇到sin αcos α±sin α±cos α这类题目就联想
2
2
2
2
到分母为“1”=sin α+cos α进行运算即可。 （3）、辅助角公式：a sin θ±b cos θ=
a 2+b 2sin(θ±ϕ) （其中a>0,b>0，且tan ϕ=
b
） a
用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。 5、函数y=A sin(ω⋅x +ϕ) +k 的图象及性质：（ω>0, A >0） 振幅A ，周期T=
12π
, 频率f=, 相位ω⋅x +ϕ，初相ϕ ωT
求取上上述公式中参数的方法：
A= k=
ω的求法：
6、五点作图法：令ωx +ϕ依次为0
π
2
, π,
3π
, 2π 求出x 与y ，依点(x , y )作图 2
7、函数y =sin x ，y =cosx , y =tanx 的相关性质
2、这些都是标准三角函数的性质，其它扩展性的三角函数性质与这些标准函数是一样的，
只是变量有所变化而已，在解题时我们必须把非标准函数的变量整体代入标准函数的相关性质求解，所得到的就是我们所要求解函数的结论。
8、诱导公式
⎧sin α, k =4m , m ∈Z ; ⎛
⎪cos α, k =4m +1, m ∈Z ;
ππ⎪
①、sin(∙k +α) =⎨ c o ⋅k +α）=
22⎪-sin α, k =4m +2, m ∈Z ;
⎪⎝⎩-cos α, k =4m +3, m ∈Z .
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。本公式中关键在于看公式中的k, 如果是奇数则三角函数名称要改变，而后再根据角所处象限去判断取值的符号；如果是偶数则函数名称不变，符号根据终边所处象限位置决定。其余两组公式也是一个规则，试着写出另外两组公式的变化表。
②、六组诱导公式的用法：
2k π+α) =tan α 公式一：sin(2k π+α) =sin α cos(2k π+α) =cos α tan(
作用：将任意大于2π的正角转化成0～2π这个范围的角。
π+α) = 公式二：sin(π+α) = cos(π+α) = tan(
作用：将由公式一转化到0～2π这个范围内的角转化成锐角0～
π
这个范围. 2
-α) = 公式三： sin(-α) = cos(-α) = tan(
作用：将任意负角转化成正角，再根据公式一转化成0～2π这个范围的角。
π-α) = 公式四：sin(π-α) = cos(π-α) = tan(
作用：将由公式一转化到0～2π这个范围内的角转化成锐角0～
π
这个范围. 2
公式五：sin(
公式六： sin(
π
2
-α) = cos(
π
2
-α) = +α) =
π
2
+α) = cos(
π
2
作用：这两组公式的作用就是在前四组公式化简的基础上，将函数化成异名三角函数进行求值。
9．二倍角公式：(含万能公式) ①sin 2θ=2sin θcos θ=
2
2
2tan θ
2
1+tan θ
2
2
1-tan 2θ
②cos 2θ=cos θ-sin θ=2cos θ-1=1-2sin θ= 2
1+tan θ
2tan θ1+cos 2θtan 2θ1-cos 2θ22
cos θ=sin θ==③tan 2θ= ④ ⑤
21-tan 2θ21+tan 2θ
10、三角函数的图像变化方法
平移口诀：左上加、右下减；左右x 、上下y ；ω小伸长大缩短，A 值变化与ω反。 理解口诀： 变化模式：
一般地, 函数y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0),x∈R 的图象可以看作是由y=sinx通过下面变化得到的:
模式一：（先平移后伸缩，即先平移而后再变换周期）
1. 先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ
2. 再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0
3. 再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00）或者向下(k
1、先把y=sinx的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0
2、再把所得图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ
φ
|个单位; ω
3. 再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00）或者向下(k
a b c
===2R (R 为三角形外接圆半径。 ）s i n A s i n B s i n C
②、正弦定理变式：a :b :c =sin A :sin B :sin C ③、正弦定理的应用范围
A 、 已知两角与一边，求其他两边与一角；
B 、 已知两边与其中一边对角，求其他两角与一边，但是要注意角的个数； C、 判断三角形形状； D、 求三角形的面积：S ∆ABC =（2）、余弦定理 ①、边式余弦定理
a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=a 2+b -2ab cos A ②、角式余弦定理
c 2+b 2-a 2a 2+c 2-b 2b 2+a 2-c 2
cos A = cos B = cos C =
2bc 2ac 2ab
111
ab sin C =ac sin B =bc sin A 222
③、余弦定理的应用范围
A 、 已知两边与其夹角，求其他两角与一边； B 、 已知三边，求三角；
C、 判断三角形形状；