一、比例与齐次式
我们在式的运算中,常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式,这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向;齐次式常常会同除以某一个数,转化过程在本质上起到消元作用,从而会出现整体思想.
例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.
求证:此三角形为直角三角形.
a c 例2
已知:=. b
d a -b c -d a +b c +d 求证:(1)(2) b d b d
a c a +c (3)=b d b +d
AB AC AD AE 例3 已知△ABC 中,有=,求证:=. AD AE DB EC
12例4 已知:a +b =1且=,求a 和b . b a
例5 已知y =2x (x ≠0) .
x 2-3xy +y 2
(1)求 xy +y 3(2)求证:x 2-y 2=0. 2
例6 已知:x ∶y ∶z =1∶2∶3.
x 3-yz 2+3z 3
求 xyz
二、二次根式 a (a ≥0) 的代数式叫做二次根式.其运算性质如下:
1.a ) 2=a (a ≥0) .
2. =|a |. 3. ab a b (a ≥0,b ≥0) . b 4. (a >0,b ≥0) . a a
例7 将下列式子化为最简根式.
(1)12b ;(2)a b (a ≥0) ; (3)x y (x
例8 试比较下列各组数的大小. (1)-111110;
(2)2和2-6. +4例9 化简:(3+2) 2012·(3-2) 2013.
例10 化简:(1)
例11 已知:x =9-45;(2) 1x 2+2-2(0
求:3x 2-5xy +3y 2的值.
例12 已知:x >0,y >0,x +2xy -15y =0.
求x -y 的值. x xy
例13 化简:x 2+6x +9+x 2-4x +4.
a b c 1==k ,则k =________. b +c c +a a +b
x 2.已知:x 2-3xy +2y 2=0,则=________. y
x 2-3xy +4y 2
3.已知x ∶y =1∶2,求:的值. x +y 2x +3y 4.已知:x 2+5xy -6y 2=0,求: 2x -y
5.已知三角形的三边之比为5∶12∶13.
求证:此三角形为直角三角形.
6.已知:a 2=b 2+c 2(a >0,b >0,c >0).
b 1c (1) a 2a
b 1c (2) a 2a
7.已知:a 2+b 2=c 2(a >0,b >0,c >0).
c b (1)2,求的值. a a
c b (2)2,求的取值范围. a a
a 2+b 2-c 2
8.已知a ∶b ∶c =2∶3∶4,求的值. 2ab
9.化简下列各式.
(1) (2)828; 1111++13+4+3100+99.
3-5x 2
10.已知:x 的值. 2x +x +1
11.计算:1×6(25)2+35+2x +2+x -2112.已知:x =a +(a >0),化简:. a x +2-x -2
答案精析
例1 证明 设三角形的三边分别为a ,b ,c ,∵a ∶b ∶c =3∶4∶5,设a =3k ,b =4k ,c =5k ,k >0,
∵a 2+b 2=9k 2+16k 2=(5k ) 2=c 2,
∴三角形为直角三角形.
a -b c -d a c a c 例2 证明 (1)∵=,∴-1=-1,=. b d b d b d a +b c +d a c (2)∵1=1,b d b d
a c (3)设=k ,则a =kb ,c =kd , b d
a +c kb +kd a c a +c =k ,∴=. b d b +d b +d b +d
AB -AD AC -AE AB AC DB EC AD AE 例3 证明 ∵=,由例2可知:=,∴=,即=. AD AE AD AE AD AE DB EC
121+212例4 解 ∵===3,∴b =,a =. b a a +b 33
y y 1-3+()2x x 1例5 (1)解 原式==-. y y 26+()x x
3y y (2)证明 原式=x 2[1+(-(2]=0. 2x x
例6 解 设x =k ,y =2k ,z =3k ,
k 3-2k ·(3k )2+3(3k )332原式=. k ·2k ·3k 3
例7 解 (1)23b (2)a b (3)-2x 3y .
例8 解 (1)∵12+11>11+10>0,
∴11,∴12-11
2(2)∵22-6=,又∵4>22, 26
∴22=22-6. 4622+6
例9 解 原式=(3+2) 2012(3-2) 2012(3-2) =3-2.
例10 解 (1)原式=22-45+52
=(25)2=|2-5|=5-2.
(2)11(x -)2=|x -|=x (∵0
例11 解 xy =1,x +y =10,原式=289.
2例12 解 x +2xy -15y =0,(x +5y )(x -3y ) =0,∵x +5y >0,∴x =9y ,原式=. 3
例13 解 原式=|x +3|+|x -2|
-2x -1 (x ≤-3)⎧⎪=⎨5(-3
⎪⎩2x +1(x ≥2)
强化训练
11. 2.2或1 2
x 2-3x ×(2x )+4(2x )2113.解 由y =2x ,得:原式=5x +(2x )94.解 由条件得:x =-6y 或x =y ,∴原式=或5. 13
5.证明 设a ∶b ∶c =5∶12∶13,则a =5k ,b =12k ,
c =13k (k >0) a 2+b 2=(25+144) k 2=(13k ) 2=c 2. 所以三角形为直角三角形.
c c 6.解 (2)0
c 2b b b 7.解 =2,1+(2=2,(2=1,=1(∵a >0,b >0) a a a a
c 2b 2b b (2)2,1+≥2,2≥1,≥1(∵a >0,b >0). a a a a
18.解 设a =2k ,b =3k ,c =4k ,原式=-4
9.解 7-1;(2)9
7-517+352110.解 x 2=x +7,原式=2x 2x
223-|5-2|+(5-2) =2. 3
(a +1211)a x -2=a -|, a a a
a +1=a . a =1时,x =2,原式=1. 1)a 1118x 2+1x . 11.解 12.解 x +2=1(a -1a >1时,x -2=a -1a a +-(a -a
11a a a 1101
一、比例与齐次式
我们在式的运算中,常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式,这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向;齐次式常常会同除以某一个数,转化过程在本质上起到消元作用,从而会出现整体思想.
例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.
求证:此三角形为直角三角形.
a c 例2
已知:=. b
d a -b c -d a +b c +d 求证:(1)(2) b d b d
a c a +c (3)=b d b +d
AB AC AD AE 例3 已知△ABC 中,有=,求证:=. AD AE DB EC
12例4 已知:a +b =1且=,求a 和b . b a
例5 已知y =2x (x ≠0) .
x 2-3xy +y 2
(1)求 xy +y 3(2)求证:x 2-y 2=0. 2
例6 已知:x ∶y ∶z =1∶2∶3.
x 3-yz 2+3z 3
求 xyz
二、二次根式 a (a ≥0) 的代数式叫做二次根式.其运算性质如下:
1.a ) 2=a (a ≥0) .
2. =|a |. 3. ab a b (a ≥0,b ≥0) . b 4. (a >0,b ≥0) . a a
例7 将下列式子化为最简根式.
(1)12b ;(2)a b (a ≥0) ; (3)x y (x
例8 试比较下列各组数的大小. (1)-111110;
(2)2和2-6. +4例9 化简:(3+2) 2012·(3-2) 2013.
例10 化简:(1)
例11 已知:x =9-45;(2) 1x 2+2-2(0
求:3x 2-5xy +3y 2的值.
例12 已知:x >0,y >0,x +2xy -15y =0.
求x -y 的值. x xy
例13 化简:x 2+6x +9+x 2-4x +4.
a b c 1==k ,则k =________. b +c c +a a +b
x 2.已知:x 2-3xy +2y 2=0,则=________. y
x 2-3xy +4y 2
3.已知x ∶y =1∶2,求:的值. x +y 2x +3y 4.已知:x 2+5xy -6y 2=0,求: 2x -y
5.已知三角形的三边之比为5∶12∶13.
求证:此三角形为直角三角形.
6.已知:a 2=b 2+c 2(a >0,b >0,c >0).
b 1c (1) a 2a
b 1c (2) a 2a
7.已知:a 2+b 2=c 2(a >0,b >0,c >0).
c b (1)2,求的值. a a
c b (2)2,求的取值范围. a a
a 2+b 2-c 2
8.已知a ∶b ∶c =2∶3∶4,求的值. 2ab
9.化简下列各式.
(1) (2)828; 1111++13+4+3100+99.
3-5x 2
10.已知:x 的值. 2x +x +1
11.计算:1×6(25)2+35+2x +2+x -2112.已知:x =a +(a >0),化简:. a x +2-x -2
答案精析
例1 证明 设三角形的三边分别为a ,b ,c ,∵a ∶b ∶c =3∶4∶5,设a =3k ,b =4k ,c =5k ,k >0,
∵a 2+b 2=9k 2+16k 2=(5k ) 2=c 2,
∴三角形为直角三角形.
a -b c -d a c a c 例2 证明 (1)∵=,∴-1=-1,=. b d b d b d a +b c +d a c (2)∵1=1,b d b d
a c (3)设=k ,则a =kb ,c =kd , b d
a +c kb +kd a c a +c =k ,∴=. b d b +d b +d b +d
AB -AD AC -AE AB AC DB EC AD AE 例3 证明 ∵=,由例2可知:=,∴=,即=. AD AE AD AE AD AE DB EC
121+212例4 解 ∵===3,∴b =,a =. b a a +b 33
y y 1-3+()2x x 1例5 (1)解 原式==-. y y 26+()x x
3y y (2)证明 原式=x 2[1+(-(2]=0. 2x x
例6 解 设x =k ,y =2k ,z =3k ,
k 3-2k ·(3k )2+3(3k )332原式=. k ·2k ·3k 3
例7 解 (1)23b (2)a b (3)-2x 3y .
例8 解 (1)∵12+11>11+10>0,
∴11,∴12-11
2(2)∵22-6=,又∵4>22, 26
∴22=22-6. 4622+6
例9 解 原式=(3+2) 2012(3-2) 2012(3-2) =3-2.
例10 解 (1)原式=22-45+52
=(25)2=|2-5|=5-2.
(2)11(x -)2=|x -|=x (∵0
例11 解 xy =1,x +y =10,原式=289.
2例12 解 x +2xy -15y =0,(x +5y )(x -3y ) =0,∵x +5y >0,∴x =9y ,原式=. 3
例13 解 原式=|x +3|+|x -2|
-2x -1 (x ≤-3)⎧⎪=⎨5(-3
⎪⎩2x +1(x ≥2)
强化训练
11. 2.2或1 2
x 2-3x ×(2x )+4(2x )2113.解 由y =2x ,得:原式=5x +(2x )94.解 由条件得:x =-6y 或x =y ,∴原式=或5. 13
5.证明 设a ∶b ∶c =5∶12∶13,则a =5k ,b =12k ,
c =13k (k >0) a 2+b 2=(25+144) k 2=(13k ) 2=c 2. 所以三角形为直角三角形.
c c 6.解 (2)0
c 2b b b 7.解 =2,1+(2=2,(2=1,=1(∵a >0,b >0) a a a a
c 2b 2b b (2)2,1+≥2,2≥1,≥1(∵a >0,b >0). a a a a
18.解 设a =2k ,b =3k ,c =4k ,原式=-4
9.解 7-1;(2)9
7-517+352110.解 x 2=x +7,原式=2x 2x
223-|5-2|+(5-2) =2. 3
(a +1211)a x -2=a -|, a a a
a +1=a . a =1时,x =2,原式=1. 1)a 1118x 2+1x . 11.解 12.解 x +2=1(a -1a >1时,x -2=a -1a a +-(a -a
11a a a 1101