一元二次方程知识点的总结

一元二次方程知识点的总结

知识点归类

考点一 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？

222

3；⑴2⑵x6x0；（3xx5；（4）x0；（5）2x(x3)2x21

x5

考点二 一元二次方程的一般形式

2

一元二次方程的一般形式为axbxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，

c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把

它先化为一般形式。

2

（3）形如axbxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次

方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）5x

2

7

x； （2）x2x38； （3）3x4x3x22 2

2

例2 已知关于x的方程m1xm考点三 解一元二次方程的方法

2

m1x20是一元二次方程时，则m

x23x20 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x2时，

所以x2是x3x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 法一 直接开平方法解一元二次方程

若xaa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程

2

2

的方法叫做直接开平方法。

（1）xaa0的解是xa；（2）xmnn0的解是

2

2

xnm；（3）mxncm0,且c0的解是x

2



cn

。

m

2

例 用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）9x160； （2）x5160； （3）x53x1

2

22

法二 配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2pxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例 用配方法解下列方程：

22

（1）x6x50； （2）x

7

x20 2

法三 因式分解法

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程： （1）5x

2

4x； （2）x26x952x。

2

法四 公式法

bb24ac

一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x

2a

2

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的形式，

2

确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b4ac的值；（3）若b4ac0，则a,b.把及

22

bb24acb4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。

2a

2

例 用公式法解下列方程

（1）2x3x10； （2）2xx

2



210； （3）x2x250



技巧 选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知

数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，

因为配方法解题比较麻烦。

例 用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x392x3；（2）x8x60；（3）x2(x1)0

2

2

2

考点四 一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2bxc0a0根的判别式 △=b4ac

2

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1） △=b4ac﹥0方程有两个不相等的实数根； （2） △=b4ac=0方程有两个相等的实数根； （3） △=b4ac﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b4ac的值；④根据b4ac的符号判定方程根的情况。 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： （1）2x3x50；（2）9x考点五 根的判别式的逆用 在方程ax2bxc0a0中，

（1）方程有两个不相等的实数根b4ac﹥0

2

2

2

2

30x25；（3）x6x100

2

2

2

22

（2）方程有两个相等的实数根b4ac=0

2

（3）方程没有实数根b4ac﹤0

2

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为

0这一条件。

例 m为何值时，方程2m1x4mx2m30的根满足下列情况：

2

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根； 考点六 一元二次方程的根与系数的关系

2

若x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两个根，则有x1x2

bb

， x1x2 aa

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）x1x2x1x2

2

2

2

xx211

12x1x2 （2）

x1x2x1x2

2

（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a；

（4）│x1x2│=

2

x1x22

=

x1x224x1x2

例 已知方程2x5x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1x2； （2）x1x2。

2

2

2

考点七 根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

2

例 当x取什么值时，代数式xx60与代数式3x2的值相等？

强化练习

一、选择题

1.一元二次方程x2=2x的根是（ ）

A、x=2

B、x=0

C、x1=0，x2=2

D、x1=0，x2=﹣2

2.将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（ ）

A、（x－2）2+3 B、（x+2）2－4 C、（x+2）2－5 D、（x+2）2+4 3.方程x2﹣4=0的解是（ ）

A、x=2

B、x=﹣2 C、x=±2

D、x=±4

4.小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（ ）

A、x=4

B、x=3 C、x=2

D、x=0

5.若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）

A、1

B、8

C、16

D、61

21

的值为（ ） 22

a

1aa

6.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则

﹣1 D.1

7.已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）

A．1＜L＜5

B．2＜L＜6 C．5＜L＜9

D．6＜L＜10

8．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）

A、2

B、3

C、﹣1，2

D、﹣1，3

9.分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）

A、11

B、13 C、11或13

D、不能确定

10.一元二次方程（x－3）（x－5）=0的两根分别为（ ） A、3，－5 B、－3，－5 C、－3，5 D、3，5 二、填空题

1. （2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2－4=0的解是 .

2. （2011江苏南京，19，6分）解方程x2﹣4x+1=0． 3. （2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为 ． 4. （2011泰安，21，3分）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________． 5. （2011山东淄博14，4分））方程x2﹣2=0的根是 ．

6.（2011四川达州，10，3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ，n= ．

7. （2011浙江衢州，11，4分）方程x2﹣2x=0的解为 ． 8. （2011黑龙江省黑河， 7，3分）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为

（ ）。 三、解答题

1. （2011江苏无锡，20，8分）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；

2. （2011山东烟台，19，6分）先化简再计算：

x212x12

x，其中x是一元二次方程x2x20的正数根. 2

xxx

3. （2011清远，18，5分）解方程：x2－4x－1＝0．

4. （2011湖北武汉，17，6分）解方程：x2+3x+1=0

5、已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

6、已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根． （1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2-x12-x22的最大值．

一元二次方程知识点的总结

知识点归类

考点一 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？

222

3；⑴2⑵x6x0；（3xx5；（4）x0；（5）2x(x3)2x21

x5

考点二 一元二次方程的一般形式

2

一元二次方程的一般形式为axbxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，

c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把

它先化为一般形式。

2

（3）形如axbxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次

方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）5x

2

7

x； （2）x2x38； （3）3x4x3x22 2

2

例2 已知关于x的方程m1xm考点三 解一元二次方程的方法

2

m1x20是一元二次方程时，则m

x23x20 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x2时，

所以x2是x3x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 法一 直接开平方法解一元二次方程

若xaa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程

2

2

的方法叫做直接开平方法。

（1）xaa0的解是xa；（2）xmnn0的解是

2

2

xnm；（3）mxncm0,且c0的解是x

2



cn

。

m

2

例 用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）9x160； （2）x5160； （3）x53x1

2

22

法二 配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2pxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例 用配方法解下列方程：

22

（1）x6x50； （2）x

7

x20 2

法三 因式分解法

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程： （1）5x

2

4x； （2）x26x952x。

2

法四 公式法

bb24ac

一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x

2a

2

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的形式，

2

确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b4ac的值；（3）若b4ac0，则a,b.把及

22

bb24acb4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。

2a

2

例 用公式法解下列方程

（1）2x3x10； （2）2xx

2



210； （3）x2x250



技巧 选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知

数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，

因为配方法解题比较麻烦。

例 用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x392x3；（2）x8x60；（3）x2(x1)0

2

2

2

考点四 一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2bxc0a0根的判别式 △=b4ac

2

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1） △=b4ac﹥0方程有两个不相等的实数根； （2） △=b4ac=0方程有两个相等的实数根； （3） △=b4ac﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b4ac的值；④根据b4ac的符号判定方程根的情况。 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： （1）2x3x50；（2）9x考点五 根的判别式的逆用 在方程ax2bxc0a0中，

（1）方程有两个不相等的实数根b4ac﹥0

2

2

2

2

30x25；（3）x6x100

2

2

2

22

（2）方程有两个相等的实数根b4ac=0

2

（3）方程没有实数根b4ac﹤0

2

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为

0这一条件。

例 m为何值时，方程2m1x4mx2m30的根满足下列情况：

2

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根； 考点六 一元二次方程的根与系数的关系

2

若x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两个根，则有x1x2

bb

， x1x2 aa

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）x1x2x1x2

2

2

2

xx211

12x1x2 （2）

x1x2x1x2

2

（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a；

（4）│x1x2│=

2

x1x22

=

x1x224x1x2

例 已知方程2x5x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1x2； （2）x1x2。

2

2

2

考点七 根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

2

例 当x取什么值时，代数式xx60与代数式3x2的值相等？

强化练习

一、选择题

1.一元二次方程x2=2x的根是（ ）

A、x=2

B、x=0

C、x1=0，x2=2

D、x1=0，x2=﹣2

2.将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（ ）

A、（x－2）2+3 B、（x+2）2－4 C、（x+2）2－5 D、（x+2）2+4 3.方程x2﹣4=0的解是（ ）

A、x=2

B、x=﹣2 C、x=±2

D、x=±4

4.小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（ ）

A、x=4

B、x=3 C、x=2

D、x=0

5.若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）

A、1

B、8

C、16

D、61

21

的值为（ ） 22

a

1aa

6.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则

﹣1 D.1

7.已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）

A．1＜L＜5

B．2＜L＜6 C．5＜L＜9

D．6＜L＜10

8．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）

A、2

B、3

C、﹣1，2

D、﹣1，3

9.分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）

A、11

B、13 C、11或13

D、不能确定

10.一元二次方程（x－3）（x－5）=0的两根分别为（ ） A、3，－5 B、－3，－5 C、－3，5 D、3，5 二、填空题

1. （2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2－4=0的解是 .

2. （2011江苏南京，19，6分）解方程x2﹣4x+1=0． 3. （2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为 ． 4. （2011泰安，21，3分）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________． 5. （2011山东淄博14，4分））方程x2﹣2=0的根是 ．

6.（2011四川达州，10，3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ，n= ．

7. （2011浙江衢州，11，4分）方程x2﹣2x=0的解为 ． 8. （2011黑龙江省黑河， 7，3分）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为

（ ）。 三、解答题

1. （2011江苏无锡，20，8分）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；

2. （2011山东烟台，19，6分）先化简再计算：

x212x12

x，其中x是一元二次方程x2x20的正数根. 2

xxx

3. （2011清远，18，5分）解方程：x2－4x－1＝0．

4. （2011湖北武汉，17，6分）解方程：x2+3x+1=0

5、已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

6、已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根． （1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2-x12-x22的最大值．