2.1 对数与对数运算
1．对数的概念
一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1) ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ⇔x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N .
(2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．
(3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1) 具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则
利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．
(1)基本公式
①log a (MN ) ＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．
M
②log a log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数
N 的对数减去除数的对数．
③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R ) ，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3) 与log a (－4) 均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3) ＋log a (－4) ．
M ②防止出现以下错误：log a (M ±N ) ＝log a M ±log a N ，log a (M ·N ) ＝log a M ·log a N ，log a ＝
N log M
log a M n ＝(loga M ) n . log a N
3．对数换底公式
在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底
log N
公式：log b N (b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．
log c b
证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N . 两边取以c 为底的对数， log c N log c N
得x log c b ＝log c N . 所以x ＝，即log b N ＝log c b log c b
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．
由换底公式可推出下面两个常用公式：
1
(1)logb N ＝或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1) ；
log N b m
(2)logbn N m ＝b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R )
n
.
题型一 正确理解对数运算性质
对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )
①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.
A ．①与③ B ．②与④ C ．② D ．①、②、③、④
解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N . 例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .
在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C
点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．
题型二 对数运算性质的应用
求下列各式的值：
32
(1)2log32－log 3log 38－5log 53；
92
(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
3(3)
log 2·log 91log 5·log 74
3
分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．
解 (1)原式＝2log 32－(log332－log 39) ＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. 10
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg lg(2×10) ＋(lg2)2
2＝2lg(5×2) ＋(1－lg2)·(lg2＋1) ＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. 1
log 2·2log 73
log 2·log 925
(3)∵1174log 5·log 74－log 533lg2lg3
lg5lg73＝－.
lg31lg42lg53lg7
点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
题型三 对数换底公式的应用
计算：(log2125＋log 425＋log 85)(log52＋log 254＋log 1258) ．
分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．
解 方法一 原式＝
⎛log 253＋log 225log 25⎛log 52＋log 54log 58
log 24log 28⎝log 525log 5125⎝
2log 25log 25⎫⎛2log 523log 523log 25＋log 52＋＋＝⎛2log 223log 22⎭⎝2log 553log 55 ⎝
1
3＋1＋⎫log 25·＝⎛(3log52) 3⎭⎝
log 2＝13log 213.
log 25
lg125lg25lg5⎫lg2lg4lg8＋方法二 原式＝⎛lg4lg8⎭lg5lg25lg125 ⎝lg23lg52lg5lg5⎛lg22lg23lg2⎫
＝⎛⎝lg2＋2lg2＋3lg2⎝lg52lg5＋3lg5⎭ 13lg5⎫⎛lg2＝⎛⎝3lg2⎭⎝3lg5＝13.
点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底) ，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．
已知log (x ＋3) (x 2＋3x ) ＝1，求实数x 的值．
错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.
错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了． x ＋3x ＝x ＋3，⎧⎪2
正解 由对数的性质知⎨x ＋3x >0，
⎪⎩x ＋3>0且x ＋3≠1. 解得x ＝1，故实数x 的值为
1.
2
对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．
1．(上海高考) 方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1) ＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37.
答案 log 37
x ⎧⎪e ，x ≤0，⎛1⎫＝____. 2．(辽宁高考) 设g (x ) ＝⎨则g ⎛g ⎝⎝2⎭⎪⎩ln x ，x >0，
1⎫1⎛1＝eln 11 解析 g ⎛＝ln
⎛1⎫＝1. ∴g ⎛g ⎝⎝2⎭2
1
答案 2
1．对数式log (a －3) (7－a ) ＝b ，实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，7) B ．(3,7) C ．(3,4)∪(4,7) D ．(3，＋∞) 答案 C
a －3>0，⎧⎪
解析 由题意得⎨a －3≠1，
⎪⎩7－a >0，
解得3
2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a ) 2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 答案 A
解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log32＋1) ＝3a －2(a ＋1) ＝a －2.
3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( ) 1
A ．1 B ．lg5 C. D ．1＋lg2
lg5答案 C
lg6lg7lg8lg9lg10lg101
解析 原式＝＝lg5lg6lg7lg8lg9lg5lg5
4．已知log a (a 2＋1)
C. ⎛⎝21⎭ D ．(1，＋∞)
答案 C
⎧⎪0
解析 由题意，得⎨
⎪2a >1，⎩
1
∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)2
5．已知函数f (x ) ＝a x 1＋log a x (a >0，a ≠1) 在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值
－
( )
A ．4 B. 11
4 C ．3 D. 3答案 D
6．若方程(lgx ) 2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( A ．lg7·lg5 B ．lg35 C ．35 D. 1
35答案 D
解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5) ＝－lg35＝lg 1
35
∴α·β＝1
35
.
7．已知f (log12x ) ＝x ，则f ⎛⎝2⎫
⎭＝________. 答案
2
解析 令log 112212x ，∴f ⎛⎝2⎫⎭＝212x ＝，则22. 8．log (
2－1) (
2＋1) ＝________.
答案 －1 解析 (2＋2－1)
2－1
2＋1) ＝2－1
2－1
＝log 1
2－1)
2－1
＝－1. 9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06
解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，
而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－
2＋lg6.
∴lg x ＝lg(6×10－
2) ，即x ＝6×10－
2＝0.06.
10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ) ，求log x
y 的值；
(2)已知log 189＝a, 18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.
) 为
解 (1)lgx ＋lg y ＝2lg(x －2y ) ， ∴xy ＝(x －2y ) 2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y ) ＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ， x >0，⎧⎪
又∵⎨y >0，
⎪⎩x －2y >0，
∴x >2y >0，
∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .
x 4y lg4则log 2log 2log 24＝4.
y y lg 2(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， log 185b
∴log 365＝＝
lg 1836log 18(18×2) ＝
b b
181＋log 182
1＋log 18
9b b
1＋(1－log 189) 2－a
＝
111
11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，＋＝0，求abc 的值．
x y z 解 令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1) ， 111
则有log t a ，log t b log t c ，
x y z 111
又0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. x y z
12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2) －2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．
解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2) －2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2) －2lg a ＋1]＝0. 即lg(c 2－b 2) －2lg a ＝0，故c 2－b 2＝a 2， ∴a 2＋b 2＝c
2，∴△ABC 为直角三角形．
2．
2.1 对数与对数运算
(一)
学习目标
1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．了解常用对数与自然对数的意义． 3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．
自学导引
1．如果a (a >0且a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作a N
2．对数的性质有：(1)1 (2)底的对数为 (3)3．通常将以10e log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为.
4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝a >0且a ≠1)
.
一、对数式有意义的条件
例1 求下列各式中x 的取值范围：
(1)log2(x －10) ；(2)log(x －1) (x ＋2) ；(3)log(x ＋1) (x －1) 2.
分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组) ，解之即可． 解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．
⎧⎪x ＋2>0，
(2)由题意有⎨
⎪x －1>0且x －1≠1，⎩⎧⎪x >－2，
即⎨∴x >1且x ≠2. ⎪x >1且x ≠2，⎩
2
⎧⎪(x －1) >0，
(3)由题意有⎨
⎪x ＋1>0且x ＋1≠1，⎩
解得x >－1且x ≠0，x ≠1.
点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
变式迁移1 在b ＝log (a －2) (5－a ) 中，实数a 的取值范围是( )
A ．a >5或a 5－a >0⎧⎪
解析 由题意得⎨a －2>0
⎪⎩a －2≠1∴2
二、对数式与指数式的互化
例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： 1
(1)54＝625； (2)log8＝－3；
21－2(3)⎛⎝4＝16; (4)log101 000＝3. 分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4. 1⎫－31
(2)∵log 8＝－3，∴⎛⎝2⎭＝8. 21－21(3)∵⎛＝16，∴＝－2. ⎝44(4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.
点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．
变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值： 32(1)logx 27＝； (2)log2x ；
231
(3)log5(log2x ) ＝0; (4)x ＝log 27
91
(5)x ＝log 16.
2
332
解 (1)由log x 27＝，得x 27，∴x ＝32＝9.
223
，
2212
(2)由log 2x ＝－，得2－＝x ，∴x ＝3332
(3)由log 5(log2x ) ＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2. 11－
(4)由x ＝log 27x ＝，即33x ＝32，
992
∴x ＝－.
3
1⎫x 1－x 4
(5)由x ＝log ，得⎛＝16，即2＝2， 2⎝⎭2∴x ＝－4.
三、对数恒等式的应用
例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ，且不等于1，N >0)； 1
(2)429－log 25) ．
2
解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N ＝c log c N ＝N .
2log 99(2)原式＝2(log29－log 25) ＝.
2log 255
点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．
1
变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 3.
51111
解 原式＝5＋3log 35＋(3log3) 2552＝5＋
6＝
. 55
1．一般地，如果a (a >0，a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1) ．
＋
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－1313log 11
273＝－3
C ．log 11
32＝9与92＝3
D ．log 55＝1与51＝5 答案 C
2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1) 所对应的对数式是(
A ．log 6a ＝a B ．log 6b ＝a C ．log a b ＝6 D ．log b a ＝6 答案 D
3．若log x 5－2) ＝－1，则x 的值为( ) 5－2 5＋2
5－2或5＋2 D ．25 答案 B
4．如果f (10x ) ＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B
解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t ) ＝lg t ，f (3)＝lg3.
方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3. 5．21＋1
2·log 25的值等于( )
A ．2＋5 B ．25 C ．2＋
52 D ．1＋52
答案 B
解析 21＋111
2log 25＝2×225＝2×2log 252
)
1＝2×25.
2二、填空题
6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100
解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100. 7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m 答案 12
解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m n ＝a 2m ·a n ＝(a m ) 2·a n ＝22×3＝12.
＋
＋n
的值为________．
8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600
解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题
9．求下列各式中x 的值 (1)若log 3⎛
1－2x ⎫
⎝9⎭＝1，则求x 值；
(2)若log 2 003(x 2－1) ＝0，则求x 值． 解 (1)∵log 3⎛
1－2x 1－2x ＝1，∴3
9⎝9∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1) ＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝2
10．求x 的值：(1)x ＝log
2
4；(2)x ＝log 9；(3)x ＝71－log 75； 2
1
(4)logx 8＝－3；(5)logx ＝4.
2解 (1)由已知得：⎛
2x
＝4， ⎝21x
∴2＝22，－＝2，x ＝－4.
221(2)由已知得：9x 3，即32x ＝3211∴2x ＝x ＝.
247(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝.
5
(4)由已知得：x 3＝8，
－
13131即⎛＝2，2，x ⎝x x 2
1⎫41(5)由已知得：x ＝⎛⎝2⎭＝16.2.2.1 对数与对数运算(二
)
学习目标
1．掌握对数的运算性质及其推导．
2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
自学导引
1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)loga (MN ) M
(2)loga
N (3)loga M n n ∈R ) ． log b
2．对数换底公式：
log a b ＝.
log c a
一、正确理解对数运算性质
例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · loga y ＝log a (x ＋y ) ； ②log a x －log a y ＝log a (x －y ) ； x
③log a log a x ÷log a y ；
y ④log a (xy ) ＝log a x ·log a y .
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 A
解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可
分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．
点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( ) 1
A ．log a x ＝－log a B ．(loga x ) n ＝n log a x
x 1
C ．(loga x ) n ＝log a x n D ．log a x ＝log a
x 答案 A
二、对数运算性质的应用
例2 计算：
7
(1)log535－2log 5log 57－log 51.8；
3(2)2(lg2) 2＋2·lg5＋(lg2－lg2＋1； 27＋lg8－1 000(3)；
lg1.2(4)(lg5)2＋lg2·lg50.
分析 利用对数运算性质计算．
9解 (1)原式＝log 5(5×7) －2(log57－log 53) ＋log 57－log 5
5＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.
(2)原式＝lg 2＋lg5) ＋(lg－1) 2 ＝lg 2(lg2＋lg5) ＋1－2＝2＋1－2＝1. 33lg3＋3lg2－223lg3＋6lg2－33
(3)原式＝＝lg3＋2lg2－12(lg3＋2lg2－1) 2(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)
＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2) 2＝1.
点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值： 11
(1)log535＋2log 2－log 5log 514；
250(2)[(1－log 63) 2＋log 62·log 618]÷log 64.
解 (1)原式
1
＝log 5(5×7) －2log 22log 5(52×2) －log 5(2×7)
2＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.
2
(2)原式＝[log62＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622
＝log 62(log62＋log 63＋1)÷(2log62) ＝1.
三、换底公式的应用
21
例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求的值；
x y (2)已知log 189＝a, 18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得：
log 361log 361x ＝，y ＝＝，
log 363log 363log 364log 36411
∴＝log 363，＝log 364， x y 21
∴2log 363＋log 364 x y ＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.
(2)∵log 189＝a, 18b ＝5，∴log 185＝b . log 45log (9×5) ∴log 3645＝
log 1836log 18(18×2) ＝
log 189＋log 185a ＋b a ＋b
＝.
182－a 1＋log 182
1＋log 18
9
点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．
变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． lg4lg8lg m
解 (1)利用换底公式，得2，
lg3lg4lg8∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.
(2)由log 3lg3
1227＝a 2lg2＋lg3a ，
∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg32a
lg23－a ∴log 4lg24
616＝lg3＋lg22a
3－a ＋1＝4(3－a )
3＋a
.
1．对于同底的对数的化简常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差) 化成积(商) 的对数； (2)“拆”，将积(商) 的对数拆成对数的和(差) ．
2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
一、选择题
1．lg8＋3lg5的值为( )
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 D
解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) a ＋b a a B. ＋b b
a a ＋b D. b a ＋b 答案 B
解析 log 6lg6lg2＋lg3a ＋b 3lg3lg3b
.
3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎛⎝lg a
b 2的值等于( A ．2 B. 11
2 C ．4 D. 4
)
答案 A
1
解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝，
2a
lg 2＝(lga －lg b ) 2 ∴⎛⎝b ＝(lga ＋lg b ) 2－4lg a ·lg b 1＝22－2.
2
11
4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则－( )
x y 11
B ．3 C ．－ D ．－3 33答案 A
解析 由指数式转化为对数式： x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，
111则log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝. x y 3
225．设函数f (x ) ＝log a x (a >0，且a ≠1) ，若f (x 1x 2…x 2 005) ＝8，则f (x 21) ＋f (x 2) ＋…＋f (x 2 005)
的值等于( )
A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log a 8 答案 C
解析 因为f (x ) ＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005) ＝8，
22所以f (x 21) ＋f (x 2) ＋…＋f (x 2 005) 22＝log a x 21＋log a x 2＋…＋log a x 2 005
＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005| ＝2f (x 1x 2…x 2 005) ＝2×8＝16. 二、填空题
6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案
a ＋2b －1
2
111812×9
解析 1.8＝＝lg ＝lg
221021011
＝(lg2＋lg9－1) (a ＋2b －1) ． 22
7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1
11
解析 log abc x log x abc log x a ＋log x b ＋log x c ∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6 111
∴log x a ＝，log x b ＝log x c ，
23611
∴log abc x ＝＝＝1.
1111＋236
8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2
解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x ) ＝1. 故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题
9．求下列各式的值： 1324
(1)lg 8＋245； 2493(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.
143
解 (1)方法一 原式＝－2lg7) －2321
＋(2lg7＋lg5) 2
51＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5 22111
＝lg2＋lg5＝＋lg5) 22211＝lg1022
2方法二 原式＝lg －lg4＋5
7＝lg
42×75
7×4
1＝lg(5) ＝lg 10＝2
(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2) ＋2lg2 5⎫5
＝lg10·lg ＋lg4＝lg ⎛⎝2×4⎭＝lg10＝1. 2方法二 原式＝(lg10－lg2) 2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1. 12310．若26a ＝33b ＝62c ，求证：＋a b c
证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么
6a ＝log 2k ，⎧⎪
⎨3b ＝log 3k ，⎪⎩2c ＝log 6k ，
⎧⎪13
∴⎨b log k 3log 3，
2⎪2log 6. ⎩1c log k
3
k
6
k
166log k 2，a log 2k
12
∴6·log k 2＋2×3log k 3 a b
3
＝log k (26×36) ＝6log k 6＝3×2log k 6＝
c 123即a b c
2．2.2 对数函数及其性质
1．对数函数的概念
形如y ＝log a x (a >0且a ≠1) 的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：
(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞) ；
(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；
(3)以10为底的对数函数为y ＝lg x ，以e 为底的对数函数为y ＝ln x . 2．对数函数的图象及性质：
3. 指数函数与对数函数的关系比较
m (1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言) ，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)
的正负就很简单了，如log 2，log 52>0等，一眼就看出来了！
3
题型一 求函数定义域
求下列函数的定义域：
(1)y ＝log 3x －1
2x ＋3
； x －1
(2)y ＝
1
(a >0，a ≠1) ．
1－log a (x ＋a )
分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．
解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0， x －1>0， 3x －1>0， 3x －1≠1 同时成立，
312⎧
解得⎨x >－2， x >1， x >3， x ≠3 ∴x >1.
⎩
∴定义域为(1，＋∞) ．
(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )
当a >1时，00.
∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a
点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．
题型二 对数单调性的应用
43
(1)log43，log 34，log 的大小顺序为( )
34
43
A ．log 34
B ．log 34>log43>log
3443
C ．log 34>log43
3443
D ．log 34>log43
34
a b
(2)若a 2>b >a >1，试比较log a ，log b ，log b a ，log a b 的大小．
b a (1)解析 ∵log 34>1,0
log log ⎛＝－1， 343⎝3⎭43∴log 34>log43>log.
34
答案 B
a
(2)解 ∵b >a >1，∴0
a b
∴log a
b a b b
又a ，且b >1，∴log b
a a a b
故有log a
b a
点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：
①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0
③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1) ．
当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内) 上升得慢．即当x >1时，y 1y 2. 而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．
当01时，y 1y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．
1
已知log ，那么a 的取值范围是________．
2
分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．
1
解析 由log a 1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0
211a 1故a >1或0
答案 a >1或0
2
点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：
(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x 1.
题型三 函数图象的应用
1
0，时恒成立，求实数a 的取值范围． 若不等式2x －log a x
要使不等式2x
⎛
⎝1⎫2⎭⎛⎝1⎫2⎭
函数y=2x图象的上方，而y=2x图象过点
1⎛1⎫
, 2⎪. 由图可知，loga >2，
2⎝2⎭
显然这里0
又loga
1
>2=loga a 2
，∴a
2
>
1⎛1⎫，即a> ⎪2⎝2⎭
2
2
.
∴所求的a 的取值范围为 ⎪
⎛1⎫⎝2⎭⎛⎝
2
点评 原问题等价于当x ∈ 0, ⎪时，y1=2x的图象在y2=logax的图象的下方，由于a
1⎫2⎭
的大小不确定，当a>1时，显然y2
2
⎛1⎫, 2⎪⎝2⎭
时，y2满足条件，此时a 0= ⎪
⎛1⎫
⎝2⎭
. 那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观
察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．
设函数f (x ) ＝lg(ax 2＋2x ＋1) ，若f (x ) 的值域是R ，求实数a 的取值范围．
错解 ∵f (x ) 的值域是R ， ∴ax 2＋2x ＋1>0对x ∈R 恒成立， 即{a >0 Δ0 4－4a 1.
错因分析 出错的原因是分不清定义域为R 与值域为R 的区别． 正解 函数f (x ) ＝lg(ax 2＋2x ＋1) 的值域是R ⇔真数t ＝ax 2＋2x ＋1能取到所有的正数．
1
当a ＝0时，只要x >－，即可使真数t 取到所有的正数，符合要求；
2
当a ≠0时，必须有{a >0 Δ≥0 ⇔{a >0 4－4a ≥0 ⇔0
本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．
1．(广东高考) 已知函数f (x ) ＝等于( )
A ．{x |x >－1} B ．{x |x
解析 由题意知M ＝{x |x －1}． 故M ∩N ＝{x |－1
2．(湖南高考) 下列不等式成立的是( ) A ．log 32
解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞) 上是增函数， ∴log 25>log23>log22＝1.
又y ＝log 3x 在(0，＋∞) 上为增函数， ∴log 32
3．(全国高考) 若x ∈(e
－1,
1
M ，g (x ) ＝ln(1＋x ) 的定义域为N ，则M ∩N 1－x
1) ，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )
A ．a 解析 ∵
e 令t ＝ln x ，则－10.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1) ＝t (t ＋1)(t －1) ， 又∵－1
∴00，∴c >a . ∴c >a >b .
答案
C
1．已知函数f (x ) 1＋2x 的定义域为集合M ，g (x ) ＝ln(1－x ) 的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )
A ．{x |x >－1} B ．{x |x
x |－⎫
2
D ．∅
答案 C
2．已知函数f (x ) ＝1－x 1＋x f (a ) ＝1
2，则f (－a ) 等于( )
12 B ．－1
2 C ．－2 D ．2 答案 B
解析 f (－a ) ＝lg 1＋a ⎛1＋a －11－a lg ⎝1－a ⎭ ＝－lg 1－a 1＋a
f (a ) ＝－12.
3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是(A ．c 解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2b ； 又因为2>3，则log 1
32>log3＝2，
而log ＝1
42＝log 222
，
所以b >12，c ＝1
2，即b >c . 从而a >b >c .
4．函数f (x ) ＝lg|x |为( )
A ．奇函数，在区间(0，＋∞) 上是减函数 B ．奇函数，在区间(0，＋∞) 上是增函数 C ．偶函数，在区间(－∞，0) 上是增函数 D ．偶函数，在区间(－∞，0) 上是减函数 答案 D
)
解析 已知函数定义域为(－∞，0) ∪(0，＋∞) ，关于坐标原点对称，且f (－x ) ＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x ) ，所以它是偶函数．
又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞) 上是增函数． 又f (x ) 为偶函数，所以f (x ) ＝lg|x |在区间(－∞，0) 上是减函数．
5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1) 在同一坐标系中的图象只可能为(
)
答案 A
解析 方法一 若01，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．
方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称) ，则可直接选定选项A.
6．设函数f (x ) ＝log 2a (x ＋1) ，若对于区间(－1,0) 内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )
1⎫A ．(0，＋∞) B. ⎛⎝2∞⎭ 1⎫1
1 D. ⎛0， C. ⎛⎝2⎭⎝2答案 D
解析 已知－10，即0
f (x )>0，所以07．若指数函数f (x ) ＝a x (x ∈R ) 的部分对应值如下表：
则不等式log a (x －1)
解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)
∴log 1.2(x －1)0，即x >1，∴1
8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2) 的值域为[－1,0]，那么a 的值为________． 1答案 2
解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0
即log a 2＝－1，得a 1＝2，所以a ＝.
2
⎧⎪(3a －1) x ＋4a ，x
9．已知函数f (x ) ＝⎨是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范
⎪⎩log a x ，x ≥1
围为__________．
11⎫
答案 ⎡⎣73⎭
解析 函数f (x ) 为实数集R 上的减函数， 1一方面，0
3另一方面，由于f (x ) 在R 上为减函数， 1
因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥.
711
因此满足题意的实数a 的取值范围为≤a 73
10．已知f (x ) ＝1＋log 2x (1≤x ≤4) ，求函数g (x ) ＝f 2(x ) ＋f (x 2) 的最大值和最小值． 解 ∵f (x ) 的定义域为[1,4]， ∴g (x ) 的定义域为[1,2]．
∵g (x ) ＝f 2(x ) ＋f (x 2) ＝(1＋log 2x ) 2＋(1＋log 2x 2) ＝(log2x ＋2) 2－2， 又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当
x ＝1
时，g (x ) min ＝2；当
x ＝2
时，g (x ) max
=7.
学习目标
1．掌握对数函数的概念、图象和性质．
2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
自学导引
1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞) ．
2．对数函数的图象与性质
对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1) 和指数函数x 互为反函数．
一、对数函数的图象
431
例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，，则图象C 1，C 2，
3510C 3，C 4相应的a 值依次是( )
A. 3,
431
, ,
3510
B ．3,
413
, , 3105
C ．
431, , , 3510413, , , 3105
D ．
答案 A
解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为3,
方法二
431
, , . 3510
过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．
点评 函数y=logax (a>0，且a ≠1) 的底数a 的变化对图象位置的影响如下：
①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．
②左右比较：(比较图象与y=1的交点) 交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系： (1)若logm5>logn5，则m n ；
(2)若logm0.5>logn0.5，则m n. 答案 (1)
二、求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域： 3
(1)y ＝log 2x ； (2)y ＝log 0.5(4x －3) ； (3)y ＝log (x ＋1) (2－x ) ．
分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．
解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．
(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3) 有意义， 必须log 0.5(4x －3) ≥0＝log 0.51， 3
∴0
4
⎧3⎫
∴定义域是⎨x |4
⎩
⎭
x ＋1>0x >－1⎧⎧⎪⎪
(3)由⎨x ＋1≠1，得⎨x ≠0，
⎪⎪⎩x 0即0
点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．
变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1) 的定义域． 解 log a (4x －3) ≥0.(*)
当a >1时，(*)可化为log a (4x －3) ≥log a 1， ∴4x －3≥1，x ≥1. 当0
3∴0
综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞) ，
3⎤当0
三、对数函数单调性的应用
例3 比较大小：
(1)log0.81.5与log 0.82；
(2)log35与log 64.
分析 从比较底数、真数是否相同入手．
解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞) 内是减函数，
∵1.5log0.82.
(2)log35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．
∵log 35>log33＝1＝log 66>log64，
∴log 35>log64.
点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．
变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log0.52.7，log 0.52.8； (2)log34，log 65；
(3)loga π，log a e (a >0且a ≠1) ．
解 (1)∵0
∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞) 上是减函数．
又∵2.7log0.52.8.
(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞) 上是增函数，
∴log 34>log33＝1.
∵y ＝log 6x 在(0，＋∞) 上是增函数，
∴log 65
∴log 34>log65.
(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞) 上是增函数．
∵π>e，∴log a π>loga e.
当0
∵π>e，∴log a π
综上可知，当a >1时，log a π>loga e ；
当0
3例4 若－1
分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．
313解 －1
134当a >1时，a ，∴a . a 43
133当0
340，∪⎛∞⎫. ∴a 的取值范围是⎛⎝4⎝3⎭
点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．
(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．
(3)若含有字母，应考虑分类讨论．
变式迁移4 已知log a (2a ＋1)
解 log a (2a ＋1)
01时，(*)可化为⎨0
⎪⎩2a ＋1
－
1解得⎨011 ，∴此时a 无解．
当0
2a ＋1>1⎧⎧1⎪⎨3a >1，解得⎨a >3⎪⎩2a ＋1>3a ⎩a 0，
1∴
1⎫综上所述，a 的取值范围为⎛⎝31⎭.
1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.
2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0
一、选择题
1．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象是(
)
答案 A
解析 a >1由指数函数与对数函数图象可知A 对．
2．函数y log 2(3x －2) 的定义域是( )
A ．[1，＋∞) B. ⎛2
⎝3∞⎫⎭
C. ⎡2
⎣31⎤⎦ D. ⎛2
⎝3，1⎤⎦
答案 D
解析 由已知log 1
2(3x －2) ≥0，得0
∴2
3
3．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a 、b 、c 的大小关系是(
A ．a
C ．b
答案 C
解析 01，b
4．设a >1，函数f (x ) ＝log a x 在区间[a, 2a ]上的最大值与最小值之和为4，则a 等于( ) 2 B ．2 C ．2 D ．4
答案 A
解析 由题意得log a a ＋log a 2a ＝4，∴2＋log a 2＝4，
∴a 2.
35．若log a
3A ．a >1 B ．01 7
33C ．0
答案 B
33解析 a >1时，a >，此时log a a a ＝1， 77
即a >1符合要求；
33当0
3即0
3∴a >1或0
二、填空题
⎧⎛1⎫x
1⎪ ⎪x ∈(-∞, 1], 6．若f (x ) ＝⎨⎝2⎭则满足f (x ) ＝的x 的值为________． 4⎪log x ∈(1, +∞), ⎩81
答案 3
11⎛1⎫1解析 ∵当x ≤1时，f (x ) ＝ ⎪≥, ∴满足f (x ) ＝的x ∈(1，＋∞) ，, 即log 81x ＝，44⎝2⎭2
∴x ＝＝3.
7. 函数f (x ) ＝log 3x 的反函数为__________．, 答案 f (x ) ＝3x ,8. 对数函数f (x ) 的图象过点
1⎫P (8,3)，则f ⎛⎝4⎭＝______.
答案 －2
解析 设f (x ) ＝log a x (a >0且a ≠1) ．
将点(8,3)代入解析式得：log a 8＝3，即a 3＝8，
11∴a ＝2. ∴f ⎛＝log 22. ⎝44x
三、解答题
3＋x 9．已知f (x ) ＝log a (a >0且a ≠1) ，其定义域为(－1,1) ，试判断f (x ) 的奇偶性并证明． 3－x
证明 函数的定义域是(－1,1) ，关于原点对称．
3＋(－x ) ∵f (－x ) ＝log a 3－(－x )
3－x ⎛3＋x －1 ＝log a ＝log a 3＋x ⎝3－x ⎭
3＋x ＝－log a ， 3－x
∴f (－x ) ＝－f (x ) ．∴f (x ) 是奇函数．
10．求函数y ＝log a (a －a x ) (a >0，且a ≠1) 的定义域和值域．
解 ∵a －a x >0，∴a >a x .
当a >1时，x
当01，则f (x ) 的定义域为(1，＋∞) ．
∵a x >0，∴0
当a >1时，
log a (a －a x )
当0
log a (a －a x )>loga a ＝1，函数f (x ) 的值域为(1，＋∞) ．
综上所述，当a >1时，函数f (x ) 的定义域与值域均为(－∞，1) ；当0
2.1 对数与对数运算
1．对数的概念
一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1) ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ⇔x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N .
(2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．
(3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1) 具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则
利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．
(1)基本公式
①log a (MN ) ＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．
M
②log a log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数
N 的对数减去除数的对数．
③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R ) ，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3) 与log a (－4) 均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3) ＋log a (－4) ．
M ②防止出现以下错误：log a (M ±N ) ＝log a M ±log a N ，log a (M ·N ) ＝log a M ·log a N ，log a ＝
N log M
log a M n ＝(loga M ) n . log a N
3．对数换底公式
在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底
log N
公式：log b N (b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．
log c b
证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N . 两边取以c 为底的对数， log c N log c N
得x log c b ＝log c N . 所以x ＝，即log b N ＝log c b log c b
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．
由换底公式可推出下面两个常用公式：
1
(1)logb N ＝或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1) ；
log N b m
(2)logbn N m ＝b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R )
n
.
题型一 正确理解对数运算性质
对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )
①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.
A ．①与③ B ．②与④ C ．② D ．①、②、③、④
解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N . 例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .
在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C
点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．
题型二 对数运算性质的应用
求下列各式的值：
32
(1)2log32－log 3log 38－5log 53；
92
(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
3(3)
log 2·log 91log 5·log 74
3
分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．
解 (1)原式＝2log 32－(log332－log 39) ＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. 10
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg lg(2×10) ＋(lg2)2
2＝2lg(5×2) ＋(1－lg2)·(lg2＋1) ＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. 1
log 2·2log 73
log 2·log 925
(3)∵1174log 5·log 74－log 533lg2lg3
lg5lg73＝－.
lg31lg42lg53lg7
点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
题型三 对数换底公式的应用
计算：(log2125＋log 425＋log 85)(log52＋log 254＋log 1258) ．
分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．
解 方法一 原式＝
⎛log 253＋log 225log 25⎛log 52＋log 54log 58
log 24log 28⎝log 525log 5125⎝
2log 25log 25⎫⎛2log 523log 523log 25＋log 52＋＋＝⎛2log 223log 22⎭⎝2log 553log 55 ⎝
1
3＋1＋⎫log 25·＝⎛(3log52) 3⎭⎝
log 2＝13log 213.
log 25
lg125lg25lg5⎫lg2lg4lg8＋方法二 原式＝⎛lg4lg8⎭lg5lg25lg125 ⎝lg23lg52lg5lg5⎛lg22lg23lg2⎫
＝⎛⎝lg2＋2lg2＋3lg2⎝lg52lg5＋3lg5⎭ 13lg5⎫⎛lg2＝⎛⎝3lg2⎭⎝3lg5＝13.
点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底) ，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．
已知log (x ＋3) (x 2＋3x ) ＝1，求实数x 的值．
错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.
错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了． x ＋3x ＝x ＋3，⎧⎪2
正解 由对数的性质知⎨x ＋3x >0，
⎪⎩x ＋3>0且x ＋3≠1. 解得x ＝1，故实数x 的值为
1.
2
对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．
1．(上海高考) 方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1) ＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37.
答案 log 37
x ⎧⎪e ，x ≤0，⎛1⎫＝____. 2．(辽宁高考) 设g (x ) ＝⎨则g ⎛g ⎝⎝2⎭⎪⎩ln x ，x >0，
1⎫1⎛1＝eln 11 解析 g ⎛＝ln
⎛1⎫＝1. ∴g ⎛g ⎝⎝2⎭2
1
答案 2
1．对数式log (a －3) (7－a ) ＝b ，实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，7) B ．(3,7) C ．(3,4)∪(4,7) D ．(3，＋∞) 答案 C
a －3>0，⎧⎪
解析 由题意得⎨a －3≠1，
⎪⎩7－a >0，
解得3
2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a ) 2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 答案 A
解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log32＋1) ＝3a －2(a ＋1) ＝a －2.
3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( ) 1
A ．1 B ．lg5 C. D ．1＋lg2
lg5答案 C
lg6lg7lg8lg9lg10lg101
解析 原式＝＝lg5lg6lg7lg8lg9lg5lg5
4．已知log a (a 2＋1)
C. ⎛⎝21⎭ D ．(1，＋∞)
答案 C
⎧⎪0
解析 由题意，得⎨
⎪2a >1，⎩
1
∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)2
5．已知函数f (x ) ＝a x 1＋log a x (a >0，a ≠1) 在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值
－
( )
A ．4 B. 11
4 C ．3 D. 3答案 D
6．若方程(lgx ) 2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( A ．lg7·lg5 B ．lg35 C ．35 D. 1
35答案 D
解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5) ＝－lg35＝lg 1
35
∴α·β＝1
35
.
7．已知f (log12x ) ＝x ，则f ⎛⎝2⎫
⎭＝________. 答案
2
解析 令log 112212x ，∴f ⎛⎝2⎫⎭＝212x ＝，则22. 8．log (
2－1) (
2＋1) ＝________.
答案 －1 解析 (2＋2－1)
2－1
2＋1) ＝2－1
2－1
＝log 1
2－1)
2－1
＝－1. 9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06
解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，
而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－
2＋lg6.
∴lg x ＝lg(6×10－
2) ，即x ＝6×10－
2＝0.06.
10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ) ，求log x
y 的值；
(2)已知log 189＝a, 18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.
) 为
解 (1)lgx ＋lg y ＝2lg(x －2y ) ， ∴xy ＝(x －2y ) 2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y ) ＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ， x >0，⎧⎪
又∵⎨y >0，
⎪⎩x －2y >0，
∴x >2y >0，
∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .
x 4y lg4则log 2log 2log 24＝4.
y y lg 2(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， log 185b
∴log 365＝＝
lg 1836log 18(18×2) ＝
b b
181＋log 182
1＋log 18
9b b
1＋(1－log 189) 2－a
＝
111
11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，＋＝0，求abc 的值．
x y z 解 令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1) ， 111
则有log t a ，log t b log t c ，
x y z 111
又0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. x y z
12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2) －2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．
解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2) －2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2) －2lg a ＋1]＝0. 即lg(c 2－b 2) －2lg a ＝0，故c 2－b 2＝a 2， ∴a 2＋b 2＝c
2，∴△ABC 为直角三角形．
2．
2.1 对数与对数运算
(一)
学习目标
1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．了解常用对数与自然对数的意义． 3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．
自学导引
1．如果a (a >0且a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作a N
2．对数的性质有：(1)1 (2)底的对数为 (3)3．通常将以10e log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为.
4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝a >0且a ≠1)
.
一、对数式有意义的条件
例1 求下列各式中x 的取值范围：
(1)log2(x －10) ；(2)log(x －1) (x ＋2) ；(3)log(x ＋1) (x －1) 2.
分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组) ，解之即可． 解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．
⎧⎪x ＋2>0，
(2)由题意有⎨
⎪x －1>0且x －1≠1，⎩⎧⎪x >－2，
即⎨∴x >1且x ≠2. ⎪x >1且x ≠2，⎩
2
⎧⎪(x －1) >0，
(3)由题意有⎨
⎪x ＋1>0且x ＋1≠1，⎩
解得x >－1且x ≠0，x ≠1.
点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
变式迁移1 在b ＝log (a －2) (5－a ) 中，实数a 的取值范围是( )
A ．a >5或a 5－a >0⎧⎪
解析 由题意得⎨a －2>0
⎪⎩a －2≠1∴2
二、对数式与指数式的互化
例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： 1
(1)54＝625； (2)log8＝－3；
21－2(3)⎛⎝4＝16; (4)log101 000＝3. 分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4. 1⎫－31
(2)∵log 8＝－3，∴⎛⎝2⎭＝8. 21－21(3)∵⎛＝16，∴＝－2. ⎝44(4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.
点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．
变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值： 32(1)logx 27＝； (2)log2x ；
231
(3)log5(log2x ) ＝0; (4)x ＝log 27
91
(5)x ＝log 16.
2
332
解 (1)由log x 27＝，得x 27，∴x ＝32＝9.
223
，
2212
(2)由log 2x ＝－，得2－＝x ，∴x ＝3332
(3)由log 5(log2x ) ＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2. 11－
(4)由x ＝log 27x ＝，即33x ＝32，
992
∴x ＝－.
3
1⎫x 1－x 4
(5)由x ＝log ，得⎛＝16，即2＝2， 2⎝⎭2∴x ＝－4.
三、对数恒等式的应用
例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ，且不等于1，N >0)； 1
(2)429－log 25) ．
2
解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N ＝c log c N ＝N .
2log 99(2)原式＝2(log29－log 25) ＝.
2log 255
点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．
1
变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 3.
51111
解 原式＝5＋3log 35＋(3log3) 2552＝5＋
6＝
. 55
1．一般地，如果a (a >0，a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1) ．
＋
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－1313log 11
273＝－3
C ．log 11
32＝9与92＝3
D ．log 55＝1与51＝5 答案 C
2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1) 所对应的对数式是(
A ．log 6a ＝a B ．log 6b ＝a C ．log a b ＝6 D ．log b a ＝6 答案 D
3．若log x 5－2) ＝－1，则x 的值为( ) 5－2 5＋2
5－2或5＋2 D ．25 答案 B
4．如果f (10x ) ＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B
解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t ) ＝lg t ，f (3)＝lg3.
方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3. 5．21＋1
2·log 25的值等于( )
A ．2＋5 B ．25 C ．2＋
52 D ．1＋52
答案 B
解析 21＋111
2log 25＝2×225＝2×2log 252
)
1＝2×25.
2二、填空题
6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100
解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100. 7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m 答案 12
解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m n ＝a 2m ·a n ＝(a m ) 2·a n ＝22×3＝12.
＋
＋n
的值为________．
8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600
解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题
9．求下列各式中x 的值 (1)若log 3⎛
1－2x ⎫
⎝9⎭＝1，则求x 值；
(2)若log 2 003(x 2－1) ＝0，则求x 值． 解 (1)∵log 3⎛
1－2x 1－2x ＝1，∴3
9⎝9∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1) ＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝2
10．求x 的值：(1)x ＝log
2
4；(2)x ＝log 9；(3)x ＝71－log 75； 2
1
(4)logx 8＝－3；(5)logx ＝4.
2解 (1)由已知得：⎛
2x
＝4， ⎝21x
∴2＝22，－＝2，x ＝－4.
221(2)由已知得：9x 3，即32x ＝3211∴2x ＝x ＝.
247(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝.
5
(4)由已知得：x 3＝8，
－
13131即⎛＝2，2，x ⎝x x 2
1⎫41(5)由已知得：x ＝⎛⎝2⎭＝16.2.2.1 对数与对数运算(二
)
学习目标
1．掌握对数的运算性质及其推导．
2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
自学导引
1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)loga (MN ) M
(2)loga
N (3)loga M n n ∈R ) ． log b
2．对数换底公式：
log a b ＝.
log c a
一、正确理解对数运算性质
例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · loga y ＝log a (x ＋y ) ； ②log a x －log a y ＝log a (x －y ) ； x
③log a log a x ÷log a y ；
y ④log a (xy ) ＝log a x ·log a y .
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 A
解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可
分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．
点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( ) 1
A ．log a x ＝－log a B ．(loga x ) n ＝n log a x
x 1
C ．(loga x ) n ＝log a x n D ．log a x ＝log a
x 答案 A
二、对数运算性质的应用
例2 计算：
7
(1)log535－2log 5log 57－log 51.8；
3(2)2(lg2) 2＋2·lg5＋(lg2－lg2＋1； 27＋lg8－1 000(3)；
lg1.2(4)(lg5)2＋lg2·lg50.
分析 利用对数运算性质计算．
9解 (1)原式＝log 5(5×7) －2(log57－log 53) ＋log 57－log 5
5＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.
(2)原式＝lg 2＋lg5) ＋(lg－1) 2 ＝lg 2(lg2＋lg5) ＋1－2＝2＋1－2＝1. 33lg3＋3lg2－223lg3＋6lg2－33
(3)原式＝＝lg3＋2lg2－12(lg3＋2lg2－1) 2(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)
＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2) 2＝1.
点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值： 11
(1)log535＋2log 2－log 5log 514；
250(2)[(1－log 63) 2＋log 62·log 618]÷log 64.
解 (1)原式
1
＝log 5(5×7) －2log 22log 5(52×2) －log 5(2×7)
2＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.
2
(2)原式＝[log62＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622
＝log 62(log62＋log 63＋1)÷(2log62) ＝1.
三、换底公式的应用
21
例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求的值；
x y (2)已知log 189＝a, 18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得：
log 361log 361x ＝，y ＝＝，
log 363log 363log 364log 36411
∴＝log 363，＝log 364， x y 21
∴2log 363＋log 364 x y ＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.
(2)∵log 189＝a, 18b ＝5，∴log 185＝b . log 45log (9×5) ∴log 3645＝
log 1836log 18(18×2) ＝
log 189＋log 185a ＋b a ＋b
＝.
182－a 1＋log 182
1＋log 18
9
点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．
变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． lg4lg8lg m
解 (1)利用换底公式，得2，
lg3lg4lg8∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.
(2)由log 3lg3
1227＝a 2lg2＋lg3a ，
∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg32a
lg23－a ∴log 4lg24
616＝lg3＋lg22a
3－a ＋1＝4(3－a )
3＋a
.
1．对于同底的对数的化简常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差) 化成积(商) 的对数； (2)“拆”，将积(商) 的对数拆成对数的和(差) ．
2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
一、选择题
1．lg8＋3lg5的值为( )
A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 D
解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) a ＋b a a B. ＋b b
a a ＋b D. b a ＋b 答案 B
解析 log 6lg6lg2＋lg3a ＋b 3lg3lg3b
.
3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎛⎝lg a
b 2的值等于( A ．2 B. 11
2 C ．4 D. 4
)
答案 A
1
解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝，
2a
lg 2＝(lga －lg b ) 2 ∴⎛⎝b ＝(lga ＋lg b ) 2－4lg a ·lg b 1＝22－2.
2
11
4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则－( )
x y 11
B ．3 C ．－ D ．－3 33答案 A
解析 由指数式转化为对数式： x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，
111则log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝. x y 3
225．设函数f (x ) ＝log a x (a >0，且a ≠1) ，若f (x 1x 2…x 2 005) ＝8，则f (x 21) ＋f (x 2) ＋…＋f (x 2 005)
的值等于( )
A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log a 8 答案 C
解析 因为f (x ) ＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005) ＝8，
22所以f (x 21) ＋f (x 2) ＋…＋f (x 2 005) 22＝log a x 21＋log a x 2＋…＋log a x 2 005
＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005| ＝2f (x 1x 2…x 2 005) ＝2×8＝16. 二、填空题
6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案
a ＋2b －1
2
111812×9
解析 1.8＝＝lg ＝lg
221021011
＝(lg2＋lg9－1) (a ＋2b －1) ． 22
7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1
11
解析 log abc x log x abc log x a ＋log x b ＋log x c ∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6 111
∴log x a ＝，log x b ＝log x c ，
23611
∴log abc x ＝＝＝1.
1111＋236
8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2
解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x ) ＝1. 故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题
9．求下列各式的值： 1324
(1)lg 8＋245； 2493(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.
143
解 (1)方法一 原式＝－2lg7) －2321
＋(2lg7＋lg5) 2
51＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5 22111
＝lg2＋lg5＝＋lg5) 22211＝lg1022
2方法二 原式＝lg －lg4＋5
7＝lg
42×75
7×4
1＝lg(5) ＝lg 10＝2
(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2) ＋2lg2 5⎫5
＝lg10·lg ＋lg4＝lg ⎛⎝2×4⎭＝lg10＝1. 2方法二 原式＝(lg10－lg2) 2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1. 12310．若26a ＝33b ＝62c ，求证：＋a b c
证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么
6a ＝log 2k ，⎧⎪
⎨3b ＝log 3k ，⎪⎩2c ＝log 6k ，
⎧⎪13
∴⎨b log k 3log 3，
2⎪2log 6. ⎩1c log k
3
k
6
k
166log k 2，a log 2k
12
∴6·log k 2＋2×3log k 3 a b
3
＝log k (26×36) ＝6log k 6＝3×2log k 6＝
c 123即a b c
2．2.2 对数函数及其性质
1．对数函数的概念
形如y ＝log a x (a >0且a ≠1) 的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：
(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞) ；
(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；
(3)以10为底的对数函数为y ＝lg x ，以e 为底的对数函数为y ＝ln x . 2．对数函数的图象及性质：
3. 指数函数与对数函数的关系比较
m (1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言) ，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)
的正负就很简单了，如log 2，log 52>0等，一眼就看出来了！
3
题型一 求函数定义域
求下列函数的定义域：
(1)y ＝log 3x －1
2x ＋3
； x －1
(2)y ＝
1
(a >0，a ≠1) ．
1－log a (x ＋a )
分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．
解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0， x －1>0， 3x －1>0， 3x －1≠1 同时成立，
312⎧
解得⎨x >－2， x >1， x >3， x ≠3 ∴x >1.
⎩
∴定义域为(1，＋∞) ．
(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )
当a >1时，00.
∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a
点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．
题型二 对数单调性的应用
43
(1)log43，log 34，log 的大小顺序为( )
34
43
A ．log 34
B ．log 34>log43>log
3443
C ．log 34>log43
3443
D ．log 34>log43
34
a b
(2)若a 2>b >a >1，试比较log a ，log b ，log b a ，log a b 的大小．
b a (1)解析 ∵log 34>1,0
log log ⎛＝－1， 343⎝3⎭43∴log 34>log43>log.
34
答案 B
a
(2)解 ∵b >a >1，∴0
a b
∴log a
b a b b
又a ，且b >1，∴log b
a a a b
故有log a
b a
点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：
①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0
③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1) ．
当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内) 上升得慢．即当x >1时，y 1y 2. 而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．
当01时，y 1y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．
1
已知log ，那么a 的取值范围是________．
2
分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．
1
解析 由log a 1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0
211a 1故a >1或0
答案 a >1或0
2
点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：
(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x 1.
题型三 函数图象的应用
1
0，时恒成立，求实数a 的取值范围． 若不等式2x －log a x
要使不等式2x
⎛
⎝1⎫2⎭⎛⎝1⎫2⎭
函数y=2x图象的上方，而y=2x图象过点
1⎛1⎫
, 2⎪. 由图可知，loga >2，
2⎝2⎭
显然这里0
又loga
1
>2=loga a 2
，∴a
2
>
1⎛1⎫，即a> ⎪2⎝2⎭
2
2
.
∴所求的a 的取值范围为 ⎪
⎛1⎫⎝2⎭⎛⎝
2
点评 原问题等价于当x ∈ 0, ⎪时，y1=2x的图象在y2=logax的图象的下方，由于a
1⎫2⎭
的大小不确定，当a>1时，显然y2
2
⎛1⎫, 2⎪⎝2⎭
时，y2满足条件，此时a 0= ⎪
⎛1⎫
⎝2⎭
. 那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观
察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．
设函数f (x ) ＝lg(ax 2＋2x ＋1) ，若f (x ) 的值域是R ，求实数a 的取值范围．
错解 ∵f (x ) 的值域是R ， ∴ax 2＋2x ＋1>0对x ∈R 恒成立， 即{a >0 Δ0 4－4a 1.
错因分析 出错的原因是分不清定义域为R 与值域为R 的区别． 正解 函数f (x ) ＝lg(ax 2＋2x ＋1) 的值域是R ⇔真数t ＝ax 2＋2x ＋1能取到所有的正数．
1
当a ＝0时，只要x >－，即可使真数t 取到所有的正数，符合要求；
2
当a ≠0时，必须有{a >0 Δ≥0 ⇔{a >0 4－4a ≥0 ⇔0
本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．
1．(广东高考) 已知函数f (x ) ＝等于( )
A ．{x |x >－1} B ．{x |x
解析 由题意知M ＝{x |x －1}． 故M ∩N ＝{x |－1
2．(湖南高考) 下列不等式成立的是( ) A ．log 32
解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞) 上是增函数， ∴log 25>log23>log22＝1.
又y ＝log 3x 在(0，＋∞) 上为增函数， ∴log 32
3．(全国高考) 若x ∈(e
－1,
1
M ，g (x ) ＝ln(1＋x ) 的定义域为N ，则M ∩N 1－x
1) ，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )
A ．a 解析 ∵
e 令t ＝ln x ，则－10.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1) ＝t (t ＋1)(t －1) ， 又∵－1
∴00，∴c >a . ∴c >a >b .
答案
C
1．已知函数f (x ) 1＋2x 的定义域为集合M ，g (x ) ＝ln(1－x ) 的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )
A ．{x |x >－1} B ．{x |x
x |－⎫
2
D ．∅
答案 C
2．已知函数f (x ) ＝1－x 1＋x f (a ) ＝1
2，则f (－a ) 等于( )
12 B ．－1
2 C ．－2 D ．2 答案 B
解析 f (－a ) ＝lg 1＋a ⎛1＋a －11－a lg ⎝1－a ⎭ ＝－lg 1－a 1＋a
f (a ) ＝－12.
3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是(A ．c 解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2b ； 又因为2>3，则log 1
32>log3＝2，
而log ＝1
42＝log 222
，
所以b >12，c ＝1
2，即b >c . 从而a >b >c .
4．函数f (x ) ＝lg|x |为( )
A ．奇函数，在区间(0，＋∞) 上是减函数 B ．奇函数，在区间(0，＋∞) 上是增函数 C ．偶函数，在区间(－∞，0) 上是增函数 D ．偶函数，在区间(－∞，0) 上是减函数 答案 D
)
解析 已知函数定义域为(－∞，0) ∪(0，＋∞) ，关于坐标原点对称，且f (－x ) ＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x ) ，所以它是偶函数．
又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞) 上是增函数． 又f (x ) 为偶函数，所以f (x ) ＝lg|x |在区间(－∞，0) 上是减函数．
5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1) 在同一坐标系中的图象只可能为(
)
答案 A
解析 方法一 若01，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．
方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称) ，则可直接选定选项A.
6．设函数f (x ) ＝log 2a (x ＋1) ，若对于区间(－1,0) 内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )
1⎫A ．(0，＋∞) B. ⎛⎝2∞⎭ 1⎫1
1 D. ⎛0， C. ⎛⎝2⎭⎝2答案 D
解析 已知－10，即0
f (x )>0，所以07．若指数函数f (x ) ＝a x (x ∈R ) 的部分对应值如下表：
则不等式log a (x －1)
解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)
∴log 1.2(x －1)0，即x >1，∴1
8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2) 的值域为[－1,0]，那么a 的值为________． 1答案 2
解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0
即log a 2＝－1，得a 1＝2，所以a ＝.
2
⎧⎪(3a －1) x ＋4a ，x
9．已知函数f (x ) ＝⎨是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范
⎪⎩log a x ，x ≥1
围为__________．
11⎫
答案 ⎡⎣73⎭
解析 函数f (x ) 为实数集R 上的减函数， 1一方面，0
3另一方面，由于f (x ) 在R 上为减函数， 1
因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥.
711
因此满足题意的实数a 的取值范围为≤a 73
10．已知f (x ) ＝1＋log 2x (1≤x ≤4) ，求函数g (x ) ＝f 2(x ) ＋f (x 2) 的最大值和最小值． 解 ∵f (x ) 的定义域为[1,4]， ∴g (x ) 的定义域为[1,2]．
∵g (x ) ＝f 2(x ) ＋f (x 2) ＝(1＋log 2x ) 2＋(1＋log 2x 2) ＝(log2x ＋2) 2－2， 又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当
x ＝1
时，g (x ) min ＝2；当
x ＝2
时，g (x ) max
=7.
学习目标
1．掌握对数函数的概念、图象和性质．
2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
自学导引
1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞) ．
2．对数函数的图象与性质
对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1) 和指数函数x 互为反函数．
一、对数函数的图象
431
例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，，则图象C 1，C 2，
3510C 3，C 4相应的a 值依次是( )
A. 3,
431
, ,
3510
B ．3,
413
, , 3105
C ．
431, , , 3510413, , , 3105
D ．
答案 A
解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为3,
方法二
431
, , . 3510
过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．
点评 函数y=logax (a>0，且a ≠1) 的底数a 的变化对图象位置的影响如下：
①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．
②左右比较：(比较图象与y=1的交点) 交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系： (1)若logm5>logn5，则m n ；
(2)若logm0.5>logn0.5，则m n. 答案 (1)
二、求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域： 3
(1)y ＝log 2x ； (2)y ＝log 0.5(4x －3) ； (3)y ＝log (x ＋1) (2－x ) ．
分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．
解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．
(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3) 有意义， 必须log 0.5(4x －3) ≥0＝log 0.51， 3
∴0
4
⎧3⎫
∴定义域是⎨x |4
⎩
⎭
x ＋1>0x >－1⎧⎧⎪⎪
(3)由⎨x ＋1≠1，得⎨x ≠0，
⎪⎪⎩x 0即0
点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．
变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1) 的定义域． 解 log a (4x －3) ≥0.(*)
当a >1时，(*)可化为log a (4x －3) ≥log a 1， ∴4x －3≥1，x ≥1. 当0
3∴0
综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞) ，
3⎤当0
三、对数函数单调性的应用
例3 比较大小：
(1)log0.81.5与log 0.82；
(2)log35与log 64.
分析 从比较底数、真数是否相同入手．
解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞) 内是减函数，
∵1.5log0.82.
(2)log35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．
∵log 35>log33＝1＝log 66>log64，
∴log 35>log64.
点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．
变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log0.52.7，log 0.52.8； (2)log34，log 65；
(3)loga π，log a e (a >0且a ≠1) ．
解 (1)∵0
∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞) 上是减函数．
又∵2.7log0.52.8.
(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞) 上是增函数，
∴log 34>log33＝1.
∵y ＝log 6x 在(0，＋∞) 上是增函数，
∴log 65
∴log 34>log65.
(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞) 上是增函数．
∵π>e，∴log a π>loga e.
当0
∵π>e，∴log a π
综上可知，当a >1时，log a π>loga e ；
当0
3例4 若－1
分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．
313解 －1
134当a >1时，a ，∴a . a 43
133当0
340，∪⎛∞⎫. ∴a 的取值范围是⎛⎝4⎝3⎭
点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．
(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．
(3)若含有字母，应考虑分类讨论．
变式迁移4 已知log a (2a ＋1)
解 log a (2a ＋1)
01时，(*)可化为⎨0
⎪⎩2a ＋1
－
1解得⎨011 ，∴此时a 无解．
当0
2a ＋1>1⎧⎧1⎪⎨3a >1，解得⎨a >3⎪⎩2a ＋1>3a ⎩a 0，
1∴
1⎫综上所述，a 的取值范围为⎛⎝31⎭.
1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.
2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0
一、选择题
1．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象是(
)
答案 A
解析 a >1由指数函数与对数函数图象可知A 对．
2．函数y log 2(3x －2) 的定义域是( )
A ．[1，＋∞) B. ⎛2
⎝3∞⎫⎭
C. ⎡2
⎣31⎤⎦ D. ⎛2
⎝3，1⎤⎦
答案 D
解析 由已知log 1
2(3x －2) ≥0，得0
∴2
3
3．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a 、b 、c 的大小关系是(
A ．a
C ．b
答案 C
解析 01，b
4．设a >1，函数f (x ) ＝log a x 在区间[a, 2a ]上的最大值与最小值之和为4，则a 等于( ) 2 B ．2 C ．2 D ．4
答案 A
解析 由题意得log a a ＋log a 2a ＝4，∴2＋log a 2＝4，
∴a 2.
35．若log a
3A ．a >1 B ．01 7
33C ．0
答案 B
33解析 a >1时，a >，此时log a a a ＝1， 77
即a >1符合要求；
33当0
3即0
3∴a >1或0
二、填空题
⎧⎛1⎫x
1⎪ ⎪x ∈(-∞, 1], 6．若f (x ) ＝⎨⎝2⎭则满足f (x ) ＝的x 的值为________． 4⎪log x ∈(1, +∞), ⎩81
答案 3
11⎛1⎫1解析 ∵当x ≤1时，f (x ) ＝ ⎪≥, ∴满足f (x ) ＝的x ∈(1，＋∞) ，, 即log 81x ＝，44⎝2⎭2
∴x ＝＝3.
7. 函数f (x ) ＝log 3x 的反函数为__________．, 答案 f (x ) ＝3x ,8. 对数函数f (x ) 的图象过点
1⎫P (8,3)，则f ⎛⎝4⎭＝______.
答案 －2
解析 设f (x ) ＝log a x (a >0且a ≠1) ．
将点(8,3)代入解析式得：log a 8＝3，即a 3＝8，
11∴a ＝2. ∴f ⎛＝log 22. ⎝44x
三、解答题
3＋x 9．已知f (x ) ＝log a (a >0且a ≠1) ，其定义域为(－1,1) ，试判断f (x ) 的奇偶性并证明． 3－x
证明 函数的定义域是(－1,1) ，关于原点对称．
3＋(－x ) ∵f (－x ) ＝log a 3－(－x )
3－x ⎛3＋x －1 ＝log a ＝log a 3＋x ⎝3－x ⎭
3＋x ＝－log a ， 3－x
∴f (－x ) ＝－f (x ) ．∴f (x ) 是奇函数．
10．求函数y ＝log a (a －a x ) (a >0，且a ≠1) 的定义域和值域．
解 ∵a －a x >0，∴a >a x .
当a >1时，x
当01，则f (x ) 的定义域为(1，＋∞) ．
∵a x >0，∴0
当a >1时，
log a (a －a x )
当0
log a (a －a x )>loga a ＝1，函数f (x ) 的值域为(1，＋∞) ．
综上所述，当a >1时，函数f (x ) 的定义域与值域均为(－∞，1) ；当0