证明 ∵在锐角△ABC中有tanA>0, tanB>0,tanC>0且tanAtanB
tanC≥abc2RsinA∴++=∑
RARBRCRcosA
椭圆切线的几个性质
福建长乐七中 谢星恩 黄玉惠 林世中
=2∑tanA=2tanAtanBtanC≥2⋅
故
abc++≥ RARBRC
当且仅当△ABC为正三角形时取等号.
10r2r2
−2 推论3 RR
rfrrr
≤d+e+≤2(1+)2, (4) RARBRCR其中,rd,re,rf依次为△DEF的旁切圆半径(当且仅当△ABC为正三角形时取等号).
∆cotA
等,及证明由文(2)知rd=
R
Gerretsen不等
2222
式:16Rr−5r≤s≤4R+4Rr+3r,得
rfrdre∆cotA∆
++=∑2=2∑cscA RARBRCRcosAR
∆s2+4Rr+r2s2+4Rr+r2=2⋅=. R2∆2R2s2+4Rr+r2∵
2R2
16Rr−5r2+4R2+r210r2r2≥=−2,
RR2R2
又∵(s2+4Rr+r2)/(2R2)
≤(4R2+4Rr+3r2+4Rr+r2)/(2R2)
r
=2(1+)2,
R
rfrr10r2r2rd
故−2≤+e+≤2(1+)2,
RRRARBRcR
性质1 设F为椭圆的一个焦点,其相应的准线为l,过椭圆上的一点M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.
x2y2
证明 过椭圆2+2=1(a>b
>0)上点
M(acos
x
a则Pbsinθc−acosθ
,kFP=, ∴kMF=
acosθ−cbsinθ
∴kMF⋅kFP=−1,∴PF⊥MF. 性质1' 设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上任一点(非顶点(0,0)M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.
证明 设抛物线上一点M(t2/(2p),t)(非顶点(0,0)),则
过M的切线为: t2
ty=p(x+2ppt2−p2
)∴P(−,
22t2ptt2−p2
,kFP=∴kMF=2, 2
−2ptt−p
∴kMF⋅kFP=−1,∴PF⊥MF. 性质2 F1,F2是椭圆的两个焦点,若M是椭圆上异于长轴两端点的任一点,则M点的切线平分△F1MF2的外角.
x2y2
证明 设椭圆的方程为+=1(a>b
>0),过椭圆上一点M(absinθ)的切线为:
xycosθ+sinθ=1ab
当且仅当△ABC为正三角形时取等号.
参考文献
[1]李耀文.关于垂足三角形的一个恒等式.中学数学. 2004.6.
[2]高庆计.垂足三角形旁切圆半径之间的一个恒等 式.福建中学数学.2005.6. 24
∴切线的斜率为 k=−bcosθ/(asinθ),
bsinθbsinθ
kMF1=,kMF2=.
acosθ+cacosθ−c
bb
,tanϕ2=, ∴tanϕ1=
csinθcsinθ
∴ϕ1=ϕ2,M点处的切线平分△F1MF2的外角.
推论 M点的法线平分∠F1MF2. 性质3 F1,F2是椭圆的两个焦点,A1,A2
是长轴的两个端点, 过椭圆上异于A1,A2 的任一点的切线,过
F1,F
2垂足分别是B、C,
则B、C在以A1,A2 为直径的圆上.
证明 设F1,F2关于切线的对称点为F1', F2
'
由性质2,可知,F1,M,F2′及F1′,M,F2共线,
二次曲线一个猜想结论的推广
福建漳州一中 林新建
文[1]给出了二次曲线的如下猜想: 已知点P(x0,y0)不在二次曲线Γ:Ax2+ Cy2+Dx+Ey+F=0上,过P作倾斜角互补
的两条直线分别交Γ于S,M和T,N,则直线MN与ST的倾斜角也互补.
文[2]给出了上述猜想的证明,并把结论修正为:“直线MN与ST的倾斜角也互补或倾斜角都为0°”.
上述结论可简单概括为:若kPM+kPN= 0,则kMN+kST=0,本文将此结论推广到更一般的情形.
定理 已知点P不在二次曲线Γ:Ax2+ Cy2+Dx+Ey+F=0(*)上,过P作二直线分别交Γ于S、M和T、N.
(1) 直线PM与PN的斜率之和为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之和也为定值;
(2) 直线PM与PN的斜率之积为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之积也为定值.
证明 设P点的坐标为(x0,yo),PM,PN的
∴F1F2′=F2F1′=2a,∴OC=OB=a, ∴B、C 在以A1,A2为直径的圆上.
性质4 PA、PB为椭圆的两切线,切点为A、B,则PF1平分∠AF1B.
证明 F1关于PA对称点为F1′,由性质2,知
F1′,A,F2共线, F2关于PB对称
点为F2',由性质
2,知F1,B,F2'共
线. ∵PF1′=PF1,PF2又F2F1'=2a=F1F2', ∴△PF1F2'≌△PF1'F2, ∴∠PF1'A=∠PF1B, 又∵△PAF1'≌△PAF1,
∴∠PF1'A=∠AF1P,∴∠AF1P=∠PF1B, 即PF1平分∠AF1B.
斜率分别为k,k',则PM,PN的方程分别为:
y−y0=k(x−x0),y−y0=k'(x−x0). 又设直线MN,ST的方程分别为, mx+ny+p=0,qx+ry+s=0.
由文[2]中引理,得到过S,M,N,T四点的二次曲线系方程为:
[y−y0−k(x−x0)][y−y0−k'(x−x0)]+ λ(mx+ny+p)(qx+ry+s)=0.整理,得:
(kk'+λmq)x2+(1+λnr)y2−
(k+k'−λmr−λnq)xy−
(2kk'x0−ky0−k'y0−λms−λpq)x+
2
(kx0+k'x0−2y0+λns−λpr)y+kk'x0 2
−(k+k')x0y0+y0+λps=0. 与(*)比较相同项系数,得:
参考文献
[1]杨昌龙,熊光汉.双曲线的几个有趣性质.中学数学 月刊.2005.10.
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证明 ∵在锐角△ABC中有tanA>0, tanB>0,tanC>0且tanAtanB
tanC≥abc2RsinA∴++=∑
RARBRCRcosA
椭圆切线的几个性质
福建长乐七中 谢星恩 黄玉惠 林世中
=2∑tanA=2tanAtanBtanC≥2⋅
故
abc++≥ RARBRC
当且仅当△ABC为正三角形时取等号.
10r2r2
−2 推论3 RR
rfrrr
≤d+e+≤2(1+)2, (4) RARBRCR其中,rd,re,rf依次为△DEF的旁切圆半径(当且仅当△ABC为正三角形时取等号).
∆cotA
等,及证明由文(2)知rd=
R
Gerretsen不等
2222
式:16Rr−5r≤s≤4R+4Rr+3r,得
rfrdre∆cotA∆
++=∑2=2∑cscA RARBRCRcosAR
∆s2+4Rr+r2s2+4Rr+r2=2⋅=. R2∆2R2s2+4Rr+r2∵
2R2
16Rr−5r2+4R2+r210r2r2≥=−2,
RR2R2
又∵(s2+4Rr+r2)/(2R2)
≤(4R2+4Rr+3r2+4Rr+r2)/(2R2)
r
=2(1+)2,
R
rfrr10r2r2rd
故−2≤+e+≤2(1+)2,
RRRARBRcR
性质1 设F为椭圆的一个焦点,其相应的准线为l,过椭圆上的一点M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.
x2y2
证明 过椭圆2+2=1(a>b
>0)上点
M(acos
x
a则Pbsinθc−acosθ
,kFP=, ∴kMF=
acosθ−cbsinθ
∴kMF⋅kFP=−1,∴PF⊥MF. 性质1' 设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上任一点(非顶点(0,0)M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.
证明 设抛物线上一点M(t2/(2p),t)(非顶点(0,0)),则
过M的切线为: t2
ty=p(x+2ppt2−p2
)∴P(−,
22t2ptt2−p2
,kFP=∴kMF=2, 2
−2ptt−p
∴kMF⋅kFP=−1,∴PF⊥MF. 性质2 F1,F2是椭圆的两个焦点,若M是椭圆上异于长轴两端点的任一点,则M点的切线平分△F1MF2的外角.
x2y2
证明 设椭圆的方程为+=1(a>b
>0),过椭圆上一点M(absinθ)的切线为:
xycosθ+sinθ=1ab
当且仅当△ABC为正三角形时取等号.
参考文献
[1]李耀文.关于垂足三角形的一个恒等式.中学数学. 2004.6.
[2]高庆计.垂足三角形旁切圆半径之间的一个恒等 式.福建中学数学.2005.6. 24
∴切线的斜率为 k=−bcosθ/(asinθ),
bsinθbsinθ
kMF1=,kMF2=.
acosθ+cacosθ−c
bb
,tanϕ2=, ∴tanϕ1=
csinθcsinθ
∴ϕ1=ϕ2,M点处的切线平分△F1MF2的外角.
推论 M点的法线平分∠F1MF2. 性质3 F1,F2是椭圆的两个焦点,A1,A2
是长轴的两个端点, 过椭圆上异于A1,A2 的任一点的切线,过
F1,F
2垂足分别是B、C,
则B、C在以A1,A2 为直径的圆上.
证明 设F1,F2关于切线的对称点为F1', F2
'
由性质2,可知,F1,M,F2′及F1′,M,F2共线,
二次曲线一个猜想结论的推广
福建漳州一中 林新建
文[1]给出了二次曲线的如下猜想: 已知点P(x0,y0)不在二次曲线Γ:Ax2+ Cy2+Dx+Ey+F=0上,过P作倾斜角互补
的两条直线分别交Γ于S,M和T,N,则直线MN与ST的倾斜角也互补.
文[2]给出了上述猜想的证明,并把结论修正为:“直线MN与ST的倾斜角也互补或倾斜角都为0°”.
上述结论可简单概括为:若kPM+kPN= 0,则kMN+kST=0,本文将此结论推广到更一般的情形.
定理 已知点P不在二次曲线Γ:Ax2+ Cy2+Dx+Ey+F=0(*)上,过P作二直线分别交Γ于S、M和T、N.
(1) 直线PM与PN的斜率之和为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之和也为定值;
(2) 直线PM与PN的斜率之积为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之积也为定值.
证明 设P点的坐标为(x0,yo),PM,PN的
∴F1F2′=F2F1′=2a,∴OC=OB=a, ∴B、C 在以A1,A2为直径的圆上.
性质4 PA、PB为椭圆的两切线,切点为A、B,则PF1平分∠AF1B.
证明 F1关于PA对称点为F1′,由性质2,知
F1′,A,F2共线, F2关于PB对称
点为F2',由性质
2,知F1,B,F2'共
线. ∵PF1′=PF1,PF2又F2F1'=2a=F1F2', ∴△PF1F2'≌△PF1'F2, ∴∠PF1'A=∠PF1B, 又∵△PAF1'≌△PAF1,
∴∠PF1'A=∠AF1P,∴∠AF1P=∠PF1B, 即PF1平分∠AF1B.
斜率分别为k,k',则PM,PN的方程分别为:
y−y0=k(x−x0),y−y0=k'(x−x0). 又设直线MN,ST的方程分别为, mx+ny+p=0,qx+ry+s=0.
由文[2]中引理,得到过S,M,N,T四点的二次曲线系方程为:
[y−y0−k(x−x0)][y−y0−k'(x−x0)]+ λ(mx+ny+p)(qx+ry+s)=0.整理,得:
(kk'+λmq)x2+(1+λnr)y2−
(k+k'−λmr−λnq)xy−
(2kk'x0−ky0−k'y0−λms−λpq)x+
2
(kx0+k'x0−2y0+λns−λpr)y+kk'x0 2
−(k+k')x0y0+y0+λps=0. 与(*)比较相同项系数,得:
参考文献
[1]杨昌龙,熊光汉.双曲线的几个有趣性质.中学数学 月刊.2005.10.
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