实验二 离散时间信号的表示及运算
一、 实验目的：学会运用MA TLAB 表示的常用离散时间信号；学会运用MA TLAB 实现离
散时间信号的基本运算。 二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验内容：
（一） 离散时间信号在MATLAB 中的表示
离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。离散序列通常用x (n ) 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。如果要实心，需使用参数“fill ”“filled ”、，或者参数“. ”。由于MATLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MA TLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列
单位取样序列δ(n ) ，也称为单位冲激序列，定义为
⎧1δ(n ) =⎨
⎩0
(n =0)
（2-1）
(n ≠0)
要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即
function y=impDT(n)
y=(n==0); %当参数为0时冲激为1, 否则为0
调用该函数时n 必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。 解：MATLAB 源程序为
>>n=-3:3; >>x=impDT(n);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位冲激序列') >>axis([-3 3 -0.1 1.1])
程序运行结果如图12-1所示。
图2-1 单位冲激序列
2. 单位阶跃序列
单位阶跃序列u (n ) 定义为
u (n ) =⎧⎨
1(n ≥0)
⎩0
(n
在MA TLAB 中，冲激序列可以通过编写uDT .m 文件来实现，即
function y=uDT(n)
y=n>=0; %当参数为非负时输出1
调用该函数时n 也同样必须为整数或整数向量。
【实例2-2】 利用MATLAB 的uDT 函数绘出单位阶跃序列的波形图。解：MATLAB 源程序为
>>n=-3:5; >>x=uDT(n);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位阶跃序列') >>axis([-3 5 -0.1 1.1])
程序运行结果如图12-2所示。
图2-2 单位阶跃序列
2-2） （
3. 矩形序列
矩形序列R N (n ) 定义为
⎧1
R N (n ) =⎨
⎩0
(0≤n ≤N -1)
（2-3）
(n
矩形序列有一个重要的参数，就是序列宽度N 。R N (n ) 与u (n ) 之间的关系为
R N (n ) =u (n ) -u (n -N )
因此，用MATLAB 表示矩形序列可利用上面所讲的uDT 函数。
【实例2-3】 利用MATLAB 命令绘出矩形序列R 5(n ) 的波形图。 解：MATLAB 源程序为
>>n=-3:8;
>>x=uDT(n)-uDT(n-5);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('矩形序列') >>axis([-3 8 -0.1 1.1])
程序运行结果如图2-3所示。
图2-3 矩形序列
4. 单边指数序列
单边指数序列定义为
x (n ) =a n u (n ) （2-4）
【实例2-4】 试用MA TLAB 命令分别绘制单边指数序列x 1(n ) =1. 2u (n ) 、
n
x 2(n ) =(-1. 2) n u (n ) 、x 3(n ) =(0. 8) n u (n ) 、x 4(n ) =(-0. 8) n u (n ) 的波形图。
解：MATLAB 源程序为
>>n=0:10;
>>a1=1.2;a2=-1.2;a3=0.8;a4=-0.8;
>>x1=a1.^n;x2=a2.^n;x3=a3.^n;x4=a4.^n; >>subplot(221)
>>stem(n,x1,'fill'),grid on >>xlabel('n'),title('x(n)=1.2^{n}') >>subplot(222)
>>stem(n,x2,'fill'),grid on
>>xlabel('n'),title('x(n)=(-1.2)^{n}') >>subplot(223)
>>stem(n,x3,'fill'),grid on >>xlabel('n'),title('x(n)=0.8^{n}') >>subplot(224)
>>stem(n,x4,'fill'),grid on
>>xlabel('n'),title('x(n)=(-0.8)^{n}')
单边指数序列n 的取值范围为n ≥0。程序运行结果如图2-4所示。从图可知，当|a |>1时，
图2-4 单边指数序列
单边指数序列发散；当|a |0时，该序列均取正值；当a
5. 正弦序列
正弦序列定义为
x (n ) =sin(n ω0+ϕ) （2-5）
其中，ω0是正弦序列的数字域频率；ϕ
为初相。与连续的正弦信号不同，正弦序列的自变
量n 必须为整数。可以证明，只有当
2π
ω0
为有理数时，正弦序列具有周期性。
【实例2-5】 试用MATLAB 命令绘制正弦序列x (n ) =sin(解：MATLAB 源程序为
>>n=0:39; >>x=sin(pi/6*n);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('正弦序列') >>axis([0,40,-1.5,1.5]);
n π
) 的波形图。 6
程序运行结果如图2-5所示。
图2-5 正弦序列
6. 复指数序列
复指数序列定义为
x (n ) =e (a +j ω0) n （2-6）
j ωn
当a =0时，得到虚指数序列x (n ) =e 0，式中ω0是正弦序列的数字域频率。由欧拉公式
知，复指数序列可进一步表示为
x (n ) =e (a +j ω0) n =e an e j ω0n =e an [cos(n ω0) +j sin(n ω0)] （2-7）
与连续复指数信号一样，我们将复指数序列实部和虚部的波形分开讨论，得出如下结论：
（1）当a >0时，复指数序列x (n ) 的实部和虚部分别是按指数规律增长的正弦振荡序列；
（2）当a
（3）当a =0时，复指数序列x
(n ) 即为虚指数序列，其实部和虚部分别是等幅的正弦
振荡序列。
【实例2-6】 用MA TLAB 命令画出复指数序列x (n ) =2e 相角随时间变化的曲线，并观察其时域特性。
解：MATLAB 源程序为
>>n=0:30;
>>A=2;a=-1/10;b=pi/6; >>x=A*exp((a+i*b)*n); >>subplot(2,2,1)
>>stem(n,real(x),'fill'),grid on
>>title('实部'),axis([0,30,-2,2]),xlabel('n') >>subplot(2,2,2)
>>stem(n,imag(x),'fill'),grid on
>>title('虚部'),axis([0,30,-2,2]) ,xlabel('n') >>subplot(2,2,3)
>>stem(n,abs(x),'fill'),grid on >>title('模'),axis([0,30,0,2]) ,xlabel('n') >>subplot(2,2,4)
>>stem(n,angle(x),'fill'),grid on
>>title('相角'),axis([0,30,-4,4]) ,xlabel('n')
1π(-+j ) n 106
的实部、虚部、模及
程序运行后，产生如图2-6所示的波形。
（二） 离散时间信号的基本运算
图2-6 复指数序列
对离散时间序列实行基本运算可得到新的序列，这些基本运算主要包括加、减、乘、除、移位、反折等。两个序列的加减乘除是对应离散样点值的加减乘除，因此，可通过MA TLAB 的点乘和点除、序列移位和反折来实现，与连续时间信号处理方法基本一样。
【实例2-7】 用MA TLAB 命令画出下列离散时间信号的波形图。
（1）x 1(n )=a n [u (n )-u (n -N )]； （3）x 3(n )=x 1(n -2)；
解：设a =0. 8，N =8，MATLAB 源程序为
>>a=0.8;N=8;n=-12:12; >>x=a.^n.*(uDT(n)-uDT(n-N)); >>n1=n;n2=n1-3;n3=n1+2;n4=-n1; >>subplot(411)
>>stem(n1,x,'fill'),grid on >>title('x1(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(412)
>>stem(n2,x,'fill'),grid on >>title('x2(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(413)
>>stem(n3,x,'fill'),grid on >>title('x3(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(414)
>>stem(n4,x,'fill'),grid on >>title('x4(n)'),axis([-15 15 0 1])
（2）x 2(n )=x 1(n +3) （4）x 4(n )=x 1(-n )
其波形如图2-7所示。
图2-7 离散时间信号的基本运算及波形图
（三） 编程练习
1. 试用MATLAB 命令分别绘出下列各序列的波形图。
⎛1⎫
（1）x (n )= ⎪u (n ) （2）x (n )=2n u (n )
⎝2⎭⎛1⎫n
（3）x (n )= -⎪u (n ) （4）x (n )=(-2)u (n )
⎝2⎭
（5）x (n )=2
n -1
n
n
⎛1⎫
u (n -1) （6）x (n )= ⎪
⎝2⎭
n -1
u (n )
2. 试用MATLAB 分别绘出下列各序列的波形图。
（1）x (n )=sin
n πn ππ
-) （2）x (n )=cos(
5105
n
n
n πn π⎛5⎫⎛3⎫
（3）x (n )= ⎪sin （4）x (n )= ⎪sin
55⎝6⎭⎝2⎭
实验二 离散时间信号的表示及运算
一、 实验目的：学会运用MA TLAB 表示的常用离散时间信号；学会运用MA TLAB 实现离
散时间信号的基本运算。 二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验内容：
（一） 离散时间信号在MATLAB 中的表示
离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。离散序列通常用x (n ) 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。如果要实心，需使用参数“fill ”“filled ”、，或者参数“. ”。由于MATLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MA TLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列
单位取样序列δ(n ) ，也称为单位冲激序列，定义为
⎧1δ(n ) =⎨
⎩0
(n =0)
（2-1）
(n ≠0)
要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即
function y=impDT(n)
y=(n==0); %当参数为0时冲激为1, 否则为0
调用该函数时n 必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。 解：MATLAB 源程序为
>>n=-3:3; >>x=impDT(n);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位冲激序列') >>axis([-3 3 -0.1 1.1])
程序运行结果如图12-1所示。
图2-1 单位冲激序列
2. 单位阶跃序列
单位阶跃序列u (n ) 定义为
u (n ) =⎧⎨
1(n ≥0)
⎩0
(n
在MA TLAB 中，冲激序列可以通过编写uDT .m 文件来实现，即
function y=uDT(n)
y=n>=0; %当参数为非负时输出1
调用该函数时n 也同样必须为整数或整数向量。
【实例2-2】 利用MATLAB 的uDT 函数绘出单位阶跃序列的波形图。解：MATLAB 源程序为
>>n=-3:5; >>x=uDT(n);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位阶跃序列') >>axis([-3 5 -0.1 1.1])
程序运行结果如图12-2所示。
图2-2 单位阶跃序列
2-2） （
3. 矩形序列
矩形序列R N (n ) 定义为
⎧1
R N (n ) =⎨
⎩0
(0≤n ≤N -1)
（2-3）
(n
矩形序列有一个重要的参数，就是序列宽度N 。R N (n ) 与u (n ) 之间的关系为
R N (n ) =u (n ) -u (n -N )
因此，用MATLAB 表示矩形序列可利用上面所讲的uDT 函数。
【实例2-3】 利用MATLAB 命令绘出矩形序列R 5(n ) 的波形图。 解：MATLAB 源程序为
>>n=-3:8;
>>x=uDT(n)-uDT(n-5);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('矩形序列') >>axis([-3 8 -0.1 1.1])
程序运行结果如图2-3所示。
图2-3 矩形序列
4. 单边指数序列
单边指数序列定义为
x (n ) =a n u (n ) （2-4）
【实例2-4】 试用MA TLAB 命令分别绘制单边指数序列x 1(n ) =1. 2u (n ) 、
n
x 2(n ) =(-1. 2) n u (n ) 、x 3(n ) =(0. 8) n u (n ) 、x 4(n ) =(-0. 8) n u (n ) 的波形图。
解：MATLAB 源程序为
>>n=0:10;
>>a1=1.2;a2=-1.2;a3=0.8;a4=-0.8;
>>x1=a1.^n;x2=a2.^n;x3=a3.^n;x4=a4.^n; >>subplot(221)
>>stem(n,x1,'fill'),grid on >>xlabel('n'),title('x(n)=1.2^{n}') >>subplot(222)
>>stem(n,x2,'fill'),grid on
>>xlabel('n'),title('x(n)=(-1.2)^{n}') >>subplot(223)
>>stem(n,x3,'fill'),grid on >>xlabel('n'),title('x(n)=0.8^{n}') >>subplot(224)
>>stem(n,x4,'fill'),grid on
>>xlabel('n'),title('x(n)=(-0.8)^{n}')
单边指数序列n 的取值范围为n ≥0。程序运行结果如图2-4所示。从图可知，当|a |>1时，
图2-4 单边指数序列
单边指数序列发散；当|a |0时，该序列均取正值；当a
5. 正弦序列
正弦序列定义为
x (n ) =sin(n ω0+ϕ) （2-5）
其中，ω0是正弦序列的数字域频率；ϕ
为初相。与连续的正弦信号不同，正弦序列的自变
量n 必须为整数。可以证明，只有当
2π
ω0
为有理数时，正弦序列具有周期性。
【实例2-5】 试用MATLAB 命令绘制正弦序列x (n ) =sin(解：MATLAB 源程序为
>>n=0:39; >>x=sin(pi/6*n);
>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('正弦序列') >>axis([0,40,-1.5,1.5]);
n π
) 的波形图。 6
程序运行结果如图2-5所示。
图2-5 正弦序列
6. 复指数序列
复指数序列定义为
x (n ) =e (a +j ω0) n （2-6）
j ωn
当a =0时，得到虚指数序列x (n ) =e 0，式中ω0是正弦序列的数字域频率。由欧拉公式
知，复指数序列可进一步表示为
x (n ) =e (a +j ω0) n =e an e j ω0n =e an [cos(n ω0) +j sin(n ω0)] （2-7）
与连续复指数信号一样，我们将复指数序列实部和虚部的波形分开讨论，得出如下结论：
（1）当a >0时，复指数序列x (n ) 的实部和虚部分别是按指数规律增长的正弦振荡序列；
（2）当a
（3）当a =0时，复指数序列x
(n ) 即为虚指数序列，其实部和虚部分别是等幅的正弦
振荡序列。
【实例2-6】 用MA TLAB 命令画出复指数序列x (n ) =2e 相角随时间变化的曲线，并观察其时域特性。
解：MATLAB 源程序为
>>n=0:30;
>>A=2;a=-1/10;b=pi/6; >>x=A*exp((a+i*b)*n); >>subplot(2,2,1)
>>stem(n,real(x),'fill'),grid on
>>title('实部'),axis([0,30,-2,2]),xlabel('n') >>subplot(2,2,2)
>>stem(n,imag(x),'fill'),grid on
>>title('虚部'),axis([0,30,-2,2]) ,xlabel('n') >>subplot(2,2,3)
>>stem(n,abs(x),'fill'),grid on >>title('模'),axis([0,30,0,2]) ,xlabel('n') >>subplot(2,2,4)
>>stem(n,angle(x),'fill'),grid on
>>title('相角'),axis([0,30,-4,4]) ,xlabel('n')
1π(-+j ) n 106
的实部、虚部、模及
程序运行后，产生如图2-6所示的波形。
（二） 离散时间信号的基本运算
图2-6 复指数序列
对离散时间序列实行基本运算可得到新的序列，这些基本运算主要包括加、减、乘、除、移位、反折等。两个序列的加减乘除是对应离散样点值的加减乘除，因此，可通过MA TLAB 的点乘和点除、序列移位和反折来实现，与连续时间信号处理方法基本一样。
【实例2-7】 用MA TLAB 命令画出下列离散时间信号的波形图。
（1）x 1(n )=a n [u (n )-u (n -N )]； （3）x 3(n )=x 1(n -2)；
解：设a =0. 8，N =8，MATLAB 源程序为
>>a=0.8;N=8;n=-12:12; >>x=a.^n.*(uDT(n)-uDT(n-N)); >>n1=n;n2=n1-3;n3=n1+2;n4=-n1; >>subplot(411)
>>stem(n1,x,'fill'),grid on >>title('x1(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(412)
>>stem(n2,x,'fill'),grid on >>title('x2(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(413)
>>stem(n3,x,'fill'),grid on >>title('x3(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(414)
>>stem(n4,x,'fill'),grid on >>title('x4(n)'),axis([-15 15 0 1])
（2）x 2(n )=x 1(n +3) （4）x 4(n )=x 1(-n )
其波形如图2-7所示。
图2-7 离散时间信号的基本运算及波形图
（三） 编程练习
1. 试用MATLAB 命令分别绘出下列各序列的波形图。
⎛1⎫
（1）x (n )= ⎪u (n ) （2）x (n )=2n u (n )
⎝2⎭⎛1⎫n
（3）x (n )= -⎪u (n ) （4）x (n )=(-2)u (n )
⎝2⎭
（5）x (n )=2
n -1
n
n
⎛1⎫
u (n -1) （6）x (n )= ⎪
⎝2⎭
n -1
u (n )
2. 试用MATLAB 分别绘出下列各序列的波形图。
（1）x (n )=sin
n πn ππ
-) （2）x (n )=cos(
5105
n
n
n πn π⎛5⎫⎛3⎫
（3）x (n )= ⎪sin （4）x (n )= ⎪sin
55⎝6⎭⎝2⎭