不等式证明的微分法与积分法
摘要 本文主要介绍微积分学的有关概念、定理以及性质在证明不等式证明中的应用，结合实例，讨论了不等式证明的微分法与积分法，以及相应的思路与技巧。
关键词 不等式证明 微分法 积分法
不等式是数学的重要内容之一，在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。证明不等式的方法也有很多中，除常见的一些初等方法外，还可利用高等数学工具来证明不等式，利用高等数学中的微积分思想可以使不等式的证法思路变得简单，技巧性降低。利用微积分的方法证明不等式，是根据不等式的特点，通常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态。本文着重阐述利用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理、级数理论解决不等式的问题。
一、不等式证明的微分法
不等式证明的微分法是利用微分学的一些知识来证明不等式，主要有以下几个方面：一是应用中值定理或泰勒公式; 二是考察函数的单调性或极值; 三是考察函数的凹凸性。
1、微分定义法
从定义出发证明不等式是比较原始的做法，不容易被人想到，但在证明某些不等式时却行之有效。
例1 设f (x ) =a 1sin x +a 2sin 2x + +a n sin nx ，且f (x ) ≤sin x ， 试证a 1+2a 2+ +na n ≤1
分析 观察命题的条件与结论, 从导数的定义出发, 结合重要极限的结论, 解题方便简捷。 证明 因为f '(x ) =a 1cos x +2a 2cos 2x + +na n cos nx 则f (0) =0，f '(0) =a 1+2a 2+ +na n 由导数定义 f '(0) =l i x →0
f (x ) -f (0) f (x )
=l i x →0x -0x
所以 f '(0) =l i x →0
f (x ) f (x ) s i n x
≤l i ≤lim =1 x →0x →0x x x
即 a 1+2a 2+ +na n ≤1.
总结：用导数定义证明不等式，此方法适用范围不广，解题时应仔细观察问题中的条件与结
论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。
2、函数单调性法
函数的单调性在微积分中主要用函数的导数来判定。
定理 设函数f (x )在区间[a , b ]上可导如果对任意的x ∈(a , b ), 恒有f '(x )>0（或
，则f (x )在(a , b )内单调递增（或单调递减）。 f '(x )
x 3
例2 求证，当x ≥0时有sin x ≥x -
3! x 3
证明 设f (x ) =sin x -x +
3!
x 2
x -1+ 无法判定f '(x ) 的符号 因为 f '(x ) =c o s
2
又因为 f ''(x ) =s i n x +x 而 x ≥0 时 sin x ≤x 所以 f ''(x ) >0（只当x =0时等号成立）
所以 f '(x ) 在(0, +∞) 单调增加，所以f '(x ) >f '(0) =0(x >0) ，即f '(x ) >0
所以 f (x ) 在(0, +∞) 单调增加，所以 x >0, f (x ) >f (0) =0
x 3
x ≥x -. 即 s i n
3!
例3 求证
a +b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
证明 设 f (x ) =
x 1，则 f '(x ) = 1+x (1+x ) 2
由于f '(x ) =
x 1
f (x ) =>0，所以 是增函数，
1+x (1+x ) 2
又因为 a +b ≤a +b
所以
a +b 1+a +b
≤
a +b 1+a +b
=
a 1+a +b
+
b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
.
例4 设 b >a >0，证明 ln
b 2(b -a )
> a a +b
证明 要证原不等式成立只需证明 (lnb -ln a )(a +b ) >2(a -b ) 令f (x ) =(lnb -ln a )(a +b ) -2(a -b ) ，(x ≥a )
则 f '(x ) =
1
(a +x ) +(lnx -ln a ) -2 x
f ''(x ) =-
a 1x -a
+=2≥0(x ≥a ) 2x x x
所以 f '(x ) 单调递增，有因为 f '(a ) =0，于是 f '(x ) ≥0(x ≥a ) 因此f (x ) 单调递增，又因为f (a ) =0 所以当 b >a >0时有 f (b ) >f (a ) =0 所以 (lnb -ln a )(a +b ) -2(a -b ) >0 所以 ln
b 2(b -a ) >. a a +b
总结：利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，在构造辅助函数时，要求不等式两边的函数必须可导；所构造的辅助函数f (x ) 要在某闭区间上连续，在开区间内可导，且在某闭区间端点处函数值为0，然后通过开区间内f '(x ) 的符号来判断f (x ) 在闭区间上的单调性。有时需要借助f ''(x ) 甚至更高阶导数的符号来判断f '(x ) 的符号。
3、微分中值定理法
拉格朗日中值定理 如果函数f (x ) 满足条件：（1）在闭区间[a , b ]上连续，（2）在开区间(a , b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a , b )，使得f '(ξ)=
f (b ) -f (a )
b -a
柯西中值定理 如果函数f (x ) ，g (x ) 满足条件：（1）在闭区间[a , b ]上连续，（2）在开区间(a , b )内可导，（3）在(a , b )内每一点处，g '(x ) =0，则至少存在一点ξ∈(a , b )，
f (a ) -f (b ) f '(ξ)
=使得.
g (a ) -g (b ) g '(ξ)
例5 若 x >0，试证
x
1+x ) （x >0) 证明 设 f (x ) =ln(
因为f (x ) 在[0, x ]上满足拉格朗日定理 所以f '(ξ) =
1ln(1+x ) -ln(1+0) ln(1+x ) == (0
11
又因为 1
所以
1ln(1+x ) x
例6 设 b >a >0，证明不等式
2a ln b -ln a 1
a +b b -a ab
证明 先证左边的不等式，设f (x ) =ln x (x >a >0) ，根据拉格朗日中值定理得
ln b -ln a b -a =(lnx ) '1
x =ξ=ξ
, a
因为
1ξ
>
1b >2a 22
2a ln b -ln a a 2
+b
2
, 又a +b >2ab ，所以a 2+b 2
x -a
ax
-ln x +ln a (x >a >0) (a ) =0，且h '(x ) =1a (12x +a 2x x ) -1x =(x -a ) 2
则 h 2x ax
>0
于是 h '(x ) >0，所以h (x ) 单调递增，所以当x >a >0时，h (x ) >h (0) =0特别地，令x =b ，则有h (b ) >0，即
ln b -ln a b -a
所以原不等式成立.
例7 设f (x ) 、g (x ) 都是可导函数，且f '(x )
证明：当x >a 时，f (x ) -f (a )
证明 因为g '(x )>f '(x ) ≥0，故函数g (x ) 单调增加
所以当g (x ) >g (a ) 时，即g (x ) -g (a ) >0
又f (x ) 、g (x ) 在[a , x ](x >a ) 上满足柯西中值定理条件
故由柯西中值定理知
f (x ) -f (a ) f '(ξg (x ) -g (a ) =) g '(ξ)
, ξ∈(a , b )
从而
|f (x ) -f (a ) |g (x ) -g (a ) =|f '(ξ) |
g '(ξ)
例8 设e
，证明
ln 2b -ln 2a b -a >4
e
2
证明 设函数f (x ) =ln 2x , g (x ) =x ，则f '(x ) =
2ln x
, g '(x ) =1 x
ln 2b -ln 2a 2ln ξ
在[a , b ]上由柯西中值定理有>(a
b -a ξ
设h (t ) =
2ln t 2(1-ln t )
，考察h '(t ) = t t 2
当t >e 时，1-ln t e 时单调递减，
ln 2b -ln 2a 4ln e 22
>2 所以h (ξ) >h (e ) ，即>2=2，故
b -a e ξe e
2
ln ξ
总结:利用微分中值定理证明不等式时, 要抓住定理的核心, 在满足定理的两个条件的情况下, 主要是利用“ 存在一点ξ∈(a , b ) ”即a
f '(ξ) =
f (b ) -f (a )
对照要证的不等式来确定函数f (x ) 和区间[a , b ], 根据要证明结论的需
b -a
要, 对f '(ξ) 进行适当的放缩。 4、函数极值与最值法 定理 设f (x ) 在
x 的某邻域内可导，且f '(x ) =0, f ''(x ) ≠0，则
(i ) 若f ''(x ) 0，则f (x ) 在x 0处取极小值。
例9 当x
x x
1. 1-x
11x
=0 ，令f '(x ) =e -
1-x (1-x ) 2
证明 设f (x ) =e -
得x =0，f ''(x ) =e -
x
2
，f ''(0) =-1
(1-x )
故函数在x =1处取得极大值，即f (x ) ≤f (1) =0，故不等式成立. 例10 证明：p >1, 0≤x ≤1时，
p
12
p -1
≤x p +(1-x ) p ≤1
p -1
证明 设f (x ) =x +(1-x ) ，则f '(x ) =px 令f '(x ) =0得x =
p
-p (1-x ) p -1
1 2
12
12
令m =min{f (0), f (1), f ()}，M =max{f (0), f (1), f ()}
则m =
12
, M =1，故当0≤x ≤1, p >1时，有p -1
12p -1
≤x p +(1-x ) p ≤1
例11 证明不等式(1+x ) a -ax ≤1 (x >-1, 0
证明 设f (x ) =(1+x ) a -ax (x >-1) 则f '(x ) =a (1+x )
a -1
-a =
a
[1-(1+x ) 1-a ] 1-a
(1+x )
当-10 当x =0时f '(x )=0 当x>0时f '(x )
因此函数f (x ) 在x =0处取得极大值也取得最大值
a
故当x >-1时f (x ) ≤f (0) =1，即(1+x ) -ax ≤1.
总结：利用函数的最值证明不等式，也是一种行之有效的方法。若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值。当题设满足下列条件时，宜用函数的极值、最值证明不等式
（1）所设辅助函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数； （2）证明的只能是复合不等式，不能是纯粹不等式。 5、 函数凸性法
根据曲线凹凸性的定义，设f (x ) 在区间I 内二阶可导，对I 内的任意不同的两点x 1, x 2 （1）若f ''(x ) >0, x ∈I ，则f (x ) 在I 内上凹，有f (
x 1+x 21
)
) >[f (x 1) +f (x 2) ] 22
（1）若f ''(x )
詹森不等式 设f (x ) 为[a , b ]上的凸函数，则对任意x i ∈[a , b ], λi >0(i =1, 2, n )
∑λ
i =1
n
i
=1，则有f (∑λi x i ) ≤∑λi f (x i ) 成立。若f (x ) 为严格凸函数，x i (i =1, 2 , n ) 不全
i =1
i =1
n n
相等，则上式严格不等式成立。
例12 若x >0, y >0, ，且x ≠y ，试证x ln x +y ln y >(x +y ) ln
x
证明 令f (x ) =ln x ，则f '(x ) =ln x +1, f ''(x ) =
⎛x +y ⎫
⎪
⎝2⎭
1
>0, (x >0) x
因为f (x ) 下凸函数，对任意的x , y ∈(0, +∞)(x ≠y )
有f (
x +y f (x ) +f (y ) x +y
) (x +y ) ln(222
3
⎫⎛1⎛1⎫⎛1⎫⎛28⎫
例13 已知x , y , z , >0, x +y +z =1，证明 2+x ⎪ ⎪+y +z ⎪≥ ⎪ y 2⎪z 2
x ⎝⎭⎝⎭⎝3⎭⎭⎝
证明 ln ⎢
⎡⎛1⎫⎛1⎛1⎫⎫⎛1⎫⎤⎛1⎫⎛1⎫
⎪ ⎪+x +y +z =ln +x +ln +y +ln +z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥222222 ⎪ ⎪⎭⎝y ⎭⎦⎝x ⎭⎝z ⎭⎭⎝z ⎝y ⎭⎣⎝x
⎛1⎫+x ⎪, (0
⎝x ⎭
设f (x ) =ln
x 3-2-x 6+10x 3+2
则f '(x ) =4，f ''(x ) =>0 24x +x x +x
所以函数f (x ) 在(0, 1) 是凸函数，即由詹森不等式
⎡⎛1⎫⎛11283⎫⎛1⎫⎤2
⎪ln ⎢ 2+x ⎪ +y +z ≥3ln(3+) =) ⎪⎥22 ⎪33⎭⎝y ⎭⎦⎭⎝z ⎣⎝x
⎫⎛1⎛1⎫⎛1⎫⎛28⎫
所以 2+x ⎪ ⎪+y +z 2⎪≥ ⎪. 2 ⎪
⎝x ⎭⎝y ⎭⎝3⎭⎭⎝z
总结:若函数f (x ) 的图形在区间(a , b )是凹(凸) 的, 则对(a , b )内任意两点x 1和x 2, 都有
3
f (x )
1
[f (x 1) +f (x 2) ] ,从而可利用函数图形的凹凸性证明一些不等式, 特别是一类多元2
不等式, 通常是根据欲证明不等式, 构造辅助函数, 利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性, 从而证明不等式。 6、Taylor 公式法
泰勒定理 若函数f (x ) 在[a , b ]上存在直至n 阶的连续导函数，在(a , b )内存在(n +1)阶导函数，则对任意给定的x ，x 0∈[a , b ]，至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得
f ''(x 0) f (n ) (x 0) f (n +1) (ξ) 2n
f (x ) =f (x o ) +f '(x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) +(x -x 0) n +1.
2! n ! (n +1)!
例14 若在(a , b ) 内f ''(x ) ≥0，则对(a , b ) 任意几个点x 1, x 2, , x n ，有不等式
x 1+x 2+ +x n 1
) ≤(f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )) 成立.
n n
x +x 2+ +x n
证明 将f (x ) 在x 0=1展开有
n
f (
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +
1
f ''(ξ)(x -x 0) 2ξ介于x 与x 0之间， 2
因为f ''(x ) ≥0，所以f (x ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) （1） 对（1）式中x 分别取x 1, x 2, , x n
得f (x i ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0); i =1, 2, , n
将上面n 个不等式两边分别相加可以得到下面的式子
∑f (x ) ≥∑f (x ) +∑f '(x ) (x -x )
i
i
i
i =1
i =1
i =1
n n n
=nf (x 0) +f '(x 0)(x 1+x 2+ +x n -nx 0) =nf (x 0)
1n
所以f (x 0) ≤∑f (x i )
n i =1
x 1+x 2+ +x n 1
) ≤(f (x 1) +f (x 2) + +f (x n ))
n n
1
例15 f (x ) 有二阶导函数，且满足f (x ) ≤
2
f '(x ) f ''(x ) 2
(-h ) +h +o (h 2) 证明 有泰勒公式知f (x -h ) =f (x ) +1! 2! f '(x ) f ''(x ) 2
(h ) +h +o (h 2) f (x +h ) =f (x ) +1! 2!
1f ''(x ) 2(f (x -h ) +f (x +h )) =f (x ) +h +o (h 2) ≥f (x ) 所以 22!
即f (
f ''(x ) 2f ''(x ) 2o (h 2) 2
h +o (h ) ≥0, h +2≤0 从而有
2! 2! h
所以h →0时，f ''(x ) ≥0.
总结：泰勒公式是用一个多项式来逼近函数f (x ) ，而此多项式具有形式简单，易于计算等优点。所以把泰勒公式应用到不等式证明中，使问题简单化。用泰勒公式证明命题时, 关键要
注意一点, 即究竟要展开到第几阶, 而对于命题则没有统一的规律, 我们要根据题中的有关信息加以适当取舍。
二、不等式证明的积分法
不等式证明的积分法是利用积分的定义，性质，以及用一些特殊的积分不等式来证明不等式。
1、定积分定义法
例16 设f (x )在[0, 1]连续，且[0, 1]，证明ln
⎰
1
f (x ) dx ≥⎰[lnf (x )]dx
1
证明 将[0, 1]区间进行n 等分，取∆x i =
1n
1
n n
因为
1∑f (i ) ≥⎡f (i ) ⎤n
n i =1n ⎢⎣∏i =1n ⎥⎦
n
两边取对数得ln[∑f (i 1i =1
n ) n ]≥1n i
n ∑ln f ()
i =1n n
两边在n →∞时取极限得lim n →∞ln[∑f (i 1n
i 1
i =1n ) n ]=ln lim n →∞[∑f () ]
i =1
n n =ln ⎰
1
f (x ) dx ≥lim 1n i
1n →∞n ∑ln f () =i =1
n ⎰0[lnf (x )]dx
即ln
⎰
1
1
f (x ) dx ≥⎰0
[lnf (x )]dx
2、积分中值定理法
积分中值定理 如果函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则在[a , b ]内至少存在一点ξ， 使得
⎰
b
a
f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
例17 试证当0
1+a
2
. 证明 因为⎰b
1dx =arctan x b
a 1+x 2a =arctan b -arctan a
令f (x ) =
11+x 2
，由积分中值定理有⎰b 1a 1+x 2dx =1
1+ξ2(b -a ) (a
1
1+ξ2
(b -a ) 因为a
1+b 2
. 3、原函数法
例18 设f (x ) 在[0, 1]上连续，取正值且单调减少，
证明b
⎰
a
b
f (x ) dx >a ⎰a
f (x ) dx (0
证明 做辅助函数，令F (x ) =x ⎰
a
x
f (t ) dt -a ⎰a f (t ) dt , (x ≥a )
则F '(x ) =
⎰
a
f (t ) dt -af (x ) =⎰a
f (t ) dt -⎰a
f (x ) dt =⎰a
[f (t ) -f (x )]dt
因为单调减少，故f (t ) -f (x ) >0 (0
则F '(x ) >0，由F (x ) 单调增加，有F (b ) >F (a ) =a 则b
⎰
a
f (t ) dt >0
⎰
a
f (x ) dx >a ⎰f (x ) dx 成立
a
b
x 3x 3x 5
0时，x - 66120
证明 已知不等式cos x ≤1（x >0只有当x =2n π时，等号成立） 在次是两端同时取[0, x ]上的积分，得sin x 0)
x 2
再取[0, x ]上的积分得1-cos x
2
x 3
(x >0) 第三次取[0, x ]上的积分，可得x -sin x
0) 即x -6
x 3x 5
+继续在[0, x ]上积分两次，可得sin x 0) . 6120
总结：当命题中出现条件f (x ) 在[a , b ]上连续时可构造积分上限函数，将数值不等式（定
积分不等式） 转化为积分上限（函数不等式），然后利用单调性或定积分的性质或肠[06 5 解题。
4、定积分保号性法
性质 设f (x ), g (x ) 在区间上[a , b ]都是可积函数，如果在区间[a , b ]满足f (x ) ≤g (x ) 则有
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx
a
b
例20 求证：+x 2-2≥ln(x ++x 2) -ln(1+2)(x ≥1) 证明 因为
⎰
x
t +t 2
1
=+t 2
x
1
=+x 2-2
⎰
x
1+t 2
1
x
dt =ln(t ++t 2) 1=ln(x ++x 2) -ln(1+2)
又因为t ≥1，所以
t +t t +t
22
≥
1+t
x
2
有上述性质有
⎰
x
1
dx ≥⎰
1+t
2
1
dx
即+x 2-2≥ln(x ++x 2) -ln(1+2)(x ≥1) .
总结：使用上述性质证明不等式时, 要将不等式两端的式子表示成同一积分区间上两个函数的
定积分, 这时只须比较这两个函数在区间内的大小, 再利用定积分的性质。 5、积分不等式法
用Schwarz 不等式、Schwarz 不等式等一些特殊的不等式来证明不等式。 Schwarz 不等式 设f (x ), g (x ) 是上的可积函数，a
b
b
12
b
12
则有
⎰
a
f (x ) g (x ) dx ≤⎡⎰f 2(x ) ⎤⎡⎰g 2(x ) ⎤
⎢⎥⎥⎣a ⎦⎢⎣a ⎦
Chebyshew 不等式 设f (x ), g (x ) 同为单调递减或单调递增函数， 则有
⎰
b
a
f (x ) dx ⋅⎰g (x ) dx ≤(b -a ) ⎰f (x ) g (x ) dx
a
a
b b
若f (x ), g (x ) 其中一个是增函数，一个是减函数， 则有
⎰
b
a
f (x ) dx ⋅⎰g (x ) dx ≥(b -a ) ⎰f (x ) g (x ) dx .
a
a
b b
例21 设g (x ) 是[-1, 1]上的下凸函数，f (x ) 是[-1, 1]上的偶函数且在[0, 1]上递增，则
111
⎛⎫⎛⎫ ⎰-1f (x ) dx ⎪ ⎰-1g (x ) dx ⎪≤2⎰-1f (x ) ⋅g (x ) dx ⎝⎭⎝⎭
证明 令h (x ) =g (x ) +h (-x ), 0≤x ≤1，由于f (x ) 为偶函数 所以易证
⎰
1
-1
f (x ) g (x ) dx =⎰f (x ) h (x ) dx
-1
1
有因为f (x ) 是下凸函数，于是由0≤x ≤y ≤1
得
g (-x ) -g (-y ) g (-y ) -g (-x )
≤, g (-x ) -g (-y ) ≤g (-y ) -g (-x )
(-x ) -(-y ) y -x
即h (x ) ≤h (y ) ，所以h (x ), f (x ) 都在[0, 1]上递增， 由Chebyshew 不等式得
1
⎰
1
dx ⎰f (x ) h (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰h (x ) dx ，
111
1111
⎰-1f (x ) ⋅g (x ) dx ≥2⎰-1f (x ) dx [⎰0g (x ) dx +⎰0g (-x ) dx ] 1111f (x ) ⋅g (x ) dx ≥f (x ) dx g (x ) dx ⎰-1⎰⎰-1-12111
即⎛ ⎰-1f (x ) dx ⎫⎪⎛ ⎰-1g (x ) dx ⎫⎪≤2⎰-1f (x ) ⋅g (x ) dx ⎝⎭⎝⎭
等号成立当且仅当g (x ) =Cf (x ) ，C 为任意常数.
11
6、积分几何意义法
例22 设a , b ≥1时，证明不等式ab ≤e 证明 b ln b =
a -1
+b ln b
a 0
⎰
b
ln x -1+b ， e a -1=⎰e x dx +1，由图1
有矩形面积(a -1) b 不超过S 1和S 2的面积和， 即(a -1) b ≤即ab ≤e
a -1
⎰
b
ln xdx +⎰
a -1
e y dy =b ln b -b +e a -1，
+b ln b .
7、二重积分性质法
例23 设f (x ), g (x ) 均为上的单调不减连续函数
证明(b -a )
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰g (x ) dx
a
a
b b
证明 由于f (x ), g (x ) 同为单调不减函数，令
F (x , y ) =[f (x ) -f (y )][g (x ) -g (y )]总有[f (x ) -f (y )][g (x ) -g (y )]≥0
由二重积分的保序性有
⎰⎰[f (x ) g (x ) -f (y ) g (x ) -f (x ) g (y ) +f (y ) g (y )]dxdy ≥0
a
a
b b
即2
⎰⎰
a
b b
a
f (x ) g (x ) dxdy ≥⎰
b
a
⎰
b
a b
f (x ) g (y ) dxdy +⎰
b a
b
a
⎰
b
a
f (y ) g (x ) dxdy
b
b
a
a
于是(b -a )
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx ⎰g (x ) dx
a
证明不等式是一个难点，也是一门艺术，它具有自己独到丰富的技术手法。因此, 我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想，充分利用微分与积分的知识来证明不等式, 使一些复杂的不等式的证明得到更加简洁的证明, 也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于抓住不等式的特点, 从而迅速有效地解决问题。
参考文献
[1]华东师范大学数学系. 数学分析[M ].北京:高等教育出版社,1981: 36- 38. [2]欧阳光中、姚允龙. 数学分析[M].上海：复旦大学出版社，1993.
[3]吉米多维奇，数学分析习题集题解[M]，山东科学技术出版社，2003. [4]胡汉明．不等式证明问题的思考方法［J ］，数学通讯，2001( 9):2 0-23． [5]杨纯富. 不等式证明的微分法[J]，渝西学院学报，2002（9）：15-21. [6] 陈晓萌. 泰勒公式在不等式中的应用[J ] ,昌雄师专学报,2000(2) :80-82. [7]韩丽英. 积分不等式在证明不等式中的应用[J],宁德师专学报，2010（8）：239-24. [8]马燕. 用微积分证明不等式[J]，乌鲁木齐成人教育学院学报，2006（8）：79-83.
[9]吴江. 微积分在不等式证明中的应用[J]，北京市计划劳动管理干部学院学报2001（9）44-46. [10]王伟珠. 导数在不等式证明中的应用
[J],2010(6):185-186.
12
不等式证明的微分法与积分法
摘要 本文主要介绍微积分学的有关概念、定理以及性质在证明不等式证明中的应用，结合实例，讨论了不等式证明的微分法与积分法，以及相应的思路与技巧。
关键词 不等式证明 微分法 积分法
不等式是数学的重要内容之一，在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。证明不等式的方法也有很多中，除常见的一些初等方法外，还可利用高等数学工具来证明不等式，利用高等数学中的微积分思想可以使不等式的证法思路变得简单，技巧性降低。利用微积分的方法证明不等式，是根据不等式的特点，通常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态。本文着重阐述利用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理、级数理论解决不等式的问题。
一、不等式证明的微分法
不等式证明的微分法是利用微分学的一些知识来证明不等式，主要有以下几个方面：一是应用中值定理或泰勒公式; 二是考察函数的单调性或极值; 三是考察函数的凹凸性。
1、微分定义法
从定义出发证明不等式是比较原始的做法，不容易被人想到，但在证明某些不等式时却行之有效。
例1 设f (x ) =a 1sin x +a 2sin 2x + +a n sin nx ，且f (x ) ≤sin x ， 试证a 1+2a 2+ +na n ≤1
分析 观察命题的条件与结论, 从导数的定义出发, 结合重要极限的结论, 解题方便简捷。 证明 因为f '(x ) =a 1cos x +2a 2cos 2x + +na n cos nx 则f (0) =0，f '(0) =a 1+2a 2+ +na n 由导数定义 f '(0) =l i x →0
f (x ) -f (0) f (x )
=l i x →0x -0x
所以 f '(0) =l i x →0
f (x ) f (x ) s i n x
≤l i ≤lim =1 x →0x →0x x x
即 a 1+2a 2+ +na n ≤1.
总结：用导数定义证明不等式，此方法适用范围不广，解题时应仔细观察问题中的条件与结
论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。
2、函数单调性法
函数的单调性在微积分中主要用函数的导数来判定。
定理 设函数f (x )在区间[a , b ]上可导如果对任意的x ∈(a , b ), 恒有f '(x )>0（或
，则f (x )在(a , b )内单调递增（或单调递减）。 f '(x )
x 3
例2 求证，当x ≥0时有sin x ≥x -
3! x 3
证明 设f (x ) =sin x -x +
3!
x 2
x -1+ 无法判定f '(x ) 的符号 因为 f '(x ) =c o s
2
又因为 f ''(x ) =s i n x +x 而 x ≥0 时 sin x ≤x 所以 f ''(x ) >0（只当x =0时等号成立）
所以 f '(x ) 在(0, +∞) 单调增加，所以f '(x ) >f '(0) =0(x >0) ，即f '(x ) >0
所以 f (x ) 在(0, +∞) 单调增加，所以 x >0, f (x ) >f (0) =0
x 3
x ≥x -. 即 s i n
3!
例3 求证
a +b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
证明 设 f (x ) =
x 1，则 f '(x ) = 1+x (1+x ) 2
由于f '(x ) =
x 1
f (x ) =>0，所以 是增函数，
1+x (1+x ) 2
又因为 a +b ≤a +b
所以
a +b 1+a +b
≤
a +b 1+a +b
=
a 1+a +b
+
b 1+a +b
≤
a 1+a
+
b 1+b
.
例4 设 b >a >0，证明 ln
b 2(b -a )
> a a +b
证明 要证原不等式成立只需证明 (lnb -ln a )(a +b ) >2(a -b ) 令f (x ) =(lnb -ln a )(a +b ) -2(a -b ) ，(x ≥a )
则 f '(x ) =
1
(a +x ) +(lnx -ln a ) -2 x
f ''(x ) =-
a 1x -a
+=2≥0(x ≥a ) 2x x x
所以 f '(x ) 单调递增，有因为 f '(a ) =0，于是 f '(x ) ≥0(x ≥a ) 因此f (x ) 单调递增，又因为f (a ) =0 所以当 b >a >0时有 f (b ) >f (a ) =0 所以 (lnb -ln a )(a +b ) -2(a -b ) >0 所以 ln
b 2(b -a ) >. a a +b
总结：利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，在构造辅助函数时，要求不等式两边的函数必须可导；所构造的辅助函数f (x ) 要在某闭区间上连续，在开区间内可导，且在某闭区间端点处函数值为0，然后通过开区间内f '(x ) 的符号来判断f (x ) 在闭区间上的单调性。有时需要借助f ''(x ) 甚至更高阶导数的符号来判断f '(x ) 的符号。
3、微分中值定理法
拉格朗日中值定理 如果函数f (x ) 满足条件：（1）在闭区间[a , b ]上连续，（2）在开区间(a , b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a , b )，使得f '(ξ)=
f (b ) -f (a )
b -a
柯西中值定理 如果函数f (x ) ，g (x ) 满足条件：（1）在闭区间[a , b ]上连续，（2）在开区间(a , b )内可导，（3）在(a , b )内每一点处，g '(x ) =0，则至少存在一点ξ∈(a , b )，
f (a ) -f (b ) f '(ξ)
=使得.
g (a ) -g (b ) g '(ξ)
例5 若 x >0，试证
x
1+x ) （x >0) 证明 设 f (x ) =ln(
因为f (x ) 在[0, x ]上满足拉格朗日定理 所以f '(ξ) =
1ln(1+x ) -ln(1+0) ln(1+x ) == (0
11
又因为 1
所以
1ln(1+x ) x
例6 设 b >a >0，证明不等式
2a ln b -ln a 1
a +b b -a ab
证明 先证左边的不等式，设f (x ) =ln x (x >a >0) ，根据拉格朗日中值定理得
ln b -ln a b -a =(lnx ) '1
x =ξ=ξ
, a
因为
1ξ
>
1b >2a 22
2a ln b -ln a a 2
+b
2
, 又a +b >2ab ，所以a 2+b 2
x -a
ax
-ln x +ln a (x >a >0) (a ) =0，且h '(x ) =1a (12x +a 2x x ) -1x =(x -a ) 2
则 h 2x ax
>0
于是 h '(x ) >0，所以h (x ) 单调递增，所以当x >a >0时，h (x ) >h (0) =0特别地，令x =b ，则有h (b ) >0，即
ln b -ln a b -a
所以原不等式成立.
例7 设f (x ) 、g (x ) 都是可导函数，且f '(x )
证明：当x >a 时，f (x ) -f (a )
证明 因为g '(x )>f '(x ) ≥0，故函数g (x ) 单调增加
所以当g (x ) >g (a ) 时，即g (x ) -g (a ) >0
又f (x ) 、g (x ) 在[a , x ](x >a ) 上满足柯西中值定理条件
故由柯西中值定理知
f (x ) -f (a ) f '(ξg (x ) -g (a ) =) g '(ξ)
, ξ∈(a , b )
从而
|f (x ) -f (a ) |g (x ) -g (a ) =|f '(ξ) |
g '(ξ)
例8 设e
，证明
ln 2b -ln 2a b -a >4
e
2
证明 设函数f (x ) =ln 2x , g (x ) =x ，则f '(x ) =
2ln x
, g '(x ) =1 x
ln 2b -ln 2a 2ln ξ
在[a , b ]上由柯西中值定理有>(a
b -a ξ
设h (t ) =
2ln t 2(1-ln t )
，考察h '(t ) = t t 2
当t >e 时，1-ln t e 时单调递减，
ln 2b -ln 2a 4ln e 22
>2 所以h (ξ) >h (e ) ，即>2=2，故
b -a e ξe e
2
ln ξ
总结:利用微分中值定理证明不等式时, 要抓住定理的核心, 在满足定理的两个条件的情况下, 主要是利用“ 存在一点ξ∈(a , b ) ”即a
f '(ξ) =
f (b ) -f (a )
对照要证的不等式来确定函数f (x ) 和区间[a , b ], 根据要证明结论的需
b -a
要, 对f '(ξ) 进行适当的放缩。 4、函数极值与最值法 定理 设f (x ) 在
x 的某邻域内可导，且f '(x ) =0, f ''(x ) ≠0，则
(i ) 若f ''(x ) 0，则f (x ) 在x 0处取极小值。
例9 当x
x x
1. 1-x
11x
=0 ，令f '(x ) =e -
1-x (1-x ) 2
证明 设f (x ) =e -
得x =0，f ''(x ) =e -
x
2
，f ''(0) =-1
(1-x )
故函数在x =1处取得极大值，即f (x ) ≤f (1) =0，故不等式成立. 例10 证明：p >1, 0≤x ≤1时，
p
12
p -1
≤x p +(1-x ) p ≤1
p -1
证明 设f (x ) =x +(1-x ) ，则f '(x ) =px 令f '(x ) =0得x =
p
-p (1-x ) p -1
1 2
12
12
令m =min{f (0), f (1), f ()}，M =max{f (0), f (1), f ()}
则m =
12
, M =1，故当0≤x ≤1, p >1时，有p -1
12p -1
≤x p +(1-x ) p ≤1
例11 证明不等式(1+x ) a -ax ≤1 (x >-1, 0
证明 设f (x ) =(1+x ) a -ax (x >-1) 则f '(x ) =a (1+x )
a -1
-a =
a
[1-(1+x ) 1-a ] 1-a
(1+x )
当-10 当x =0时f '(x )=0 当x>0时f '(x )
因此函数f (x ) 在x =0处取得极大值也取得最大值
a
故当x >-1时f (x ) ≤f (0) =1，即(1+x ) -ax ≤1.
总结：利用函数的最值证明不等式，也是一种行之有效的方法。若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值。当题设满足下列条件时，宜用函数的极值、最值证明不等式
（1）所设辅助函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数； （2）证明的只能是复合不等式，不能是纯粹不等式。 5、 函数凸性法
根据曲线凹凸性的定义，设f (x ) 在区间I 内二阶可导，对I 内的任意不同的两点x 1, x 2 （1）若f ''(x ) >0, x ∈I ，则f (x ) 在I 内上凹，有f (
x 1+x 21
)
) >[f (x 1) +f (x 2) ] 22
（1）若f ''(x )
詹森不等式 设f (x ) 为[a , b ]上的凸函数，则对任意x i ∈[a , b ], λi >0(i =1, 2, n )
∑λ
i =1
n
i
=1，则有f (∑λi x i ) ≤∑λi f (x i ) 成立。若f (x ) 为严格凸函数，x i (i =1, 2 , n ) 不全
i =1
i =1
n n
相等，则上式严格不等式成立。
例12 若x >0, y >0, ，且x ≠y ，试证x ln x +y ln y >(x +y ) ln
x
证明 令f (x ) =ln x ，则f '(x ) =ln x +1, f ''(x ) =
⎛x +y ⎫
⎪
⎝2⎭
1
>0, (x >0) x
因为f (x ) 下凸函数，对任意的x , y ∈(0, +∞)(x ≠y )
有f (
x +y f (x ) +f (y ) x +y
) (x +y ) ln(222
3
⎫⎛1⎛1⎫⎛1⎫⎛28⎫
例13 已知x , y , z , >0, x +y +z =1，证明 2+x ⎪ ⎪+y +z ⎪≥ ⎪ y 2⎪z 2
x ⎝⎭⎝⎭⎝3⎭⎭⎝
证明 ln ⎢
⎡⎛1⎫⎛1⎛1⎫⎫⎛1⎫⎤⎛1⎫⎛1⎫
⎪ ⎪+x +y +z =ln +x +ln +y +ln +z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥222222 ⎪ ⎪⎭⎝y ⎭⎦⎝x ⎭⎝z ⎭⎭⎝z ⎝y ⎭⎣⎝x
⎛1⎫+x ⎪, (0
⎝x ⎭
设f (x ) =ln
x 3-2-x 6+10x 3+2
则f '(x ) =4，f ''(x ) =>0 24x +x x +x
所以函数f (x ) 在(0, 1) 是凸函数，即由詹森不等式
⎡⎛1⎫⎛11283⎫⎛1⎫⎤2
⎪ln ⎢ 2+x ⎪ +y +z ≥3ln(3+) =) ⎪⎥22 ⎪33⎭⎝y ⎭⎦⎭⎝z ⎣⎝x
⎫⎛1⎛1⎫⎛1⎫⎛28⎫
所以 2+x ⎪ ⎪+y +z 2⎪≥ ⎪. 2 ⎪
⎝x ⎭⎝y ⎭⎝3⎭⎭⎝z
总结:若函数f (x ) 的图形在区间(a , b )是凹(凸) 的, 则对(a , b )内任意两点x 1和x 2, 都有
3
f (x )
1
[f (x 1) +f (x 2) ] ,从而可利用函数图形的凹凸性证明一些不等式, 特别是一类多元2
不等式, 通常是根据欲证明不等式, 构造辅助函数, 利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性, 从而证明不等式。 6、Taylor 公式法
泰勒定理 若函数f (x ) 在[a , b ]上存在直至n 阶的连续导函数，在(a , b )内存在(n +1)阶导函数，则对任意给定的x ，x 0∈[a , b ]，至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得
f ''(x 0) f (n ) (x 0) f (n +1) (ξ) 2n
f (x ) =f (x o ) +f '(x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) +(x -x 0) n +1.
2! n ! (n +1)!
例14 若在(a , b ) 内f ''(x ) ≥0，则对(a , b ) 任意几个点x 1, x 2, , x n ，有不等式
x 1+x 2+ +x n 1
) ≤(f (x 1) +f (x 2) + +f (x n )) 成立.
n n
x +x 2+ +x n
证明 将f (x ) 在x 0=1展开有
n
f (
f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +
1
f ''(ξ)(x -x 0) 2ξ介于x 与x 0之间， 2
因为f ''(x ) ≥0，所以f (x ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) （1） 对（1）式中x 分别取x 1, x 2, , x n
得f (x i ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0); i =1, 2, , n
将上面n 个不等式两边分别相加可以得到下面的式子
∑f (x ) ≥∑f (x ) +∑f '(x ) (x -x )
i
i
i
i =1
i =1
i =1
n n n
=nf (x 0) +f '(x 0)(x 1+x 2+ +x n -nx 0) =nf (x 0)
1n
所以f (x 0) ≤∑f (x i )
n i =1
x 1+x 2+ +x n 1
) ≤(f (x 1) +f (x 2) + +f (x n ))
n n
1
例15 f (x ) 有二阶导函数，且满足f (x ) ≤
2
f '(x ) f ''(x ) 2
(-h ) +h +o (h 2) 证明 有泰勒公式知f (x -h ) =f (x ) +1! 2! f '(x ) f ''(x ) 2
(h ) +h +o (h 2) f (x +h ) =f (x ) +1! 2!
1f ''(x ) 2(f (x -h ) +f (x +h )) =f (x ) +h +o (h 2) ≥f (x ) 所以 22!
即f (
f ''(x ) 2f ''(x ) 2o (h 2) 2
h +o (h ) ≥0, h +2≤0 从而有
2! 2! h
所以h →0时，f ''(x ) ≥0.
总结：泰勒公式是用一个多项式来逼近函数f (x ) ，而此多项式具有形式简单，易于计算等优点。所以把泰勒公式应用到不等式证明中，使问题简单化。用泰勒公式证明命题时, 关键要
注意一点, 即究竟要展开到第几阶, 而对于命题则没有统一的规律, 我们要根据题中的有关信息加以适当取舍。
二、不等式证明的积分法
不等式证明的积分法是利用积分的定义，性质，以及用一些特殊的积分不等式来证明不等式。
1、定积分定义法
例16 设f (x )在[0, 1]连续，且[0, 1]，证明ln
⎰
1
f (x ) dx ≥⎰[lnf (x )]dx
1
证明 将[0, 1]区间进行n 等分，取∆x i =
1n
1
n n
因为
1∑f (i ) ≥⎡f (i ) ⎤n
n i =1n ⎢⎣∏i =1n ⎥⎦
n
两边取对数得ln[∑f (i 1i =1
n ) n ]≥1n i
n ∑ln f ()
i =1n n
两边在n →∞时取极限得lim n →∞ln[∑f (i 1n
i 1
i =1n ) n ]=ln lim n →∞[∑f () ]
i =1
n n =ln ⎰
1
f (x ) dx ≥lim 1n i
1n →∞n ∑ln f () =i =1
n ⎰0[lnf (x )]dx
即ln
⎰
1
1
f (x ) dx ≥⎰0
[lnf (x )]dx
2、积分中值定理法
积分中值定理 如果函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则在[a , b ]内至少存在一点ξ， 使得
⎰
b
a
f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
例17 试证当0
1+a
2
. 证明 因为⎰b
1dx =arctan x b
a 1+x 2a =arctan b -arctan a
令f (x ) =
11+x 2
，由积分中值定理有⎰b 1a 1+x 2dx =1
1+ξ2(b -a ) (a
1
1+ξ2
(b -a ) 因为a
1+b 2
. 3、原函数法
例18 设f (x ) 在[0, 1]上连续，取正值且单调减少，
证明b
⎰
a
b
f (x ) dx >a ⎰a
f (x ) dx (0
证明 做辅助函数，令F (x ) =x ⎰
a
x
f (t ) dt -a ⎰a f (t ) dt , (x ≥a )
则F '(x ) =
⎰
a
f (t ) dt -af (x ) =⎰a
f (t ) dt -⎰a
f (x ) dt =⎰a
[f (t ) -f (x )]dt
因为单调减少，故f (t ) -f (x ) >0 (0
则F '(x ) >0，由F (x ) 单调增加，有F (b ) >F (a ) =a 则b
⎰
a
f (t ) dt >0
⎰
a
f (x ) dx >a ⎰f (x ) dx 成立
a
b
x 3x 3x 5
0时，x - 66120
证明 已知不等式cos x ≤1（x >0只有当x =2n π时，等号成立） 在次是两端同时取[0, x ]上的积分，得sin x 0)
x 2
再取[0, x ]上的积分得1-cos x
2
x 3
(x >0) 第三次取[0, x ]上的积分，可得x -sin x
0) 即x -6
x 3x 5
+继续在[0, x ]上积分两次，可得sin x 0) . 6120
总结：当命题中出现条件f (x ) 在[a , b ]上连续时可构造积分上限函数，将数值不等式（定
积分不等式） 转化为积分上限（函数不等式），然后利用单调性或定积分的性质或肠[06 5 解题。
4、定积分保号性法
性质 设f (x ), g (x ) 在区间上[a , b ]都是可积函数，如果在区间[a , b ]满足f (x ) ≤g (x ) 则有
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx
a
b
例20 求证：+x 2-2≥ln(x ++x 2) -ln(1+2)(x ≥1) 证明 因为
⎰
x
t +t 2
1
=+t 2
x
1
=+x 2-2
⎰
x
1+t 2
1
x
dt =ln(t ++t 2) 1=ln(x ++x 2) -ln(1+2)
又因为t ≥1，所以
t +t t +t
22
≥
1+t
x
2
有上述性质有
⎰
x
1
dx ≥⎰
1+t
2
1
dx
即+x 2-2≥ln(x ++x 2) -ln(1+2)(x ≥1) .
总结：使用上述性质证明不等式时, 要将不等式两端的式子表示成同一积分区间上两个函数的
定积分, 这时只须比较这两个函数在区间内的大小, 再利用定积分的性质。 5、积分不等式法
用Schwarz 不等式、Schwarz 不等式等一些特殊的不等式来证明不等式。 Schwarz 不等式 设f (x ), g (x ) 是上的可积函数，a
b
b
12
b
12
则有
⎰
a
f (x ) g (x ) dx ≤⎡⎰f 2(x ) ⎤⎡⎰g 2(x ) ⎤
⎢⎥⎥⎣a ⎦⎢⎣a ⎦
Chebyshew 不等式 设f (x ), g (x ) 同为单调递减或单调递增函数， 则有
⎰
b
a
f (x ) dx ⋅⎰g (x ) dx ≤(b -a ) ⎰f (x ) g (x ) dx
a
a
b b
若f (x ), g (x ) 其中一个是增函数，一个是减函数， 则有
⎰
b
a
f (x ) dx ⋅⎰g (x ) dx ≥(b -a ) ⎰f (x ) g (x ) dx .
a
a
b b
例21 设g (x ) 是[-1, 1]上的下凸函数，f (x ) 是[-1, 1]上的偶函数且在[0, 1]上递增，则
111
⎛⎫⎛⎫ ⎰-1f (x ) dx ⎪ ⎰-1g (x ) dx ⎪≤2⎰-1f (x ) ⋅g (x ) dx ⎝⎭⎝⎭
证明 令h (x ) =g (x ) +h (-x ), 0≤x ≤1，由于f (x ) 为偶函数 所以易证
⎰
1
-1
f (x ) g (x ) dx =⎰f (x ) h (x ) dx
-1
1
有因为f (x ) 是下凸函数，于是由0≤x ≤y ≤1
得
g (-x ) -g (-y ) g (-y ) -g (-x )
≤, g (-x ) -g (-y ) ≤g (-y ) -g (-x )
(-x ) -(-y ) y -x
即h (x ) ≤h (y ) ，所以h (x ), f (x ) 都在[0, 1]上递增， 由Chebyshew 不等式得
1
⎰
1
dx ⎰f (x ) h (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰h (x ) dx ，
111
1111
⎰-1f (x ) ⋅g (x ) dx ≥2⎰-1f (x ) dx [⎰0g (x ) dx +⎰0g (-x ) dx ] 1111f (x ) ⋅g (x ) dx ≥f (x ) dx g (x ) dx ⎰-1⎰⎰-1-12111
即⎛ ⎰-1f (x ) dx ⎫⎪⎛ ⎰-1g (x ) dx ⎫⎪≤2⎰-1f (x ) ⋅g (x ) dx ⎝⎭⎝⎭
等号成立当且仅当g (x ) =Cf (x ) ，C 为任意常数.
11
6、积分几何意义法
例22 设a , b ≥1时，证明不等式ab ≤e 证明 b ln b =
a -1
+b ln b
a 0
⎰
b
ln x -1+b ， e a -1=⎰e x dx +1，由图1
有矩形面积(a -1) b 不超过S 1和S 2的面积和， 即(a -1) b ≤即ab ≤e
a -1
⎰
b
ln xdx +⎰
a -1
e y dy =b ln b -b +e a -1，
+b ln b .
7、二重积分性质法
例23 设f (x ), g (x ) 均为上的单调不减连续函数
证明(b -a )
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰g (x ) dx
a
a
b b
证明 由于f (x ), g (x ) 同为单调不减函数，令
F (x , y ) =[f (x ) -f (y )][g (x ) -g (y )]总有[f (x ) -f (y )][g (x ) -g (y )]≥0
由二重积分的保序性有
⎰⎰[f (x ) g (x ) -f (y ) g (x ) -f (x ) g (y ) +f (y ) g (y )]dxdy ≥0
a
a
b b
即2
⎰⎰
a
b b
a
f (x ) g (x ) dxdy ≥⎰
b
a
⎰
b
a b
f (x ) g (y ) dxdy +⎰
b a
b
a
⎰
b
a
f (y ) g (x ) dxdy
b
b
a
a
于是(b -a )
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx ≥⎰f (x ) dx ⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx ⎰g (x ) dx
a
证明不等式是一个难点，也是一门艺术，它具有自己独到丰富的技术手法。因此, 我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想，充分利用微分与积分的知识来证明不等式, 使一些复杂的不等式的证明得到更加简洁的证明, 也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于抓住不等式的特点, 从而迅速有效地解决问题。
参考文献
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