时间序列论文

摘 要：本文首先对期货市场进行了定义，通过分析国内外期货市场的发展，总结期货市场的市场特性，以及在期货市场中的风险问题。在不对称信息下的条件下，期货市场对信息的传递是非线性的，对信息有极高的敏感性。但金融序列波动的持续性，决定了信息对于未来方差和波动的影响随着时间间隔增大而缓慢地衰减，但就短期而言其反应却是巨大的，如何面对和规避这种风险是有待详细研究的问题。本文通过上海期货交易所2000到2008年的期铝收盘价，建立ARCH模型对其波动进行了拟合，以期找到其波动规律。

关键词：期货市场，持续性，平稳性，ARMA模型，ARCH模型 一、国内外期货市场发展现状

（一）期货市场的定义

期货市场，就是进行期货交易的场所，是各种期交易关系的总和，它是根据公开、公平、公正的原则，在现货市场的基础上所发展起来的高度组织化和高度规范化的市场形式。既是现货市场的延伸，又是市场的又一个高级发展阶段。

广义上的期货市场包括：期货交易所、结算所或结算公司、经纪公司和期货交易员；但狭义上的期货市场仅指期货交易所。期货交易所是买卖期货合约的场所，是期货市场的核心。比较成熟的期货市场在一定程度上相当于一种完全竞争的市场，是经济学中最理想的市场形式。所以期货市场被认为是一种较高级的市场组织形式，是市场经济发展到一定阶段的必然产物。

（二）国内外期货市场分析

由于受美元贬值和国际能源、金属商品的价格飞速增长的影响，从2002年开始，投资积极踊跃参与商品衍生品的交易，促使期货市场的快速发展，到2006年发展进一步加快。2003-2007年，世界期货交易量由81.62亿手增加到151.86亿手，增长86.05%，年均增长率为16.8%。

中国期货市场的建设源于改革开放，通过不断20年努力与发展，我国期货市场已经在交易品种、交易规模、法律完善和规范化程度等各个方面都有长足发

展，已进入黄金发展阶段。如图以上海期货市场2002到2008交易额为例，除了2005年有小幅下滑以外，每年都以惊人的速度递增。截止2008年全年交易额达到了288720亿元。

国际上的期货市场是和股票市场、外汇市场并存的三大金融交易体系，全球拥有众多的参与者。期货市场主要的交易种类有：利率期货、外汇期货、股票价格指数期货、农产品期货、金属期货、能源期货，它为现货商提供了保值和购货的场所，又提供了回避价格风险的作用;并且还能投资者提供了一个投资获利的渠道。中国市场经济发展规模和市场化程度正在日益提高，所相应产生的投资风险同比放大。中国已经迫切地需要一种风险控制体系，能与其庞大经济规模相匹配的，并且是以期货为核心的金融衍生品市场。 （三）期货市场特性

期货市场可以说是一个极其复杂的系统，期货市场内部与外界每时每刻都进行信息、资金交换与投资者的转换，其交换量极其庞大。在而三者之中，信息的交换占据了主要的地位，资金的交换与投资者的转换是由其控制与支配的。我们可以看到当基本面信息表现良好，期价就会明显上扬时，从而市场会吸引更多的资金与投资者涌入;反之资金与投资者则会从市场中流出。

组成市场投资者的投资者也种类繁多的，他们拥有不同投资目标、理念、策略，其预决策机制与投资期的选择也不不尽相同的。通俗而言，交易之所以能发生是因为投资者之间存在着一个预期差，也就是说每个投资者的语气期望是不相同的。在不对称信息下以及不同

的投资期投资者对信息价值评价的不同，这就是照成预期差的原因所在。随着市场外部环境的不断变化，以及投资者通过自身不断的经验积累，预期会随时间不断变化。归根到底，投资者会随市场环境的变化而变化，市场也会因为投资者的改变而改变市场行为。它们两者是相互影响，协同变化的。

还有一个我们值得关注的问题就是，投资者对所获取信息反应方式，和信息在投资者之间的传导，并不是以线性方式进行的。期货种类繁多，投资者可以自由组合，选择适合自身的期货商品，正常情况下应该有稳定市场的作用。但在特殊信息刺激下，这些投资者会变成相同投资者。这就使得市场立即变为一个非线性系统，并且在这个系统之中，信息有高度的敏感性，信息从中性向好，或者向坏的方向微小的转变都可能会造成期价的暴涨或暴跌。

金融市场中的一个重要现象就是金融序列波动的持续性，金融序列波动的持续性反映了当前信息对于未来方差和波动的持续影响，同时这一影响会随着时间间隔的不断增大而缓慢地衰减的特性。在有效市场理论框架下，信息对于市场波动的影响，都会通过完善的市场价格反馈机制，迅速及时反映到价格的变化中去。所以说，有效市场中的波动序列，不存在持续性和长记忆性，但是有效市场理论并不能准确反映金融市场的真实特性。就短期而言，一个特殊的信息刺激就有可能照成期货市场的急剧震荡。

二、时间序列模型介绍

ARMA模型有三种基本类型:自回归(AR:Auto-regressive)模型、移动平均（MA：Moving Avergae）模型以及自回归移动平均（ARMA：Auto-regerssive Moving Avegare)模型。 （一）自回归模型

如果时间序列y，是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为:

yt1yt1....pytpt （2.1）

则该时间序列是p阶自回归序列，记为AR(P)。随机项t，与之后变量不相关，t是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为的正态分布。 （二）移动平均模型

2

如果时间序列y，是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为:

ytt1t1......qtq （2.2）

则称该时间序列是q阶移动平均序列，记为MA(q)。移动平均过程无条件平稳。 （三）自回归移动平均模型

如果时间序列y，是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为:

yt1yt1...pytpt1t1...qtq （2.3）

则称y，是白回归移动平均，记为ARMA(p，q)。ARMA(p,q)模型等于无穷阶的AR或MA过程。当该过程平稳时，它的均值不随时间变化1...p，由此得过程平稳的个必要条件，即12...p1 （四）非平稳时间序列的建模

对于非平稳时间序列，收下我们必须将其差分d次，把它变为平稳的，然后用ARMA(p，q)作为它的模型，那么我们就说这个原始的时间序列是ARIMA(p，d，q)，即自回归求积移动平均过程。其中p指自回归项数，d指序列成为平稳之前必须取其差分的次数，而q指移动平均数。

建立ARMA

模型的四个步骤:1.利用相关图和偏相关图找出适当得p、d、q值;2利用

最小二乘法辨别适当的参数值;3.诊断看所选的模型对数据拟合得是比传统计量经济建模方法做出的预报，ARMA模型店可靠性更高。 （五）ARCH模型

ARCH模型的基本原理十分简单:相对于金融时间序列的均值而言，序列的方差是可以用某些模型有效的进行解释的，使用过去观测到的信息，直接对均值预测的精度建模，就可以更有效的预测二阶距。而金融时间序列的一个重要特性就是二阶距在不同时间段内时高时低，代表了收益率序列的不同的上下波动程度(异方差)。

Engle(]982)一首先引入了自回归条件异方差(ARCH:Auto一regerssive Conditional-Heteroskedastic)模型说明这一现象:

ytxxt （2.4）

txt1,xt2~N(0,ht) （2.5）

hta0a1t1...aptp （2.6）

2

2

Engle在误差项t的条件分布ht，中引入时变方差，条件方差ht，为过去P期误并平方项

(t1,t2,...,tp)的函数。从而对时变方差的性质作出了自己的解释:t时刻的方差是过去p期误差平方项的函数。

在ARCH模型中，从条件方差ht的表达式2.6可见，如果t，在时刻t发生一个跳跃，由于t1的方差由t,t1,...,tp1所决定。因此，t1的方差将变大，从而使变量yt，在时刻t+l出现大幅度的波动。而p的值的大小决定了t的跳跃所持续影响的时间。这样，内生变量yt的波动能被清楚的描述出来:有时大的波动集中在一起，有时却出现小的波动的云集。这种现象在金融市场上是常见的。

2

2

2

2

2

2

三、上海期货交易市场“铝”价格波动的实证分析

（一）数据说明（见表1）

表1： 2000年1月至2009年4月铝的当月收盘价 单位：元/吨

（二）序列的初步分析和差分

图3：上海证券交易所期铝价格走势（2000.1~~2008.12）

1.2000年1月到2008年4月上海期货交易所期铝的当月收盘价走势如图3，图中价格明显以2006年为分水岭，2000年到2006年间有明显是上升趋势，2006之后急剧下滑。从图中看不出其存在着明显的季节效应。

2.如下图4所示，做了序列的自（偏）相关性分析图，因为是月度数据，k取了24。由于序列的自相关性没有很快的很快的趋于0，也就是说，没有落入随机区间，所以序列是非平稳的。

图4：期铝的自相关分析图

同时，

从图4中可以看出序列的自相关系数一直很大，滞后12期的系数仍然为0.491，存在明显

的自相关。所以对序列lv取对数后进行差分，即得到收益率序列y,

yt(loglvtloglvt1)*100。

3.由图5的统计值：由样本期内铝收益率均值为-0.39%，标准差为5.30709%，偏度为-1.143216，左偏峰度8.563253以及图形可以看出，收益率具有尖峰、厚尾特征。J-B检验的相伴概率P=0，说明至少在99%的置信水平下拒绝零假设，即序列不服从正态分布。

图5：铝的收益率统计分布

4.由下图6，收益率呈分段、分区波动，04和06年2个点上分别有一个比较剧烈的波动，同时可以发现有的时间段连续偏高，有的时间段连续偏低。

图6：铝的收益率分布

5.如下页图7，在自相关及偏自相关检验中，滞后3、5、6、7期的相关系数超过了随

机区间的范围，与0有显著的差异。所以进行再次的差分。 即：dytytyt1

图7：收益率y的自相关分析图

6.序列的平稳性检验：通过表2的ADF检验，可知检验统计量t=-9.85，其值远小于显著水平为1%的临界值，表明至少d可以在99%的置信水平卜拒绝原假设，认为序列dy不存在单位根，即序列平稳。

表2 dy的ADF检验

t-Statistic -9.852026 -3.495677 -2.890037 -2.582041

Prob.* 0.0000

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

1% level 5% level

10% level

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

（二）拟合ARMA模型

1.根据对数似然值、AIC准则、SC准则的3个模型判断指标对ARMA模型的各种组合进行了拟合，如下表

3.

表3 ARMA模型的比较

根据T统计量和相伴概率得出：模型中不包含常数项，其所在的各个模型中统计检验都没有通过，不显著。其中ARMA(1,1)、ARMA（2，1）中回归系数都不能通过检验，不显著，而AR模型中不存在不显著的系数，可以判断模型中不应该包含移动平均项。通过3个判断指标的比较，发现AR（2）无论哪个指标的值都更小，所以选择AR（2）作为序列的均值模型。所以收益率差分后的2阶自回归模型为：

dy0.712467*dyt

10.278215*dyt2t

（-7.223293） （-2.801103） （0.0000） （0.0061）

表3.3：收益率差分后的2阶自回归模型

2.残差的自相关检验

对所得模型残差作12阶的序列自相关Q检验如图8，得：各阶的相伴概率均接近于0，故存在自相关。进一步对残差进行ARCH效应检验。

图8：残差的自相关检验

（三）建立(G)ARCH模型

1.ARCH效果检验 序列是否存在ARCH效应，最常用的检验就是拉格朗日乘数法，即LM检验。

表4 ARCH效应LM检验比较

根据测试的结果，在ARCH（2），P值显著的大于0.05，不能拒绝原假设，所以不存在ARCH效应以外，ARCH(1)比较接近于0.05，近似的有ARCH效应。随着阶数的不断提高，P值也越小，ARCH(3)、甚至ARCH(6)明显小于0.05，所以残差序列存在高阶的ARCH效应，即存在GAHCH效应。

2.选择（G）ARCH模型

表

5 (G)ARCH模型比较

由上面的模型比较结果可知，ARCH模型和高阶的GARCH过程中存在不显著的系数，说

明模型中存在某些误差; 我们根据ACI及SC最小的准则选择模型为ARCH(2)。

3.拟合结果

由下图9可知模型起到了很好的拟合作用。

图9：模型拟合结果

4.模型建立

图10：ARCH(2)运行结果

表6：ARCH(2)残差单位根检验

t-Statistic

-8.297421 -3.497029 -2.890623 -2.582353

Prob.* 0.0000

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

1% level 5% level 10% level

检验系数-8.297421远远小于显著水平为1%的临界值-3.497029，表明至少可以在99%的置信水平下拒绝假设，认为残差序列不存在单位根，即序列平稳。

拟合AR(2)—ARCH(2)模型为：

dy0.45258*dyt10.0337536*dyt2t

（-3.507435） （0.392503）

txt1,xt2~N(0,ht)

ht6.267210.6482735t10.5352997t2

2

2

（4.102935）（2.472938） （2.584429）

5.总结

我们对上海期货交易所的铝期货收益率的特征做总结:就像大多数金融序列一样,其收益率序列也呈现高峰厚尾的特征，从收益率的走势图等，可以看出波动率呈现出集群性和持久性。由于没有显著的GARCH模型，市场也许并不存在明显的杠杆效应,消息因素对风险的冲击是对称的。对收益率进行ARCH建模过程中，其难点就在于滞后期的选择，与之而来就的就是ARCH和GARCH的阶数选择，本文通过GARCH模型和ARCH模型相比较，根据ACI及SC最小的准则的选择，没有找到适合的GARCH模型，使得文章的研究很有局限性，最终只拟合了一个相对比较显著的ARCH（2）模型。

时间序列分析在期货市场上的应用研究

[1**********]008

金融数学 李卉

摘 要：本文首先对期货市场进行了定义，通过分析国内外期货市场的发展，总结期货市场的市场特性，以及在期货市场中的风险问题。在不对称信息下的条件下，期货市场对信息的传递是非线性的，对信息有极高的敏感性。但金融序列波动的持续性，决定了信息对于未来方差和波动的影响随着时间间隔增大而缓慢地衰减，但就短期而言其反应却是巨大的，如何面对和规避这种风险是有待详细研究的问题。本文通过上海期货交易所2000到2008年的期铝收盘价，建立ARCH模型对其波动进行了拟合，以期找到其波动规律。

关键词：期货市场，持续性，平稳性，ARMA模型，ARCH模型 一、国内外期货市场发展现状

（一）期货市场的定义

期货市场，就是进行期货交易的场所，是各种期交易关系的总和，它是根据公开、公平、公正的原则，在现货市场的基础上所发展起来的高度组织化和高度规范化的市场形式。既是现货市场的延伸，又是市场的又一个高级发展阶段。

广义上的期货市场包括：期货交易所、结算所或结算公司、经纪公司和期货交易员；但狭义上的期货市场仅指期货交易所。期货交易所是买卖期货合约的场所，是期货市场的核心。比较成熟的期货市场在一定程度上相当于一种完全竞争的市场，是经济学中最理想的市场形式。所以期货市场被认为是一种较高级的市场组织形式，是市场经济发展到一定阶段的必然产物。

（二）国内外期货市场分析

由于受美元贬值和国际能源、金属商品的价格飞速增长的影响，从2002年开始，投资积极踊跃参与商品衍生品的交易，促使期货市场的快速发展，到2006年发展进一步加快。2003-2007年，世界期货交易量由81.62亿手增加到151.86亿手，增长86.05%，年均增长率为16.8%。

中国期货市场的建设源于改革开放，通过不断20年努力与发展，我国期货市场已经在交易品种、交易规模、法律完善和规范化程度等各个方面都有长足发

展，已进入黄金发展阶段。如图以上海期货市场2002到2008交易额为例，除了2005年有小幅下滑以外，每年都以惊人的速度递增。截止2008年全年交易额达到了288720亿元。

国际上的期货市场是和股票市场、外汇市场并存的三大金融交易体系，全球拥有众多的参与者。期货市场主要的交易种类有：利率期货、外汇期货、股票价格指数期货、农产品期货、金属期货、能源期货，它为现货商提供了保值和购货的场所，又提供了回避价格风险的作用;并且还能投资者提供了一个投资获利的渠道。中国市场经济发展规模和市场化程度正在日益提高，所相应产生的投资风险同比放大。中国已经迫切地需要一种风险控制体系，能与其庞大经济规模相匹配的，并且是以期货为核心的金融衍生品市场。 （三）期货市场特性

期货市场可以说是一个极其复杂的系统，期货市场内部与外界每时每刻都进行信息、资金交换与投资者的转换，其交换量极其庞大。在而三者之中，信息的交换占据了主要的地位，资金的交换与投资者的转换是由其控制与支配的。我们可以看到当基本面信息表现良好，期价就会明显上扬时，从而市场会吸引更多的资金与投资者涌入;反之资金与投资者则会从市场中流出。

组成市场投资者的投资者也种类繁多的，他们拥有不同投资目标、理念、策略，其预决策机制与投资期的选择也不不尽相同的。通俗而言，交易之所以能发生是因为投资者之间存在着一个预期差，也就是说每个投资者的语气期望是不相同的。在不对称信息下以及不同

的投资期投资者对信息价值评价的不同，这就是照成预期差的原因所在。随着市场外部环境的不断变化，以及投资者通过自身不断的经验积累，预期会随时间不断变化。归根到底，投资者会随市场环境的变化而变化，市场也会因为投资者的改变而改变市场行为。它们两者是相互影响，协同变化的。

还有一个我们值得关注的问题就是，投资者对所获取信息反应方式，和信息在投资者之间的传导，并不是以线性方式进行的。期货种类繁多，投资者可以自由组合，选择适合自身的期货商品，正常情况下应该有稳定市场的作用。但在特殊信息刺激下，这些投资者会变成相同投资者。这就使得市场立即变为一个非线性系统，并且在这个系统之中，信息有高度的敏感性，信息从中性向好，或者向坏的方向微小的转变都可能会造成期价的暴涨或暴跌。

金融市场中的一个重要现象就是金融序列波动的持续性，金融序列波动的持续性反映了当前信息对于未来方差和波动的持续影响，同时这一影响会随着时间间隔的不断增大而缓慢地衰减的特性。在有效市场理论框架下，信息对于市场波动的影响，都会通过完善的市场价格反馈机制，迅速及时反映到价格的变化中去。所以说，有效市场中的波动序列，不存在持续性和长记忆性，但是有效市场理论并不能准确反映金融市场的真实特性。就短期而言，一个特殊的信息刺激就有可能照成期货市场的急剧震荡。

二、时间序列模型介绍

ARMA模型有三种基本类型:自回归(AR:Auto-regressive)模型、移动平均（MA：Moving Avergae）模型以及自回归移动平均（ARMA：Auto-regerssive Moving Avegare)模型。 （一）自回归模型

如果时间序列y，是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为:

yt1yt1....pytpt （2.1）

则该时间序列是p阶自回归序列，记为AR(P)。随机项t，与之后变量不相关，t是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为的正态分布。 （二）移动平均模型

2

如果时间序列y，是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为:

ytt1t1......qtq （2.2）

则称该时间序列是q阶移动平均序列，记为MA(q)。移动平均过程无条件平稳。 （三）自回归移动平均模型

如果时间序列y，是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为:

yt1yt1...pytpt1t1...qtq （2.3）

则称y，是白回归移动平均，记为ARMA(p，q)。ARMA(p,q)模型等于无穷阶的AR或MA过程。当该过程平稳时，它的均值不随时间变化1...p，由此得过程平稳的个必要条件，即12...p1 （四）非平稳时间序列的建模

对于非平稳时间序列，收下我们必须将其差分d次，把它变为平稳的，然后用ARMA(p，q)作为它的模型，那么我们就说这个原始的时间序列是ARIMA(p，d，q)，即自回归求积移动平均过程。其中p指自回归项数，d指序列成为平稳之前必须取其差分的次数，而q指移动平均数。

建立ARMA

模型的四个步骤:1.利用相关图和偏相关图找出适当得p、d、q值;2利用

最小二乘法辨别适当的参数值;3.诊断看所选的模型对数据拟合得是比传统计量经济建模方法做出的预报，ARMA模型店可靠性更高。 （五）ARCH模型

ARCH模型的基本原理十分简单:相对于金融时间序列的均值而言，序列的方差是可以用某些模型有效的进行解释的，使用过去观测到的信息，直接对均值预测的精度建模，就可以更有效的预测二阶距。而金融时间序列的一个重要特性就是二阶距在不同时间段内时高时低，代表了收益率序列的不同的上下波动程度(异方差)。

Engle(]982)一首先引入了自回归条件异方差(ARCH:Auto一regerssive Conditional-Heteroskedastic)模型说明这一现象:

ytxxt （2.4）

txt1,xt2~N(0,ht) （2.5）

hta0a1t1...aptp （2.6）

2

2

Engle在误差项t的条件分布ht，中引入时变方差，条件方差ht，为过去P期误并平方项

(t1,t2,...,tp)的函数。从而对时变方差的性质作出了自己的解释:t时刻的方差是过去p期误差平方项的函数。

在ARCH模型中，从条件方差ht的表达式2.6可见，如果t，在时刻t发生一个跳跃，由于t1的方差由t,t1,...,tp1所决定。因此，t1的方差将变大，从而使变量yt，在时刻t+l出现大幅度的波动。而p的值的大小决定了t的跳跃所持续影响的时间。这样，内生变量yt的波动能被清楚的描述出来:有时大的波动集中在一起，有时却出现小的波动的云集。这种现象在金融市场上是常见的。

2

2

2

2

2

2

三、上海期货交易市场“铝”价格波动的实证分析

（一）数据说明（见表1）

表1： 2000年1月至2009年4月铝的当月收盘价 单位：元/吨

（二）序列的初步分析和差分

图3：上海证券交易所期铝价格走势（2000.1~~2008.12）

1.2000年1月到2008年4月上海期货交易所期铝的当月收盘价走势如图3，图中价格明显以2006年为分水岭，2000年到2006年间有明显是上升趋势，2006之后急剧下滑。从图中看不出其存在着明显的季节效应。

2.如下图4所示，做了序列的自（偏）相关性分析图，因为是月度数据，k取了24。由于序列的自相关性没有很快的很快的趋于0，也就是说，没有落入随机区间，所以序列是非平稳的。

图4：期铝的自相关分析图

同时，

从图4中可以看出序列的自相关系数一直很大，滞后12期的系数仍然为0.491，存在明显

的自相关。所以对序列lv取对数后进行差分，即得到收益率序列y,

yt(loglvtloglvt1)*100。

3.由图5的统计值：由样本期内铝收益率均值为-0.39%，标准差为5.30709%，偏度为-1.143216，左偏峰度8.563253以及图形可以看出，收益率具有尖峰、厚尾特征。J-B检验的相伴概率P=0，说明至少在99%的置信水平下拒绝零假设，即序列不服从正态分布。

图5：铝的收益率统计分布

4.由下图6，收益率呈分段、分区波动，04和06年2个点上分别有一个比较剧烈的波动，同时可以发现有的时间段连续偏高，有的时间段连续偏低。

图6：铝的收益率分布

5.如下页图7，在自相关及偏自相关检验中，滞后3、5、6、7期的相关系数超过了随

机区间的范围，与0有显著的差异。所以进行再次的差分。 即：dytytyt1

图7：收益率y的自相关分析图

6.序列的平稳性检验：通过表2的ADF检验，可知检验统计量t=-9.85，其值远小于显著水平为1%的临界值，表明至少d可以在99%的置信水平卜拒绝原假设，认为序列dy不存在单位根，即序列平稳。

表2 dy的ADF检验

t-Statistic -9.852026 -3.495677 -2.890037 -2.582041

Prob.* 0.0000

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

1% level 5% level

10% level

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

（二）拟合ARMA模型

1.根据对数似然值、AIC准则、SC准则的3个模型判断指标对ARMA模型的各种组合进行了拟合，如下表

3.

表3 ARMA模型的比较

根据T统计量和相伴概率得出：模型中不包含常数项，其所在的各个模型中统计检验都没有通过，不显著。其中ARMA(1,1)、ARMA（2，1）中回归系数都不能通过检验，不显著，而AR模型中不存在不显著的系数，可以判断模型中不应该包含移动平均项。通过3个判断指标的比较，发现AR（2）无论哪个指标的值都更小，所以选择AR（2）作为序列的均值模型。所以收益率差分后的2阶自回归模型为：

dy0.712467*dyt

10.278215*dyt2t

（-7.223293） （-2.801103） （0.0000） （0.0061）

表3.3：收益率差分后的2阶自回归模型

2.残差的自相关检验

对所得模型残差作12阶的序列自相关Q检验如图8，得：各阶的相伴概率均接近于0，故存在自相关。进一步对残差进行ARCH效应检验。

图8：残差的自相关检验

（三）建立(G)ARCH模型

1.ARCH效果检验 序列是否存在ARCH效应，最常用的检验就是拉格朗日乘数法，即LM检验。

表4 ARCH效应LM检验比较

根据测试的结果，在ARCH（2），P值显著的大于0.05，不能拒绝原假设，所以不存在ARCH效应以外，ARCH(1)比较接近于0.05，近似的有ARCH效应。随着阶数的不断提高，P值也越小，ARCH(3)、甚至ARCH(6)明显小于0.05，所以残差序列存在高阶的ARCH效应，即存在GAHCH效应。

2.选择（G）ARCH模型

表

5 (G)ARCH模型比较

由上面的模型比较结果可知，ARCH模型和高阶的GARCH过程中存在不显著的系数，说

明模型中存在某些误差; 我们根据ACI及SC最小的准则选择模型为ARCH(2)。

3.拟合结果

由下图9可知模型起到了很好的拟合作用。

图9：模型拟合结果

4.模型建立

图10：ARCH(2)运行结果

表6：ARCH(2)残差单位根检验

t-Statistic

-8.297421 -3.497029 -2.890623 -2.582353

Prob.* 0.0000

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

1% level 5% level 10% level

检验系数-8.297421远远小于显著水平为1%的临界值-3.497029，表明至少可以在99%的置信水平下拒绝假设，认为残差序列不存在单位根，即序列平稳。

拟合AR(2)—ARCH(2)模型为：

dy0.45258*dyt10.0337536*dyt2t

（-3.507435） （0.392503）

txt1,xt2~N(0,ht)

ht6.267210.6482735t10.5352997t2

2

2

（4.102935）（2.472938） （2.584429）

5.总结

我们对上海期货交易所的铝期货收益率的特征做总结:就像大多数金融序列一样,其收益率序列也呈现高峰厚尾的特征，从收益率的走势图等，可以看出波动率呈现出集群性和持久性。由于没有显著的GARCH模型，市场也许并不存在明显的杠杆效应,消息因素对风险的冲击是对称的。对收益率进行ARCH建模过程中，其难点就在于滞后期的选择，与之而来就的就是ARCH和GARCH的阶数选择，本文通过GARCH模型和ARCH模型相比较，根据ACI及SC最小的准则的选择，没有找到适合的GARCH模型，使得文章的研究很有局限性，最终只拟合了一个相对比较显著的ARCH（2）模型。

时间序列分析在期货市场上的应用研究

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金融数学 李卉