Lesson6 数列
知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d .
3．等差中项
a ＋b
如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为.
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，„(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列．
5．等差数列的前n 项和公式
n (a 1＋a n )n (n －1)
设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22.
6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
d d 2⎛
S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ．
⎝⎭
7．等差数列的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最 小 值．
[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定
(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.
2．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，„仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，„也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1) a n .
n
(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．
31
例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－ (n ≥2，
a n －1
1
n ∈N *) ，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *) ．
a n －1
(1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．
11
(1)证明 ∵a n ＝2－ (n ≥2，n ∈N *) ，b n ＝.
a n －1a n －1
11
∴n ≥2时，b n －b n －1＝a n －1a n －1－1
11
＝1a n －1－1⎛
2a －1⎝n －1⎭a n －11－＝1. a n －1－1a n －1－1
5
∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．
712
(2)解 由(1)知，b n ＝n －2，则a n ＝1＋b 1＋
2n －7n
2
设函数f (x ) ＝1＋
2x －7
7⎛7⎛⎫
易知f (x ) 在区间 －∞，2和 2，＋∞⎪内为减函数．
⎝⎭⎝⎭
∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.
例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．
－15
解 (1)由题意知S 6＝S 3，a 6＝S 6－S 5＝－8.
5
⎧5a 1＋10d ＝5，所以⎨
⎩a 1＋5d ＝－8.
解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，
∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0，
2
即2a 21＋9da 1＋10d ＋1＝0.
因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1) ＝d 2－8≥0，
解得d ≤－22或d ≥2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，
∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.
故(4a 1＋9d ) 2＝d 2－8. 所以d 2≥8.
故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.
例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．
解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，
10×915×145
∴10×20＋2d ＝15×20＋2d ，∴d ＝－3.
565⎛5∴a n ＝20＋(n －1) × －3＝－3＋3⎝⎭
∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n
12×11⎛5⎫
∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×202× －3⎪
⎝⎭
＝130.
5
方法二 同方法一求得d ＝－3n (n －1)⎛52523 125521255－n － ∴S n ＝20n 2·3＝－6n ＋6＝－6＋242⎝⎭⎝⎭
∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1) －25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.
所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． ⎧a n ＝4n －25
11
由①得n
n (n －1)
⎧21n ＋⎪2×(－4) (n ≤6)T n ＝⎨(n －6)(n －7)
66＋3(n －6)＋×4 (n ≥7)⎪⎩2
2
⎧－2n ＋23n (n ≤6)，＝⎨2 ⎩2n －23n ＋132 (n ≥7).
例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3
例5等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为{S n },{T n }，且
S n a =, 则使得n 为正T n n -3b n
整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）
已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握. 一般有三常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ), 由待定系数法求出, 再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.
2S n
例6 已知数列{a n }中，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足a n =，则数列{a n }a 1=，
n 的通项公式为
2
⎧(n =1)⎪a n =⎨3
(n ≥2)⎪
⎩1-4n 2
S n -S n -1
22S n =
2S n -1
⇒S n -1-S n =2S n S n -1⇒
11-=2(n ≥2) S n S n -1
⇒S n =
. 2n +1
a a a a
a n =n ⋅n -1⋅ ⋅3⋅2⋅a 1, n ≥2.
n -1n -221
2+ln n
例7在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +ln(1+) ，则a n =n
知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项
若G 2＝a ·b (ab ≠0) ，那么G 叫做a 与b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n
－m
，(n，m ∈N *) ．
(2)若{an }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k，l ，m ，n ∈N *) ，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{an }，{bn }(项数相同) 是等比数列，则{λan }(λ≠0) ，
⎧1⎫⎧a n ⎫2⎨，{an }，{an ·b n }，⎨b 仍是等比数列． ⎩a n ⎭⎩n ⎭
5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{an }的公比为q(q≠0) ，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
a 1(1－q n )a 1－a n q
当q ≠1时，S n ＝＝.
1－q 1－q
6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{an }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q .
n
7. 等比数列的单调性
【难点】
1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点
利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n
(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．
n
a (1－q )a 1－a n q 1n －1
(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q 及前n 项和公式S n ＝＝ (q ≠1)
1－q 1－q
共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．
(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．
例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，
由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得：
32
⎧a 6－a 4＝a 1q (q －1)＝24， ①⎨
a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②⎩a 3·
由②得a 1q 3＝±8.
将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. ，故舍去．
当q ＝2时，a ＝1，∴S a 1(1－q 8)
181－q 255；
当q ＝－2时，a ，∴S a 1(1－q 8)
1＝－181－q 85.
(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾． ⎧ ①
∴q ≠1，∴⎨⎪a 1(1－q n )1－q ＝40， ⎪⎩a 1(1－q 2n )
1－q ＝3 280， ②
②①
1＋q n ＝82，∴q n
＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④
又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.
例2 已知数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，b 1＝a 1，b n ＝
a n －a n －1 (n≥2) ，且a n ＋S n ＝n.
(1)设c n ＝a n －1，求证：{cn }是等比数列； (2)求数列{bn }的通项公式． 1) 证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，
∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(an ＋1－1) ＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12
，∴{an －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，
∴a 1111＝2，∴c 12q ＝2又c n ＝a n －1，
∴{c是以－11
n }2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)可知c n ＝⎛ 1⎛1⎝－2⎭ n －1⎝⎭＝－⎛ 12⎝2n ⎭， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎛ 1⎝2n ⎭
. ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1
＝1－⎛ 1n ⎡⎛1⎝2⎭－⎢⎣1－ ⎝2n －1⎤⎭⎥⎦＝⎛ 1⎝2⎫⎪n －1⎭－⎛ 1⎝2⎫⎪n ⎭＝⎛ 1⎫n ⎝2⎪⎭. 又b 11＝a 1＝⎛12∴b n ＝ 2n ⎝⎭
.
① ②
1
例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－2，求a n ； (2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
a 1
解 (1)设公比为q ，则a q 3，即q 3＝－8，
2
1⎛1－－
∴q ＝－2，∴a n ＝a 5·q n 5＝ －2n 4.
⎝⎭2
(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 4，∴a 34＝8，a 4＝2.
5
∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝2＝32.
a n ＋a n ＋1
例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 规范解答
(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]
a n －1＋a n
当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝2－a n
11
＝－2(a n －a n －1) ＝－2b n －1， [5分]
1
∴{b n }是首项为1，公比为－2 [6分]
⎛1⎫
(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝ －2⎪n －1， [8分]
⎝⎭
当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋„＋(a n －a n －1) [10分]
⎛1n －1 －21－
⎝⎭⎛1⎛1n －2
＝1＋1＋ －2＋„＋ －2＝1＋⎝⎭⎝⎭⎛1⎫
1－ －2⎪⎝⎭
2⎡521⎛1⎤521＝1＋3⎢1－ －2n －1⎥＝33－2n －1当n ＝1时，33－21－1＝1＝a 1，
⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭521∴a n 33－2n －1 (n ∈N *) ． [14分]
⎝⎭
例4 （07 重庆11）
设是1-a 和1+a 的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）
2233
例5 若数列1, 2cosθ, 2cos θ,2cos θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为
（ ）
, 的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列, 则三角形的形状为__等边三角形k π△±k ∈Z __________.
【综合应用】
例7. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
c 1c 2c n
(2)设数列{c n }对n ∈N 均有b b b a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋„＋c 2 013.
12n
解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d ) 2＝(1＋d )(1＋13d ) ．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.
又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.
c c c 2) 由b b „＋b a n ＋1得
12n
c n －1c c 当n ≥2时，b b „＋＝a .
b n －1n 12
c 两式相减得：n ≥2时，b a n ＋1－a n ＝2.
n
n －1
∴c n ＝2b n ＝2·3 (n ≥2) ．
c 1
又当n ＝1时，b ＝a 2，∴c 1＝3.
1
⎧3 (n ＝1)∴c n ＝⎨n －1.
3 (n ≥2)⎩2·
∴c 1＋c 2＋c 3＋„＋c 2 013
6－2×32 013
＝3＋＝3＋(－3＋32 013) ＝32 013.
1－3
知识点3：数列的基本知识
*
1，a n 与S n 的关系：a n =S 1(n =1) 或S n -S n -1
例1：设{a n }数列的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法
①对形如a 1=a ; a n +1=pa n +q 的递推公式(p . q 为常数且p ≠1)，可令整理得λ=a n +1+λ=p (a n +λ)，列
②对形如a n +1=
⎧1⎫
求出⎨⎬即可
⎩a n ⎭
q
, a n +1+λ=p (a n +λ)，所以是{a n +λ}等比数p -1
a n 1q
的递推公式，两边取倒数后换元转化为再=p +，
a n +1a n pa n +q
例2：已知数列{a n }满足a 1=33, a n +1-a n =2n ，则
a n
的最小值为 10.5 n
Lesson6 数列
知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d .
3．等差中项
a ＋b
如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为.
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，„(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列．
5．等差数列的前n 项和公式
n (a 1＋a n )n (n －1)
设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22.
6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
d d 2⎛
S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ．
⎝⎭
7．等差数列的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最 小 值．
[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定
(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.
2．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，„仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，„也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1) a n .
n
(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．
31
例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－ (n ≥2，
a n －1
1
n ∈N *) ，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *) ．
a n －1
(1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．
11
(1)证明 ∵a n ＝2－ (n ≥2，n ∈N *) ，b n ＝.
a n －1a n －1
11
∴n ≥2时，b n －b n －1＝a n －1a n －1－1
11
＝1a n －1－1⎛
2a －1⎝n －1⎭a n －11－＝1. a n －1－1a n －1－1
5
∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．
712
(2)解 由(1)知，b n ＝n －2，则a n ＝1＋b 1＋
2n －7n
2
设函数f (x ) ＝1＋
2x －7
7⎛7⎛⎫
易知f (x ) 在区间 －∞，2和 2，＋∞⎪内为减函数．
⎝⎭⎝⎭
∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.
例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．
－15
解 (1)由题意知S 6＝S 3，a 6＝S 6－S 5＝－8.
5
⎧5a 1＋10d ＝5，所以⎨
⎩a 1＋5d ＝－8.
解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，
∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0，
2
即2a 21＋9da 1＋10d ＋1＝0.
因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1) ＝d 2－8≥0，
解得d ≤－22或d ≥2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，
∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.
故(4a 1＋9d ) 2＝d 2－8. 所以d 2≥8.
故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.
例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．
解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，
10×915×145
∴10×20＋2d ＝15×20＋2d ，∴d ＝－3.
565⎛5∴a n ＝20＋(n －1) × －3＝－3＋3⎝⎭
∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n
12×11⎛5⎫
∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×202× －3⎪
⎝⎭
＝130.
5
方法二 同方法一求得d ＝－3n (n －1)⎛52523 125521255－n － ∴S n ＝20n 2·3＝－6n ＋6＝－6＋242⎝⎭⎝⎭
∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1) －25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.
所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． ⎧a n ＝4n －25
11
由①得n
n (n －1)
⎧21n ＋⎪2×(－4) (n ≤6)T n ＝⎨(n －6)(n －7)
66＋3(n －6)＋×4 (n ≥7)⎪⎩2
2
⎧－2n ＋23n (n ≤6)，＝⎨2 ⎩2n －23n ＋132 (n ≥7).
例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3
例5等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为{S n },{T n }，且
S n a =, 则使得n 为正T n n -3b n
整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）
已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握. 一般有三常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)“a n+1=pa n+q ”这种形式通常转化为an +1+λ=p (an +λ), 由待定系数法求出, 再化为等比数列； (3)逐差累加或累乘法.
2S n
例6 已知数列{a n }中，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足a n =，则数列{a n }a 1=，
n 的通项公式为
2
⎧(n =1)⎪a n =⎨3
(n ≥2)⎪
⎩1-4n 2
S n -S n -1
22S n =
2S n -1
⇒S n -1-S n =2S n S n -1⇒
11-=2(n ≥2) S n S n -1
⇒S n =
. 2n +1
a a a a
a n =n ⋅n -1⋅ ⋅3⋅2⋅a 1, n ≥2.
n -1n -221
2+ln n
例7在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +ln(1+) ，则a n =n
知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项
若G 2＝a ·b (ab ≠0) ，那么G 叫做a 与b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a n q n
－m
，(n，m ∈N *) ．
(2)若{an }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k，l ，m ，n ∈N *) ，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{an }，{bn }(项数相同) 是等比数列，则{λan }(λ≠0) ，
⎧1⎫⎧a n ⎫2⎨，{an }，{an ·b n }，⎨b 仍是等比数列． ⎩a n ⎭⎩n ⎭
5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{an }的公比为q(q≠0) ，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
a 1(1－q n )a 1－a n q
当q ≠1时，S n ＝＝.
1－q 1－q
6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{an }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q .
n
7. 等比数列的单调性
【难点】
1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点
利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n
(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．
n
a (1－q )a 1－a n q 1n －1
(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q 及前n 项和公式S n ＝＝ (q ≠1)
1－q 1－q
共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．
(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．
例1：(1)在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求{a n }的前8项和S 8； (2)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大的项为27，求数列的第2n 项． (1)设数列{a n }的公比为q ，
由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得：
32
⎧a 6－a 4＝a 1q (q －1)＝24， ①⎨
a 5＝(a 1q 3)2＝64. ②⎩a 3·
由②得a 1q 3＝±8.
将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. ，故舍去．
当q ＝2时，a ＝1，∴S a 1(1－q 8)
181－q 255；
当q ＝－2时，a ，∴S a 1(1－q 8)
1＝－181－q 85.
(2)若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾． ⎧ ①
∴q ≠1，∴⎨⎪a 1(1－q n )1－q ＝40， ⎪⎩a 1(1－q 2n )
1－q ＝3 280， ②
②①
1＋q n ＝82，∴q n
＝81， ③ 将③代入①得q ＝1＋2a 1. ④
又∵q >0，∴q >1，∴a 1>0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27， ⑤ 由③、④、⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.
例2 已知数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，b 1＝a 1，b n ＝
a n －a n －1 (n≥2) ，且a n ＋S n ＝n.
(1)设c n ＝a n －1，求证：{cn }是等比数列； (2)求数列{bn }的通项公式． 1) 证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，
∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(an ＋1－1) ＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12
，∴{an －1}是等比数列． ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，
∴a 1111＝2，∴c 12q ＝2又c n ＝a n －1，
∴{c是以－11
n }2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)可知c n ＝⎛ 1⎛1⎝－2⎭ n －1⎝⎭＝－⎛ 12⎝2n ⎭， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎛ 1⎝2n ⎭
. ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1
＝1－⎛ 1n ⎡⎛1⎝2⎭－⎢⎣1－ ⎝2n －1⎤⎭⎥⎦＝⎛ 1⎝2⎫⎪n －1⎭－⎛ 1⎝2⎫⎪n ⎭＝⎛ 1⎫n ⎝2⎪⎭. 又b 11＝a 1＝⎛12∴b n ＝ 2n ⎝⎭
.
① ②
1
例3 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－2，求a n ； (2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
a 1
解 (1)设公比为q ，则a q 3，即q 3＝－8，
2
1⎛1－－
∴q ＝－2，∴a n ＝a 5·q n 5＝ －2n 4.
⎝⎭2
(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 4，∴a 34＝8，a 4＝2.
5
∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝2＝32.
a n ＋a n ＋1
例4已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 规范解答
(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1， [1分]
a n －1＋a n
当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝2－a n
11
＝－2(a n －a n －1) ＝－2b n －1， [5分]
1
∴{b n }是首项为1，公比为－2 [6分]
⎛1⎫
(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝ －2⎪n －1， [8分]
⎝⎭
当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1) ＋(a 3－a 2) ＋„＋(a n －a n －1) [10分]
⎛1n －1 －21－
⎝⎭⎛1⎛1n －2
＝1＋1＋ －2＋„＋ －2＝1＋⎝⎭⎝⎭⎛1⎫
1－ －2⎪⎝⎭
2⎡521⎛1⎤521＝1＋3⎢1－ －2n －1⎥＝33－2n －1当n ＝1时，33－21－1＝1＝a 1，
⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭521∴a n 33－2n －1 (n ∈N *) ． [14分]
⎝⎭
例4 （07 重庆11）
设是1-a 和1+a 的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）
2233
例5 若数列1, 2cosθ, 2cos θ,2cos θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为
（ ）
, 的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列, 则三角形的形状为__等边三角形k π△±k ∈Z __________.
【综合应用】
例7. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
c 1c 2c n
(2)设数列{c n }对n ∈N 均有b b b a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋„＋c 2 013.
12n
解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d ) 2＝(1＋d )(1＋13d ) ．解得d ＝2 (∵d >0). ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.
又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.
c c c 2) 由b b „＋b a n ＋1得
12n
c n －1c c 当n ≥2时，b b „＋＝a .
b n －1n 12
c 两式相减得：n ≥2时，b a n ＋1－a n ＝2.
n
n －1
∴c n ＝2b n ＝2·3 (n ≥2) ．
c 1
又当n ＝1时，b ＝a 2，∴c 1＝3.
1
⎧3 (n ＝1)∴c n ＝⎨n －1.
3 (n ≥2)⎩2·
∴c 1＋c 2＋c 3＋„＋c 2 013
6－2×32 013
＝3＋＝3＋(－3＋32 013) ＝32 013.
1－3
知识点3：数列的基本知识
*
1，a n 与S n 的关系：a n =S 1(n =1) 或S n -S n -1
例1：设{a n }数列的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法
①对形如a 1=a ; a n +1=pa n +q 的递推公式(p . q 为常数且p ≠1)，可令整理得λ=a n +1+λ=p (a n +λ)，列
②对形如a n +1=
⎧1⎫
求出⎨⎬即可
⎩a n ⎭
q
, a n +1+λ=p (a n +λ)，所以是{a n +λ}等比数p -1
a n 1q
的递推公式，两边取倒数后换元转化为再=p +，
a n +1a n pa n +q
例2：已知数列{a n }满足a 1=33, a n +1-a n =2n ，则
a n
的最小值为 10.5 n