第二讲 矩 阵
一、矩阵的概念及其基本运算 1. 矩阵及其表示 aij或A或a基本矩阵:
行矩阵 A=(a1,a2, ,an)
()()
ijm⨯n
或A
⨯m n
⎛a1⎫
⎪a2⎪ 列矩阵 A= ⎪ a⎪⎪⎝n⎭
⎛00 0⎫ ⎪00 0⎪ 零矩阵
⎪ 00 0⎪⎪⎝⎭
⎛-a11-a12
-a21-a22
负矩阵
-a
⎝m1-am2
方阵
-an1⎫
⎪∆
-an2
⎪=-A
⎪
⎪
-amn⎪⎭
A=(aij)
n⨯n
⊃
⎧上三角矩阵 aij=0(∀i>j)
⎪
⎪下三角矩阵 aij=0(∀i
⎪对角矩阵aij=0(∀i≠j)⊃数量矩阵 aii=a(∀i)⎪
⎨
⎪ ⊃单位矩阵 aii=1(∀i)⎪对称矩阵 a=a(∀i,j)
ijji
⎪⎪⎩反对称矩阵 aij=-aji(∀i,j)
特殊矩阵:
可交换矩阵 AB=BA
例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即(kE)A=A(kE)
秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵
α'α=∑ai2
i=1
n
⎛a12 aa
αα'= 21
aa⎝n1
2. 基本运算及其运算规律 相等 aij=bi( ,ji=1,2
a1a2 a1an⎫
⎪2
a2 a2an⎪TT
, 其中α=(a1,a2, ,an)≠ο
⎪
⎪2⎪ana2 an⎭
m,,j=1, 2, n
A=B⇔B=A (交换律）
A=B, B=C⇒A=C (传递律）
加法 aij
()
m⨯n
+(bi)j
m⨯n
=(ai+)jb
ij⨯mn
A+B=B+A (交换律）
(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)
A+O=AA+(-A)=O
数乘法 kaij
(零矩阵的作用)
()
m⨯n
=(kai)j
⨯mn
1A=A
(kl)A=k(lA)
（分配律）
k+lA=kA+lA()
k(A+B)=kA+lA
乘法 aij
()(b)
m⨯p
ijp⨯n
=(c)ij
⨯mn
（其中cij=
∑ab
k=1
p
ikkj
）
(AB)C=A(BC)（结合律）
k(AB)=(kA)B=A(kB)（结合律） A(B+C)=AB+AC（左分配律）
(A+B)C=AC+BC（右分配律）
Am⨯nEn=EmAm⨯n=Am⨯n（单位矩阵的乘法作用）
Am⨯nOn⨯p=Om⨯pOp⨯mAm⨯n=Op⨯n
(零矩阵的乘法作用)
Ak=Ak-1AAkAl=Ak+l
(Ak)=Akl (方阵的幂的性质)
l
若AB=BA,则(AB)=AkBk(以上k与l皆为正整数)
矩阵的转置 A=aij
k
()
m⨯n
T
⇒A=(aj)i
⨯nm
(AT)=A
T
(A+B)=AT+BT
T
(kA)=kA'
T
(AB)=BTAT
* 相等与加法运算的条件 * 乘法运算的条件
* 乘法没有交换律 (例2.3, 例2.4, 例2.5)
消去律 (例2.7)
T
幂零律 (例如: A=
3. 矩阵应用
⎛11⎫2
⎪,A=O)
⎝-1-1⎭
用矩阵表示线性变换 Y=AX 用矩阵表示线性方程组 AX=B
二、逆矩阵
1. 方阵行列式及其性质 方阵行列式 A⇒A
T
运算性质 A=A
A-1=A
-1
(A≠0)
μA=μnA
AB=BA=A⋅B
2. 伴随矩阵及其性质
⎛A11 A21
* 伴随矩阵 A⇒A⇒A= A⎝n1
运算性质 AA=AA=AE
*
*
A12A22 An2
An⎫1
⎪
An⎪2
⎪
⎪
Ann⎪⎭
T
(A*)=(AT)
T*
*
(kA)=kn-1A*
*
(AB)=B*A*
(k≠0)
(A*)=A
*
n-2
A
A*=A
3. 逆矩阵及其性质
n-1
-1
若存在矩阵B, 使得AB=BA=E, 则称矩阵A可逆, 称B为A的逆, 并记B=A.
性质: 1)逆矩阵唯一.
2)若A,B是同阶可逆矩阵, 则AB也是可逆矩阵, 且(AB)
-1
=B-1A-1.
3)矩阵A可逆的充要条件是A≠0.且当A≠0时, A
-1
=
1*
A. A
T-1*
4)若A可逆,数k≠0, 则A,A,A,kA都可逆, 且
(AT)=(A-1)
-1
T
(A)=A(A)=(A)
-1-1*-1
-1*
=
1 AA
(kA)
-1
=
1-1Ak
5)若A可逆, 则
A0=E
A-k=(A-1)=(Ak)
k
-1
AkAl=Ak+l
(A)
kl
=Akl
(以上k,l皆为整数)
4. 判定矩阵可逆的几个条件 (1)矩阵A可逆的充要条件是A≠0.
(2)矩阵A可逆的充要条件是, 存在矩阵B, 使得AB=E或BA=E. 5. 逆矩阵的计算方法
(1)伴随矩阵法 当A≠0时, A
-1
=
1*
A. A
-1
(2)初等变换法 (A E)→E A
()
三、初等变换
初等变换 P39
初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39
,]j PP+i(⎡⎤初等矩阵有三种类型 P[i⎣(i)k⎦ ⎡⎣,]j=-1 初等矩阵是可逆矩阵 P[i
初等矩阵的逆矩阵分别为
)j ⎤⎦k
=k
P+i⎡(⎣
= )j⎤⎦k
1
P⎡⎣(i)-1-1⎡⎛1⎫⎤-1
P[i,j]=P[i,j] P⎡ik=Pi Pi+jk⎤⎡⎤()⎦=P⎡⎢ k⎪⎥⎣()⎦⎣⎣i+j(-k)⎤⎦
⎣⎝⎭⎦
初等变换的性质:
定理1(P41 定理2.7)
A→B⇔P[i,j]A=B （A→B⇔AP[i,j]=B）
A→B⇔P⎡B⇔AP⎡⎣i(k)⎤⎦A=B （A(→⎣i(k)⎤⎦=B） k≠0)(k≠0)
ri⨯k
ci⨯k
rirjcicj
A→B⇔P⎡⎣i,j(k)⎤⎦A=B （A→B⇔AP⎡⎣i,j(k)⎤⎦=B）
定理2(P44 定理2.10) 任何矩阵A都与形如
ri+krjci+kcj
⎛Er
⎝OO⎫
⎪的矩阵等价（其中r由A唯一决定）. O⎭
⎛Er ⎝OO⎫
⎪称为矩阵A的等价标准形. O⎭
推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵A, 一定存在可逆矩阵P和Q, 使得PAQ=
⎛Er⎝OO⎫⎪. O⎭
推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.
6. 逆矩阵应用
A≠0
利用逆矩阵解线性方程组 AX=BX=AB
-1
(A B)→(E
A≠0
A-1B)
-1
利用逆矩阵求逆线性变换 Y=AXX=AY 四、分块矩阵
⎛A1
分块对角阵 A=
⎝
分块对角阵的性质:
A2
⎫⎪
⎪, 其中A(i=1,2, ,n)是方阵
i
⎪
⎪An⎪⎭
(1) A=A1⋅A2 An;
⎛A1-1 -1
(2) 若Ai≠0(i=1,2, ,n), 则A=
⎝
五、习题解答 1. P49 8. 提示: (A+2E)
-1
-1A2
⎫⎪⎪. ⎪
⎪-1⎪An⎭
(A
2
-4E)=(A+2E)
-1
(A+2E)(A-2E)=(A-2E)= (A+2E-4E)=E-4(A+2E)
-1
(A+2E)
2. P49 10.
-1
(A
2
-2E)=(A+2E)
-1
=
⎛010⎫⎛1-43⎫⎛100⎫⎛010⎫⎛1-43⎫⎛100⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪
20-1001=10020-1001提示: X=100 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪
001⎪ 1-20⎪010⎪ 001⎪1-20⎪010⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛010⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪100,001 ⎪ ⎪是第一种初等矩阵, 其逆是自己. 由定理2.7易得X. 001⎪ 010⎪⎝⎭⎝⎭
3. P49 11.
提示: AB=A+B⇒(A-E)B=A⇒B=(A-E)A=(A-E)4. P50 13. 提示: PAP5. P49 12.
提示: 运用P50 13.的结果：PAP6. P50 16.
提示: AA=AE⇒AA=AA*=an-1 7. P50 17. 提示: 设A=aij
*
*
nA≠0
-1
-1
-1-1
(A-E+E)=E+(A-E)
-1
(
-1
)=(P
n
-1
AP)(P-1AP) (P-1AP)=P-1APP-1A PP-1AP=P-1AnP
(
-1
)
n
=P-1AnP.
()
*
n⨯n
, 则
2AA=AA=AEAA=O⇒∑aij=0,i=1, ,n, T
T
j=1
A=0n
A是实数矩阵⇒aij=0,∀ij⇒A=O. 产生矛盾, 故A≠0.
8. P50 18. 证明: E-A可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法
方法二 构造法
假设E-A可逆, D是其逆, 则(E-A)D=E, 于是
D-AD=E AD-A2D=A A2D-A3D=A2
+ Ak-1D-AkD=Ak-1 D=E+A+ +Ak-1
因此, E-A可逆, 且(E-A)
9. P50 19. 证明: E+BA可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法
方法二 构造法
假设E-A可逆, D是其逆, 则(E-A)D=E, 于是
-1
=E+A+ +Ak-1.
D-AD=E AD-A2D=A A2D-A3D=A2
+ Ak-1D-AkD=Ak-1 D=E+A+ +Ak-1
因此, E-A可逆, 且(E-A)
10. P50 22.
结论: 与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵. 11. P50 4
结论: 上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对角矩阵的积是对角矩阵. 12. P51 5.
-1
=E+A+ +Ak-1.
提示: (1)
Em
一方面 A
BEn
c1-c2A
=
Em-BAO
BEn
=En⋅Em-BA=Em-BAEm
另一方面 A
BEn
c2-c1B
=
EmA
OEn-AB
= En-AB
(2) λEn-AB=
EmA
B
λEn
B
1c1-c2A
＝
λ
Em-
1
λ≠0
λ
BA
O
1
λEnλ
BA(分块对角阵性质)
= λEn⋅Em-
=λn-mλEm-BA
13. P51 6. 提示:
r2
ABA⎛ABEO⎫⎛E
⎪r-→ ⎪r→-1-1-12-r1CDOEOD-CAB-CAE⎝⎭⎝⎭1ABr2
⎛EOA-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1-(D-CA-1B)-1CA-1⎫ ⎪
-1-1 ⎪-1-1-1 OE⎪D-CABCAD-CAB()()⎝⎭
A-1r1
-1
-1
O⎫(D-CAB)
1
-1
六、知识扩展 1. 已知α=(12
⎛1
3),β= 1
⎝2
n
n-1
1⎫n
'AA=αβ, 设, 求. ⎪
3⎭
n
提示: A=(α'β)=α'(βα')
β
1⎫3⎪⎪2⎪ ⎪3⎪1⎪⎪⎭
⎛ 1
=3n-1α'β=3n-1 2
3⎝
12132
⎛21⎫
2. 设矩阵A= ⎪, E为2阶单位矩阵, 矩阵B满足BA=B+2E, 求B. （2006 数四）
-12⎝⎭
提示: BA=B+2E⇒B(A-E)=2E
⎛11⎫⎛1-1⎫-1
⇒B=2(A-E)=2 =⎪ ⎪
⎝-11⎭⎝11⎭
-1
⎡101⎤
⎢⎥nn-1
3. 设A=020, 而n(≥2)为正整数, 求A-2A. （1999 数三 四） (答案: O)
⎢⎥⎢⎣101⎥⎦
（可试着推测结果）
⎛202⎫
⎪2nn-1n-22
提示:A= 040⎪=2A⇒A-2A=A(A-2A)=O
202⎪⎝⎭
⎛0-10⎫ ⎪
0⎪, B=P-1AP, 其中P为三阶可逆矩阵, 求B2004-2A2. (2004 数四) 4. 设A= 10
00-1⎪⎝⎭⎛-1⎫
⎪2
-1⎪⇒A4=E⇒ 提示: A= 1⎪⎝⎭
⎛3⎫
⎪
B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1P-2A2= 3⎪.
-1⎪⎝⎭
5. 设A,B,C均为n阶矩阵, 若B=E+AB,C=A+CA, 求B-C. （2005 数四） 提示: B(E-A)=E,C(E-A)=A
⎧E-A可逆 ⇒⎨
⎩(B-C)(E-A)=E-A ⇒B-C=E
6. 设A,B,C均为n阶矩阵, A=2,B=-3, 求2AB
*
-1
22n-1
. （1998 数四） (答案: -)
3
提示: 2AB
*-1
=2nA*⋅B-1=2nA
n-1
1. B
7. 设矩阵A=⎢
⎡1-1⎤-12
B, 求. （2002 数四） ,B=A-3A+2E⎥
⎣23⎦
提示: 方法一 先求出B, 再计算B-1
方法二 由B=A2
-3A+2E
⇒B=(A-E)(A-2E)⇒B-1
=(A-E)
-1
(A-2E)
-1
8. 设A是任一n(n≥3)阶方阵, k为常数, 求(kA)*
. （1998 数二）
提示: 方法一 因为kA的余子式-1An-1*
ij=knij, 故(kA)*
=kA.
方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设A可逆, k≠0, 则
(kA)
*
=kA(kA)-1
=knA⋅
1k
A-1
=kn-1A*. 9. 已知n阶矩阵A,B满足B=(E+A)-1(E-A),证明: E+B可逆, 并求其逆. 若
⎡⎢1000⎤A=⎢
-2300⎥⎢0⎥⎥, 求(E+B)-1. （2000 数二） ⎢
0-45⎣00-67⎥⎦
提示: 方法一 B=(E+A)-1
(E-A, )
⇒B+AB=E-A⇒(E+A)B+E+A=2E ⇒(E+A)(E+B)=2E
故E+B可逆, 且(E+B)
-1
=
1
2
(E+A). 方法二 B=(E+A)-1
(E-A, )
⇒B=(E+A)-1(2E-(E+A))⇒B=2(E+A)-1-E
⇒B+E=2(E+A)-1
故E+B可逆, 且(E+B)
-1
=
1
2
(E+A). ⎡已知矩阵A,B满足2A-1
B=B-4E, 证明矩阵A-2E可逆. 若B=⎢1-2⎢12⎢⎣002000 数二）
提示: 由2A-1
B=B-4E
0⎤0⎥, 求矩阵A. 2⎥⎥⎦
10.
（
⇒AB-2B=4A
⇒(A-2E)B=4(A-2E)+8E ⇒(A-2E)(B-4E)=8E
故A-2E可逆. 且A=2E+8(B-4E)
-1
=
11. 设矩阵X满足A*X=A-1+2X, 求矩阵X. （1999 数二）
提示: 由A*X=A-1+2X,
⇒AX=E+2AX⇒(AE-2A)X=E ⇒X=(AE-2A)
-1
⎡10⎢01*
12. 设矩阵A的伴随矩阵A=⎢
⎢10⎢
⎣0-3
提示: ABA-1=BA-1+3E,
0010
0⎤0⎥⎥, 且ABA-1=BA-1+3E, 求矩阵B. (2000 数一) 0⎥⎥8⎦
⇒AB-B=3A⇒(A-E)B=3A⇒(E-A-1)B=3E⇒(AE-A*)B=3AE⇒B=3A(AE-A*)(A*=A
-1
n-1
)
⎡100⎤⎡011⎤⎢⎥⎢⎥13. 矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E, 矩阵A=110,B=101, 求X. （2001⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣111⎥⎦⎣110⎥⎦
数二）
⎡1-20⎤⎢⎥14. 已知n阶矩阵A,B满足条件AB-B=A, 求A. (若B=210) (1999 数四） ⎢⎥⎢⎣002⎥⎦
提示: 由AB-B=A
⇒(A-E)(B-E)=E⇒A=E+(B-E)
-1
⎡423⎤⎢⎥15. 设矩阵A,B满足关系式AB=A+2B, 求矩阵B. (若A=110, 求B) （1987 数三 四） ⎢⎥⎢⎣-123⎥⎦
⎡100⎤⎢⎥*
16. 设矩阵A,B满足ABA=2BA-8E, 求B.(若A=0-20, 求B) （1998 数三 四）
⎢⎥⎢⎣001⎥⎦
提示: 方法一
A*BA=2BA-8E,
⇒(A*-2E)BA=-8E(故A*-2E，A,B可逆)⇒(AE-2A)BA=-8A⇒B=-8(AE-2A) A*BA=2BA-8E⇒AA-1B=2B-8A-1⇒(AE-2A)B=-8E⇒B=-8(AE-2A)
-1
-1
方法二 若A已知, 则A必是可逆矩阵（方法一）, 则
17. 设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 求满足AQ=C的可逆矩阵Q. （2004 数一）
提示: 因为A→B,B→C, 所以AP(1,2)=B,BP3,2(1)=C
c1c2
c3+c2
()
⎛011⎫
⎪
⇒AP(1,2)P(3,2(1))=C⇒Q=P(1,2)P(3,2(1))= 100⎪.
001⎪⎝⎭
18. 设A为3阶矩阵, 将A第2行加到第1行得B, 再将B的第1列的-1倍加到第2列得到C, 记
⎛110⎫
⎪P= 010⎪, 则
001⎪⎝⎭
（A）C=PAP; (B)C=PAP; (C)C=PAP; (D)C=PAP. （2006 数一）(答案: B) 提示: A→B,B→C⇒A→C
c2-c1
r1+r1
c2-c1
r1+r1
-1-1TT
∴C=PAP-1
⎛a21
19. 设B= a11
a+a⎝3111
a22a12a32+a12
⎫⎛a11⎪ a13⎪, A= a21
aa33+a13⎪⎭⎝31
a23a12a22a32
a13⎫
⎪
a23⎪, 试给出A,B间的关系式. 并证明a33⎪⎭
A,B同时可逆或同时不可逆.
提示: A→B
r3+r2
r1r2
∴ B=P(3,2(1))P(1,2)A B=-A
20. 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵, 交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵, 证明: 交换A的第1列与第2列得矩阵-B. （2005 数一 二）
*
*
第二讲 矩 阵
一、矩阵的概念及其基本运算 1. 矩阵及其表示 aij或A或a基本矩阵:
行矩阵 A=(a1,a2, ,an)
()()
ijm⨯n
或A
⨯m n
⎛a1⎫
⎪a2⎪ 列矩阵 A= ⎪ a⎪⎪⎝n⎭
⎛00 0⎫ ⎪00 0⎪ 零矩阵
⎪ 00 0⎪⎪⎝⎭
⎛-a11-a12
-a21-a22
负矩阵
-a
⎝m1-am2
方阵
-an1⎫
⎪∆
-an2
⎪=-A
⎪
⎪
-amn⎪⎭
A=(aij)
n⨯n
⊃
⎧上三角矩阵 aij=0(∀i>j)
⎪
⎪下三角矩阵 aij=0(∀i
⎪对角矩阵aij=0(∀i≠j)⊃数量矩阵 aii=a(∀i)⎪
⎨
⎪ ⊃单位矩阵 aii=1(∀i)⎪对称矩阵 a=a(∀i,j)
ijji
⎪⎪⎩反对称矩阵 aij=-aji(∀i,j)
特殊矩阵:
可交换矩阵 AB=BA
例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即(kE)A=A(kE)
秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵
α'α=∑ai2
i=1
n
⎛a12 aa
αα'= 21
aa⎝n1
2. 基本运算及其运算规律 相等 aij=bi( ,ji=1,2
a1a2 a1an⎫
⎪2
a2 a2an⎪TT
, 其中α=(a1,a2, ,an)≠ο
⎪
⎪2⎪ana2 an⎭
m,,j=1, 2, n
A=B⇔B=A (交换律）
A=B, B=C⇒A=C (传递律）
加法 aij
()
m⨯n
+(bi)j
m⨯n
=(ai+)jb
ij⨯mn
A+B=B+A (交换律）
(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)
A+O=AA+(-A)=O
数乘法 kaij
(零矩阵的作用)
()
m⨯n
=(kai)j
⨯mn
1A=A
(kl)A=k(lA)
（分配律）
k+lA=kA+lA()
k(A+B)=kA+lA
乘法 aij
()(b)
m⨯p
ijp⨯n
=(c)ij
⨯mn
（其中cij=
∑ab
k=1
p
ikkj
）
(AB)C=A(BC)（结合律）
k(AB)=(kA)B=A(kB)（结合律） A(B+C)=AB+AC（左分配律）
(A+B)C=AC+BC（右分配律）
Am⨯nEn=EmAm⨯n=Am⨯n（单位矩阵的乘法作用）
Am⨯nOn⨯p=Om⨯pOp⨯mAm⨯n=Op⨯n
(零矩阵的乘法作用)
Ak=Ak-1AAkAl=Ak+l
(Ak)=Akl (方阵的幂的性质)
l
若AB=BA,则(AB)=AkBk(以上k与l皆为正整数)
矩阵的转置 A=aij
k
()
m⨯n
T
⇒A=(aj)i
⨯nm
(AT)=A
T
(A+B)=AT+BT
T
(kA)=kA'
T
(AB)=BTAT
* 相等与加法运算的条件 * 乘法运算的条件
* 乘法没有交换律 (例2.3, 例2.4, 例2.5)
消去律 (例2.7)
T
幂零律 (例如: A=
3. 矩阵应用
⎛11⎫2
⎪,A=O)
⎝-1-1⎭
用矩阵表示线性变换 Y=AX 用矩阵表示线性方程组 AX=B
二、逆矩阵
1. 方阵行列式及其性质 方阵行列式 A⇒A
T
运算性质 A=A
A-1=A
-1
(A≠0)
μA=μnA
AB=BA=A⋅B
2. 伴随矩阵及其性质
⎛A11 A21
* 伴随矩阵 A⇒A⇒A= A⎝n1
运算性质 AA=AA=AE
*
*
A12A22 An2
An⎫1
⎪
An⎪2
⎪
⎪
Ann⎪⎭
T
(A*)=(AT)
T*
*
(kA)=kn-1A*
*
(AB)=B*A*
(k≠0)
(A*)=A
*
n-2
A
A*=A
3. 逆矩阵及其性质
n-1
-1
若存在矩阵B, 使得AB=BA=E, 则称矩阵A可逆, 称B为A的逆, 并记B=A.
性质: 1)逆矩阵唯一.
2)若A,B是同阶可逆矩阵, 则AB也是可逆矩阵, 且(AB)
-1
=B-1A-1.
3)矩阵A可逆的充要条件是A≠0.且当A≠0时, A
-1
=
1*
A. A
T-1*
4)若A可逆,数k≠0, 则A,A,A,kA都可逆, 且
(AT)=(A-1)
-1
T
(A)=A(A)=(A)
-1-1*-1
-1*
=
1 AA
(kA)
-1
=
1-1Ak
5)若A可逆, 则
A0=E
A-k=(A-1)=(Ak)
k
-1
AkAl=Ak+l
(A)
kl
=Akl
(以上k,l皆为整数)
4. 判定矩阵可逆的几个条件 (1)矩阵A可逆的充要条件是A≠0.
(2)矩阵A可逆的充要条件是, 存在矩阵B, 使得AB=E或BA=E. 5. 逆矩阵的计算方法
(1)伴随矩阵法 当A≠0时, A
-1
=
1*
A. A
-1
(2)初等变换法 (A E)→E A
()
三、初等变换
初等变换 P39
初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39
,]j PP+i(⎡⎤初等矩阵有三种类型 P[i⎣(i)k⎦ ⎡⎣,]j=-1 初等矩阵是可逆矩阵 P[i
初等矩阵的逆矩阵分别为
)j ⎤⎦k
=k
P+i⎡(⎣
= )j⎤⎦k
1
P⎡⎣(i)-1-1⎡⎛1⎫⎤-1
P[i,j]=P[i,j] P⎡ik=Pi Pi+jk⎤⎡⎤()⎦=P⎡⎢ k⎪⎥⎣()⎦⎣⎣i+j(-k)⎤⎦
⎣⎝⎭⎦
初等变换的性质:
定理1(P41 定理2.7)
A→B⇔P[i,j]A=B （A→B⇔AP[i,j]=B）
A→B⇔P⎡B⇔AP⎡⎣i(k)⎤⎦A=B （A(→⎣i(k)⎤⎦=B） k≠0)(k≠0)
ri⨯k
ci⨯k
rirjcicj
A→B⇔P⎡⎣i,j(k)⎤⎦A=B （A→B⇔AP⎡⎣i,j(k)⎤⎦=B）
定理2(P44 定理2.10) 任何矩阵A都与形如
ri+krjci+kcj
⎛Er
⎝OO⎫
⎪的矩阵等价（其中r由A唯一决定）. O⎭
⎛Er ⎝OO⎫
⎪称为矩阵A的等价标准形. O⎭
推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵A, 一定存在可逆矩阵P和Q, 使得PAQ=
⎛Er⎝OO⎫⎪. O⎭
推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.
6. 逆矩阵应用
A≠0
利用逆矩阵解线性方程组 AX=BX=AB
-1
(A B)→(E
A≠0
A-1B)
-1
利用逆矩阵求逆线性变换 Y=AXX=AY 四、分块矩阵
⎛A1
分块对角阵 A=
⎝
分块对角阵的性质:
A2
⎫⎪
⎪, 其中A(i=1,2, ,n)是方阵
i
⎪
⎪An⎪⎭
(1) A=A1⋅A2 An;
⎛A1-1 -1
(2) 若Ai≠0(i=1,2, ,n), 则A=
⎝
五、习题解答 1. P49 8. 提示: (A+2E)
-1
-1A2
⎫⎪⎪. ⎪
⎪-1⎪An⎭
(A
2
-4E)=(A+2E)
-1
(A+2E)(A-2E)=(A-2E)= (A+2E-4E)=E-4(A+2E)
-1
(A+2E)
2. P49 10.
-1
(A
2
-2E)=(A+2E)
-1
=
⎛010⎫⎛1-43⎫⎛100⎫⎛010⎫⎛1-43⎫⎛100⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪
20-1001=10020-1001提示: X=100 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪
001⎪ 1-20⎪010⎪ 001⎪1-20⎪010⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛010⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪100,001 ⎪ ⎪是第一种初等矩阵, 其逆是自己. 由定理2.7易得X. 001⎪ 010⎪⎝⎭⎝⎭
3. P49 11.
提示: AB=A+B⇒(A-E)B=A⇒B=(A-E)A=(A-E)4. P50 13. 提示: PAP5. P49 12.
提示: 运用P50 13.的结果：PAP6. P50 16.
提示: AA=AE⇒AA=AA*=an-1 7. P50 17. 提示: 设A=aij
*
*
nA≠0
-1
-1
-1-1
(A-E+E)=E+(A-E)
-1
(
-1
)=(P
n
-1
AP)(P-1AP) (P-1AP)=P-1APP-1A PP-1AP=P-1AnP
(
-1
)
n
=P-1AnP.
()
*
n⨯n
, 则
2AA=AA=AEAA=O⇒∑aij=0,i=1, ,n, T
T
j=1
A=0n
A是实数矩阵⇒aij=0,∀ij⇒A=O. 产生矛盾, 故A≠0.
8. P50 18. 证明: E-A可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法
方法二 构造法
假设E-A可逆, D是其逆, 则(E-A)D=E, 于是
D-AD=E AD-A2D=A A2D-A3D=A2
+ Ak-1D-AkD=Ak-1 D=E+A+ +Ak-1
因此, E-A可逆, 且(E-A)
9. P50 19. 证明: E+BA可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法
方法二 构造法
假设E-A可逆, D是其逆, 则(E-A)D=E, 于是
-1
=E+A+ +Ak-1.
D-AD=E AD-A2D=A A2D-A3D=A2
+ Ak-1D-AkD=Ak-1 D=E+A+ +Ak-1
因此, E-A可逆, 且(E-A)
10. P50 22.
结论: 与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵. 11. P50 4
结论: 上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对角矩阵的积是对角矩阵. 12. P51 5.
-1
=E+A+ +Ak-1.
提示: (1)
Em
一方面 A
BEn
c1-c2A
=
Em-BAO
BEn
=En⋅Em-BA=Em-BAEm
另一方面 A
BEn
c2-c1B
=
EmA
OEn-AB
= En-AB
(2) λEn-AB=
EmA
B
λEn
B
1c1-c2A
＝
λ
Em-
1
λ≠0
λ
BA
O
1
λEnλ
BA(分块对角阵性质)
= λEn⋅Em-
=λn-mλEm-BA
13. P51 6. 提示:
r2
ABA⎛ABEO⎫⎛E
⎪r-→ ⎪r→-1-1-12-r1CDOEOD-CAB-CAE⎝⎭⎝⎭1ABr2
⎛EOA-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1-(D-CA-1B)-1CA-1⎫ ⎪
-1-1 ⎪-1-1-1 OE⎪D-CABCAD-CAB()()⎝⎭
A-1r1
-1
-1
O⎫(D-CAB)
1
-1
六、知识扩展 1. 已知α=(12
⎛1
3),β= 1
⎝2
n
n-1
1⎫n
'AA=αβ, 设, 求. ⎪
3⎭
n
提示: A=(α'β)=α'(βα')
β
1⎫3⎪⎪2⎪ ⎪3⎪1⎪⎪⎭
⎛ 1
=3n-1α'β=3n-1 2
3⎝
12132
⎛21⎫
2. 设矩阵A= ⎪, E为2阶单位矩阵, 矩阵B满足BA=B+2E, 求B. （2006 数四）
-12⎝⎭
提示: BA=B+2E⇒B(A-E)=2E
⎛11⎫⎛1-1⎫-1
⇒B=2(A-E)=2 =⎪ ⎪
⎝-11⎭⎝11⎭
-1
⎡101⎤
⎢⎥nn-1
3. 设A=020, 而n(≥2)为正整数, 求A-2A. （1999 数三 四） (答案: O)
⎢⎥⎢⎣101⎥⎦
（可试着推测结果）
⎛202⎫
⎪2nn-1n-22
提示:A= 040⎪=2A⇒A-2A=A(A-2A)=O
202⎪⎝⎭
⎛0-10⎫ ⎪
0⎪, B=P-1AP, 其中P为三阶可逆矩阵, 求B2004-2A2. (2004 数四) 4. 设A= 10
00-1⎪⎝⎭⎛-1⎫
⎪2
-1⎪⇒A4=E⇒ 提示: A= 1⎪⎝⎭
⎛3⎫
⎪
B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1P-2A2= 3⎪.
-1⎪⎝⎭
5. 设A,B,C均为n阶矩阵, 若B=E+AB,C=A+CA, 求B-C. （2005 数四） 提示: B(E-A)=E,C(E-A)=A
⎧E-A可逆 ⇒⎨
⎩(B-C)(E-A)=E-A ⇒B-C=E
6. 设A,B,C均为n阶矩阵, A=2,B=-3, 求2AB
*
-1
22n-1
. （1998 数四） (答案: -)
3
提示: 2AB
*-1
=2nA*⋅B-1=2nA
n-1
1. B
7. 设矩阵A=⎢
⎡1-1⎤-12
B, 求. （2002 数四） ,B=A-3A+2E⎥
⎣23⎦
提示: 方法一 先求出B, 再计算B-1
方法二 由B=A2
-3A+2E
⇒B=(A-E)(A-2E)⇒B-1
=(A-E)
-1
(A-2E)
-1
8. 设A是任一n(n≥3)阶方阵, k为常数, 求(kA)*
. （1998 数二）
提示: 方法一 因为kA的余子式-1An-1*
ij=knij, 故(kA)*
=kA.
方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设A可逆, k≠0, 则
(kA)
*
=kA(kA)-1
=knA⋅
1k
A-1
=kn-1A*. 9. 已知n阶矩阵A,B满足B=(E+A)-1(E-A),证明: E+B可逆, 并求其逆. 若
⎡⎢1000⎤A=⎢
-2300⎥⎢0⎥⎥, 求(E+B)-1. （2000 数二） ⎢
0-45⎣00-67⎥⎦
提示: 方法一 B=(E+A)-1
(E-A, )
⇒B+AB=E-A⇒(E+A)B+E+A=2E ⇒(E+A)(E+B)=2E
故E+B可逆, 且(E+B)
-1
=
1
2
(E+A). 方法二 B=(E+A)-1
(E-A, )
⇒B=(E+A)-1(2E-(E+A))⇒B=2(E+A)-1-E
⇒B+E=2(E+A)-1
故E+B可逆, 且(E+B)
-1
=
1
2
(E+A). ⎡已知矩阵A,B满足2A-1
B=B-4E, 证明矩阵A-2E可逆. 若B=⎢1-2⎢12⎢⎣002000 数二）
提示: 由2A-1
B=B-4E
0⎤0⎥, 求矩阵A. 2⎥⎥⎦
10.
（
⇒AB-2B=4A
⇒(A-2E)B=4(A-2E)+8E ⇒(A-2E)(B-4E)=8E
故A-2E可逆. 且A=2E+8(B-4E)
-1
=
11. 设矩阵X满足A*X=A-1+2X, 求矩阵X. （1999 数二）
提示: 由A*X=A-1+2X,
⇒AX=E+2AX⇒(AE-2A)X=E ⇒X=(AE-2A)
-1
⎡10⎢01*
12. 设矩阵A的伴随矩阵A=⎢
⎢10⎢
⎣0-3
提示: ABA-1=BA-1+3E,
0010
0⎤0⎥⎥, 且ABA-1=BA-1+3E, 求矩阵B. (2000 数一) 0⎥⎥8⎦
⇒AB-B=3A⇒(A-E)B=3A⇒(E-A-1)B=3E⇒(AE-A*)B=3AE⇒B=3A(AE-A*)(A*=A
-1
n-1
)
⎡100⎤⎡011⎤⎢⎥⎢⎥13. 矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E, 矩阵A=110,B=101, 求X. （2001⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣111⎥⎦⎣110⎥⎦
数二）
⎡1-20⎤⎢⎥14. 已知n阶矩阵A,B满足条件AB-B=A, 求A. (若B=210) (1999 数四） ⎢⎥⎢⎣002⎥⎦
提示: 由AB-B=A
⇒(A-E)(B-E)=E⇒A=E+(B-E)
-1
⎡423⎤⎢⎥15. 设矩阵A,B满足关系式AB=A+2B, 求矩阵B. (若A=110, 求B) （1987 数三 四） ⎢⎥⎢⎣-123⎥⎦
⎡100⎤⎢⎥*
16. 设矩阵A,B满足ABA=2BA-8E, 求B.(若A=0-20, 求B) （1998 数三 四）
⎢⎥⎢⎣001⎥⎦
提示: 方法一
A*BA=2BA-8E,
⇒(A*-2E)BA=-8E(故A*-2E，A,B可逆)⇒(AE-2A)BA=-8A⇒B=-8(AE-2A) A*BA=2BA-8E⇒AA-1B=2B-8A-1⇒(AE-2A)B=-8E⇒B=-8(AE-2A)
-1
-1
方法二 若A已知, 则A必是可逆矩阵（方法一）, 则
17. 设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 求满足AQ=C的可逆矩阵Q. （2004 数一）
提示: 因为A→B,B→C, 所以AP(1,2)=B,BP3,2(1)=C
c1c2
c3+c2
()
⎛011⎫
⎪
⇒AP(1,2)P(3,2(1))=C⇒Q=P(1,2)P(3,2(1))= 100⎪.
001⎪⎝⎭
18. 设A为3阶矩阵, 将A第2行加到第1行得B, 再将B的第1列的-1倍加到第2列得到C, 记
⎛110⎫
⎪P= 010⎪, 则
001⎪⎝⎭
（A）C=PAP; (B)C=PAP; (C)C=PAP; (D)C=PAP. （2006 数一）(答案: B) 提示: A→B,B→C⇒A→C
c2-c1
r1+r1
c2-c1
r1+r1
-1-1TT
∴C=PAP-1
⎛a21
19. 设B= a11
a+a⎝3111
a22a12a32+a12
⎫⎛a11⎪ a13⎪, A= a21
aa33+a13⎪⎭⎝31
a23a12a22a32
a13⎫
⎪
a23⎪, 试给出A,B间的关系式. 并证明a33⎪⎭
A,B同时可逆或同时不可逆.
提示: A→B
r3+r2
r1r2
∴ B=P(3,2(1))P(1,2)A B=-A
20. 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵, 交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵, 证明: 交换A的第1列与第2列得矩阵-B. （2005 数一 二）
*
*