11.2 行列式的性质
11.2.2 行列式按某一行（列）展开
对于三阶行列式，我们容易验证
a 11a 21a 31
a 12a 22a 32
a
a 23=a 1122
a 32
a 33
a 13
a 23a
-a 1221a 33a 31a 23a
+a 1321a 33a 31a 22
a 32
1．余子式和代数余子式
a 11
定义11.8 在n 阶行列式
a 12a 22⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a 1n
⋅⋅⋅a 2n
中，划去元素a ij 所在的第i 行第j 列，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a nn
a 21⋅⋅⋅
a n 1a n 2
剩下的元素按原来的排列位置构成n -1阶的行列式
a 11
⋅⋅⋅
a 1j -1a 1j +1⋅⋅⋅a i -1j +1⋅⋅⋅a nj +1
⋅⋅⋅
a 1n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a i -11⋅⋅⋅a i -1j -1a i +11⋅⋅⋅a i +1j -1⋅⋅⋅a n 1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a nj -1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a i -1n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a nn
a i +1j +1⋅⋅⋅a i +1n
称为元素a ij 的余子式，记作M ij 。
定义11.9 令A ij =(-1)
i +j
M ij ，称A ij 为元素a ij 的代数余子式。
应用代数余子式的概念，三阶行列式可以表成D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+a i 3A i 3
(i =1, 2, 3) 或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 3j A 3j (j =1, 2, 3) 。
1
例6求D =1
0-1
0的余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13，2
2-13b c
并求D 。
a
例7求1
20的值。 -132
解：这个行列式与例6的行列式D 除去第一行外，其他位置上的元素都是相同的。因
此，它的第一行的余子式与D 的第一行的余子式也是相同的（为什么？请读者考虑），从而它的第一行的代数余子式也与D 的第一行的代数余子式相同。所以
a b c
120=aA 11+bA 12+cA 13=4a -2b +5c 。 -132
推广至n 阶行列式我们有
a 11
a 21
定理11.5 n 阶行列式D =
⋅⋅⋅
a 12a 22⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a 1n
⋅⋅⋅a 2n
等于它任意一行（列）的各元素与其
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a nn
a n 1a n 2
对应代数余子式乘积的和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+⋅⋅⋅+a in A in (i =1, 2, ⋅⋅⋅n ) 或
D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +⋅⋅⋅+a nj A nj (j =1, 2, ⋅⋅⋅n ) 。
我们从代数余子式的定义以及例题看到a ij 的代数余子式只与a ij 所在的位置有关，而与a ij 本身的数值无关。利用这一点，可以得到关于代数余子式的另一个重要性质，即
a 11⋅⋅⋅
定理11.6
a 12⋅⋅⋅a i 2⋅⋅⋅a s 2⋅⋅⋅a n 2
⋅⋅⋅a 1n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
的某一行（列）的元素与另一行（列）
n 阶行列式D =⋅⋅⋅
a s 1⋅⋅⋅a n 1
a i 1⋅⋅⋅a in ⋅⋅⋅a sn ⋅⋅⋅a nn
对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即a i 1A s 1+a i 2A s 2+⋅⋅⋅+a in A sn =0 (i ≠s ) 或
a 1j A 1t +a 2j A 2t +⋅⋅⋅+a nj A nt =0 (j ≠t )
综合上面两个定理的结论，得到
a 11
a 21
定理11.7 设D =
⋅⋅⋅
成立：
a 12a 22⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a 1n
⋅⋅⋅a 2n
，A ij 表示元素a ij 的代数余子式，则下列公式
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a nn
a n 1a n 2
i =s ⎧D
a i 1A s 1+a i 2A s 2+⋅⋅⋅+a in A sn =⎨
i ≠s 0⎩j =t ⎧D 。 a 1j A 1t +a 2j A 2t +⋅⋅⋅+a nj A nt =⎨
j ≠t ⎩0
用连加号简写为
i =s ⎧D
a ij A sj =⎨ ∑i ≠s 0j =1⎩
n
j =t ⎧D
。 a A =⎨∑ij it
j ≠t i =1⎩0
n
2．利用行列式按一行（列）展开公式计算行列式
行列式按一行（列）展开公式可以用来计算n 阶行列式，但是直接应用这两组公式只是把一个阶n 行列式的计算换成计算n 个n -1阶行列式，计算量不会减少很多。而只有当行列式中某一行或一列含有较多的零时，应用这两组公式才真正有意义。因此，通常是把原行列式的某一行（列）的大部分元素变为零之后，再按这一行（列）展开。
1-1
例8计算行列式
231-1
23
20-14-15
。
33110-2
解：直接按第三列展开
20-1
12-1
4-15
=(-1) 2+3⋅(-1) ⋅231
331
31-2
10-2
1
2
-1
+(-1) 3+3⋅3⋅-145=14+3⨯26=92
31-2
1234551234
例9 计算五阶行列式D =4
5123 34512
23451
解：把第二、三、四、五列都加到第一列上，得
234123
D =5123=15512
4512451
3451
[1**********] 2
3451
然后把第二行乘以-1加到第一行，第三行乘以-1加到第二行，第四行乘以-1加到第三行，第五行乘以-1加到第四行上，得
010-4
D =150
111111
01
按第一列展开
113
-411 1-414
5
1
111-411
D =15⨯(-1) 5+1⨯1-4111-4111
-500
D =0-5000-5
111
-411=1-4111-41
1 11
将第一行乘-1分别加到第二、三、四行上，得
1
-500
=15⨯(-1) 1+40-50 0
00-5
33
=15⨯(-1) ⨯(-5) =15⨯5=1875。
课堂练习: p126. 2.(2)
小结:本次课重点是利用行列式按一行（列）展开公式计算行列式，同时要掌握相关定理。
11.2 行列式的性质
11.2.2 行列式按某一行（列）展开
对于三阶行列式，我们容易验证
a 11a 21a 31
a 12a 22a 32
a
a 23=a 1122
a 32
a 33
a 13
a 23a
-a 1221a 33a 31a 23a
+a 1321a 33a 31a 22
a 32
1．余子式和代数余子式
a 11
定义11.8 在n 阶行列式
a 12a 22⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a 1n
⋅⋅⋅a 2n
中，划去元素a ij 所在的第i 行第j 列，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a nn
a 21⋅⋅⋅
a n 1a n 2
剩下的元素按原来的排列位置构成n -1阶的行列式
a 11
⋅⋅⋅
a 1j -1a 1j +1⋅⋅⋅a i -1j +1⋅⋅⋅a nj +1
⋅⋅⋅
a 1n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a i -11⋅⋅⋅a i -1j -1a i +11⋅⋅⋅a i +1j -1⋅⋅⋅a n 1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a nj -1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a i -1n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a nn
a i +1j +1⋅⋅⋅a i +1n
称为元素a ij 的余子式，记作M ij 。
定义11.9 令A ij =(-1)
i +j
M ij ，称A ij 为元素a ij 的代数余子式。
应用代数余子式的概念，三阶行列式可以表成D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+a i 3A i 3
(i =1, 2, 3) 或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 3j A 3j (j =1, 2, 3) 。
1
例6求D =1
0-1
0的余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13，2
2-13b c
并求D 。
a
例7求1
20的值。 -132
解：这个行列式与例6的行列式D 除去第一行外，其他位置上的元素都是相同的。因
此，它的第一行的余子式与D 的第一行的余子式也是相同的（为什么？请读者考虑），从而它的第一行的代数余子式也与D 的第一行的代数余子式相同。所以
a b c
120=aA 11+bA 12+cA 13=4a -2b +5c 。 -132
推广至n 阶行列式我们有
a 11
a 21
定理11.5 n 阶行列式D =
⋅⋅⋅
a 12a 22⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a 1n
⋅⋅⋅a 2n
等于它任意一行（列）的各元素与其
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a nn
a n 1a n 2
对应代数余子式乘积的和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+⋅⋅⋅+a in A in (i =1, 2, ⋅⋅⋅n ) 或
D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +⋅⋅⋅+a nj A nj (j =1, 2, ⋅⋅⋅n ) 。
我们从代数余子式的定义以及例题看到a ij 的代数余子式只与a ij 所在的位置有关，而与a ij 本身的数值无关。利用这一点，可以得到关于代数余子式的另一个重要性质，即
a 11⋅⋅⋅
定理11.6
a 12⋅⋅⋅a i 2⋅⋅⋅a s 2⋅⋅⋅a n 2
⋅⋅⋅a 1n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
的某一行（列）的元素与另一行（列）
n 阶行列式D =⋅⋅⋅
a s 1⋅⋅⋅a n 1
a i 1⋅⋅⋅a in ⋅⋅⋅a sn ⋅⋅⋅a nn
对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即a i 1A s 1+a i 2A s 2+⋅⋅⋅+a in A sn =0 (i ≠s ) 或
a 1j A 1t +a 2j A 2t +⋅⋅⋅+a nj A nt =0 (j ≠t )
综合上面两个定理的结论，得到
a 11
a 21
定理11.7 设D =
⋅⋅⋅
成立：
a 12a 22⋅⋅⋅
⋅⋅⋅a 1n
⋅⋅⋅a 2n
，A ij 表示元素a ij 的代数余子式，则下列公式
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a nn
a n 1a n 2
i =s ⎧D
a i 1A s 1+a i 2A s 2+⋅⋅⋅+a in A sn =⎨
i ≠s 0⎩j =t ⎧D 。 a 1j A 1t +a 2j A 2t +⋅⋅⋅+a nj A nt =⎨
j ≠t ⎩0
用连加号简写为
i =s ⎧D
a ij A sj =⎨ ∑i ≠s 0j =1⎩
n
j =t ⎧D
。 a A =⎨∑ij it
j ≠t i =1⎩0
n
2．利用行列式按一行（列）展开公式计算行列式
行列式按一行（列）展开公式可以用来计算n 阶行列式，但是直接应用这两组公式只是把一个阶n 行列式的计算换成计算n 个n -1阶行列式，计算量不会减少很多。而只有当行列式中某一行或一列含有较多的零时，应用这两组公式才真正有意义。因此，通常是把原行列式的某一行（列）的大部分元素变为零之后，再按这一行（列）展开。
1-1
例8计算行列式
231-1
23
20-14-15
。
33110-2
解：直接按第三列展开
20-1
12-1
4-15
=(-1) 2+3⋅(-1) ⋅231
331
31-2
10-2
1
2
-1
+(-1) 3+3⋅3⋅-145=14+3⨯26=92
31-2
1234551234
例9 计算五阶行列式D =4
5123 34512
23451
解：把第二、三、四、五列都加到第一列上，得
234123
D =5123=15512
4512451
3451
[1**********] 2
3451
然后把第二行乘以-1加到第一行，第三行乘以-1加到第二行，第四行乘以-1加到第三行，第五行乘以-1加到第四行上，得
010-4
D =150
111111
01
按第一列展开
113
-411 1-414
5
1
111-411
D =15⨯(-1) 5+1⨯1-4111-4111
-500
D =0-5000-5
111
-411=1-4111-41
1 11
将第一行乘-1分别加到第二、三、四行上，得
1
-500
=15⨯(-1) 1+40-50 0
00-5
33
=15⨯(-1) ⨯(-5) =15⨯5=1875。
课堂练习: p126. 2.(2)
小结:本次课重点是利用行列式按一行（列）展开公式计算行列式，同时要掌握相关定理。