基于M/M/S排队论的病床安排模型
（获２００９年大学生数学建模赛全国二等奖）
数学与计算科学学院 雷蕾
信息科学与计算学院 黄缨宁
信息科学与计算学院 丁炜杰
指导老师：王其如 教授
摘要
就医排队是一种我们非常熟悉的现象。在眼科医院的病床安排中，主要从医
院高效工作和患者满意度两方面来考虑安排方法。本文通过确定两方面的权重，
确立评价标准。
针对问题二，本文确定了从医院和患者两方面综合考虑的目标函数，医院各
种诊疗规则的限制下进行线性规划，使得目标函数值（背离度）最小，得到问题
二的解决方案。用问题一的标准评价，确实优于医院的FCFS 模型。
问题三中对每一类病人术后恢复时间做统计，由计算机按照概率给出术后恢
复的时间，运用第二问模型的选择方式，对近一段时间内的出入院人数作出合理
预测，并根据M 的排序确定患者入院的时间区间。
对于问题四，先确立白内障双眼手术的方案（调查支持可以任意不同两天手
术），按照问题二的算法，先算出周二四做白内障手术的最小M 值及入院前等待
时间和术前等待时间。用计算机模拟出在手术时间可调整情况下M 可能的最小
值，得到周三五为最佳手术时间。尤其术前人均等待时间的优化减少使医院病床
的有效使用率增加。模型改进率达到18.11%。
问题五要求确定病床固定分配使人均等待时间最短。病床的分配使整个排队
系统变成了五个M/M/N模型，N 为各类病床的数量。根据排队论中M/M/1模型的
条件演化得到服务强度小于1及病床数固定不变。采取整数规划，在此限制条件
下使得平均等待时间最小。从而算出各类病床的分配比例。
关键词：M/M/S模型 泊松（Poisson ）分布 非线性规划 优化模型 病人满意度
病床有效利用率
一． 问题的重述
有某医院眼科门诊每天开放，住院部有病床79张。眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
白内障手术较简单且没有急症。目前只在周一、三做白内障手术，此类病人
的术前准备时间只需1、2天。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，第二天便会安排手术。
其他眼科疾病情况不同，住院后2-3天就可接受手术，但术后观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
医院眼科手术条件较充分，可不考虑手术条件的限制，但考虑到医生的安排
问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS 规则安排住院，但等待病人越来越
多。故要优化其模型
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型
的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知
的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利
用问题一中的指标体系做出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己何时能住院。能否根据当时住院
病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院
的手术时间安排是否应做出相应调整?
问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可
采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病
人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二． 模型条件的假设
1. 假设如有空床位，优先安排外伤病人；
2. 设有一患者当天出院，则立即可以安排另外的人入院；
3. 设定做白内障手术的两天不做其他手术；
4. 假设除了外伤无其他急症；
5. 白内障病人手术准备时间是1-2天的任意值，不是因人而异，青光眼和视网
膜疾病手术准备时间是2-3天的任意值。
三． 符号的定义及说明
1. B i ：各类患者从入院到手术所花费的平均时间（手术准备时间）；
2. θ1 θ2 θ3：分别为M 1 M2 M3的权值；
3. K 1i K2i ：分别表示第i 个病人在第一阶段的等待时间和该病人在术前住院时
间；
4. S ：某一天出院的病人数；
5. W ：等待病床的总人数；
6. W 1 W 2 W 3 W 4：分别等待病床的人中白双、白单、青光眼和视网膜疾病、外伤的
人数；
7. P (i,j)：第i 类第j 号的人；
8. M(i,j)：第i 类第j 号人的M ；
9. P k ：泊松分布中k 个病人到达的概率；
10. λ1λ2λ3 λ4λ5λ6：分别表示白双、白单、青光眼、视网膜疾病，外伤以及
出院人数的平均到达率；
11. P n (t)：时间t 内有n 个患者在排队的概率；
12. ρi ：各类病床系统的服务强度；
13. μi ：各类患者的平均服务率；
14. n1 n2 n3 n4 n5：五类病人各应该分配的病床数；
15. D1，D2：选择两天做白内障手术的星期数;
16. x1 x2 x3 x4 x5 x6 a1 a2 a3 a4 a5 a6:各种病情的等待人数及其系数
四． 模型的分析及求解
问题一：
1. 确定评价指标：
从病人和医院两方面对模型进行分析，病人方面以花费时间，住院费用和公
平性作为满意程度的指标，医院方面以病床利用率和病床有效利用率为作为评价
指标。同时还有一些客观条件有可能影响到评价指标，如所有病者是否一致对待
还是有优先考虑。
花费时间是指从门诊到出院的时间，费用则根据入院到出院的时间计算，公
平性是根据是否先门诊先入院来进行评判，床位利用率是指住有病人的床位与所
有床位的比，有效的床位利用是指床位上所住病人属于必须住院日期与所住的所
有日期的比，如白内障术前准备时间2-3天，术后恢复时间3-4天，超过此时间
则属于床位的无效利用，需要避免。
将患者就医分为三个过程：门诊到入院为第一阶段，入院到进行手术为第二
阶段，手术完毕到出院为第三阶段。得出如下评价指标可能的构成因素：
1. 第一阶段等待时间 2.第二阶段等待时间
第三阶段的住院时间
第二阶段准备时期费用
2. 2 第三阶段住院费用
手术费用
可能构成因素公平性
1.床位利用率
床位有效利用率
客观条件：1. 病者类别
对于患者：病好后立即出院，第三阶段住院时间与任意安排入院模型无关，
在模型中不予考虑。第三阶段住院费用取决于第三阶段住院时间，也不予考虑。
对于医院： 由于等待病人很多，假设不考虑留有外伤空床则使用率都可达
到100%，不再考虑。病床有效利用率是指病床所住病者是否属于必要住院期，
包括：术前准备时间，手术时间和术后康复期。
对于客观条件：由于外伤立即安排入院，其它病症急症不考虑，所以除外伤
外所有病例一致对待。
综上，评价标准的确实构成因素为 公平性
等待时间
评价标准
医院 滞留率
第一阶段越长，病人越不满意。计算门诊到住院所用的平均时间，用某
病的等待时间减去平均时间，故第一阶段不满意程度为：
M1=K1i-Pi
第二阶段，对不同病症，由统计数据算出入院到手术的平均术前准备时
间，超出平均时间越多， 满意率越低，且病床的合理利用率越低，故把第
二阶段评判标准抽象成滞留时间，表示为
0M 2=K2i -B i
FCFS 排队方法对病人的公平性为100%。而根据优化算法，把不公平性
M 3的值量化为：
M 3=逆序数/总人数
评价标准M 由M 1，M 2，M 3经过加权决定，设系数为θ1 θ2 θ3，有：
M=θ1M 1+θ2M 2 +θ3M 3
三个标准的权值，确定为病人和医院各为50%,公平性、等待时间和费用
的权值各为16.65%。可以得到θ1=0.1665，θ2=0.6665，θ3=0.1665 .
2. 对于FCF 模型的评价：
按照FCFS 规则安排住院，公平性达到100%，但有效床位利用率较低，
如第25，30，32号的白内障病例术前准备时间都达到7天，大大超过有效的
1-2天，导致住院时间达到13天，增加了病患的不必要费用。这是FCFS 规
则的缺点，不仅增大了病者的滞留率降低了床位的有效利用率，同时也降低
了病者的满意率。
问题二：
１. 标准的设立：
由于该模型是已知第二天模拟出院病人数S 与通过门诊在等待病床的人数W
确定第二天入院名单，其设置满足局部最优解，因此在模型建立时不考虑整个过
程的公平性，因此我们设立的标准为：
M=θ1M 1+θ2M 2
２. 模型的建立：
将等待病床的人数分为白内障双W 1、白内障单W 2，视网膜疾病和青光眼W 3和外伤W 4四类，每类病人都按照门诊的先后顺序进行排序。这样对每一个等待的
人P （i ，j ）都有一个对应的M(i,j)，（i ，j ）为有序实数对
M(i,j)= θ1M 1+θ2M 2
如图为随意挑选时间和编号对应的人及其M 值：
，j) 值较小的S 个，即
C为拥有S 个元素的集合
C=｛(i，j) ｝
St
∑M(i,j)最小 （(i,j)属于C ）
每天都可以做手术
周一 ,周三只做白内障手术
除周一，周三的其它天不做白内障手术
白内障双眼手术只能在周一做第一只眼睛，周三做第二只眼睛
4. 数据模拟，实验和测算
以原表作为前置条件，确定刚开始（7月13日）的床位情况。在此基础上对7月13后的排队情况重新进行模拟，模拟9月15日前可以入院的情况。新的排队顺序如附录一。
得到如下结果：
。. 问题三：
１. 模型建立和求解：
由第二问的模型，每天都可以模拟出第二天入住的人数，各类病人术前准备时间已知，可在病人入院时确定其手术时间。经统计，每类病人住院时间分布比较集中且具有一定的概率，因此我们可以由计算机按每类病者康复概率给与
病人一个术后恢复时间，由于是根据原本的概率进行选择，所以拟合程度很高。这样就可以模拟出相当长一段时间内的出入院人数的变化，并制成表格，在病人门诊是就可大致告诉病人入院时间。
我们根据原来的模型对一段时间内的出院变化进行模拟，并且预测入院情况。详情见附录二。
问题四：
若周六日不做手术，先设定医院仍在周一和周三进行白内障手术。根据第二问的标准我们对模型进行规划。
1. 模型建立与求解：
由于题目中写道白内障手术需要1，2天休息，如果手术不算休息，则白内障双眼两次手术中间应该间隔一天，这样满足的条件为：选择D1，D2
St
∑M(i,j)最小
周六周日不手术
D1 ,D2只做白内障手术
除D1，D2的其它三天不做白内障手术
白内障双眼手术D1做第一只眼睛，D2做第二只眼睛
D1与D2相隔一天
计算机编程得出在周三周五安排白内障手术可以使∑M(i,j)最小
由上表可以看出，如果周六周日不进行手术，则此时周三五进行白内障手术比周二和周四进行白内障手术更优，改进百分比达到18.11%。
问题五：
1. 问题分析：
对于题目所给FCF 模型，可以模拟成一个M/M/79的模型，来到门诊的人看作到达此模型，通过门诊未入院的病人看作正在等候的人，79个病床看作79个服务窗口，所有病人在一个队伍排队，任何窗口有空缺第一个人补上，按照表格一中所统计的数据，有ρ=0.9807
2. 模型的建立：
先来看M/M/1模型。在假设下，[0-t]内到达的病人数服从泊松（Poisson ）分布，即到达k 个病人的概率为P k =(λt) k e -λ t /k! ，并且有：[0-t]内到达病人
的平均数为λt, 即单位时间内到达病人的平均数为λ，称为平均到达率。λ1、λ2、λ3、λ4和λ5分别表示白内障双、白内障单、青光眼、视网膜疾病和外伤
的平均到达率。μ为每个患者需要住院的平均天数，即平均服务率。记在排队入院系统时刻t 内有n 个患者在排队的概率是P n (t),以类似随机性人口模型建立
P n (t)方程。患者进入系统相当于出生，离开系统相当于死亡。按照MM1模型，
于是可以得到：
d Pn (t)/dt=λP n-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ+μ) Pn (t)
d P0(t)/dt=μP 1(t)-λP 0(t)
在稳态状态中，P n (t)与t 无关，故上式可以化为
P
n-1
(t)+μ Pn+1(t)-(λ+μ) Pn (t)=0
P 1(t)-λP 0n =(λ/μ) n P 0 （1）
由于应该满足
Σ Pn =1 （2）
可以推出，在每一个M/M/N模型中，得出必须条件服务强度ρ必须满足下式，否则队伍在不增加病床的前提下随时间推移会排至无限远。
ρ=λi /(μi n i )
姑且设病床数目是不可改变的，五类病人（白内障双、白内障单、青光眼、视网膜疾病和外伤）的病床数目分别为n1、n2、n3、n4和n5，它们应该满足下式：
n1+n2+n3+n4+n5=79 (4) 条件（3）下，由（1）（2）得出平均等待时间为：
Ti =ρi /λi (1-ρi )=1/(nμi -λi )
(5)
综合上式条件，我们可以建立优化模型
求n1、n2、n3、n4、n5
St
ρ=λi /(μi n i )
n1+n2+n3+n4+n5=79
min ΣT i
3. 数据模拟，实验和测算：
1）根据医院FCF 模型下统计的数据（如表格一），约束条件无法满足，即无法满足所有的M/M/ni对应的ρ都小于1，必有一些队伍会越排越长。 表格一：FCF 模型下μ和λ的值
2）根据问题二模型下统计的数据（如表格二），约束条件可以满足，符合条件的分配方式为：n1=6, n2=16, n3=12, n4=37, n5=8
在第五问中我们用到了排队模型，对于FCF 模型来说，如果不实行床位分类管理，可以满足服务强度ρ小于1的条件，可以满足队长基本保持不变的要求，但是如果实现床位分类管理，即将一个M/M/79分成5个M/M/ni进行排队，则无法满足所有ρ小于1的条件，这是因为5个M/M/ni的效率小于一个M/M/79，这也符合M/M/S中2个M/M/1的服务率小于一个M/M/2的服务率的理论。由我们计算得，按照FCF 模型，且床位分类分配的原则，至少安排82张床才能满足所有ρ小于1的条件，所以如果按照FCF 模型，且分类来便捷管理，至少再多增加3张床位。
五．参考资料
[1] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年。
[2]费浦生 弈旭明，数学建模及其基础知识详解，武昌：武汉大学出版社，2007年。
[3]谢金星 薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005年 。
[4]孟玉珂，排队论基础及其应用，上海：上海翻译出版公司，1987年。
[5]王浩华 刘次华，二状态到达的离散时间排队系统模型，统计与决策，2006，9-11-12 。
基于M/M/S排队论的病床安排模型
（获２００９年大学生数学建模赛全国二等奖）
数学与计算科学学院 雷蕾
信息科学与计算学院 黄缨宁
信息科学与计算学院 丁炜杰
指导老师：王其如 教授
摘要
就医排队是一种我们非常熟悉的现象。在眼科医院的病床安排中，主要从医
院高效工作和患者满意度两方面来考虑安排方法。本文通过确定两方面的权重，
确立评价标准。
针对问题二，本文确定了从医院和患者两方面综合考虑的目标函数，医院各
种诊疗规则的限制下进行线性规划，使得目标函数值（背离度）最小，得到问题
二的解决方案。用问题一的标准评价，确实优于医院的FCFS 模型。
问题三中对每一类病人术后恢复时间做统计，由计算机按照概率给出术后恢
复的时间，运用第二问模型的选择方式，对近一段时间内的出入院人数作出合理
预测，并根据M 的排序确定患者入院的时间区间。
对于问题四，先确立白内障双眼手术的方案（调查支持可以任意不同两天手
术），按照问题二的算法，先算出周二四做白内障手术的最小M 值及入院前等待
时间和术前等待时间。用计算机模拟出在手术时间可调整情况下M 可能的最小
值，得到周三五为最佳手术时间。尤其术前人均等待时间的优化减少使医院病床
的有效使用率增加。模型改进率达到18.11%。
问题五要求确定病床固定分配使人均等待时间最短。病床的分配使整个排队
系统变成了五个M/M/N模型，N 为各类病床的数量。根据排队论中M/M/1模型的
条件演化得到服务强度小于1及病床数固定不变。采取整数规划，在此限制条件
下使得平均等待时间最小。从而算出各类病床的分配比例。
关键词：M/M/S模型 泊松（Poisson ）分布 非线性规划 优化模型 病人满意度
病床有效利用率
一． 问题的重述
有某医院眼科门诊每天开放，住院部有病床79张。眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
白内障手术较简单且没有急症。目前只在周一、三做白内障手术，此类病人
的术前准备时间只需1、2天。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，第二天便会安排手术。
其他眼科疾病情况不同，住院后2-3天就可接受手术，但术后观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
医院眼科手术条件较充分，可不考虑手术条件的限制，但考虑到医生的安排
问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS 规则安排住院，但等待病人越来越
多。故要优化其模型
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型
的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知
的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利
用问题一中的指标体系做出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己何时能住院。能否根据当时住院
病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院
的手术时间安排是否应做出相应调整?
问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可
采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病
人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二． 模型条件的假设
1. 假设如有空床位，优先安排外伤病人；
2. 设有一患者当天出院，则立即可以安排另外的人入院；
3. 设定做白内障手术的两天不做其他手术；
4. 假设除了外伤无其他急症；
5. 白内障病人手术准备时间是1-2天的任意值，不是因人而异，青光眼和视网
膜疾病手术准备时间是2-3天的任意值。
三． 符号的定义及说明
1. B i ：各类患者从入院到手术所花费的平均时间（手术准备时间）；
2. θ1 θ2 θ3：分别为M 1 M2 M3的权值；
3. K 1i K2i ：分别表示第i 个病人在第一阶段的等待时间和该病人在术前住院时
间；
4. S ：某一天出院的病人数；
5. W ：等待病床的总人数；
6. W 1 W 2 W 3 W 4：分别等待病床的人中白双、白单、青光眼和视网膜疾病、外伤的
人数；
7. P (i,j)：第i 类第j 号的人；
8. M(i,j)：第i 类第j 号人的M ；
9. P k ：泊松分布中k 个病人到达的概率；
10. λ1λ2λ3 λ4λ5λ6：分别表示白双、白单、青光眼、视网膜疾病，外伤以及
出院人数的平均到达率；
11. P n (t)：时间t 内有n 个患者在排队的概率；
12. ρi ：各类病床系统的服务强度；
13. μi ：各类患者的平均服务率；
14. n1 n2 n3 n4 n5：五类病人各应该分配的病床数；
15. D1，D2：选择两天做白内障手术的星期数;
16. x1 x2 x3 x4 x5 x6 a1 a2 a3 a4 a5 a6:各种病情的等待人数及其系数
四． 模型的分析及求解
问题一：
1. 确定评价指标：
从病人和医院两方面对模型进行分析，病人方面以花费时间，住院费用和公
平性作为满意程度的指标，医院方面以病床利用率和病床有效利用率为作为评价
指标。同时还有一些客观条件有可能影响到评价指标，如所有病者是否一致对待
还是有优先考虑。
花费时间是指从门诊到出院的时间，费用则根据入院到出院的时间计算，公
平性是根据是否先门诊先入院来进行评判，床位利用率是指住有病人的床位与所
有床位的比，有效的床位利用是指床位上所住病人属于必须住院日期与所住的所
有日期的比，如白内障术前准备时间2-3天，术后恢复时间3-4天，超过此时间
则属于床位的无效利用，需要避免。
将患者就医分为三个过程：门诊到入院为第一阶段，入院到进行手术为第二
阶段，手术完毕到出院为第三阶段。得出如下评价指标可能的构成因素：
1. 第一阶段等待时间 2.第二阶段等待时间
第三阶段的住院时间
第二阶段准备时期费用
2. 2 第三阶段住院费用
手术费用
可能构成因素公平性
1.床位利用率
床位有效利用率
客观条件：1. 病者类别
对于患者：病好后立即出院，第三阶段住院时间与任意安排入院模型无关，
在模型中不予考虑。第三阶段住院费用取决于第三阶段住院时间，也不予考虑。
对于医院： 由于等待病人很多，假设不考虑留有外伤空床则使用率都可达
到100%，不再考虑。病床有效利用率是指病床所住病者是否属于必要住院期，
包括：术前准备时间，手术时间和术后康复期。
对于客观条件：由于外伤立即安排入院，其它病症急症不考虑，所以除外伤
外所有病例一致对待。
综上，评价标准的确实构成因素为 公平性
等待时间
评价标准
医院 滞留率
第一阶段越长，病人越不满意。计算门诊到住院所用的平均时间，用某
病的等待时间减去平均时间，故第一阶段不满意程度为：
M1=K1i-Pi
第二阶段，对不同病症，由统计数据算出入院到手术的平均术前准备时
间，超出平均时间越多， 满意率越低，且病床的合理利用率越低，故把第
二阶段评判标准抽象成滞留时间，表示为
0M 2=K2i -B i
FCFS 排队方法对病人的公平性为100%。而根据优化算法，把不公平性
M 3的值量化为：
M 3=逆序数/总人数
评价标准M 由M 1，M 2，M 3经过加权决定，设系数为θ1 θ2 θ3，有：
M=θ1M 1+θ2M 2 +θ3M 3
三个标准的权值，确定为病人和医院各为50%,公平性、等待时间和费用
的权值各为16.65%。可以得到θ1=0.1665，θ2=0.6665，θ3=0.1665 .
2. 对于FCF 模型的评价：
按照FCFS 规则安排住院，公平性达到100%，但有效床位利用率较低，
如第25，30，32号的白内障病例术前准备时间都达到7天，大大超过有效的
1-2天，导致住院时间达到13天，增加了病患的不必要费用。这是FCFS 规
则的缺点，不仅增大了病者的滞留率降低了床位的有效利用率，同时也降低
了病者的满意率。
问题二：
１. 标准的设立：
由于该模型是已知第二天模拟出院病人数S 与通过门诊在等待病床的人数W
确定第二天入院名单，其设置满足局部最优解，因此在模型建立时不考虑整个过
程的公平性，因此我们设立的标准为：
M=θ1M 1+θ2M 2
２. 模型的建立：
将等待病床的人数分为白内障双W 1、白内障单W 2，视网膜疾病和青光眼W 3和外伤W 4四类，每类病人都按照门诊的先后顺序进行排序。这样对每一个等待的
人P （i ，j ）都有一个对应的M(i,j)，（i ，j ）为有序实数对
M(i,j)= θ1M 1+θ2M 2
如图为随意挑选时间和编号对应的人及其M 值：
，j) 值较小的S 个，即
C为拥有S 个元素的集合
C=｛(i，j) ｝
St
∑M(i,j)最小 （(i,j)属于C ）
每天都可以做手术
周一 ,周三只做白内障手术
除周一，周三的其它天不做白内障手术
白内障双眼手术只能在周一做第一只眼睛，周三做第二只眼睛
4. 数据模拟，实验和测算
以原表作为前置条件，确定刚开始（7月13日）的床位情况。在此基础上对7月13后的排队情况重新进行模拟，模拟9月15日前可以入院的情况。新的排队顺序如附录一。
得到如下结果：
。. 问题三：
１. 模型建立和求解：
由第二问的模型，每天都可以模拟出第二天入住的人数，各类病人术前准备时间已知，可在病人入院时确定其手术时间。经统计，每类病人住院时间分布比较集中且具有一定的概率，因此我们可以由计算机按每类病者康复概率给与
病人一个术后恢复时间，由于是根据原本的概率进行选择，所以拟合程度很高。这样就可以模拟出相当长一段时间内的出入院人数的变化，并制成表格，在病人门诊是就可大致告诉病人入院时间。
我们根据原来的模型对一段时间内的出院变化进行模拟，并且预测入院情况。详情见附录二。
问题四：
若周六日不做手术，先设定医院仍在周一和周三进行白内障手术。根据第二问的标准我们对模型进行规划。
1. 模型建立与求解：
由于题目中写道白内障手术需要1，2天休息，如果手术不算休息，则白内障双眼两次手术中间应该间隔一天，这样满足的条件为：选择D1，D2
St
∑M(i,j)最小
周六周日不手术
D1 ,D2只做白内障手术
除D1，D2的其它三天不做白内障手术
白内障双眼手术D1做第一只眼睛，D2做第二只眼睛
D1与D2相隔一天
计算机编程得出在周三周五安排白内障手术可以使∑M(i,j)最小
由上表可以看出，如果周六周日不进行手术，则此时周三五进行白内障手术比周二和周四进行白内障手术更优，改进百分比达到18.11%。
问题五：
1. 问题分析：
对于题目所给FCF 模型，可以模拟成一个M/M/79的模型，来到门诊的人看作到达此模型，通过门诊未入院的病人看作正在等候的人，79个病床看作79个服务窗口，所有病人在一个队伍排队，任何窗口有空缺第一个人补上，按照表格一中所统计的数据，有ρ=0.9807
2. 模型的建立：
先来看M/M/1模型。在假设下，[0-t]内到达的病人数服从泊松（Poisson ）分布，即到达k 个病人的概率为P k =(λt) k e -λ t /k! ，并且有：[0-t]内到达病人
的平均数为λt, 即单位时间内到达病人的平均数为λ，称为平均到达率。λ1、λ2、λ3、λ4和λ5分别表示白内障双、白内障单、青光眼、视网膜疾病和外伤
的平均到达率。μ为每个患者需要住院的平均天数，即平均服务率。记在排队入院系统时刻t 内有n 个患者在排队的概率是P n (t),以类似随机性人口模型建立
P n (t)方程。患者进入系统相当于出生，离开系统相当于死亡。按照MM1模型，
于是可以得到：
d Pn (t)/dt=λP n-1(t)+μ Pn+1(t)-(λ+μ) Pn (t)
d P0(t)/dt=μP 1(t)-λP 0(t)
在稳态状态中，P n (t)与t 无关，故上式可以化为
P
n-1
(t)+μ Pn+1(t)-(λ+μ) Pn (t)=0
P 1(t)-λP 0n =(λ/μ) n P 0 （1）
由于应该满足
Σ Pn =1 （2）
可以推出，在每一个M/M/N模型中，得出必须条件服务强度ρ必须满足下式，否则队伍在不增加病床的前提下随时间推移会排至无限远。
ρ=λi /(μi n i )
姑且设病床数目是不可改变的，五类病人（白内障双、白内障单、青光眼、视网膜疾病和外伤）的病床数目分别为n1、n2、n3、n4和n5，它们应该满足下式：
n1+n2+n3+n4+n5=79 (4) 条件（3）下，由（1）（2）得出平均等待时间为：
Ti =ρi /λi (1-ρi )=1/(nμi -λi )
(5)
综合上式条件，我们可以建立优化模型
求n1、n2、n3、n4、n5
St
ρ=λi /(μi n i )
n1+n2+n3+n4+n5=79
min ΣT i
3. 数据模拟，实验和测算：
1）根据医院FCF 模型下统计的数据（如表格一），约束条件无法满足，即无法满足所有的M/M/ni对应的ρ都小于1，必有一些队伍会越排越长。 表格一：FCF 模型下μ和λ的值
2）根据问题二模型下统计的数据（如表格二），约束条件可以满足，符合条件的分配方式为：n1=6, n2=16, n3=12, n4=37, n5=8
在第五问中我们用到了排队模型，对于FCF 模型来说，如果不实行床位分类管理，可以满足服务强度ρ小于1的条件，可以满足队长基本保持不变的要求，但是如果实现床位分类管理，即将一个M/M/79分成5个M/M/ni进行排队，则无法满足所有ρ小于1的条件，这是因为5个M/M/ni的效率小于一个M/M/79，这也符合M/M/S中2个M/M/1的服务率小于一个M/M/2的服务率的理论。由我们计算得，按照FCF 模型，且床位分类分配的原则，至少安排82张床才能满足所有ρ小于1的条件，所以如果按照FCF 模型，且分类来便捷管理，至少再多增加3张床位。
五．参考资料
[1] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年。
[2]费浦生 弈旭明，数学建模及其基础知识详解，武昌：武汉大学出版社，2007年。
[3]谢金星 薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005年 。
[4]孟玉珂，排队论基础及其应用，上海：上海翻译出版公司，1987年。
[5]王浩华 刘次华，二状态到达的离散时间排队系统模型，统计与决策，2006，9-11-12 。