直线的参数方程
教学目标：
1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2. 通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．
3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度．
教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标x , y 之间的联系．
教学方式：启发、探究、交流与讨论.
教学手段：多媒体课件．
教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫
教师提出问题：
1. 曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．
2. 直线的方向向量的概念．
3. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
4. 已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5. 如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．
【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．
二、直线参数方程探究
1．回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么：
①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM =tOA ； ②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），t >0； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），t
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
2. 类比分析，异曲同工
问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的
任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点
就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利
于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下
结论：选取直线l 上的定点M 0为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不
为0时) 或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在
直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
3. 选好参数，柳暗花明
问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线
l 上点M 运动就等价于向量M 0M 变化，但无论向量怎样变化，都有M 0M =te ．因
此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．
【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单
位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上
启发学生得出e =(cosα,sin α) ，从而明确直线l
的方向向量可以由倾斜角α来确定．
当00，所以直线l 的单位方
向向量e 的方向总是向上．
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4. 等价转化，深入探究
问题：如果点M 0,M 的坐标分别为(x 0, y 0) 、(x , y ) ，怎样用参数t 表示x , y ？
教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：
因为e =(cosα,sin α) ，（α∈, ，M M 0[) π）=xy (,) x (-y , ) 0(0x =x y , -y 0) -00，
又M 0M //e ，所以存在实数t ∈R ，使得M 0M =te ，即
(x -x 0, y -y 0) =t (cosα,sin α) ．
于是x -x 0=t cos α，y -y 0=t sin α，
即x =x 0+t cos α，y =y 0+t sin α．
因此，经过定点M (x 0, y 0) ，倾斜角为α的直线的参数方程为
⎧x =x 0+t cos α ⎨ （t 为参数）． y =y +t sin α0⎩
教师提出如下问题让学生加强认识：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
②参数t 的取值范围是什么？
③参数t 的几何意义是什么？
总结如下：①x 0, y 0，α是常量，x , y , t 是变量；
②t ∈R ； ③由于|e |=1，且M 0M =te ，得到M 0M =t ，因此t 表示直线上的
动点M 到定点M 0的距离．当M 0M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，t >0；
当M 0M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，t
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
三、运用知识，培养能力
例1. 已知直线l :x +y -1=0与抛物线y =x 2交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点M (-1, 2) 到A,B 两点的距离之积．
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：
⎧x +y -1=0解法一：由⎨，得x 2+x -1=0(*)． 2⎩y =x
设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 由韦达定理得：x 1+x 2=-1，x 1⋅x 2=-1．
∴AB ===
x 2=．
∴y 1=y 2=-13-1-3所以A (，B (．
2
由（*
）解得x 1=
则MA ⋅
MB =
===2．
3解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为π，所以它的参数方程是 4
⎧3⎧x =-1+t cos
πx =-1⎪
⎪⎪⎪4 （t 为参数），
即⎨ （t 为参数）． ⎨3⎪y =2+t sin π⎪y =2+
⎪⎪⎩4
⎩2
把它代入抛物线的方程，得t 2
-2=0， 解得t 1=
，t 2=． 22
由参数t 的几何意义得：AB =t 1-t 2=
MA ⋅MB =t 1t 2=2．
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进
行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
⎧x =x 0+t cos α探究：直线 ⎨ （t 为参数）与曲线y =f (x ) 交于M 1, M 2两点，y =y +t sin α0⎩
对应的参数分别为t 1, t 2．
（1）曲线的弦M 1M 2的长是多少？
（2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？
先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：
t +t （）1M 1M 2=t 1-t 2， （2）t =12 2
【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．
x 2y 2
=1于A,B 两点．如果点M 恰好例2、经过点M (2,1)作直线l ，交椭圆+164
为线段AB 的中点，求直线l 的方程．
分析：引导学生以M 作为直线l 上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B 两点对应的参数分别为t 1, t 2，则由t 1+t 2=0求出直线l 的斜率．教师板书，过程如下：
⎧x =2+t cos α解：设过点M (2,1)的直线l 的参数方程为⎨（t 为参数）， y =1+t sin α⎩
代入椭圆方程，整理得
(3sin2α+1) t 2+4(cosα+2sin α) -8=0．
因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为t 1, t 2， 则t 1+t 2=-4(cosα+2sin α) ． 3sin 2α+1
t 1+t 2=0，即cos α+2sin α=0． 2
因为点M 为线段AB 的中点，所以
1于是直线l 的斜率k =tan α=-． 2
1因此，直线l 的方程是y -1=-(x -2) ，即x +2y -4=0． 2
教师引导学生课下用其他方法解决．
思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．
【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．
四、自主解决，深入理解
4的直线和抛物线y 2=2x 相交于A,B 两点，设线3
段AB 的中点为M ，求点M 的坐标． 已知过点P (2,0)，斜率为
本题由学生独立完成，教师补充完善．
解：设过点P (2,0)的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得：cos α=3⎧x =2+t ⎪⎪5所以，直线的参数方程为⎨（t 为参数）．
⎪y =4t ⎪5⎩
代入y 2=2x ，整理得8t 2-15t -50=0．
t +t 15中点M 的相应参数是t =12=， 216
413所以点M 的坐标是(, ) ． 16434，sin α=． 55
【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．
五、归纳总结，提升认识
先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在 学生总结的基础上再进行概括．
1．知识小结
本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．
2．思想方法小结
在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．
【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．
六、布置作业，巩固提高
1. 教材P39—1,3 ；
⎧x =x 0+at 2. 思考题：若直线l 的参数方程为 ⎨ （a , b 为常数，t 为参数），⎩y =y 0+bt
请思考参数t 的意义．
【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．
七、板书设计
教案设计说明
本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．
本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t 表示，因此可以选择坐标t 为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t 与坐标x 0, y 0及倾斜角α之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．
在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念． 本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．
直线的参数方程
教学目标：
1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2. 通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．
3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度．
教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标x , y 之间的联系．
教学方式：启发、探究、交流与讨论.
教学手段：多媒体课件．
教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫
教师提出问题：
1. 曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．
2. 直线的方向向量的概念．
3. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
4. 已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5. 如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．
【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．
二、直线参数方程探究
1．回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么：
①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM =tOA ； ②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），t >0； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），t
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
2. 类比分析，异曲同工
问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的
任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点
就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利
于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下
结论：选取直线l 上的定点M 0为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不
为0时) 或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在
直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
3. 选好参数，柳暗花明
问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线
l 上点M 运动就等价于向量M 0M 变化，但无论向量怎样变化，都有M 0M =te ．因
此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．
【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单
位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上
启发学生得出e =(cosα,sin α) ，从而明确直线l
的方向向量可以由倾斜角α来确定．
当00，所以直线l 的单位方
向向量e 的方向总是向上．
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4. 等价转化，深入探究
问题：如果点M 0,M 的坐标分别为(x 0, y 0) 、(x , y ) ，怎样用参数t 表示x , y ？
教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：
因为e =(cosα,sin α) ，（α∈, ，M M 0[) π）=xy (,) x (-y , ) 0(0x =x y , -y 0) -00，
又M 0M //e ，所以存在实数t ∈R ，使得M 0M =te ，即
(x -x 0, y -y 0) =t (cosα,sin α) ．
于是x -x 0=t cos α，y -y 0=t sin α，
即x =x 0+t cos α，y =y 0+t sin α．
因此，经过定点M (x 0, y 0) ，倾斜角为α的直线的参数方程为
⎧x =x 0+t cos α ⎨ （t 为参数）． y =y +t sin α0⎩
教师提出如下问题让学生加强认识：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
②参数t 的取值范围是什么？
③参数t 的几何意义是什么？
总结如下：①x 0, y 0，α是常量，x , y , t 是变量；
②t ∈R ； ③由于|e |=1，且M 0M =te ，得到M 0M =t ，因此t 表示直线上的
动点M 到定点M 0的距离．当M 0M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，t >0；
当M 0M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，t
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
三、运用知识，培养能力
例1. 已知直线l :x +y -1=0与抛物线y =x 2交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点M (-1, 2) 到A,B 两点的距离之积．
先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：
⎧x +y -1=0解法一：由⎨，得x 2+x -1=0(*)． 2⎩y =x
设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 由韦达定理得：x 1+x 2=-1，x 1⋅x 2=-1．
∴AB ===
x 2=．
∴y 1=y 2=-13-1-3所以A (，B (．
2
由（*
）解得x 1=
则MA ⋅
MB =
===2．
3解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为π，所以它的参数方程是 4
⎧3⎧x =-1+t cos
πx =-1⎪
⎪⎪⎪4 （t 为参数），
即⎨ （t 为参数）． ⎨3⎪y =2+t sin π⎪y =2+
⎪⎪⎩4
⎩2
把它代入抛物线的方程，得t 2
-2=0， 解得t 1=
，t 2=． 22
由参数t 的几何意义得：AB =t 1-t 2=
MA ⋅MB =t 1t 2=2．
在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进
行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．
【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．
⎧x =x 0+t cos α探究：直线 ⎨ （t 为参数）与曲线y =f (x ) 交于M 1, M 2两点，y =y +t sin α0⎩
对应的参数分别为t 1, t 2．
（1）曲线的弦M 1M 2的长是多少？
（2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？
先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：
t +t （）1M 1M 2=t 1-t 2， （2）t =12 2
【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．
x 2y 2
=1于A,B 两点．如果点M 恰好例2、经过点M (2,1)作直线l ，交椭圆+164
为线段AB 的中点，求直线l 的方程．
分析：引导学生以M 作为直线l 上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B 两点对应的参数分别为t 1, t 2，则由t 1+t 2=0求出直线l 的斜率．教师板书，过程如下：
⎧x =2+t cos α解：设过点M (2,1)的直线l 的参数方程为⎨（t 为参数）， y =1+t sin α⎩
代入椭圆方程，整理得
(3sin2α+1) t 2+4(cosα+2sin α) -8=0．
因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为t 1, t 2， 则t 1+t 2=-4(cosα+2sin α) ． 3sin 2α+1
t 1+t 2=0，即cos α+2sin α=0． 2
因为点M 为线段AB 的中点，所以
1于是直线l 的斜率k =tan α=-． 2
1因此，直线l 的方程是y -1=-(x -2) ，即x +2y -4=0． 2
教师引导学生课下用其他方法解决．
思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．
【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．
四、自主解决，深入理解
4的直线和抛物线y 2=2x 相交于A,B 两点，设线3
段AB 的中点为M ，求点M 的坐标． 已知过点P (2,0)，斜率为
本题由学生独立完成，教师补充完善．
解：设过点P (2,0)的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得：cos α=3⎧x =2+t ⎪⎪5所以，直线的参数方程为⎨（t 为参数）．
⎪y =4t ⎪5⎩
代入y 2=2x ，整理得8t 2-15t -50=0．
t +t 15中点M 的相应参数是t =12=， 216
413所以点M 的坐标是(, ) ． 16434，sin α=． 55
【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．
五、归纳总结，提升认识
先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在 学生总结的基础上再进行概括．
1．知识小结
本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．
2．思想方法小结
在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．
【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．
六、布置作业，巩固提高
1. 教材P39—1,3 ；
⎧x =x 0+at 2. 思考题：若直线l 的参数方程为 ⎨ （a , b 为常数，t 为参数），⎩y =y 0+bt
请思考参数t 的意义．
【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．
七、板书设计
教案设计说明
本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．
本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t 表示，因此可以选择坐标t 为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t 与坐标x 0, y 0及倾斜角α之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．
在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念． 本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．