小学奥数平面几何五大定律
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形
四、相似模型
(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型
A
E
A
F D
D B
F G
E C
B G C
_G
_C G _C _
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) ．
∵在正方形ABCD 中，S △AB G =
1
⨯AB ⨯AB 边上的高， 2
1
S =S ABCD (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) ∴△ABG
2
同理，S △ABG =
1
S EFGB ． 2
∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽=8⨯8÷10=6.4(厘米) ．
【例 2】 长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
A
B
【解析】 如图，连接OE ．
B
11
S =S ∆OED ； ON :ND =S :S =S :S =1:1根据蝴蝶定理，，所以∆OEN ∆COE ∆CDE ∆CAE ∆CDE
22
11
S =S ∆OEA ． OM :MA =S ∆BOE :S ∆BAE =S ∆BDE :S ∆BAE =1:4，所以∆OEM
52
11
S =⨯S 矩形ABCD =3，S ∆OEA =2S ∆OED =6，所以阴影部分面积为：3⨯1+6⨯1=2.7． 又∆OED
3425
【例 6】 如图在△ABC 中，D , E 分别是AB , AC 上的点，且AD :AB =2:5，AE :AC =4:7，S △ADE =16平方
厘米，求△ABC 的面积．
A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
D
A
A
E
B
C
E
B C
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯3) :(5⨯3)
S △ABE :S △ABC =AE :AC =3:(3+2) =(3⨯5) :[(3+2) ⨯5]，
所以S △ADE :S △ABC =(3⨯2) :[5⨯(3+2) ]=6:25，设S △ADE =6份，则S △ABC =25份，S △ADE =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC 的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE =AB ，CF =2CB ，GD =3DC ，HA =4AD ，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知FD =24厘米，BD =18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
E
D
F
E
D
【解析】 设S △DEF =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S 阴影=
55
S △BCD =平方厘米. 1212
【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示) ．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面
1
积的，且AO =2，DO =3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．
3
A
B
D
A C
B
D
ABCD 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知
条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件
C
⑵由于△BCO 的面积为8，△BOE 的面积为6，所以△OCE 的面积为8-6=2，
根据蝴蝶定理，EG :FG =S ∆COE :S ∆COF =2:4=1:2，所以S ∆GCE :S ∆GCF =EG :FG =1:2， 那么S ∆GCE
=
112
S ∆CEF =⨯2=． 1+233
【例 16】 如图，长方形ABCD 中，BE :EC =2:3，DF :FC =1:2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方
形ABCD 的面积．
A
D F C
A
D F C
B
E
B
E
2
S 梯形=（1+2）=9(平方厘米) ，
【解析】 连接DE ，根据题意可知BE :AD =1:2，根据蝴蝶定理得
S △ECD =3(平方厘米) ，那么S ABCD =12(平方厘米) ．
【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，BC :CE =3:2，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是
平方厘米．
∆OCD 另解：在平行四边形ABED 中，S ∆ADE =
11
S ABED =⨯(16+8)=12(平方厘米) ， 22
所以S ∆AOE =S ∆ADE -S ∆AOD =12-8=4(平方厘米) ，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯2÷4=4(平方厘米) ．
【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余
下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
A E
25
8
F
?
B
A E
25
8
F
B
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都
比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．
1
左图中AEGD 为长方形，可知∆AM D 的面积为长方形AEGD 面积的，所以三角形AMD 的面积为
4
11111
12⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1-⨯4=．
24882
AD =D F =FM =M P =PB ，则
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB = ．
【解析】 设S △ADE
=1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此S △AFG =4份，进而有S 四边形DEGF =3份，
=5份，S 四边形MNQP =7份，S 四边形PQCB =9份．
同理有S 四边形FGNM 所以有
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =1:3:5:7:9
可得，AI :BC =AE :EB =1:1，从而可以确定M 的点的位置，
21
BM :MF =BC :IF =2:3，BM =BF ，BG =BD (鸟头定理) ，
53
可得S ∆BMG =
212111
⨯S ∆BDF =⨯⨯S ABCD = 5353430
【例 25】 如图，ABCD 为正方形，AM =NB =DE =FC =1cm 且MN =2cm ，请问四边形PQRS 的面积为多少？
D
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =3:4=15:20 S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:6=15:18
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以S △AOC :S △BOC =20:18=10:9=AF :FB
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =2:3，EA :CE =5:4，求AF :FB .
A
F O E
D
C
D
C
【解析】 连接BG ，S △AGC =6份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:2=6:4，S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:2=9:6
S 6
得S △BGC =4(份) ，S △ABG =9(份) ，则S △ABC =19(份) ，因此△AGC =,
S △ABC 19同理连接AI 、CH 得
S △ABH S 6S 619-6-6-61
=, △BIC =, 所以△GHI == S △ABC 19S △ABC 19S △ABC 1919
三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出
这9部分的面积各是多少?
A
A
G
P
Q
B
B
N D
，所以四边形JKIH 的面积为1-S CGKJ ⨯2+S ∆AGI +S ∆ABE =⨯2++==．
[1**********]
【例 29】 右图，△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与
BG 交于N ，已知△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？
A G
F
C
B
D E
A G
B
【解析】 连接CM 、CN ．
D E F C
1⎫111⎛11
S △ABC 所以S △ABP =S △ABC ，所以S 五边形DNPQE =S △ABP -S △ADN -S △BEP = --⎪S △ABC =1055⎝52121⎭
1111113
同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的，所以S 阴影=1-⨯3- ⨯3=
105610570
【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点, 求中心六边形
面积.
A
A
C
B
G
B
G
C
△BCD △CGF
△CGF △CDB 同理S △ABD :S △AHE =1:2，即S △AHE =2S △ABD 所以S △AHE +S △CGF =2(S △CBD +S △ADB ) =2S 四边形ABCD 连接AC ，同理可以得到S △DHG +S △BEF =2S 四边形ABCD
S 四边形EFGH =S △AHE +S △CGF +S △HDG +S △BEF +S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD 所以S 四边形ABCD =66÷5=13.2平方米
练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是
平方厘米．
11
所以S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE =S ∆AEC ' +S ∆ACE +S ∆CDE =S ACA ' C ' =⨯10⨯10=50cm 2．
22
练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面
积是_____平方厘米．
【解析】 连接BG ，S △AGC =12份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =4:3=12:9，S △ABG :S △AGC =BD :DC =4:3=16:12
S 12
得S △BGC =9(份) ，S △ABG =16(份) ，则S △ABC =9+12+16=37(份) ，因此△AGC =,
S △ABC 37
同理连接AI 、CH 得
S △ABH 12S △BIC 12S 37-12-12-121
===, , 所以△GHI = S △ABC 37S △ABC 37S △ABC 3737
三角形ABC 的面积是74, 所以三角形GHI 的面积是74⨯
1
=2 37
月测备选
【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角
D 1
D
3
【解析】 连接CO , 设S △AEO =1份，则其他部分的面积如图所示，所以S △ABC
12+4.5139313.59
按从小到大各占△ABC 面积的, =, =, =
[1**********]020
=1+2+9+18=30份，所以四部分
【备选4】 如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使CE =
1
BC ，F 是AC 的中点，2
若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？
A F
B
D
C
E
△ABC
小学奥数平面几何五大定律
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形
四、相似模型
(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型
A
E
A
F D
D B
F G
E C
B G C
_G
_C G _C _
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) ．
∵在正方形ABCD 中，S △AB G =
1
⨯AB ⨯AB 边上的高， 2
1
S =S ABCD (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) ∴△ABG
2
同理，S △ABG =
1
S EFGB ． 2
∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽=8⨯8÷10=6.4(厘米) ．
【例 2】 长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
A
B
【解析】 如图，连接OE ．
B
11
S =S ∆OED ； ON :ND =S :S =S :S =1:1根据蝴蝶定理，，所以∆OEN ∆COE ∆CDE ∆CAE ∆CDE
22
11
S =S ∆OEA ． OM :MA =S ∆BOE :S ∆BAE =S ∆BDE :S ∆BAE =1:4，所以∆OEM
52
11
S =⨯S 矩形ABCD =3，S ∆OEA =2S ∆OED =6，所以阴影部分面积为：3⨯1+6⨯1=2.7． 又∆OED
3425
【例 6】 如图在△ABC 中，D , E 分别是AB , AC 上的点，且AD :AB =2:5，AE :AC =4:7，S △ADE =16平方
厘米，求△ABC 的面积．
A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
D
A
A
E
B
C
E
B C
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯3) :(5⨯3)
S △ABE :S △ABC =AE :AC =3:(3+2) =(3⨯5) :[(3+2) ⨯5]，
所以S △ADE :S △ABC =(3⨯2) :[5⨯(3+2) ]=6:25，设S △ADE =6份，则S △ABC =25份，S △ADE =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC 的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE =AB ，CF =2CB ，GD =3DC ，HA =4AD ，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知FD =24厘米，BD =18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
E
D
F
E
D
【解析】 设S △DEF =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S 阴影=
55
S △BCD =平方厘米. 1212
【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示) ．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面
1
积的，且AO =2，DO =3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．
3
A
B
D
A C
B
D
ABCD 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知
条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件
C
⑵由于△BCO 的面积为8，△BOE 的面积为6，所以△OCE 的面积为8-6=2，
根据蝴蝶定理，EG :FG =S ∆COE :S ∆COF =2:4=1:2，所以S ∆GCE :S ∆GCF =EG :FG =1:2， 那么S ∆GCE
=
112
S ∆CEF =⨯2=． 1+233
【例 16】 如图，长方形ABCD 中，BE :EC =2:3，DF :FC =1:2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方
形ABCD 的面积．
A
D F C
A
D F C
B
E
B
E
2
S 梯形=（1+2）=9(平方厘米) ，
【解析】 连接DE ，根据题意可知BE :AD =1:2，根据蝴蝶定理得
S △ECD =3(平方厘米) ，那么S ABCD =12(平方厘米) ．
【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，BC :CE =3:2，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是
平方厘米．
∆OCD 另解：在平行四边形ABED 中，S ∆ADE =
11
S ABED =⨯(16+8)=12(平方厘米) ， 22
所以S ∆AOE =S ∆ADE -S ∆AOD =12-8=4(平方厘米) ，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯2÷4=4(平方厘米) ．
【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余
下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
A E
25
8
F
?
B
A E
25
8
F
B
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都
比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．
1
左图中AEGD 为长方形，可知∆AM D 的面积为长方形AEGD 面积的，所以三角形AMD 的面积为
4
11111
12⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1-⨯4=．
24882
AD =D F =FM =M P =PB ，则
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB = ．
【解析】 设S △ADE
=1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此S △AFG =4份，进而有S 四边形DEGF =3份，
=5份，S 四边形MNQP =7份，S 四边形PQCB =9份．
同理有S 四边形FGNM 所以有
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =1:3:5:7:9
可得，AI :BC =AE :EB =1:1，从而可以确定M 的点的位置，
21
BM :MF =BC :IF =2:3，BM =BF ，BG =BD (鸟头定理) ，
53
可得S ∆BMG =
212111
⨯S ∆BDF =⨯⨯S ABCD = 5353430
【例 25】 如图，ABCD 为正方形，AM =NB =DE =FC =1cm 且MN =2cm ，请问四边形PQRS 的面积为多少？
D
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =3:4=15:20 S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:6=15:18
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以S △AOC :S △BOC =20:18=10:9=AF :FB
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =2:3，EA :CE =5:4，求AF :FB .
A
F O E
D
C
D
C
【解析】 连接BG ，S △AGC =6份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:2=6:4，S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:2=9:6
S 6
得S △BGC =4(份) ，S △ABG =9(份) ，则S △ABC =19(份) ，因此△AGC =,
S △ABC 19同理连接AI 、CH 得
S △ABH S 6S 619-6-6-61
=, △BIC =, 所以△GHI == S △ABC 19S △ABC 19S △ABC 1919
三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出
这9部分的面积各是多少?
A
A
G
P
Q
B
B
N D
，所以四边形JKIH 的面积为1-S CGKJ ⨯2+S ∆AGI +S ∆ABE =⨯2++==．
[1**********]
【例 29】 右图，△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与
BG 交于N ，已知△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？
A G
F
C
B
D E
A G
B
【解析】 连接CM 、CN ．
D E F C
1⎫111⎛11
S △ABC 所以S △ABP =S △ABC ，所以S 五边形DNPQE =S △ABP -S △ADN -S △BEP = --⎪S △ABC =1055⎝52121⎭
1111113
同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的，所以S 阴影=1-⨯3- ⨯3=
105610570
【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点, 求中心六边形
面积.
A
A
C
B
G
B
G
C
△BCD △CGF
△CGF △CDB 同理S △ABD :S △AHE =1:2，即S △AHE =2S △ABD 所以S △AHE +S △CGF =2(S △CBD +S △ADB ) =2S 四边形ABCD 连接AC ，同理可以得到S △DHG +S △BEF =2S 四边形ABCD
S 四边形EFGH =S △AHE +S △CGF +S △HDG +S △BEF +S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD 所以S 四边形ABCD =66÷5=13.2平方米
练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是
平方厘米．
11
所以S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE =S ∆AEC ' +S ∆ACE +S ∆CDE =S ACA ' C ' =⨯10⨯10=50cm 2．
22
练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面
积是_____平方厘米．
【解析】 连接BG ，S △AGC =12份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =4:3=12:9，S △ABG :S △AGC =BD :DC =4:3=16:12
S 12
得S △BGC =9(份) ，S △ABG =16(份) ，则S △ABC =9+12+16=37(份) ，因此△AGC =,
S △ABC 37
同理连接AI 、CH 得
S △ABH 12S △BIC 12S 37-12-12-121
===, , 所以△GHI = S △ABC 37S △ABC 37S △ABC 3737
三角形ABC 的面积是74, 所以三角形GHI 的面积是74⨯
1
=2 37
月测备选
【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角
D 1
D
3
【解析】 连接CO , 设S △AEO =1份，则其他部分的面积如图所示，所以S △ABC
12+4.5139313.59
按从小到大各占△ABC 面积的, =, =, =
[1**********]020
=1+2+9+18=30份，所以四部分
【备选4】 如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使CE =
1
BC ，F 是AC 的中点，2
若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？
A F
B
D
C
E
△ABC