极坐标练习题
1. 在同一极坐标系中描点A 2, π⎫5π⎛π⎫⎛π⎫⎛⎪, B 3, ⎪, C (4, 0), D -2, ⎪, E (1, π), F (1, ), 6⎭4⎝6⎭⎝2⎭⎝
π⎛π⎫G 1, +4π⎪, H (1, -) ，并写出相应的直角4⎝4⎭
坐标。
2. [2013·新课标全国卷Ⅰ改编]已知曲线C 1的直角方程为(x -4) 2+(y -5) 2=25 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的直角坐标方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π) ．
⎧⎪x ＝4＋5cos t，解：(1)将⎨消去参数t ，化为普通方程(x－4) 2＋(y－5) 2＝25， ⎪y ＝5＋5sin t⎩
⎧⎪x ＝ρcos θ，即C 1：x ＋y －8x －10y ＋16＝0. 将⎨代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2
⎪⎩y ＝ρsin θ22
－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
22⎧⎧x ＋y －8x －10y ＋16＝0，⎪⎪x ＝1，22⎨(2)C2的普通方程为x ＋y －2y ＝0，由22 解得⎨⎪x ＋y －2y ＝0⎪y ＝1⎩⎩
⎧⎪x ＝0，ππ或⎨所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎛2，⎫，⎛2，⎫. 4⎭⎝2⎭⎝⎪⎩y ＝2.
3. (2007海南宁夏) ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=-4sin θ． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
解： (I)x =ρcos θ，y =ρsin θ，由ρ=4c o s θ得ρ=4ρcos θ．所以x +y =4x ． 即x +y -4x =0为⊙O 1的直角坐标方程．同理x
+y +4y =0为⊙O 2的直角坐标方程 2222222
⎧x 2+y 2-4x =0(II)解:由⎨2, 两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 2⎩x +y +4y =0
4. (2009辽宁) 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （θ-π
3）=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；
（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。
πθ-) =1得解：（Ⅰ）由ρcos(3
1x +y =1即x +y =222
θ=0时，ρ=2，所以M (2, 0) ρ(cos θ+12sin θ) =1 C2直角方程为2) 3（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为(0, θ=π
2时，ρ=223π，所以N (, ) 332
P 点的直角坐标为(1. 32π), 则P 点的极坐标为(, ), 336直线OP 极坐标方程为θ=, ρ∈(-∞, +∞)
5. （东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :π2。(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；当θ∈(0, π) 时，求直线l 与圆O ρsin(θ-) =42
公共点的极坐标。
解：（1）圆O :ρ=cos θ+sin θ，即ρ2=ρcos θ+ρsin θ
圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x +y ，即x 2+y 2-x -y =0
4
y -x =1，即x -y +1=0。 直线l :ρsin θ(-π) =2，即ρsi n θ-ρc o s θ=1则直线的直角坐标方程为：2
⎧x 2+y 2-x -y =0⎧x =0π（2）由⎨得⎨ 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1, ) 。 2⎩y =1⎩x -y +1=0
6. [2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的直角坐标方程为
→→x 2+(y -2) 2=4。M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的直角坐标方程；
π(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝C 1的异于极点的交3
点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
x y 解 (1)设P (x ，y ) ，则由条件知M ⎛⎝22，由于M 点在C 1上，所以
x 2cos α，⎧⎧2⎪x ＝4cos α，⎪x ＝4cos α，⎨即从而C 2的参数方程为⎨(α为参数) y ⎪⎪⎩y ＝4＋4sin α. ⎩y ＝4＋4sin α. 2＋2sin α，2
π(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θC 13
πππ的交点A 的极径为ρ1＝4sin ，射线θ＝与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 333
所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝23. ⎧⎨⎩
7. 【2015高考新课标2，改编】在直角坐标系xoy 中，直线C 1:y =tan α⋅x （x ≠0），其中0≤α
曲线C 3:ρ=θ．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若C 2与C 3交点的直角坐标； C 2与C 1相交于点，C 3与C 1相交于点，求AB 的最大值． A B （Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R , ρ≠0) ，其中0≤α
所以AB =2sin α-α
5ππ时，AB 取得最大值，最大值为4． =4s in(α-) ，当α=63
8. 【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线C 1:x =-2，圆C 2：(x -1)+(y -2)22=1, 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ=
的面积.
【解析】 π4设C 2与C 3的交点为M , N ,求∆C 2MN (ρ∈R )，
9. ( 山西太原高三模拟考试（一），23) 在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为
，且曲线C 1上的点M （2
，3）对应的参数ϕ=
以O 为极点，
圆，射线
（Ⅱ）若π3 . 且轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的. （ I ）求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；的值. 与曲线C 2交于点 是曲线C 1上的两点，求
参数方程练习题
1⎧x =3+t ⎪2⎪1. 【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x Oy 中，直线l 的参数方程为⎨（t 为
⎪y =⎪⎩参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
ρ=θ．
（I ）写出曲线C 的直角坐标方程；
（II ）P为直线l 上一动点，当P到圆心C 的距离最小时，求P的直角坐标．
【解析】（I ）
由ρ=θ，
得ρ2=sin θ，从而
有x 2+y 2=，所
以x +y 2(2=3.
1(II)
设P (3+
，又
，则|PC |==，2故当t =0时，PC 取最小值，此时P点的直角坐标为(3,0).
2. ( 周宁、政和一中第四次联考，21) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是
（为参数）（Ⅰ）将
轴为极轴建立极坐标系. 设曲线
标. 的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半， 求曲线与交点的极坐的极坐标方程是
[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，
（Ⅱ）由题意，的普通方程为
，点、的直角坐标为，代入圆的普通方程后得，，从而，，解得. （7分） ，
3. 【2015高考福建，理21】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎨⎧x =1+3cos t
⎩y =-2+3sin t
(t 为参数). 在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2ρsin(θ-
(Ⅰ) 求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
【解析】(Ⅰ) 消去参数t ，得到圆的普通方程为π4) =m (m ∈R ) (x -1) +(y +2) =9,
由22sin(q -p ) =m ，得r sin q -r cos q -m =0, 所以直线l 的直角坐标方程为4
x -y -m =0.
(Ⅱ) 依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2
=2，解得m=-3±4. ( 江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程是
（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标
方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.
[解析]因为圆的极坐标方程为，所以， 所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分） 因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，
所以直线上的点向圆C 引的切线长的最小值是. （10分）
⎧⎪x ＝2cos φ，5. [2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是⎨(φ为参数) ，以坐标原点⎪y ＝3sin φ⎩
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD
π2，. 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎛⎝3(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． ππππππππ解：(1)由已知可得A （2cos ，2sin ），B （2cos ＋,2sin ＋），C （2cos ＋π,2sin ＋π），33323233
π3ππ3πD （2cos ＋,2sin ＋），即A (1，3) ，B (－3，1) ，C (－1，－3) ，D (3，－1) ． 3232
(2)设P (2cosφ，3sin φ) ，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16 ＝32＋20sin 2φ.
因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．
6. （南京市高三年级第三次模拟考试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是x 2y 2
椭圆412＝1上在第一象限的点，A (2，0) ，B (0，3) 是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．
π解：设M (2cosθ，3sin θ) ，θ∈(0，2) ．由题知OA ＝2，OB ＝23， „„„„„2分
11∴四边形OAMB 面积S ＝2×OA ×23sin θ＋2OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin(θ
ππ＋4 所以当θ＝4时，四边形OAMB 的面积的最大值为26． „„„„„„„„10分
⎧⎪x ＝2cos t，7. [2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎨(t为参数) 上，对应⎪y ＝2sin t⎩
参数分别为t ＝α与t ＝2α(0
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α) ，Q(2cos 2α，2sin 2α) ，因此M(cos α＋cos 2α，sin
⎧⎪x ＝cos α＋cos 2α，α＋sin 2α) ． M 的轨迹的参数方程为⎨ (α为参数，0
(2)M点到坐标原点的距离d x ＋y ＝2＋2cos α(0
当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
8. （黑龙江省大庆高三第次模拟考试数学（理）试卷）
⎧⎪x =6cos θC 在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为⎨(θ为参数) ，直线l 的参数⎪⎩y =2sin θ
⎧3x =t ⎪⎪2方程为⎨(t 为参数) ，T 为直线l 与曲线C 的公共点，以原点O 为极点，x 轴的⎪y =2-1t ⎪2⎩
正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求点T 的极坐标；
（II ）将曲线C 上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变) 后得到曲线W ，过点T 作直线m ，若直线m 被曲线W 截得的线段长为23，求直线m 的极坐标方程.
⎧x =t ⎪x 2y 2⎪2代入上式整理得t 2-4t +4=0，解得t =2 =1。将⎨解：（I ）C 的普通方程为+62⎪y =2-1t ⎪2⎩
故点T 的坐标为(3, 1) ，其极坐标为(2, π
6) . „„„„„„„„„5分
⎧x '=x x 2
（II ）坐标变换式为⎨故W 的方程为+'6y =y ⎩(y 2) 3=1，即x 2+y 2=6„7分 2
当直线m 的斜率存在时, 设其方程为y -1=k (x -3) ，即kx -y -3k +1=0，
由圆心(0, 0) 到直线m 距离3得-3k +1k 2+1=3，k =-，∴直线m 为y =- x +2，33当直线m 的斜率不存在时，其方程为x =，显然成立.
9. [2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy . 圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2) 2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示) ；
(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
⎧ρ＝2，⎪πππ2，，⎛2. 解⎨得ρ＝2，θ＝. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎛3⎝3⎝3⎪⎩ρ＝4cos θ
注：极坐标系下点的表示不唯一．
⎧x ＝ρcos θ，⎪(2)(解法一) 由⎨得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3) ，(1，－3) ． ⎪y ＝ρsin θ⎩
⎧⎧⎪x ＝1，⎪x ＝1，故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎨－3≤t ≤3. (或参数方程写成⎨ ⎪⎪y ＝t y ＝y ⎩⎩
－3≤y ≤3)
(解法二) 在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3) ．将x ＝1代入⎧⎪x ＝ρcos θ，1⎨得ρcos θ＝1，从而ρ＝. cos θ⎪y ＝ρsin θ⎩
⎧⎪x ＝1，ππ于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎨－θ33⎪y ＝tan θ，⎩
10. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的
π极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎡0，. 2⎣
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解：(1)C 的普通方程为 (x －1) 2＋y 2＝1(0≤y ≤1) ．
⎧⎪x ＝1＋cos t ，可得C 的参数方程为⎨(t 为参数，0≤t ≤π) ． ⎪y ＝sin t ，⎩
(2)设D (1＋cos t ，sin t ) ．由(1)知C 是以G (1，0) 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在
π点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t 3，t 3
ππ33故D 的直角坐标为⎛1＋cos ，sin ⎫，即⎛. 33⎭⎝⎝22⎭
⎧x =5+⎪⎪11.
【2015高考湖南，理16
】已知直线l :⎨（t 为参数），以坐标原点为极点，
⎪y =+1t ⎪⎩2
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.
（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M
的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |⋅|MB |的
值.
的两个实数根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA|⋅|MB|=|t1t 2|=18.
12. (福州高中毕业班质量检测, 21(2))在平面直角坐标系
轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为中, 以为极点, 轴非负半, 直线l 的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.
（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;
（Ⅱ）若, 求的值；
（Ⅲ）若P (2, 0) ，求的值．
[解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分） (Ⅱ) 直线的参数方程为
(为参数), 代入,
得到
, ,
对应的参数分别为, ，则
13. ( 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)已知曲线
(为参数) （Ⅰ）化
线; ， (t为参数) ，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲
（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A ，B 两点，求.
[解析] 解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆. 曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. （4分） （Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数） 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，
则所以. （10分）
14. （河南省商丘市高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中，已知圆C
的圆心
C ) ，半径
4
（I ）求圆C 的极坐标方程； π
⎧x =2+t cos α⎡π⎤l （Ⅱ）若α=⎢0, ⎥，直线的参数方程为⎨（t 为参数），直线l 交圆C ⎣4⎦⎩y =2+t sin α
于A 、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．
解：（Ⅰ）C 直角坐标(1,1)，所以圆C 的直角坐标方程为(x -1) +(y -1) =3，……2分 22
⎧x =ρcos θ2由⎨得，圆C 的直角坐标方程为ρ-2ρcos θ-2ρsin θ-1=0．……5分
⎩y =ρsin θ
（Ⅱ）将⎨
⎧x =2+t cos α
，代入C 的直角坐标方程(x -1) 2+(y -1) 2=3，
⎩y =2+t sin α
得t 2+2(cosα+sin α) t -1=0 ，则∆>0 ，设Ａ，Ｂ对应参数分别为t 1，t 2，则
t 1+t 2=-2(cosα+sin α) ，t 1t 2=-1，
|AB |=|t 1-t 2|=因为α∈[0,) ，所以sin 2α∈[0,1)所以8+4sin 2α∈[8,12)，所以|AB
|的取值范围为
⎧⎪x ＝2＋t ，x 2y 2
15. [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知曲线C ：＝1，直线l ：⎨(t 为参数) ．
49⎪y ＝2－2t ⎩
π
4
(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
⎧⎪x ＝2cos θ，
解：(1)曲线C 的参数方程为⎨(θ为参数) ，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
⎪y ＝3sin θ⎩
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ) 到直线l 的距离d ＝则|P A |＝
5
|4cos θ＋3sin θ－6|， 5
d 2 54
|5sin(θ＋α) －6|，其中α为锐角，且tan α＝.
53sin 30°
22当sin(θ＋α) ＝－1时，|P A |55
当sin(θ＋α) ＝1时，|P A |取得最小值，最小值为.
5
极坐标与参数方程的综合练习题
π⎫⎛
1. 【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点 2‚⎪到直线ρcos θ+θ=6的距离
3⎭
⎝
()
为 ．
【解析】先把点(2,) 极坐标化为直角坐标
，再把直线的极坐标方程
π
3
ρcos θ+
θ=6化为直角坐标方程x +
()
-6=
0，利用点到直线距离公式
d 1.
2. 【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
1⎧x =t -, ⎪⎪t 极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ-3cos θ) =0，曲线C 的参数方程为⎨
1⎪y =t +
⎪t ⎩
( t 为参数) ，l 与C 相交于A B 两点，则|AB |= . 【答案】25
由两点间的距离公式得|AB |=
(
22232322
+) +(+) =25. 2222
⎧x =-1⎪⎪(t 为参数) ，3. （长春市高中毕业班第二次调研测试）已知直线l
的参数方程为⎨
⎪y =1t ⎪⎩2
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
π
ρ=4sin(θ-) ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若P (x , y ) 是直线l 与圆面ρ≤
6
4sin(θ-
) +y 的取值范围．
6
【解析】：（1）圆C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ-) ∴
ρ2=4ρsin(θ-) =4ρθ-cos θ)
662又ρ=x +y , x =ρcos θ, y =ρsin θ，所以x +y
=-2x 所以圆C 的普通方程x +y
+2x -=0
（2）『解法1』：
设z =+y 由圆C 的方程x +y
+2x -=
0⇒(x +1) 2+(y 2=4 ⎧x =-1-⎪⎪所以圆C
的圆心是(-1，半径是2
将⎨代入z =+y 得z =-
t ⎪y =1t ⎪⎩
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π
π
π1
又直线l
过C (-1，圆C 的半径是2，所以-2≤t ≤2，所以-2≤-t ≤2
+y 的取值范围是[-2, 2]
『解法2』：直线l 的参数方程化成普通方程为：x +3y =2„„„„6分
⎧⎪x +3y =2由⎨，解得P 1(-1-3, 3+1) ，P 2(-1+, 3-1) „„„8分 22
⎪⎩(x +1) +(y -3) =4
∵P (x , y ) 是直线l 与圆面ρ≤4sin(θ-) 的公共点，∴点P 在线段P 1P 2上，
6
∴3x +y 的最大值是(-1+3) +(3-1) =2，最小值是(-1-) +(3+1) =-2 ∴3x +y 的取值范围是[-2, 2]„„„„10分
4. （昆明第一中学2014届高三第五次月考）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方
π
⎧3x =5-t ⎪⎪2 (t 为参数) ，圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π) 。程为⎨（I ）求直线l 和
13⎪y =-+t
⎪2⎩
圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P （x ，y ）在圆C 上，求x +y 的取值范围．
5. （河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,
以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 1的极坐标方程为
2ρsin(θ+) =a , 曲线C 2的参数方程为
420≤θ≤π).
π
⎧x =-1+cos θ
,(θ为参数, ⎨
⎩y =-1+sin θ
(Ⅰ)求C 1的直角坐标方程;
(Ⅱ)当C 1与C 2有两个公共点时, 求实数a 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)曲线C 1的极坐标方程为ρθθ) =, ∴曲线C 1的直角坐标方程为x +y -a =0.
(Ⅱ)曲线C 2的直角坐标方程为(x +1) +(y +1) =1(-1≤y ≤0) , 为半圆弧, 如下图所示, 曲线C 1为一族平行于直线x +y =0的直线
当直线C 1过点P 时, 利用
2
2
=1得a =-2舍去a =-2则a =-2+当直线C 1过点A 、B ∴由图可知, 当-1≤a
⎧x =1+t cos α. ⎧x =cos θ,
6. （2010年高考（全国新课标理））直线C 1:⎨ (t为参数), 圆C 2:⎨
y =t sin α, y =sin θ, ⎩⎩
(θ为参数), (Ⅰ)当α=
π
时, 求C 1与C 2的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点O 作C 1的垂线, 3
垂足为A,P 为OA 的中点, 当α变化时, 求P 点轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线;
【答案】解: (I)当α=
2
2
π
3
时,C 1的普通方程为y =(x -1), C 2的普通方程为
x +y =1. 联立方程组
⎧1⎪y =(x -1),
解得C 1与C 2的交点为(1,0),(, -). ⎨2
2
22⎪⎩x +y =1,
2
(II)C1的普通方程为x sin α-y cos α-sin α=0. A点坐标为(sin
α, -cos αsin α),
12⎧
x =sin α, ⎪⎪2
(α为参数). 故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为⎨
1⎪y =-sin αcos α, ⎪2⎩
22
P 点轨迹的普通方程为(x -) +y =
14111
, 故P 点轨迹是圆心为(, 0), 半径为的圆. 1644
7. (吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，23) 已知直线的参数方程为
（t 为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线
与圆面≤的公共点，求的取值范围．
[解析]（1）圆又
的极坐标方程为
所以
（2）设
由
:
所以
所以圆
的普通方程
所以圆的圆心是，半径是 将代入得
又直线过，圆的半径是，所以即的取值范围是
8. (乌鲁木齐2015届高三第一次诊断测验) 在直角坐标系xOy 中, P 为直线2x +2y -1=0上的一点，Q 为射线OP 上的一点，满足OP ⋅OQ =1。 (Ⅰ)求Q 点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点M (x , y ) 是(Ⅰ)中轨迹上任意一点，求x +7y 的最大值。 答案：(Ⅰ)x 2+y 2=x +y
9. (乌鲁木齐2015届高三第二次诊断测验) 已知圆C 的圆心在（0,1），半径为1，直线l 过点（0,3）且垂直于y 轴。 (Ⅰ)求圆C 和直线l 的参数方程;
(Ⅱ)过原点O 作射线分别交圆C 和直线l 于M,N ，求证：OM ⋅ON 为定值。 答案：(Ⅰ) C :x +(y -1) =1；l :y =3. (Ⅱ) OM ⋅ON =6
2
2
10. [2013·浙江卷] 已知a ∈R (1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半
轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．
⎧x ＝θ，
(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎨(θ为参数) ，过点P(2，1) 的直线与
⎩y ＝sin θ
8
曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝|AB|的值．
3
解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，
故化成直角坐标方程为x ＋y(x2＋y 2) ＝x ＋y .
又(0，0) 满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x2＋y 2) x ＋y . (2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2.
⎧x ＝2＋tcos α，⎪
设过点P(2，1) ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎨(t为参数) ．
⎪⎩y ＝1＋tsin α
及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得
(2＋tcos α) 2＋2(1＋tsin α) 2－2＝0. 即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0. 则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2 α)>0，且t 1＋t 2＝－4848
，由|PA|·|PB|＝得|tt |＝＝.
3121＋sin 2 α31＋sin 2 α
18 28
故sin 2 α. 又由Δ>0得0
233所以|AB|＝|t1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝
4 3
4（sin α＋cos α）
，t 1t 2＝
1＋sin 2 α
11. （兰州市2015届高三双基过关考试）在直角坐标系xOy 中, 以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρsin
2
θ=2a cos θ(a >0) ，过点P (-2, -4) 的
⎧
x =-2+⎪⎪
直线l 的参数方程为⎨
⎪y =-4+⎪⎩
2
t
(t 为参数). 直线l 与曲线C 分别交于M , N 两点。 2t 2
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM , MN , PN 成等比数列，求a 的值。
12. [2013·辽宁卷]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标π
系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎛θ－⎫＝2 2.
4⎭⎝
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为
x ＝t ＋a ，⎧⎪
⎨b 3(t∈R 为参数) ，求a ，b 的值． y ＝t ＋1⎪⎩2
解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y－2) 2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
⎧x 2＋（y －2）2＝4，⎪⎧x 1＝0，⎪⎧x 2＝2，⎪π
⎨解⎨得⎨所以C 1与C 2交点的极坐标为⎛4，
2⎝⎪⎪⎩x ＋y －4＝0⎩y 1＝4，⎪⎩y 2＝2.
3
⎛2 2，π⎫. 注：极坐标系下点的表示不唯一．
4⎭⎝
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2) ，(1，3) ，
b ab
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得y ＝x －1，
22
⎧2＝1，
所以⎨解得a ＝－1，b ＝2.
ab
⎩－21＝2，
⎧x ＝2＋t cos α，
13. [2012浙江卷]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎨(t 为
⎩y ＝3＋t sin α
⎧⎪x ＝2cos θ，
参数) 与曲线C ：⎨(θ为参数) 相交于不同两点A ，B .
⎪y ＝sin θ⎩
b
x 22
解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 将曲线C 的参数方程化为普通方程＋y
4
π
＝1. (1)当α＝M 对应参数为t 0.
3
1x ＝2，
2x 22
直线l 方程为(t 为参数) ．代入曲线C 的普通方程y ＝1，得13t 2＋
43
y ＝3＋t
2
π
(1)若α＝AB 中点M 的坐标；
3
(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (23) ，求直线l 的斜率．
⎧
⎨⎩
t 1＋t 228123
56t ＋48＝0，则t 0＝＝－，所以，点M 的坐标为⎛.
21313⎭⎝13
⎧x ＝2＋t cos α，x 22
(2)将⎨代入曲线C 的普通方程＋y ＝1，得(cos2α＋4sin 2α) t 2＋3sin α
4⎩y ＝3＋t sin α
＋4cos α) t ＋12＝0，
12122
7. |OP |＝7，所以cos α＋4sin αcos α＋4sin α
55
得tan 2α＝. 由于Δ＝32cos α3sin α－cos α)>0，故tan α＝.
164
5
所以直线l 的斜率为.
4
因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝
较难的综合题目
1. 已知一条封闭的曲线C 由一段圆弧C 1：⎨
⎧x =2cos t ππ
t ∈[-, ]和一段抛物线弧
33⎩y =2sin t
C 2:y 2=2x +1（x
（1）求曲线C 的极坐标方程；（X 轴的正半轴为极轴，原点为极点） （2）若过原点的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的取值范围。
ππ⎧
2............... θ∈[-, ]⎪⎪33
解：（1）C :ρ=⎨，
1π5π⎪... θ∈(, ) ⎪1-cos θ33⎩
（2）AB =ρθ+ρθ+π由图知：当θ∈[-
ππ
2π4π
, ]时，θ+π∈[, ]，此时， 3333
AB =ρθ+ρθ+π=2+
当θ∈(
1158=2+, 故AB ∈[, ]
231-cos(θ+π) 1+cos θ
4π5π
, ) ，此时， 33
，
故
π2π
3, 3
) 时，θ+π∈(
AB =ρθ+ρθ+π=
11112
+=+=
1-cos θ1-cos(θ+π) 1-cos θ1+cos θ1-cos 2θ
8
AB ∈[2,)
32π5π8θ∈[, ) 时，由图形的对称性可知，范围与上述一致。综上得：AB ∈[2,]
333
x 21
+y 2=1内一定点，椭圆上一点M 到直线x +y -=0 2、 已知P （1，）是椭圆等
24
的距离为d ．
（1）当点M 在椭圆上移动时，求d 的最小值；
（2）设直线MP 与椭圆的另一个交点为N ，求|PM|·| PN |的最大值． 解：（1）由椭圆的参数方程可设点M 的坐标为(2cosθ,sin θ) ，
则点M 到直线x +y -=0的距离为
d =
=≥=其中锐角ϕ满足tan ϕ=2, 当且仅当sin(θ+ϕ)=1时“=”成立。
所以d 的最小值为
„„„„„„5分 2
⎧x =-1+t cos α, ⎪
(t 为参数, α为倾斜角), （2）设直线MN 的参数方程为⎨1
y =+t sin α. ⎪⎩2
x 2
+y 2=1, 得(1+3sin 2α) t 2+t (2cosα+4sin α) -2=0 ① 代入椭圆方程4
设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1，t 2是方程①两个实根， 即有t 1t 2=
-2
.
1+3sin 2α
2
≤2. 当α=0 时“=”成立，2
1+3sin α
|PM |⋅|PN |=|t 1t 2|=再由参数的几何意义知：
所以|PM|·|PN|的最大值为2。 „„„„„„10分
3、在极坐标系中, 极点为O . 曲线C: ρ=5, 过点A (3,0)作两条互相垂直的直线与C 分别交于点P , Q 和M , N . (1) 当
|PQ ||MN |
+=2时, 求直线PQ 的极坐标方程; |MN ||PQ |
|PQ ||MN |
+的最大值. |MN ||PQ |
(2) 求
(1) 解: 因为
|PQ ||MN ||PQ ||MN |
+≥2⋅=2, |MN ||PQ ||MN ||PQ |
故 |MN |=|PQ | .所以直线PQ 的倾斜角为45°或135°, 即
直
线
PQ 的极坐标方程是
ρcos θ+ρsin θ=3, 或
ρcos θ-ρsin θ=3 . „„„„（5分）
(2) 解: 因为8≤|MN |≤10, 8≤|PQ |≤10, 故
上单调递增,
所以
8|PQ |101≤≤. 又函数f (x ) =x +在(0, 1]上单调递减, 在[1, + ∞)
x 10|MN |8
|PQ ||MN |81041
+≤+=, |MN ||PQ |10820
当PQ 为极轴所在的直线, MN 为过点A 且垂直于极轴的直线时, 等号成立
.
因此
|PQ ||MN |
的最大值为+
|MN ||PQ |
41
. „„„„（10分） 20
1⎧2
x =s +-2, ⎪⎪s 2
(参数为s ) ，过抛物4、已知抛物线C ：⎨
⎪y =2s -2⎪s ⎩
线C 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，交抛物线C 于A 、B 两点。
（I ）将抛物线C 化为普通方程，并写出直线l 的以t 为参数的参数方程；
（II ）若AF =3FB , 求倾角α.
解：（1）因圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ过极点Ａ，故可设圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ的极坐标方程为
ρ=
a cos θ+b sin θ
⎧4=b
⎧a =0⎪
对于圆弧ＡＣＢ，由B (4,), C ) 得：⎨解得： ⎨b =
424=a +b ) ⎩⎪
⎩π
π
⎧4=b
⎧a =-43π⎪
对于圆弧ＢＤＡ，由B (4,), D ) 得：⎨解得： ⎨b =424-a +b ) ⎩⎪⎩π
故圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ的极坐标方程 分别是：ρ=4sin θ(0≤θ≤
π
2
), ρ=4(sinθ-cos θ) (
π
2
≤θ≤
5π
) 5分 4
（2）曲线Ω围成的区域面积=2π+4+6π=8π+4 10分
5、已知圆(x -2cos θ) +(y +2cos 2θ-2) =1. （1）求圆心的轨迹C 的方程；
（2）若存在过点P (0,a ) 的直线交轨迹C 于点A ，B ，且|PA |,|AB |,|PB |构成等比数列，
求a 的取值范围．
（1）圆(x -2cos θ) +(y +2cos 2θ-2) =1的圆心(x , y ) 的坐标为
2
2
2
2
⎧x =2cos θ(2cosθ,2-2cos 2θ) ，∴⎨
⎩y =2-2cos 2θ
消去参数θ得轨迹C 的方程为y =4-x ,(-2≤x ≤2) ．„„„„„„„„„4分 （2）设直线AB 的方程为⎨
2
⎧x =t cos α
（α
为直线AB 的倾斜角）．
⎩y =a +t sin α
代入y =4-x 2,
得t 2co s 2α+t sin α+a -4=0，显然cos α≠0，即α≠π
2，
设其两根为t 1, t 2．又因为|PA |,|AB |,|PB |构成等比数列，
∴|AB |2=|PA |⋅|PB |=|t 1t 2|
AB |2=|t 2sin 2αa -4sin 2α-4(a -4)cos 2
|α
1-t 2|=cos 4α-4cos 2α=cos 4α
∴sin 2α-4(a -4)co s 2α
cos 4α=|a -4
c os 2α|， „„„„„„„„„„„6 分
即sin 2α=[4(a -4) +|a -4|]cos2α，∴tan 2α=4(a -4) +|a -4| 由tan 2α≥0得a ≥4，又|PA |⋅|PB |=|t 2
1t 2|≠0，∴a >4. tan α=5(a -4) „8
又设轨迹上的点M （-2，0），N （2，0），则tan 2α≤k 2a 2
MP =4，
∴a 2-20a +80≥0，又a >4 ∴
a ≥10+4
21 分分
极坐标练习题
1. 在同一极坐标系中描点A 2, π⎫5π⎛π⎫⎛π⎫⎛⎪, B 3, ⎪, C (4, 0), D -2, ⎪, E (1, π), F (1, ), 6⎭4⎝6⎭⎝2⎭⎝
π⎛π⎫G 1, +4π⎪, H (1, -) ，并写出相应的直角4⎝4⎭
坐标。
2. [2013·新课标全国卷Ⅰ改编]已知曲线C 1的直角方程为(x -4) 2+(y -5) 2=25 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的直角坐标方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π) ．
⎧⎪x ＝4＋5cos t，解：(1)将⎨消去参数t ，化为普通方程(x－4) 2＋(y－5) 2＝25， ⎪y ＝5＋5sin t⎩
⎧⎪x ＝ρcos θ，即C 1：x ＋y －8x －10y ＋16＝0. 将⎨代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2
⎪⎩y ＝ρsin θ22
－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
22⎧⎧x ＋y －8x －10y ＋16＝0，⎪⎪x ＝1，22⎨(2)C2的普通方程为x ＋y －2y ＝0，由22 解得⎨⎪x ＋y －2y ＝0⎪y ＝1⎩⎩
⎧⎪x ＝0，ππ或⎨所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎛2，⎫，⎛2，⎫. 4⎭⎝2⎭⎝⎪⎩y ＝2.
3. (2007海南宁夏) ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=-4sin θ． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
解： (I)x =ρcos θ，y =ρsin θ，由ρ=4c o s θ得ρ=4ρcos θ．所以x +y =4x ． 即x +y -4x =0为⊙O 1的直角坐标方程．同理x
+y +4y =0为⊙O 2的直角坐标方程 2222222
⎧x 2+y 2-4x =0(II)解:由⎨2, 两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 2⎩x +y +4y =0
4. (2009辽宁) 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （θ-π
3）=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；
（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。
πθ-) =1得解：（Ⅰ）由ρcos(3
1x +y =1即x +y =222
θ=0时，ρ=2，所以M (2, 0) ρ(cos θ+12sin θ) =1 C2直角方程为2) 3（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为(0, θ=π
2时，ρ=223π，所以N (, ) 332
P 点的直角坐标为(1. 32π), 则P 点的极坐标为(, ), 336直线OP 极坐标方程为θ=, ρ∈(-∞, +∞)
5. （东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :π2。(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；当θ∈(0, π) 时，求直线l 与圆O ρsin(θ-) =42
公共点的极坐标。
解：（1）圆O :ρ=cos θ+sin θ，即ρ2=ρcos θ+ρsin θ
圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x +y ，即x 2+y 2-x -y =0
4
y -x =1，即x -y +1=0。 直线l :ρsin θ(-π) =2，即ρsi n θ-ρc o s θ=1则直线的直角坐标方程为：2
⎧x 2+y 2-x -y =0⎧x =0π（2）由⎨得⎨ 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1, ) 。 2⎩y =1⎩x -y +1=0
6. [2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的直角坐标方程为
→→x 2+(y -2) 2=4。M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的直角坐标方程；
π(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝C 1的异于极点的交3
点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
x y 解 (1)设P (x ，y ) ，则由条件知M ⎛⎝22，由于M 点在C 1上，所以
x 2cos α，⎧⎧2⎪x ＝4cos α，⎪x ＝4cos α，⎨即从而C 2的参数方程为⎨(α为参数) y ⎪⎪⎩y ＝4＋4sin α. ⎩y ＝4＋4sin α. 2＋2sin α，2
π(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θC 13
πππ的交点A 的极径为ρ1＝4sin ，射线θ＝与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 333
所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝23. ⎧⎨⎩
7. 【2015高考新课标2，改编】在直角坐标系xoy 中，直线C 1:y =tan α⋅x （x ≠0），其中0≤α
曲线C 3:ρ=θ．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若C 2与C 3交点的直角坐标； C 2与C 1相交于点，C 3与C 1相交于点，求AB 的最大值． A B （Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R , ρ≠0) ，其中0≤α
所以AB =2sin α-α
5ππ时，AB 取得最大值，最大值为4． =4s in(α-) ，当α=63
8. 【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线C 1:x =-2，圆C 2：(x -1)+(y -2)22=1, 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ=
的面积.
【解析】 π4设C 2与C 3的交点为M , N ,求∆C 2MN (ρ∈R )，
9. ( 山西太原高三模拟考试（一），23) 在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为
，且曲线C 1上的点M （2
，3）对应的参数ϕ=
以O 为极点，
圆，射线
（Ⅱ）若π3 . 且轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的. （ I ）求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；的值. 与曲线C 2交于点 是曲线C 1上的两点，求
参数方程练习题
1⎧x =3+t ⎪2⎪1. 【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x Oy 中，直线l 的参数方程为⎨（t 为
⎪y =⎪⎩参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
ρ=θ．
（I ）写出曲线C 的直角坐标方程；
（II ）P为直线l 上一动点，当P到圆心C 的距离最小时，求P的直角坐标．
【解析】（I ）
由ρ=θ，
得ρ2=sin θ，从而
有x 2+y 2=，所
以x +y 2(2=3.
1(II)
设P (3+
，又
，则|PC |==，2故当t =0时，PC 取最小值，此时P点的直角坐标为(3,0).
2. ( 周宁、政和一中第四次联考，21) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是
（为参数）（Ⅰ）将
轴为极轴建立极坐标系. 设曲线
标. 的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半， 求曲线与交点的极坐的极坐标方程是
[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，
（Ⅱ）由题意，的普通方程为
，点、的直角坐标为，代入圆的普通方程后得，，从而，，解得. （7分） ，
3. 【2015高考福建，理21】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎨⎧x =1+3cos t
⎩y =-2+3sin t
(t 为参数). 在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2ρsin(θ-
(Ⅰ) 求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
【解析】(Ⅰ) 消去参数t ，得到圆的普通方程为π4) =m (m ∈R ) (x -1) +(y +2) =9,
由22sin(q -p ) =m ，得r sin q -r cos q -m =0, 所以直线l 的直角坐标方程为4
x -y -m =0.
(Ⅱ) 依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2
=2，解得m=-3±4. ( 江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程是
（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标
方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.
[解析]因为圆的极坐标方程为，所以， 所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分） 因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，
所以直线上的点向圆C 引的切线长的最小值是. （10分）
⎧⎪x ＝2cos φ，5. [2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是⎨(φ为参数) ，以坐标原点⎪y ＝3sin φ⎩
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD
π2，. 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎛⎝3(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． ππππππππ解：(1)由已知可得A （2cos ，2sin ），B （2cos ＋,2sin ＋），C （2cos ＋π,2sin ＋π），33323233
π3ππ3πD （2cos ＋,2sin ＋），即A (1，3) ，B (－3，1) ，C (－1，－3) ，D (3，－1) ． 3232
(2)设P (2cosφ，3sin φ) ，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16 ＝32＋20sin 2φ.
因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．
6. （南京市高三年级第三次模拟考试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是x 2y 2
椭圆412＝1上在第一象限的点，A (2，0) ，B (0，3) 是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．
π解：设M (2cosθ，3sin θ) ，θ∈(0，2) ．由题知OA ＝2，OB ＝23， „„„„„2分
11∴四边形OAMB 面积S ＝2×OA ×23sin θ＋2OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin(θ
ππ＋4 所以当θ＝4时，四边形OAMB 的面积的最大值为26． „„„„„„„„10分
⎧⎪x ＝2cos t，7. [2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎨(t为参数) 上，对应⎪y ＝2sin t⎩
参数分别为t ＝α与t ＝2α(0
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α) ，Q(2cos 2α，2sin 2α) ，因此M(cos α＋cos 2α，sin
⎧⎪x ＝cos α＋cos 2α，α＋sin 2α) ． M 的轨迹的参数方程为⎨ (α为参数，0
(2)M点到坐标原点的距离d x ＋y ＝2＋2cos α(0
当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
8. （黑龙江省大庆高三第次模拟考试数学（理）试卷）
⎧⎪x =6cos θC 在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为⎨(θ为参数) ，直线l 的参数⎪⎩y =2sin θ
⎧3x =t ⎪⎪2方程为⎨(t 为参数) ，T 为直线l 与曲线C 的公共点，以原点O 为极点，x 轴的⎪y =2-1t ⎪2⎩
正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求点T 的极坐标；
（II ）将曲线C 上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变) 后得到曲线W ，过点T 作直线m ，若直线m 被曲线W 截得的线段长为23，求直线m 的极坐标方程.
⎧x =t ⎪x 2y 2⎪2代入上式整理得t 2-4t +4=0，解得t =2 =1。将⎨解：（I ）C 的普通方程为+62⎪y =2-1t ⎪2⎩
故点T 的坐标为(3, 1) ，其极坐标为(2, π
6) . „„„„„„„„„5分
⎧x '=x x 2
（II ）坐标变换式为⎨故W 的方程为+'6y =y ⎩(y 2) 3=1，即x 2+y 2=6„7分 2
当直线m 的斜率存在时, 设其方程为y -1=k (x -3) ，即kx -y -3k +1=0，
由圆心(0, 0) 到直线m 距离3得-3k +1k 2+1=3，k =-，∴直线m 为y =- x +2，33当直线m 的斜率不存在时，其方程为x =，显然成立.
9. [2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy . 圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2) 2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示) ；
(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
⎧ρ＝2，⎪πππ2，，⎛2. 解⎨得ρ＝2，θ＝. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎛3⎝3⎝3⎪⎩ρ＝4cos θ
注：极坐标系下点的表示不唯一．
⎧x ＝ρcos θ，⎪(2)(解法一) 由⎨得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3) ，(1，－3) ． ⎪y ＝ρsin θ⎩
⎧⎧⎪x ＝1，⎪x ＝1，故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎨－3≤t ≤3. (或参数方程写成⎨ ⎪⎪y ＝t y ＝y ⎩⎩
－3≤y ≤3)
(解法二) 在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3) ．将x ＝1代入⎧⎪x ＝ρcos θ，1⎨得ρcos θ＝1，从而ρ＝. cos θ⎪y ＝ρsin θ⎩
⎧⎪x ＝1，ππ于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎨－θ33⎪y ＝tan θ，⎩
10. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的
π极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎡0，. 2⎣
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解：(1)C 的普通方程为 (x －1) 2＋y 2＝1(0≤y ≤1) ．
⎧⎪x ＝1＋cos t ，可得C 的参数方程为⎨(t 为参数，0≤t ≤π) ． ⎪y ＝sin t ，⎩
(2)设D (1＋cos t ，sin t ) ．由(1)知C 是以G (1，0) 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在
π点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t 3，t 3
ππ33故D 的直角坐标为⎛1＋cos ，sin ⎫，即⎛. 33⎭⎝⎝22⎭
⎧x =5+⎪⎪11.
【2015高考湖南，理16
】已知直线l :⎨（t 为参数），以坐标原点为极点，
⎪y =+1t ⎪⎩2
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.
（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M
的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |⋅|MB |的
值.
的两个实数根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA|⋅|MB|=|t1t 2|=18.
12. (福州高中毕业班质量检测, 21(2))在平面直角坐标系
轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为中, 以为极点, 轴非负半, 直线l 的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.
（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;
（Ⅱ）若, 求的值；
（Ⅲ）若P (2, 0) ，求的值．
[解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分） (Ⅱ) 直线的参数方程为
(为参数), 代入,
得到
, ,
对应的参数分别为, ，则
13. ( 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)已知曲线
(为参数) （Ⅰ）化
线; ， (t为参数) ，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲
（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A ，B 两点，求.
[解析] 解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆. 曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. （4分） （Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数） 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，
则所以. （10分）
14. （河南省商丘市高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中，已知圆C
的圆心
C ) ，半径
4
（I ）求圆C 的极坐标方程； π
⎧x =2+t cos α⎡π⎤l （Ⅱ）若α=⎢0, ⎥，直线的参数方程为⎨（t 为参数），直线l 交圆C ⎣4⎦⎩y =2+t sin α
于A 、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．
解：（Ⅰ）C 直角坐标(1,1)，所以圆C 的直角坐标方程为(x -1) +(y -1) =3，……2分 22
⎧x =ρcos θ2由⎨得，圆C 的直角坐标方程为ρ-2ρcos θ-2ρsin θ-1=0．……5分
⎩y =ρsin θ
（Ⅱ）将⎨
⎧x =2+t cos α
，代入C 的直角坐标方程(x -1) 2+(y -1) 2=3，
⎩y =2+t sin α
得t 2+2(cosα+sin α) t -1=0 ，则∆>0 ，设Ａ，Ｂ对应参数分别为t 1，t 2，则
t 1+t 2=-2(cosα+sin α) ，t 1t 2=-1，
|AB |=|t 1-t 2|=因为α∈[0,) ，所以sin 2α∈[0,1)所以8+4sin 2α∈[8,12)，所以|AB
|的取值范围为
⎧⎪x ＝2＋t ，x 2y 2
15. [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知曲线C ：＝1，直线l ：⎨(t 为参数) ．
49⎪y ＝2－2t ⎩
π
4
(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
⎧⎪x ＝2cos θ，
解：(1)曲线C 的参数方程为⎨(θ为参数) ，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
⎪y ＝3sin θ⎩
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ) 到直线l 的距离d ＝则|P A |＝
5
|4cos θ＋3sin θ－6|， 5
d 2 54
|5sin(θ＋α) －6|，其中α为锐角，且tan α＝.
53sin 30°
22当sin(θ＋α) ＝－1时，|P A |55
当sin(θ＋α) ＝1时，|P A |取得最小值，最小值为.
5
极坐标与参数方程的综合练习题
π⎫⎛
1. 【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点 2‚⎪到直线ρcos θ+θ=6的距离
3⎭
⎝
()
为 ．
【解析】先把点(2,) 极坐标化为直角坐标
，再把直线的极坐标方程
π
3
ρcos θ+
θ=6化为直角坐标方程x +
()
-6=
0，利用点到直线距离公式
d 1.
2. 【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
1⎧x =t -, ⎪⎪t 极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ-3cos θ) =0，曲线C 的参数方程为⎨
1⎪y =t +
⎪t ⎩
( t 为参数) ，l 与C 相交于A B 两点，则|AB |= . 【答案】25
由两点间的距离公式得|AB |=
(
22232322
+) +(+) =25. 2222
⎧x =-1⎪⎪(t 为参数) ，3. （长春市高中毕业班第二次调研测试）已知直线l
的参数方程为⎨
⎪y =1t ⎪⎩2
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
π
ρ=4sin(θ-) ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若P (x , y ) 是直线l 与圆面ρ≤
6
4sin(θ-
) +y 的取值范围．
6
【解析】：（1）圆C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ-) ∴
ρ2=4ρsin(θ-) =4ρθ-cos θ)
662又ρ=x +y , x =ρcos θ, y =ρsin θ，所以x +y
=-2x 所以圆C 的普通方程x +y
+2x -=0
（2）『解法1』：
设z =+y 由圆C 的方程x +y
+2x -=
0⇒(x +1) 2+(y 2=4 ⎧x =-1-⎪⎪所以圆C
的圆心是(-1，半径是2
将⎨代入z =+y 得z =-
t ⎪y =1t ⎪⎩
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π
π
π1
又直线l
过C (-1，圆C 的半径是2，所以-2≤t ≤2，所以-2≤-t ≤2
+y 的取值范围是[-2, 2]
『解法2』：直线l 的参数方程化成普通方程为：x +3y =2„„„„6分
⎧⎪x +3y =2由⎨，解得P 1(-1-3, 3+1) ，P 2(-1+, 3-1) „„„8分 22
⎪⎩(x +1) +(y -3) =4
∵P (x , y ) 是直线l 与圆面ρ≤4sin(θ-) 的公共点，∴点P 在线段P 1P 2上，
6
∴3x +y 的最大值是(-1+3) +(3-1) =2，最小值是(-1-) +(3+1) =-2 ∴3x +y 的取值范围是[-2, 2]„„„„10分
4. （昆明第一中学2014届高三第五次月考）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方
π
⎧3x =5-t ⎪⎪2 (t 为参数) ，圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π) 。程为⎨（I ）求直线l 和
13⎪y =-+t
⎪2⎩
圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P （x ，y ）在圆C 上，求x +y 的取值范围．
5. （河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,
以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 1的极坐标方程为
2ρsin(θ+) =a , 曲线C 2的参数方程为
420≤θ≤π).
π
⎧x =-1+cos θ
,(θ为参数, ⎨
⎩y =-1+sin θ
(Ⅰ)求C 1的直角坐标方程;
(Ⅱ)当C 1与C 2有两个公共点时, 求实数a 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)曲线C 1的极坐标方程为ρθθ) =, ∴曲线C 1的直角坐标方程为x +y -a =0.
(Ⅱ)曲线C 2的直角坐标方程为(x +1) +(y +1) =1(-1≤y ≤0) , 为半圆弧, 如下图所示, 曲线C 1为一族平行于直线x +y =0的直线
当直线C 1过点P 时, 利用
2
2
=1得a =-2舍去a =-2则a =-2+当直线C 1过点A 、B ∴由图可知, 当-1≤a
⎧x =1+t cos α. ⎧x =cos θ,
6. （2010年高考（全国新课标理））直线C 1:⎨ (t为参数), 圆C 2:⎨
y =t sin α, y =sin θ, ⎩⎩
(θ为参数), (Ⅰ)当α=
π
时, 求C 1与C 2的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点O 作C 1的垂线, 3
垂足为A,P 为OA 的中点, 当α变化时, 求P 点轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线;
【答案】解: (I)当α=
2
2
π
3
时,C 1的普通方程为y =(x -1), C 2的普通方程为
x +y =1. 联立方程组
⎧1⎪y =(x -1),
解得C 1与C 2的交点为(1,0),(, -). ⎨2
2
22⎪⎩x +y =1,
2
(II)C1的普通方程为x sin α-y cos α-sin α=0. A点坐标为(sin
α, -cos αsin α),
12⎧
x =sin α, ⎪⎪2
(α为参数). 故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为⎨
1⎪y =-sin αcos α, ⎪2⎩
22
P 点轨迹的普通方程为(x -) +y =
14111
, 故P 点轨迹是圆心为(, 0), 半径为的圆. 1644
7. (吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，23) 已知直线的参数方程为
（t 为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线
与圆面≤的公共点，求的取值范围．
[解析]（1）圆又
的极坐标方程为
所以
（2）设
由
:
所以
所以圆
的普通方程
所以圆的圆心是，半径是 将代入得
又直线过，圆的半径是，所以即的取值范围是
8. (乌鲁木齐2015届高三第一次诊断测验) 在直角坐标系xOy 中, P 为直线2x +2y -1=0上的一点，Q 为射线OP 上的一点，满足OP ⋅OQ =1。 (Ⅰ)求Q 点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点M (x , y ) 是(Ⅰ)中轨迹上任意一点，求x +7y 的最大值。 答案：(Ⅰ)x 2+y 2=x +y
9. (乌鲁木齐2015届高三第二次诊断测验) 已知圆C 的圆心在（0,1），半径为1，直线l 过点（0,3）且垂直于y 轴。 (Ⅰ)求圆C 和直线l 的参数方程;
(Ⅱ)过原点O 作射线分别交圆C 和直线l 于M,N ，求证：OM ⋅ON 为定值。 答案：(Ⅰ) C :x +(y -1) =1；l :y =3. (Ⅱ) OM ⋅ON =6
2
2
10. [2013·浙江卷] 已知a ∈R (1)以极坐标系Ox 的极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半
轴建立平面直角坐标系xOy ，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．
⎧x ＝θ，
(2)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎨(θ为参数) ，过点P(2，1) 的直线与
⎩y ＝sin θ
8
曲线C 交于A ，B 两点．若|PA|·|PB|＝|AB|的值．
3
解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐标系下，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，
故化成直角坐标方程为x ＋y(x2＋y 2) ＝x ＋y .
又(0，0) 满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x ＋y(x2＋y 2) x ＋y . (2)由题意，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2.
⎧x ＝2＋tcos α，⎪
设过点P(2，1) ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎨(t为参数) ．
⎪⎩y ＝1＋tsin α
及点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2. 将直线的参数方程代入x 2＋2y 2＝2得
(2＋tcos α) 2＋2(1＋tsin α) 2－2＝0. 即(1＋sin 2α)t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0. 则Δ＝16(2sin αcos α－sin 2 α)>0，且t 1＋t 2＝－4848
，由|PA|·|PB|＝得|tt |＝＝.
3121＋sin 2 α31＋sin 2 α
18 28
故sin 2 α. 又由Δ>0得0
233所以|AB|＝|t1－t 2|＝（t 1＋t 2）－4t 1t 2＝
4 3
4（sin α＋cos α）
，t 1t 2＝
1＋sin 2 α
11. （兰州市2015届高三双基过关考试）在直角坐标系xOy 中, 以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρsin
2
θ=2a cos θ(a >0) ，过点P (-2, -4) 的
⎧
x =-2+⎪⎪
直线l 的参数方程为⎨
⎪y =-4+⎪⎩
2
t
(t 为参数). 直线l 与曲线C 分别交于M , N 两点。 2t 2
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM , MN , PN 成等比数列，求a 的值。
12. [2013·辽宁卷]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标π
系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎛θ－⎫＝2 2.
4⎭⎝
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为
x ＝t ＋a ，⎧⎪
⎨b 3(t∈R 为参数) ，求a ，b 的值． y ＝t ＋1⎪⎩2
解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y－2) 2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
⎧x 2＋（y －2）2＝4，⎪⎧x 1＝0，⎪⎧x 2＝2，⎪π
⎨解⎨得⎨所以C 1与C 2交点的极坐标为⎛4，
2⎝⎪⎪⎩x ＋y －4＝0⎩y 1＝4，⎪⎩y 2＝2.
3
⎛2 2，π⎫. 注：极坐标系下点的表示不唯一．
4⎭⎝
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2) ，(1，3) ，
b ab
故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得y ＝x －1，
22
⎧2＝1，
所以⎨解得a ＝－1，b ＝2.
ab
⎩－21＝2，
⎧x ＝2＋t cos α，
13. [2012浙江卷]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎨(t 为
⎩y ＝3＋t sin α
⎧⎪x ＝2cos θ，
参数) 与曲线C ：⎨(θ为参数) 相交于不同两点A ，B .
⎪y ＝sin θ⎩
b
x 22
解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 将曲线C 的参数方程化为普通方程＋y
4
π
＝1. (1)当α＝M 对应参数为t 0.
3
1x ＝2，
2x 22
直线l 方程为(t 为参数) ．代入曲线C 的普通方程y ＝1，得13t 2＋
43
y ＝3＋t
2
π
(1)若α＝AB 中点M 的坐标；
3
(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (23) ，求直线l 的斜率．
⎧
⎨⎩
t 1＋t 228123
56t ＋48＝0，则t 0＝＝－，所以，点M 的坐标为⎛.
21313⎭⎝13
⎧x ＝2＋t cos α，x 22
(2)将⎨代入曲线C 的普通方程＋y ＝1，得(cos2α＋4sin 2α) t 2＋3sin α
4⎩y ＝3＋t sin α
＋4cos α) t ＋12＝0，
12122
7. |OP |＝7，所以cos α＋4sin αcos α＋4sin α
55
得tan 2α＝. 由于Δ＝32cos α3sin α－cos α)>0，故tan α＝.
164
5
所以直线l 的斜率为.
4
因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝
较难的综合题目
1. 已知一条封闭的曲线C 由一段圆弧C 1：⎨
⎧x =2cos t ππ
t ∈[-, ]和一段抛物线弧
33⎩y =2sin t
C 2:y 2=2x +1（x
（1）求曲线C 的极坐标方程；（X 轴的正半轴为极轴，原点为极点） （2）若过原点的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的取值范围。
ππ⎧
2............... θ∈[-, ]⎪⎪33
解：（1）C :ρ=⎨，
1π5π⎪... θ∈(, ) ⎪1-cos θ33⎩
（2）AB =ρθ+ρθ+π由图知：当θ∈[-
ππ
2π4π
, ]时，θ+π∈[, ]，此时， 3333
AB =ρθ+ρθ+π=2+
当θ∈(
1158=2+, 故AB ∈[, ]
231-cos(θ+π) 1+cos θ
4π5π
, ) ，此时， 33
，
故
π2π
3, 3
) 时，θ+π∈(
AB =ρθ+ρθ+π=
11112
+=+=
1-cos θ1-cos(θ+π) 1-cos θ1+cos θ1-cos 2θ
8
AB ∈[2,)
32π5π8θ∈[, ) 时，由图形的对称性可知，范围与上述一致。综上得：AB ∈[2,]
333
x 21
+y 2=1内一定点，椭圆上一点M 到直线x +y -=0 2、 已知P （1，）是椭圆等
24
的距离为d ．
（1）当点M 在椭圆上移动时，求d 的最小值；
（2）设直线MP 与椭圆的另一个交点为N ，求|PM|·| PN |的最大值． 解：（1）由椭圆的参数方程可设点M 的坐标为(2cosθ,sin θ) ，
则点M 到直线x +y -=0的距离为
d =
=≥=其中锐角ϕ满足tan ϕ=2, 当且仅当sin(θ+ϕ)=1时“=”成立。
所以d 的最小值为
„„„„„„5分 2
⎧x =-1+t cos α, ⎪
(t 为参数, α为倾斜角), （2）设直线MN 的参数方程为⎨1
y =+t sin α. ⎪⎩2
x 2
+y 2=1, 得(1+3sin 2α) t 2+t (2cosα+4sin α) -2=0 ① 代入椭圆方程4
设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1，t 2是方程①两个实根， 即有t 1t 2=
-2
.
1+3sin 2α
2
≤2. 当α=0 时“=”成立，2
1+3sin α
|PM |⋅|PN |=|t 1t 2|=再由参数的几何意义知：
所以|PM|·|PN|的最大值为2。 „„„„„„10分
3、在极坐标系中, 极点为O . 曲线C: ρ=5, 过点A (3,0)作两条互相垂直的直线与C 分别交于点P , Q 和M , N . (1) 当
|PQ ||MN |
+=2时, 求直线PQ 的极坐标方程; |MN ||PQ |
|PQ ||MN |
+的最大值. |MN ||PQ |
(2) 求
(1) 解: 因为
|PQ ||MN ||PQ ||MN |
+≥2⋅=2, |MN ||PQ ||MN ||PQ |
故 |MN |=|PQ | .所以直线PQ 的倾斜角为45°或135°, 即
直
线
PQ 的极坐标方程是
ρcos θ+ρsin θ=3, 或
ρcos θ-ρsin θ=3 . „„„„（5分）
(2) 解: 因为8≤|MN |≤10, 8≤|PQ |≤10, 故
上单调递增,
所以
8|PQ |101≤≤. 又函数f (x ) =x +在(0, 1]上单调递减, 在[1, + ∞)
x 10|MN |8
|PQ ||MN |81041
+≤+=, |MN ||PQ |10820
当PQ 为极轴所在的直线, MN 为过点A 且垂直于极轴的直线时, 等号成立
.
因此
|PQ ||MN |
的最大值为+
|MN ||PQ |
41
. „„„„（10分） 20
1⎧2
x =s +-2, ⎪⎪s 2
(参数为s ) ，过抛物4、已知抛物线C ：⎨
⎪y =2s -2⎪s ⎩
线C 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，交抛物线C 于A 、B 两点。
（I ）将抛物线C 化为普通方程，并写出直线l 的以t 为参数的参数方程；
（II ）若AF =3FB , 求倾角α.
解：（1）因圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ过极点Ａ，故可设圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ的极坐标方程为
ρ=
a cos θ+b sin θ
⎧4=b
⎧a =0⎪
对于圆弧ＡＣＢ，由B (4,), C ) 得：⎨解得： ⎨b =
424=a +b ) ⎩⎪
⎩π
π
⎧4=b
⎧a =-43π⎪
对于圆弧ＢＤＡ，由B (4,), D ) 得：⎨解得： ⎨b =424-a +b ) ⎩⎪⎩π
故圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ的极坐标方程 分别是：ρ=4sin θ(0≤θ≤
π
2
), ρ=4(sinθ-cos θ) (
π
2
≤θ≤
5π
) 5分 4
（2）曲线Ω围成的区域面积=2π+4+6π=8π+4 10分
5、已知圆(x -2cos θ) +(y +2cos 2θ-2) =1. （1）求圆心的轨迹C 的方程；
（2）若存在过点P (0,a ) 的直线交轨迹C 于点A ，B ，且|PA |,|AB |,|PB |构成等比数列，
求a 的取值范围．
（1）圆(x -2cos θ) +(y +2cos 2θ-2) =1的圆心(x , y ) 的坐标为
2
2
2
2
⎧x =2cos θ(2cosθ,2-2cos 2θ) ，∴⎨
⎩y =2-2cos 2θ
消去参数θ得轨迹C 的方程为y =4-x ,(-2≤x ≤2) ．„„„„„„„„„4分 （2）设直线AB 的方程为⎨
2
⎧x =t cos α
（α
为直线AB 的倾斜角）．
⎩y =a +t sin α
代入y =4-x 2,
得t 2co s 2α+t sin α+a -4=0，显然cos α≠0，即α≠π
2，
设其两根为t 1, t 2．又因为|PA |,|AB |,|PB |构成等比数列，
∴|AB |2=|PA |⋅|PB |=|t 1t 2|
AB |2=|t 2sin 2αa -4sin 2α-4(a -4)cos 2
|α
1-t 2|=cos 4α-4cos 2α=cos 4α
∴sin 2α-4(a -4)co s 2α
cos 4α=|a -4
c os 2α|， „„„„„„„„„„„6 分
即sin 2α=[4(a -4) +|a -4|]cos2α，∴tan 2α=4(a -4) +|a -4| 由tan 2α≥0得a ≥4，又|PA |⋅|PB |=|t 2
1t 2|≠0，∴a >4. tan α=5(a -4) „8
又设轨迹上的点M （-2，0），N （2，0），则tan 2α≤k 2a 2
MP =4，
∴a 2-20a +80≥0，又a >4 ∴
a ≥10+4
21 分分