利用空间向量求空间角
备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬
授课时间：2016年11月28日
一、高考考纲要求：
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．
二、命题趋势：
在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.
三、教学目标
知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.
四、教学重难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
（一）空间角公式
1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a , b , 异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为
a ⋅n
l 与α所成的角，则sin θ=cos a , n =.
a n
3、面面角公式：设n 1，n 2分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则θ=n 1, n 2或
n 1⋅n 2
，其中cos n 1, n 2=. θ=π-n 1, n 2（需要根据具体情况判断相等或互补）
n 1n 2
（二）典例分析
如图，已知：在直角梯形OABC 中，OA //BC ，∠AOC =90，SO ⊥面OABC ，且
OS =OC =BC =1, OA =2. 求：
（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B -AS -O 的余弦值.
解：如图建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，S (0,0,1)，
于是我们有SA =(2,0,-1) ，AB =(-1,1,0) ，OB =(1,1,0) ，OS =(0,0,1)，
SA ⋅OB （1
）cos SA , OB =， ==
SA OB
所以异面直线SA 和OB
（2）设平面SAB 的法向量n =(x , y , z ) ，
⎧⎧-x +y =0, ⎪n ⋅AB =0, 则⎨ ，即⎨
2x -z =0. ⎩⎪⎩n ⋅SA =0,
取x =1，则y =1，z =2，所以n =(1,1,2) ，
OS ⋅n ∴sin α=cos OS , n ==. =
OS n
（3）由（2）知平面SAB 的法向量n 1=(1,1,2) ，
又 OC ⊥平面AOS ，∴OC 是平面AOS 的法向量，
n 1⋅n 2令n 2=OC =(0,1,0) ，则有cos n 1, n 2=. ==
6n 1n 2
∴二面角B -AS -
O 的余弦值为
6
（三）巩固练习
AB =2，BC =AA 1=1，点E 、F 分别AC 1、在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，11，AD 1
的中点，求：
（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值；
ABCD 所成的锐二面角的余弦值. （3）平面A 1BC 1与平面
解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1，为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D -xyz ，由于AB =2，BC =AA 1=1，所以D (0,0, 0) ，C (0,2,0)，
1111E (,1,1) ，F (,0, ) ，A 1(1,0,1)，(, , 1-) -，B (1,2,0) ，则EF =0C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)，2222
,2,0) ，BC 1=(-1,0,1) ，DC DC =(0,2,0)，AC 11=(-111=(0,2,0).
EF ⋅DC （1
）cos EF , DC = =-
5EF DC
∴异面直线EF 和CD
所成的角余弦值为
5
（2）设平面A 1BC 1的法向量n =(x , y , z ) ，则有
⎧⎧-x +2y =0, ⎪n ⋅AC 11=0, 则⎨ ，即⎨
-x +z =0. ⎩⎪⎩n ⋅BC 1=0,
令x =2，则y =1，z =2，所以n =(2,1,2) ，
又设D 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，
D 1C 1⋅n 21
=. 则sin θ=cos D 1C 1, n ==
2⨯33D 1C 1n
（3）由（2）知平面A ,2) ， 1BC 1的法向量n 1=(2,1
又 DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1是平面ABCD 的法向量，
n 1⋅n 222令n 2=DD 1=(0,0,1) ，则cos n 1, n 2==. =
n 1n 23⨯13
2. 3
2、如图所示，四棱锥P -ABCD ，∆ABC 为边长为2
的正三角形，CD ，AD =1，
故所成的锐二面角的余弦值为
PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，PO =1，求：
（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，
因为AD =1，CD
AC =2， 所以AD ⊥CD ，∠DAC =∴AD ∥BC ．
A (0，0，
0) ，B 10) ，
-1，
0) ，C 10) ，D (0，，
π
， 3
⎛ 1⎫1⎫1⎫
，，
则，， O ，
0P ，1CP =-，1⎪AB =-1，
0) 2⎪⎪2⎪⎪ ⎪2⎭⎝⎭⎝⎭⎝
AB CP =CP 〉==∴cos 〈AB ，
|AB |⨯|CP |∴异面直线AB 与PC
．
（Ⅱ）设平面P AB 法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1) ，
1
1+y 1+z 1=0，可得 2
-y =0，11
令x 1=
1，则n 1=(1， 1⎫
1⎪0，0) ， 又DP =-2，⎪，DC =⎝⎭
设平面PCD 法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2) ，
1
2-y 2+z 2=0， 2可得=0，
2
1⎫ ⎛
1⎪，则
令y 2=1，则n 2= 02⎭⎝
n 1 n 2
cos 〈n 1，n 2〉=|n 1||n 2|．
∴平面P AB 与平面PCD
（四）课堂小结
1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．
2．合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范]
1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
（五）课后作业
三维设计——课时跟踪检测（四十八）
利用空间向量求空间角
备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬
授课时间：2016年11月28日
一、高考考纲要求：
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．
二、命题趋势：
在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.
三、教学目标
知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.
四、教学重难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
（一）空间角公式
1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a , b , 异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为
a ⋅n
l 与α所成的角，则sin θ=cos a , n =.
a n
3、面面角公式：设n 1，n 2分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则θ=n 1, n 2或
n 1⋅n 2
，其中cos n 1, n 2=. θ=π-n 1, n 2（需要根据具体情况判断相等或互补）
n 1n 2
（二）典例分析
如图，已知：在直角梯形OABC 中，OA //BC ，∠AOC =90，SO ⊥面OABC ，且
OS =OC =BC =1, OA =2. 求：
（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B -AS -O 的余弦值.
解：如图建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，S (0,0,1)，
于是我们有SA =(2,0,-1) ，AB =(-1,1,0) ，OB =(1,1,0) ，OS =(0,0,1)，
SA ⋅OB （1
）cos SA , OB =， ==
SA OB
所以异面直线SA 和OB
（2）设平面SAB 的法向量n =(x , y , z ) ，
⎧⎧-x +y =0, ⎪n ⋅AB =0, 则⎨ ，即⎨
2x -z =0. ⎩⎪⎩n ⋅SA =0,
取x =1，则y =1，z =2，所以n =(1,1,2) ，
OS ⋅n ∴sin α=cos OS , n ==. =
OS n
（3）由（2）知平面SAB 的法向量n 1=(1,1,2) ，
又 OC ⊥平面AOS ，∴OC 是平面AOS 的法向量，
n 1⋅n 2令n 2=OC =(0,1,0) ，则有cos n 1, n 2=. ==
6n 1n 2
∴二面角B -AS -
O 的余弦值为
6
（三）巩固练习
AB =2，BC =AA 1=1，点E 、F 分别AC 1、在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，11，AD 1
的中点，求：
（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值；
ABCD 所成的锐二面角的余弦值. （3）平面A 1BC 1与平面
解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1，为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D -xyz ，由于AB =2，BC =AA 1=1，所以D (0,0, 0) ，C (0,2,0)，
1111E (,1,1) ，F (,0, ) ，A 1(1,0,1)，(, , 1-) -，B (1,2,0) ，则EF =0C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)，2222
,2,0) ，BC 1=(-1,0,1) ，DC DC =(0,2,0)，AC 11=(-111=(0,2,0).
EF ⋅DC （1
）cos EF , DC = =-
5EF DC
∴异面直线EF 和CD
所成的角余弦值为
5
（2）设平面A 1BC 1的法向量n =(x , y , z ) ，则有
⎧⎧-x +2y =0, ⎪n ⋅AC 11=0, 则⎨ ，即⎨
-x +z =0. ⎩⎪⎩n ⋅BC 1=0,
令x =2，则y =1，z =2，所以n =(2,1,2) ，
又设D 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，
D 1C 1⋅n 21
=. 则sin θ=cos D 1C 1, n ==
2⨯33D 1C 1n
（3）由（2）知平面A ,2) ， 1BC 1的法向量n 1=(2,1
又 DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1是平面ABCD 的法向量，
n 1⋅n 222令n 2=DD 1=(0,0,1) ，则cos n 1, n 2==. =
n 1n 23⨯13
2. 3
2、如图所示，四棱锥P -ABCD ，∆ABC 为边长为2
的正三角形，CD ，AD =1，
故所成的锐二面角的余弦值为
PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，PO =1，求：
（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，
因为AD =1，CD
AC =2， 所以AD ⊥CD ，∠DAC =∴AD ∥BC ．
A (0，0，
0) ，B 10) ，
-1，
0) ，C 10) ，D (0，，
π
， 3
⎛ 1⎫1⎫1⎫
，，
则，， O ，
0P ，1CP =-，1⎪AB =-1，
0) 2⎪⎪2⎪⎪ ⎪2⎭⎝⎭⎝⎭⎝
AB CP =CP 〉==∴cos 〈AB ，
|AB |⨯|CP |∴异面直线AB 与PC
．
（Ⅱ）设平面P AB 法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1) ，
1
1+y 1+z 1=0，可得 2
-y =0，11
令x 1=
1，则n 1=(1， 1⎫
1⎪0，0) ， 又DP =-2，⎪，DC =⎝⎭
设平面PCD 法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2) ，
1
2-y 2+z 2=0， 2可得=0，
2
1⎫ ⎛
1⎪，则
令y 2=1，则n 2= 02⎭⎝
n 1 n 2
cos 〈n 1，n 2〉=|n 1||n 2|．
∴平面P AB 与平面PCD
（四）课堂小结
1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．
2．合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范]
1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
（五）课后作业
三维设计——课时跟踪检测（四十八）