浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
近日在带领学生复习《圆的方程》一章时,遇到这样一个问题:已知圆的方程为x2+y2=25,求过点(3,4)的圆的切线方程 。本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案:3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题,是高考的考点,也是平时学习的重点,求圆的切线过程比较复杂,运算麻烦,所以容易出错,是学生比较头疼的一个问题,在求圆的切线问题中有两种情况,一种是求过圆外一点求圆的切线,另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题,本人对第二种情况进行了归纳、推导,得出快速求解的方法,此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义,故介绍如下。
设圆的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r2,经过圆上一点(x0,y0)的切线方程是什么?,我们把圆的方程写成(x-a )(x-a )+(y-b ) (y-b )=r2形式,把其中一个x 换成 x0,一个y 换成y0,则得到(x0-a )(x-a )+( y0-b ) (y-b )=r2,然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径,学生可应用此法快速解决选择题,填空题,或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法的特点是速度快,不易错,容易上手。
下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导:先从简单情况入手,当a=0,b=0时,那么圆的圆心在原点上,圆的方程为x2+y2= r2,设点(x0,y0)在圆上,如上图所示,那么经过这个点的直径与切线互相垂直,两者斜率互为负倒数即K 直径=y0/ x0,
K 切线=—x 0/ y 0,又因为切线过点(x0,y0),根据点斜式直线方程得:
(y — y0)=—x 0/ y 0(x — x0),整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02,由于点(x0,y0)在圆上且圆心在原点,所以x02+ y 02=r2,由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2,即我们所讨论的方法的特殊形式(圆心在原点)。在此基础上,我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法,设圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r2,求经过圆上一点(x0,y0)的切线方程,我们以(a ,b )为坐标原点建立新坐标系x ‘o ‘y ‘,新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x ‘=x-a,y ‘=y-b,则(x0,y0)在新坐标系中的坐标为(x0‘,y0‘),x0‘=x0-a,y0‘=y0-b,在新坐标系中圆的方程为x ‘2+y‘2= r2,根据第一种情况推导出结论:经过(x0‘,y0‘)点的切线方程为x0‘x ‘+y0‘y ‘= r2,然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为(x0-a )(x-a )+(y0-b ) (y-b )=r2。
以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直,通过垂直直线间的斜率关系K1K2=-1可以得到切线的斜率,然后应用点斜式求解直线方程,第二种情况是在第一种情况的基础上,借助坐标变换得出的,在新坐标系中构建出第一种情况的模型,然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中,这种方法化简了推导过程,解决了运算的困难,取得深入浅出的效果。
浅谈过圆上一点求圆的切线的方法
近日在带领学生复习《圆的方程》一章时,遇到这样一个问题:已知圆的方程为x2+y2=25,求过点(3,4)的圆的切线方程 。本人通过一种简易的方法通过口算即得出答案:3x+4y-25=0.求解圆的切线方程的问题,是高考的考点,也是平时学习的重点,求圆的切线过程比较复杂,运算麻烦,所以容易出错,是学生比较头疼的一个问题,在求圆的切线问题中有两种情况,一种是求过圆外一点求圆的切线,另一种种情况是求经过圆上一点求圆的切线方程问题,本人对第二种情况进行了归纳、推导,得出快速求解的方法,此方法针对高三学生应对高考中此类问题有实际意义,故介绍如下。
设圆的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r2,经过圆上一点(x0,y0)的切线方程是什么?,我们把圆的方程写成(x-a )(x-a )+(y-b ) (y-b )=r2形式,把其中一个x 换成 x0,一个y 换成y0,则得到(x0-a )(x-a )+( y0-b ) (y-b )=r2,然后整理成直线方程的一般形式即得到所求切线的方程。此法在学生高考中快速解决求圆上点的切线问题提供了一个途径,学生可应用此法快速解决选择题,填空题,或者用它来检验分析解答题的答案是否正确。此方法的特点是速度快,不易错,容易上手。
下面就上面介绍的方法的理论依据进行推导:先从简单情况入手,当a=0,b=0时,那么圆的圆心在原点上,圆的方程为x2+y2= r2,设点(x0,y0)在圆上,如上图所示,那么经过这个点的直径与切线互相垂直,两者斜率互为负倒数即K 直径=y0/ x0,
K 切线=—x 0/ y 0,又因为切线过点(x0,y0),根据点斜式直线方程得:
(y — y0)=—x 0/ y 0(x — x0),整理得方程x0 x+ y0 y=x02+ y 02,由于点(x0,y0)在圆上且圆心在原点,所以x02+ y 02=r2,由此我们得到所求切线方程为x0 x+ y0 y=r2,即我们所讨论的方法的特殊形式(圆心在原点)。在此基础上,我们又推想圆心不在原点的圆的切线方程的推导方法,设圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r2,求经过圆上一点(x0,y0)的切线方程,我们以(a ,b )为坐标原点建立新坐标系x ‘o ‘y ‘,新坐标系与原坐标系的坐标之间关系为x ‘=x-a,y ‘=y-b,则(x0,y0)在新坐标系中的坐标为(x0‘,y0‘),x0‘=x0-a,y0‘=y0-b,在新坐标系中圆的方程为x ‘2+y‘2= r2,根据第一种情况推导出结论:经过(x0‘,y0‘)点的切线方程为x0‘x ‘+y0‘y ‘= r2,然后根据坐标之间的关系转换到原坐标系方程为(x0-a )(x-a )+(y0-b ) (y-b )=r2。
以上推导方法的原理为过圆上点的切线与过该点的直径互相垂直,通过垂直直线间的斜率关系K1K2=-1可以得到切线的斜率,然后应用点斜式求解直线方程,第二种情况是在第一种情况的基础上,借助坐标变换得出的,在新坐标系中构建出第一种情况的模型,然后利用坐标变换还原到原来的坐标系中,这种方法化简了推导过程,解决了运算的困难,取得深入浅出的效果。