对数凸函数与琴生型不等式

对数凸函数与琴生型不等式

!!

!

吴善和!

摘

（龙岩学院数学系!福建龙岩!"#$%&’）

要!给出对数凸函数的判定方法，建立关于对数凸函数的琴生型不等式并给出它的应用，包括改进一

些已知不等式和建立一些新不等式。

关键词!凸函数；对数凸函数；不等式；琴生型不等式；应用!!!!!中图分类号!(&)*!&

&+引言

凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函数所发挥的作用是

［&,"］无可替代的，本文给出对数凸函数的一些判定方法及对数凸函数在不等式研究中的一些应用。

［"］

!设（"#）在区间$上有定义，如果对于任意#&，#’%$和%%（%，&），有定义&

（"%#&&（&’%）#’）,%"（#&）&（&’%）（"#’）

（&）

"#）在区间$上是下凸的；如果（&）中不等号反向，则称（"#）在区间$上是上凸的。则称（

［$］

定义’!设（"#）是定义在区间$上的正值函数，如果-.（"#）为$上的下凸（上凸）函数，则称

（"#）在区间$上是对数下凸（上凸）的。

’+判定定理

定理&!设（"#）是定义在区间$上的正值函数，则（&）（"#）为区间$上对数下凸函数的充要条件为

%&’%对任意#&，#’%$和%%（%，&），有（"%#&&（&’%）#’）（（"#&））（（"#’））；(（’）（"#）为区间$上对数上凸函数的充要条件为

%&’%对任意#&，#’%$和%%（%，&），有（"%#&&（&’%）#’）#（（"#&））（（"#’））。证明!根据定义’，（"#）为区间$上的对数下凸函数+-.（"#）为$上的下凸函数+对任意#&，#’

（%，&），有-.（"%#&&（&’%）#’）（"#&）&（&’%）-.（"#’）#’%$和%%（%，&）%$和%%(%-.+对任意#&，

%&’%"%#&&（&’%）#’）(（（"#&））（（"#’））。，有（

同理可证对数上凸函数的情形。

定理’!设（"#）是定义在区间$上的正值函数，（"#）在$上存在二阶导数，则

’（&）（"#）为区间$上对数下凸函数的充要条件为（"#）"(（#）’（")（#））#%，.#%$；’（’）（"#）为区间$上对数上凸函数的充要条件为（"#）（"(#）’（（")#））(%，.#%$。

证明!若（"#）为区间$上对数下凸函数，则由定义’知，-.（"#）为$上的下凸函数，于是

’

"#）（"(（#）’（")（#））’

（-.（"#））(*即（"#）"(（#）’（")（#））若.#%#%，.#%$，#%，.#%$。反之，’

（（"#））’

$，有（"#）"(（#）’（")（#））则（-.（"#））(-%，所以-.（"#）为$上的下凸函数。由定义’知，（"#）-%，

为区间$上的对数下凸函数。

!收稿日期：’%%",%B,’’

用同样的方法可证明定理!的第（!）部分。定理"#设（!"）是定义在区间#上的正值函数，则

（$）（!"）为区间#上对数下凸函数的必要条件为（!"）在区间#是下凸函数；（!）（!"）为区间#上对数上凸函数的充分条件为（!"）在区间#是上凸函数；

!证明#若（!"）为区间#上的对数下凸函数，则由定理!，得（!"）!$（"）%（!&（"））又#%，."%#。

（!"）’%，从而!$（"）#%，所以（!"）在区间#是下凸函数。."%#；

!若（!"）在区间#是上凸函数，则!$（"）!"）’%，所以（!"）!$（"）%（!&（"））(%，."%#。又（(

%，由定理!知，（!"）为区间#上对数上凸函数。."%#；

定理&#设（!(）是定义在区间#上的正值函数，)$*，)、*为区间，*6#。!：

（$）若+,（!(）为#上严格增加的对数下凸函数，(,!（"）为)上的下凸函数，则+,（!!（"））为)上的对数下凸函数。（!）若+,（!(）为#上严格减少的对数下凸函数，(,!（"）为)上的上凸函数，则+,（!!（"））为)上的对数下凸函数。（"）若+,（!(）为#上严格增加的对数上凸函数，(,!（"）为)上的上凸函数，则+,（!!（"））为)上的对数上凸函数。（&）若+,（!(）为#上严格减少的对数上凸函数，(,!（"）为)上的下凸函数，则+,!!（（"））为)上的对数上凸函数。

证明#仅证（$），用同样的方法可证明（!）、（"）、（&）。

任取"$，"!%)，-%（%，$），则

（"$），（"!），（-"$.（$%-）"!），-!（"$）.（$%-）（"!）%*6#；!!!!

根据(,!（"）为)上的下凸函数，+,（!(）为#上严格增加的对数下凸函数，得

-$%-（!!（-"$.（$%-）"!））!-!（"$）.（$%-）（"!））（（!!（"$）））（（!!（"!））），根据定理$，知(（!(+,（!!（"））为)上的对数下凸函数。

"’琴生型不等式及其应用

［,］琴生（()*+)*）不等式是关于凸函数的一个著名不等式，现给出关于对数凸函数的琴生型不

等式。

.定理,#设（!"）为区间#上的对数下凸函数，"/%#，!，…，0），则"/%!（/,$，"$."!.…"0,$，"$"!"0

（!"$"$."!"!.…."0"0）（（!"$））（（!"!））…（（!"0））。(

若（!"）为区间#上的对数上凸函数，则（!）中不等号反向。

（!）

证明（用数学归纳法）#当0-$时（!）为恒等式。

当0-!时，由定理$知，对于任意"$，"!%#，有（!"$"$."!"!）("$’%，"!’%，"$."!,$，

"!"!

（（!"$））（（!"!））；所以0,!时不等式（!）成立。假设0-1时，不等式（!）成立，即

1

（!"$"$."!"!.…."1"1）（（!"$））（（!"!））…（（!"1））（，’"/,$，。("/’%）

"$

"!

"1

/,$

下证0,1.$时，不等式（!）成立。根据假设，有

（!"$"$."!"!.…."1.$"1.$）,

"1"1"1.$"1.$

.））(

"1."1.$"1."1.$

"1"1"1.$"1.$"$"!"1%$"1."1.$

（（!"$））（（!"!））…（（!"1%$））（（!.））(

"1."1.$"1."1.$（!"$"$."!"!.…."1%$"1%$.（"1."1.$）（

（（!"!））（（!""））…（（!"#$!））（（（!（!"#）!!!"!#%!

（（!"!））（（!""））…（（!"#%!）），

!!!"!#$!

!#

!#!#%!

（!"#%!）!#%!

#!#%!

!#%!#%!）&

所以当’&#%!时，不等式（"）成立；故对于一切自然数’不等式（"）成立。

同法可证：若（!"）为区间(上的对数上凸函数，则（"）中不等号反向。定理#的等价形式为

定理$%设（!"）为区间(上的对数下凸函数，")%(，*)%!%（)&!，"，…，’），则

!*!"!%*"""%…%*’"’*!*"*’（!）（（（!"!））（（!""））…（（!"’））!"’。(

*!%*"%…%*’!"）为区间(上的对数上凸函数，则（&）中不等号反向。若（

在（&）中令*!&*"&…&*’&!，并利用算术—几何平均不等式，得

推论（’()*()不等式加细）%设（!"）为区间(上的对数下凸函数，")%(，)&!，"，…，’，则

!

（!")）(’)&!

式的推广形式，即

命题!%设"#,，,+,，-(!，").,，*).（,)&!，"，…，’），则##,，

（"

*!"!%*"""%…%*’"’,*!"!%*"""%…%*’"’-）%（）##*!%*"%…%*’*!%*"%…%*’

,-*!,-*"*’*%*%…%*（（""!%#"!）（"""%#""）…（"",’%#"-’）!"’。

!

（&）

’

’

对数凸函数的琴生型不等式在不等式研究中有着广泛的应用，现利用它建立加权平均值不等

!

（!")）!")）。(’（7’)&!)&!

’

（+）

（#）

证明%构造函数（!"）&"",%#"-，"%（,，%-），则当"#,，,+,，-(!时，有##,，

""

（!"）!/（"）$（!0（"））&（"",%#"-）（"（,,$!）",$"%#（--$!）"-$"）$（",",$!%#-"-$!）(,，由定理"知，（!"）&"",%#"-在（,，%-）上是对数上凸函数，运用定理$立得不等式（#）。

［$］

在命题!中，令"&!，,&-&!，便得到著名的加权平均值不等式：#&,，

*’!*!*"*!"!%*"""%…%*’"’

!"（"!""…"’’。#

*!%*"%…%*’

’

（$）

命题"%设,+")+（!)&!，"，…，’），（$"）则##"#,，’!)&!，

)&!

#!)$!

（"")%）#"’!)")%（#’!)")）。7"))&!)&!)&!

证明%构造函数（!"）&""%

’’’

（.）

#"

，"%（,，!），则当##（$"）有（!"）!/（"）$（!0（"））&"#,，"

"

+"##

%+$"".+"#%#"$""&（#%（%"）（#$（$"）由定理"知，（!"）&""%"）"）#,，"

""

#在（,，!）上是对数下凸函数。运用定理#即得不等式（.）。"

!

在命题"中，令"&#&!，，便得到文献［.］中不等式：!!&!"&…&!’&

’

!!’

（")%）#（’%）（，’")&!，").,，)&!，"，…，’）。7")’)&!)&!

’

’

（/）

+0琴生型不等式的加强与推广

%

定理.%设（!"）是定义在区间(上的正值函数，")%(，"，…，’），!)%!（)&!，!!%!"%…%

LV则!!"!，

高等数学研究,,,,,,,,,,,,,,,%..V年&月

"#%%!#

"#$（（(’!#&#）)7（（(&#））（（，（&）!#!(（("#$!#!’’%&#’&%））%&#’&%））%!(#$%(!%!(#$%(!#"!#"!

%

（(+（&））’（(&）(,（&）

｛（，&%-｝，（其中#"’($$&）*（$&）""")*+｛$&）*（$&）"%

（（(&））

%

（(+（&））’（(&）(,（&）

，&%-｝。%

（（(&））

证明,设-"（.，/）（其它类型的区间，证明方法相同）。

!(+（&）

（&）"-*（(&）0&&%，&%（.，/）。对&求导，得%（+&）"0&&，（,&）"&’构造函数%%

%（(&）

%%

（(+（&））’（(&）(,（&）（(+（&））’（(&）(,（&）

；取&"#"’($｛（*（，&%（.，/）｝，则%（,&）$&）$&）"#%%

(&））(&））（（（（

!

.，从而%（&）"-*（(&）0#&%为区间（.，/）上的下凸函数；运用琴生不等式［/］,，得

%

对任意&#%（#，/），%，…，!），有!#%!（#"!，!!0!%0…0!!"!时，

##%-*（(’!#&#）0’!#&#）（(&#）0’!#&%,’!#-*#+%#"!%#"!#"!#"!#%-*（(’!#&#）’’!#-*（(&#）(’!#&#%’（’!#&#））+

%#"!#"!#"!#"!%

-*（（(’!#&#）)7（（(&#）））(’!#&#%’（’!#&#））+

%#"!#"!#"!#"!

!#

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!!

%

-*（（(’!#&#）)7（（(&#）））(（’!#）（’!#&#%）’（’!#&#））+

%#"!#"!#"!#"!#"!

!#

!#"!

!#"!

!#

-*（（(’!#&#）)7（（(&#）））(!

!

!#（(’!#&#）)7（（(&#））（,"#$

!!!!!

#%

（!#!’%&#’&%）+%1,#,%,!

#%（。!#!%&#’&%））’%#"!#"!1(#$%(!

用同样的方法可证明（&）左端不等式，定理0得证。特别地，若（(&）是区间-上的对数下凸（上凸）函数，则由定理%知#".（"".），运用定理0即得定理/中对数下凸（上凸）函数的琴生型不等式，故定理0是定理/结果的加强与推广。

在定理0中取（(&）"（&.$2(&(3），即得加权平均值不等式的加强及逆向形式。

命题1,设.$2(&#(3，%，…，!），则!#%!（#"!，!!0!%0…0!!"!，

!!

!!%%#

"#$（%’!#!（）（’!#&#）)7&!（%’!#!（）。（!.）(%&#3&%）#("#$%&#3&%）#4!#4!%31(#2%(!%21(#2%(!

参考文献

［!］56789:5，;)>8?@，A>-96:BC*"D(6-)

OQR，S6’)POAEBT*6-9K)PBR$7)*I"73S"7-6I，U"7-)*，!&0.B!1M%0B［1］刘玉琏，傅沛仁B数学分析讲义（上册）［E］B北京：高等教育出版社，!&&%B%/.M%/!B

［V］沈永欢，齐玉霞，张鸿林B简明数学词典［E］B北京：新时代出版社，!&N&B%/NM%/&B［/］李文荣，徐本顺B凸函数3不等式3平均值［E］B沈阳：辽宁教育出版社，!&&.B1/M1LB［L］徐利治，王兴华B数学分析的方法及例题选讲［E］B北京：高等教育出版社，!&N1B!11M!1VB［0］匡继昌B常用不等式［E］B长沙：湖南教育出版社，!&&1。!LVM!L/B

对数凸函数与琴生型不等式

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

吴善和

龙岩学院数学系,福建龙岩,364012高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2004，7(5)2次

参考文献(7条)

1.Hardy G H.Littlewood J E.Polya G Inequalities 19522.Mitrinovi D S.Vasi P M Analytic lnequalities 19703.刘玉琏.傅沛仁 数学分析 1992

4.沈永欢.齐玉霞.张鸿林 简明数学词典 19895.李文荣.徐本顺 凸函数--不等式--平均值 19906.徐利治.王兴华 数学分析的方法及例题选讲 19837.匡继昌 常用不等式 1993

相似文献(6条)

1.期刊论文 胡江 关于凸函数与对数凸函数的探究 -成功（教育版）2007,""(1)

本文讨述了凸函数和对数凸函数的各种等价性,讨论了它们的分析性质,列举了凸函数和对数凸函数在证明中的应用,并通过分析得出了一些新的结论.

2.期刊论文 刘琼.LIU Qiong 对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式 -邵阳学院学报（自然科学版）2005,2(3)

引入对数凸函数的概念,导出了其Jensen 型和Hadamard型不等式.并浅谈了它们在不等式证明中的应用.

3.期刊论文 沈颖.SHEN Ying 一类新的广义凸函数一对数不变凸函数 -枣庄学院学报2009,26(2)

广义凸性在数学规划及最优化理论中具有十分重要的作用本文在文献[1]的基础上提出了对数凸函数的真推广形式--对数不变凸函数的概念,给出了对数不变凸函数的一些最优性结果本文的结论是对最近文献中一些相应结果的推广.

4.期刊论文 赵伟珍.ZHAO Weizhen 对数函数的一个Hadamard型不等式 -焦作大学学报2006,20(2)

对于对数凸函数建立了一个新的Hadamard型不等式:f(A)≤1/2y∫A+yA-y√f(x)f(2A-x)dx≤√f(A-y)f(A+y)

5.期刊论文 黄科登.马国栋.HUANG Ke-deng.MA Guo-dong E-凸函数的拓展研究 -玉林师范学院学报2007,28(5)

本文根据E.A.Youness提出的E-凸集和E-凸函数的定义,基于广义凸性基本结论,对判断可微函数为E-凸函数的两个充要条件给予了证明,并提出了E-Hesse 矩阵、E-时数凸函数,且提出并证明了E-Jensen不等式和E-对敷Jensen不等式.

6.期刊论文 白瑞芳.付丽丽.BAI Rui-fang.FU Li-li 关于GA-凸函数的一些性质 -内蒙古民族大学学报（自然科学版）2010,25(2)

凸函数理论在数学理论和应用中起着非常重要的作用,有关文献研究了各种凸函数及其性质.本文在GA-凸函数定义的基础上,继续研究有关GA-凸函数,得到了几个性质.

引证文献(2条)

1.张孔生.葛莉 凸函数的延拓[期刊论文]-高等数学研究 2006(4)

2.宋振云.涂琼霞 P-凸函数的一个充要条件[期刊论文]-高师理科学刊 2010(2)

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200405033.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d58f19d7-4c5a-486e-a7b5-9dce00ad1cd0

下载时间：2010年8月10日

对数凸函数与琴生型不等式

!!

!

吴善和!

摘

（龙岩学院数学系!福建龙岩!"#$%&’）

要!给出对数凸函数的判定方法，建立关于对数凸函数的琴生型不等式并给出它的应用，包括改进一

些已知不等式和建立一些新不等式。

关键词!凸函数；对数凸函数；不等式；琴生型不等式；应用!!!!!中图分类号!(&)*!&

&+引言

凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函数所发挥的作用是

［&,"］无可替代的，本文给出对数凸函数的一些判定方法及对数凸函数在不等式研究中的一些应用。

［"］

!设（"#）在区间$上有定义，如果对于任意#&，#’%$和%%（%，&），有定义&

（"%#&&（&’%）#’）,%"（#&）&（&’%）（"#’）

（&）

"#）在区间$上是下凸的；如果（&）中不等号反向，则称（"#）在区间$上是上凸的。则称（

［$］

定义’!设（"#）是定义在区间$上的正值函数，如果-.（"#）为$上的下凸（上凸）函数，则称

（"#）在区间$上是对数下凸（上凸）的。

’+判定定理

定理&!设（"#）是定义在区间$上的正值函数，则（&）（"#）为区间$上对数下凸函数的充要条件为

%&’%对任意#&，#’%$和%%（%，&），有（"%#&&（&’%）#’）（（"#&））（（"#’））；(（’）（"#）为区间$上对数上凸函数的充要条件为

%&’%对任意#&，#’%$和%%（%，&），有（"%#&&（&’%）#’）#（（"#&））（（"#’））。证明!根据定义’，（"#）为区间$上的对数下凸函数+-.（"#）为$上的下凸函数+对任意#&，#’

（%，&），有-.（"%#&&（&’%）#’）（"#&）&（&’%）-.（"#’）#’%$和%%（%，&）%$和%%(%-.+对任意#&，

%&’%"%#&&（&’%）#’）(（（"#&））（（"#’））。，有（

同理可证对数上凸函数的情形。

定理’!设（"#）是定义在区间$上的正值函数，（"#）在$上存在二阶导数，则

’（&）（"#）为区间$上对数下凸函数的充要条件为（"#）"(（#）’（")（#））#%，.#%$；’（’）（"#）为区间$上对数上凸函数的充要条件为（"#）（"(#）’（（")#））(%，.#%$。

证明!若（"#）为区间$上对数下凸函数，则由定义’知，-.（"#）为$上的下凸函数，于是

’

"#）（"(（#）’（")（#））’

（-.（"#））(*即（"#）"(（#）’（")（#））若.#%#%，.#%$，#%，.#%$。反之，’

（（"#））’

$，有（"#）"(（#）’（")（#））则（-.（"#））(-%，所以-.（"#）为$上的下凸函数。由定义’知，（"#）-%，

为区间$上的对数下凸函数。

!收稿日期：’%%",%B,’’

用同样的方法可证明定理!的第（!）部分。定理"#设（!"）是定义在区间#上的正值函数，则

（$）（!"）为区间#上对数下凸函数的必要条件为（!"）在区间#是下凸函数；（!）（!"）为区间#上对数上凸函数的充分条件为（!"）在区间#是上凸函数；

!证明#若（!"）为区间#上的对数下凸函数，则由定理!，得（!"）!$（"）%（!&（"））又#%，."%#。

（!"）’%，从而!$（"）#%，所以（!"）在区间#是下凸函数。."%#；

!若（!"）在区间#是上凸函数，则!$（"）!"）’%，所以（!"）!$（"）%（!&（"））(%，."%#。又（(

%，由定理!知，（!"）为区间#上对数上凸函数。."%#；

定理&#设（!(）是定义在区间#上的正值函数，)$*，)、*为区间，*6#。!：

（$）若+,（!(）为#上严格增加的对数下凸函数，(,!（"）为)上的下凸函数，则+,（!!（"））为)上的对数下凸函数。（!）若+,（!(）为#上严格减少的对数下凸函数，(,!（"）为)上的上凸函数，则+,（!!（"））为)上的对数下凸函数。（"）若+,（!(）为#上严格增加的对数上凸函数，(,!（"）为)上的上凸函数，则+,（!!（"））为)上的对数上凸函数。（&）若+,（!(）为#上严格减少的对数上凸函数，(,!（"）为)上的下凸函数，则+,!!（（"））为)上的对数上凸函数。

证明#仅证（$），用同样的方法可证明（!）、（"）、（&）。

任取"$，"!%)，-%（%，$），则

（"$），（"!），（-"$.（$%-）"!），-!（"$）.（$%-）（"!）%*6#；!!!!

根据(,!（"）为)上的下凸函数，+,（!(）为#上严格增加的对数下凸函数，得

-$%-（!!（-"$.（$%-）"!））!-!（"$）.（$%-）（"!））（（!!（"$）））（（!!（"!））），根据定理$，知(（!(+,（!!（"））为)上的对数下凸函数。

"’琴生型不等式及其应用

［,］琴生（()*+)*）不等式是关于凸函数的一个著名不等式，现给出关于对数凸函数的琴生型不

等式。

.定理,#设（!"）为区间#上的对数下凸函数，"/%#，!，…，0），则"/%!（/,$，"$."!.…"0,$，"$"!"0

（!"$"$."!"!.…."0"0）（（!"$））（（!"!））…（（!"0））。(

若（!"）为区间#上的对数上凸函数，则（!）中不等号反向。

（!）

证明（用数学归纳法）#当0-$时（!）为恒等式。

当0-!时，由定理$知，对于任意"$，"!%#，有（!"$"$."!"!）("$’%，"!’%，"$."!,$，

"!"!

（（!"$））（（!"!））；所以0,!时不等式（!）成立。假设0-1时，不等式（!）成立，即

1

（!"$"$."!"!.…."1"1）（（!"$））（（!"!））…（（!"1））（，’"/,$，。("/’%）

"$

"!

"1

/,$

下证0,1.$时，不等式（!）成立。根据假设，有

（!"$"$."!"!.…."1.$"1.$）,

"1"1"1.$"1.$

.））(

"1."1.$"1."1.$

"1"1"1.$"1.$"$"!"1%$"1."1.$

（（!"$））（（!"!））…（（!"1%$））（（!.））(

"1."1.$"1."1.$（!"$"$."!"!.…."1%$"1%$.（"1."1.$）（

（（!"!））（（!""））…（（!"#$!））（（（!（!"#）!!!"!#%!

（（!"!））（（!""））…（（!"#%!）），

!!!"!#$!

!#

!#!#%!

（!"#%!）!#%!

#!#%!

!#%!#%!）&

所以当’&#%!时，不等式（"）成立；故对于一切自然数’不等式（"）成立。

同法可证：若（!"）为区间(上的对数上凸函数，则（"）中不等号反向。定理#的等价形式为

定理$%设（!"）为区间(上的对数下凸函数，")%(，*)%!%（)&!，"，…，’），则

!*!"!%*"""%…%*’"’*!*"*’（!）（（（!"!））（（!""））…（（!"’））!"’。(

*!%*"%…%*’!"）为区间(上的对数上凸函数，则（&）中不等号反向。若（

在（&）中令*!&*"&…&*’&!，并利用算术—几何平均不等式，得

推论（’()*()不等式加细）%设（!"）为区间(上的对数下凸函数，")%(，)&!，"，…，’，则

!

（!")）(’)&!

式的推广形式，即

命题!%设"#,，,+,，-(!，").,，*).（,)&!，"，…，’），则##,，

（"

*!"!%*"""%…%*’"’,*!"!%*"""%…%*’"’-）%（）##*!%*"%…%*’*!%*"%…%*’

,-*!,-*"*’*%*%…%*（（""!%#"!）（"""%#""）…（"",’%#"-’）!"’。

!

（&）

’

’

对数凸函数的琴生型不等式在不等式研究中有着广泛的应用，现利用它建立加权平均值不等

!

（!")）!")）。(’（7’)&!)&!

’

（+）

（#）

证明%构造函数（!"）&"",%#"-，"%（,，%-），则当"#,，,+,，-(!时，有##,，

""

（!"）!/（"）$（!0（"））&（"",%#"-）（"（,,$!）",$"%#（--$!）"-$"）$（",",$!%#-"-$!）(,，由定理"知，（!"）&"",%#"-在（,，%-）上是对数上凸函数，运用定理$立得不等式（#）。

［$］

在命题!中，令"&!，,&-&!，便得到著名的加权平均值不等式：#&,，

*’!*!*"*!"!%*"""%…%*’"’

!"（"!""…"’’。#

*!%*"%…%*’

’

（$）

命题"%设,+")+（!)&!，"，…，’），（$"）则##"#,，’!)&!，

)&!

#!)$!

（"")%）#"’!)")%（#’!)")）。7"))&!)&!)&!

证明%构造函数（!"）&""%

’’’

（.）

#"

，"%（,，!），则当##（$"）有（!"）!/（"）$（!0（"））&"#,，"

"

+"##

%+$"".+"#%#"$""&（#%（%"）（#$（$"）由定理"知，（!"）&""%"）"）#,，"

""

#在（,，!）上是对数下凸函数。运用定理#即得不等式（.）。"

!

在命题"中，令"&#&!，，便得到文献［.］中不等式：!!&!"&…&!’&

’

!!’

（")%）#（’%）（，’")&!，").,，)&!，"，…，’）。7")’)&!)&!

’

’

（/）

+0琴生型不等式的加强与推广

%

定理.%设（!"）是定义在区间(上的正值函数，")%(，"，…，’），!)%!（)&!，!!%!"%…%

LV则!!"!，

高等数学研究,,,,,,,,,,,,,,,%..V年&月

"#%%!#

"#$（（(’!#&#）)7（（(&#））（（，（&）!#!(（("#$!#!’’%&#’&%））%&#’&%））%!(#$%(!%!(#$%(!#"!#"!

%

（(+（&））’（(&）(,（&）

｛（，&%-｝，（其中#"’($$&）*（$&）""")*+｛$&）*（$&）"%

（（(&））

%

（(+（&））’（(&）(,（&）

，&%-｝。%

（（(&））

证明,设-"（.，/）（其它类型的区间，证明方法相同）。

!(+（&）

（&）"-*（(&）0&&%，&%（.，/）。对&求导，得%（+&）"0&&，（,&）"&’构造函数%%

%（(&）

%%

（(+（&））’（(&）(,（&）（(+（&））’（(&）(,（&）

；取&"#"’($｛（*（，&%（.，/）｝，则%（,&）$&）$&）"#%%

(&））(&））（（（（

!

.，从而%（&）"-*（(&）0#&%为区间（.，/）上的下凸函数；运用琴生不等式［/］,，得

%

对任意&#%（#，/），%，…，!），有!#%!（#"!，!!0!%0…0!!"!时，

##%-*（(’!#&#）0’!#&#）（(&#）0’!#&%,’!#-*#+%#"!%#"!#"!#"!#%-*（(’!#&#）’’!#-*（(&#）(’!#&#%’（’!#&#））+

%#"!#"!#"!#"!%

-*（（(’!#&#）)7（（(&#）））(’!#&#%’（’!#&#））+

%#"!#"!#"!#"!

!#

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!!

%

-*（（(’!#&#）)7（（(&#）））(（’!#）（’!#&#%）’（’!#&#））+

%#"!#"!#"!#"!#"!

!#

!#"!

!#"!

!#

-*（（(’!#&#）)7（（(&#）））(!

!

!#（(’!#&#）)7（（(&#））（,"#$

!!!!!

#%

（!#!’%&#’&%）+%1,#,%,!

#%（。!#!%&#’&%））’%#"!#"!1(#$%(!

用同样的方法可证明（&）左端不等式，定理0得证。特别地，若（(&）是区间-上的对数下凸（上凸）函数，则由定理%知#".（"".），运用定理0即得定理/中对数下凸（上凸）函数的琴生型不等式，故定理0是定理/结果的加强与推广。

在定理0中取（(&）"（&.$2(&(3），即得加权平均值不等式的加强及逆向形式。

命题1,设.$2(&#(3，%，…，!），则!#%!（#"!，!!0!%0…0!!"!，

!!

!!%%#

"#$（%’!#!（）（’!#&#）)7&!（%’!#!（）。（!.）(%&#3&%）#("#$%&#3&%）#4!#4!%31(#2%(!%21(#2%(!

参考文献

［!］56789:5，;)>8?@，A>-96:BC*"D(6-)

OQR，S6’)POAEBT*6-9K)PBR$7)*I"73S"7-6I，U"7-)*，!&0.B!1M%0B［1］刘玉琏，傅沛仁B数学分析讲义（上册）［E］B北京：高等教育出版社，!&&%B%/.M%/!B

［V］沈永欢，齐玉霞，张鸿林B简明数学词典［E］B北京：新时代出版社，!&N&B%/NM%/&B［/］李文荣，徐本顺B凸函数3不等式3平均值［E］B沈阳：辽宁教育出版社，!&&.B1/M1LB［L］徐利治，王兴华B数学分析的方法及例题选讲［E］B北京：高等教育出版社，!&N1B!11M!1VB［0］匡继昌B常用不等式［E］B长沙：湖南教育出版社，!&&1。!LVM!L/B

对数凸函数与琴生型不等式

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

吴善和

龙岩学院数学系,福建龙岩,364012高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2004，7(5)2次

参考文献(7条)

1.Hardy G H.Littlewood J E.Polya G Inequalities 19522.Mitrinovi D S.Vasi P M Analytic lnequalities 19703.刘玉琏.傅沛仁 数学分析 1992

4.沈永欢.齐玉霞.张鸿林 简明数学词典 19895.李文荣.徐本顺 凸函数--不等式--平均值 19906.徐利治.王兴华 数学分析的方法及例题选讲 19837.匡继昌 常用不等式 1993

相似文献(6条)

1.期刊论文 胡江 关于凸函数与对数凸函数的探究 -成功（教育版）2007,""(1)

本文讨述了凸函数和对数凸函数的各种等价性,讨论了它们的分析性质,列举了凸函数和对数凸函数在证明中的应用,并通过分析得出了一些新的结论.

2.期刊论文 刘琼.LIU Qiong 对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式 -邵阳学院学报（自然科学版）2005,2(3)

引入对数凸函数的概念,导出了其Jensen 型和Hadamard型不等式.并浅谈了它们在不等式证明中的应用.

3.期刊论文 沈颖.SHEN Ying 一类新的广义凸函数一对数不变凸函数 -枣庄学院学报2009,26(2)

广义凸性在数学规划及最优化理论中具有十分重要的作用本文在文献[1]的基础上提出了对数凸函数的真推广形式--对数不变凸函数的概念,给出了对数不变凸函数的一些最优性结果本文的结论是对最近文献中一些相应结果的推广.

4.期刊论文 赵伟珍.ZHAO Weizhen 对数函数的一个Hadamard型不等式 -焦作大学学报2006,20(2)

对于对数凸函数建立了一个新的Hadamard型不等式:f(A)≤1/2y∫A+yA-y√f(x)f(2A-x)dx≤√f(A-y)f(A+y)

5.期刊论文 黄科登.马国栋.HUANG Ke-deng.MA Guo-dong E-凸函数的拓展研究 -玉林师范学院学报2007,28(5)

本文根据E.A.Youness提出的E-凸集和E-凸函数的定义,基于广义凸性基本结论,对判断可微函数为E-凸函数的两个充要条件给予了证明,并提出了E-Hesse 矩阵、E-时数凸函数,且提出并证明了E-Jensen不等式和E-对敷Jensen不等式.

6.期刊论文 白瑞芳.付丽丽.BAI Rui-fang.FU Li-li 关于GA-凸函数的一些性质 -内蒙古民族大学学报（自然科学版）2010,25(2)

凸函数理论在数学理论和应用中起着非常重要的作用,有关文献研究了各种凸函数及其性质.本文在GA-凸函数定义的基础上,继续研究有关GA-凸函数,得到了几个性质.

引证文献(2条)

1.张孔生.葛莉 凸函数的延拓[期刊论文]-高等数学研究 2006(4)

2.宋振云.涂琼霞 P-凸函数的一个充要条件[期刊论文]-高师理科学刊 2010(2)

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200405033.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d58f19d7-4c5a-486e-a7b5-9dce00ad1cd0

下载时间：2010年8月10日