各种弹簧振子的周期研究及其求解方法 上海大学09级自强学院 朱小强
摘要：
在高中和大学间断的学习过程中，我们接触到很多关于简谐运动的周期求解的有关问题，而且对于不同情况下的简谐运动的周期求解有着不同的方法。笔者在接触了几种情况下的简谐运动后，发现一些求解周期问题的一般性方法，其中主要包括三种：利用纯数学运算的方法求解、利用能量守恒的方法求解、利用运动学的方法求解。在这几种方法里面，利用的较为普遍也较为简单的方法是利用能量守恒的方法，其他的方法可能在一定程度上比较复杂一点，不过也可以求解。当然，关于本文中的部分周期求解结果有着不同的意见，可能是因为前提假设不同，所以求解的结果会有所不同。
关键词：弹簧阵子 周期 能量守恒 简谐运动
在高中和大学的物理学习过程中，我们会接触到很多的关于弹簧振子的问题。在大学的物理学习过程中，我们所了解到的主要有两种弹簧振子：水平放置的和竖直放置的振子
我们在学习的过程中主要讨论的问题是围绕着振子所做的简谐运动的位移表达式展开，比如说我们经常会求物体在某位移处的速度，或者是当速度为某值时所对应的位移，或者是求解有关能量的转换守恒。但是真正在关于各种弹簧振子的周期的推倒上并没有下很多的笔墨。本文主要讨论几种情况下的弹簧振子的周期求解方法：①轻弹簧水平运动的情况；②轻弹簧竖直运动的情况；③一般情况下弹簧水平运动的情况；④一般情况下弹簧竖直运动的情况；⑤单摆的周期求解。
1． 轻弹簧水平运动
设物体的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，物体做简谐运动的周期为T ，初相位为，角速度为，则对于该系统周期的求法比较简单，可以有以下方法： ① 公式法：物体做简谐运动的位移随时间变化的关系式为：
x =A cos(ωt +ϕ)
对时间求导有：
v =-A ωsin(ωt +ϕ)
再次对时间求导有：
a =-A ω2cos(ωt +ϕ)
由简谐运动的特征方程有：
F =-kx =m a a =-
k x m
由以上方程可得：
-A ω2cos(ωt +ϕ) =-
k
A cos(ωt +ϕ) m
ω=
所以，可以得到：
k m
T =2π
m k
② 能量守恒：物体在运动过程中能量守恒，所以应有：
1dx 21
m () +k (dx ) 2=C 2dt 2
在方程两边同时对时间求导：
dx d 2x dx m +kdx =02
dt dt dt
2
d x
m 2+kdx =0dt
求解微分方程的解可以得到：
x =A cos(ωt +ϕ)
k m
ω=
所以，所求周期为
T =
2π
ω
m k
③ 运动学方法：利用牛顿运动学公式和牛顿定律求解：
=2π
在物体运动的过程中的某一时刻的速度为v 0，在接下来的ΔX 中认为其加速度不变，为a ，由运动学公式有：
v 0t +
12
at =∆x 2
dx dt
对方程两边求导有：
v 0+at =
再次求导，有：
d 2x a =2
dt
再由牛顿第二定律，有：
F =m a =-kx k a =-x
m
将此式代入上述的方程，有：
k d 2x -x =2m dt
2
d x k
+x =02
m dt
由此式可知，其周期为：
T =2π
m
k
2． 轻弹簧竖直运动的情况
关于轻弹簧在竖直方向上的运动情况，类似于弹簧在水平方向上的运动，只是再平衡位置的选取上有所差别。
设物体的劲度系数为k ，物体质量为m 。在竖直方向上，取物体静止时的位置为平衡位置。此时弹簧伸长的长度为x0，满足关系式：
kx 0=mg
在做简谐运动时，在物体运动的任一位移位置x ，满足：
k (x -x 0) =-ma
关于其周期的求法也有多种方法，下面只介绍一种能量守恒法，其余方法可以借鉴轻弹簧水平运动的情况。
取物体处于平衡位置时的水平面为零势能参考平面。对于弹簧振子运动的某一位置，系统能量守恒，所以有：
1dx 21
m () -mgx +k (x +x 0) 2=C
2dt 2
mg =kx 0
由上述两式可得：
1dx 21212
m () +kx +kx 0=C 2dt 22
对方称两边对于时间求导，有：
d 2x
m 2+kx =0 dt
解微分方程可得：
x =A cos(ωt +ϕ)
其中
ω=
k
m
所以，所求的简谐运动的周期为：
T =2π
m k
3． 一般情况下弹簧水平运动时的情况
在上面的情况下，并没有考虑弹簧的质量对于周期求解的影响。而在现实情况下，弹簧的质量往往对周期有一定的影响。
设水平方向运动的物体质量为m ，弹簧质量为m0，劲度系数为k 。利用能量守恒的方法求解周期。
对于弹簧本身在运动时的动能表达，假定弹簧各截面的位移按线性规律变
dy dx m =λ=0
l +x ，则： 化，在弹簧上取一小段长度dy ，则应有y l +x 。设定
对于该段长度上的动能微量为：
1dy 1y dx 2
dE k =dm () 2=λdy ()
2dt 2l +x dt
则在总的长度上弹簧的总动量为：
E k =⎰
l +x 0
m dx 1y dx 2
λ() dy =0() 2 2l +x dt 6dt
在物体运动的任意位置，有：
1dx 212m 0dx 2
m () +kx +() =C 2dt 26dt
对于方程两边对时间求导，有：
m 0d 2x
(m +)(2) +kx =0
3dt
解微分方程解为：
x =A cos(ωt +ϕ)
ω=
k m +
m 03
所以，所求的周期为：
m +
T =2π
k m 0
4． 一般情况下竖直方向上弹簧振子的情况
同样利用能量守恒的方法，可以求得该种情况下的周期。假设弹簧各截面随位移做线性变化，同理可以知道在这种情况下弹簧的动能为：
E k =
m 0dx 2
() 6dt
利用能量守恒方法，可以得到下面的方程：
1dx 2m 0dx 211m () +() +k (x +x 0) 2-mgx -m 0gx =C 2dt 6dt 22mg =kx 0
整理，得：
1dx 2m 0dx 212121m () +() +kx +kx 0-m 0gx =C 2dt 6dt 222
在方程两边对时间求导，得到方程：
m 0d 2x
(m +)() +kx =C 2
3dt 2
解微分方程可以得知，做简谐运动的角速度为：
ω=
m 0
k C 2=-g m 0m 0
m +m +
33
所以其周期为：
m +
T =2π
k m 0
5． 单摆的周期求解
在单摆偏离平衡位置的角度小于5°的情况下，物体所做的运动近似为简谐运动，因此其运动的情况可以用上述方法进行求解。
同样利用能量守恒的方法进行求解，去物体在平衡位置的重力势能零。则在物体运动的过程中的任意位置，设物体的质量为m ，摆线的长度为L ，应有：
1ds 2
m () +m gl (1-cos α) =C 2dt
s α=
l
对于方程两边求导，可以得：
d 2s
m 2+mg sin α=0 dt
由于
sin α≈α
成立，所以上述方程可以整理成：
d 2s s
+g =0 2
l dt
解微分方程可得，单摆简谐运动的角速度为：
ω=
所以简谐运动的周期为：
g l
T =2π
l g
周期求解就说到这里，这里面列举了五种情况下的周期的求解方法。一共有三种思想：数学思想、能量守恒思想、运动学思想。在其他的一些情况下，比如说球在一个半圆形的槽里面做小幅度的来回运动时，就可以将其近似看成是单摆的情况下来求解。类似的问题，注意的是相关的思想的灵活应用。
参考文献： ① 周俊敏，王玉梅 ，弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨[J].河南：周口师范学院报，
2009.09 , 第26卷第5期。
各种弹簧振子的周期研究及其求解方法 上海大学09级自强学院 朱小强
摘要：
在高中和大学间断的学习过程中，我们接触到很多关于简谐运动的周期求解的有关问题，而且对于不同情况下的简谐运动的周期求解有着不同的方法。笔者在接触了几种情况下的简谐运动后，发现一些求解周期问题的一般性方法，其中主要包括三种：利用纯数学运算的方法求解、利用能量守恒的方法求解、利用运动学的方法求解。在这几种方法里面，利用的较为普遍也较为简单的方法是利用能量守恒的方法，其他的方法可能在一定程度上比较复杂一点，不过也可以求解。当然，关于本文中的部分周期求解结果有着不同的意见，可能是因为前提假设不同，所以求解的结果会有所不同。
关键词：弹簧阵子 周期 能量守恒 简谐运动
在高中和大学的物理学习过程中，我们会接触到很多的关于弹簧振子的问题。在大学的物理学习过程中，我们所了解到的主要有两种弹簧振子：水平放置的和竖直放置的振子
我们在学习的过程中主要讨论的问题是围绕着振子所做的简谐运动的位移表达式展开，比如说我们经常会求物体在某位移处的速度，或者是当速度为某值时所对应的位移，或者是求解有关能量的转换守恒。但是真正在关于各种弹簧振子的周期的推倒上并没有下很多的笔墨。本文主要讨论几种情况下的弹簧振子的周期求解方法：①轻弹簧水平运动的情况；②轻弹簧竖直运动的情况；③一般情况下弹簧水平运动的情况；④一般情况下弹簧竖直运动的情况；⑤单摆的周期求解。
1． 轻弹簧水平运动
设物体的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，物体做简谐运动的周期为T ，初相位为，角速度为，则对于该系统周期的求法比较简单，可以有以下方法： ① 公式法：物体做简谐运动的位移随时间变化的关系式为：
x =A cos(ωt +ϕ)
对时间求导有：
v =-A ωsin(ωt +ϕ)
再次对时间求导有：
a =-A ω2cos(ωt +ϕ)
由简谐运动的特征方程有：
F =-kx =m a a =-
k x m
由以上方程可得：
-A ω2cos(ωt +ϕ) =-
k
A cos(ωt +ϕ) m
ω=
所以，可以得到：
k m
T =2π
m k
② 能量守恒：物体在运动过程中能量守恒，所以应有：
1dx 21
m () +k (dx ) 2=C 2dt 2
在方程两边同时对时间求导：
dx d 2x dx m +kdx =02
dt dt dt
2
d x
m 2+kdx =0dt
求解微分方程的解可以得到：
x =A cos(ωt +ϕ)
k m
ω=
所以，所求周期为
T =
2π
ω
m k
③ 运动学方法：利用牛顿运动学公式和牛顿定律求解：
=2π
在物体运动的过程中的某一时刻的速度为v 0，在接下来的ΔX 中认为其加速度不变，为a ，由运动学公式有：
v 0t +
12
at =∆x 2
dx dt
对方程两边求导有：
v 0+at =
再次求导，有：
d 2x a =2
dt
再由牛顿第二定律，有：
F =m a =-kx k a =-x
m
将此式代入上述的方程，有：
k d 2x -x =2m dt
2
d x k
+x =02
m dt
由此式可知，其周期为：
T =2π
m
k
2． 轻弹簧竖直运动的情况
关于轻弹簧在竖直方向上的运动情况，类似于弹簧在水平方向上的运动，只是再平衡位置的选取上有所差别。
设物体的劲度系数为k ，物体质量为m 。在竖直方向上，取物体静止时的位置为平衡位置。此时弹簧伸长的长度为x0，满足关系式：
kx 0=mg
在做简谐运动时，在物体运动的任一位移位置x ，满足：
k (x -x 0) =-ma
关于其周期的求法也有多种方法，下面只介绍一种能量守恒法，其余方法可以借鉴轻弹簧水平运动的情况。
取物体处于平衡位置时的水平面为零势能参考平面。对于弹簧振子运动的某一位置，系统能量守恒，所以有：
1dx 21
m () -mgx +k (x +x 0) 2=C
2dt 2
mg =kx 0
由上述两式可得：
1dx 21212
m () +kx +kx 0=C 2dt 22
对方称两边对于时间求导，有：
d 2x
m 2+kx =0 dt
解微分方程可得：
x =A cos(ωt +ϕ)
其中
ω=
k
m
所以，所求的简谐运动的周期为：
T =2π
m k
3． 一般情况下弹簧水平运动时的情况
在上面的情况下，并没有考虑弹簧的质量对于周期求解的影响。而在现实情况下，弹簧的质量往往对周期有一定的影响。
设水平方向运动的物体质量为m ，弹簧质量为m0，劲度系数为k 。利用能量守恒的方法求解周期。
对于弹簧本身在运动时的动能表达，假定弹簧各截面的位移按线性规律变
dy dx m =λ=0
l +x ，则： 化，在弹簧上取一小段长度dy ，则应有y l +x 。设定
对于该段长度上的动能微量为：
1dy 1y dx 2
dE k =dm () 2=λdy ()
2dt 2l +x dt
则在总的长度上弹簧的总动量为：
E k =⎰
l +x 0
m dx 1y dx 2
λ() dy =0() 2 2l +x dt 6dt
在物体运动的任意位置，有：
1dx 212m 0dx 2
m () +kx +() =C 2dt 26dt
对于方程两边对时间求导，有：
m 0d 2x
(m +)(2) +kx =0
3dt
解微分方程解为：
x =A cos(ωt +ϕ)
ω=
k m +
m 03
所以，所求的周期为：
m +
T =2π
k m 0
4． 一般情况下竖直方向上弹簧振子的情况
同样利用能量守恒的方法，可以求得该种情况下的周期。假设弹簧各截面随位移做线性变化，同理可以知道在这种情况下弹簧的动能为：
E k =
m 0dx 2
() 6dt
利用能量守恒方法，可以得到下面的方程：
1dx 2m 0dx 211m () +() +k (x +x 0) 2-mgx -m 0gx =C 2dt 6dt 22mg =kx 0
整理，得：
1dx 2m 0dx 212121m () +() +kx +kx 0-m 0gx =C 2dt 6dt 222
在方程两边对时间求导，得到方程：
m 0d 2x
(m +)() +kx =C 2
3dt 2
解微分方程可以得知，做简谐运动的角速度为：
ω=
m 0
k C 2=-g m 0m 0
m +m +
33
所以其周期为：
m +
T =2π
k m 0
5． 单摆的周期求解
在单摆偏离平衡位置的角度小于5°的情况下，物体所做的运动近似为简谐运动，因此其运动的情况可以用上述方法进行求解。
同样利用能量守恒的方法进行求解，去物体在平衡位置的重力势能零。则在物体运动的过程中的任意位置，设物体的质量为m ，摆线的长度为L ，应有：
1ds 2
m () +m gl (1-cos α) =C 2dt
s α=
l
对于方程两边求导，可以得：
d 2s
m 2+mg sin α=0 dt
由于
sin α≈α
成立，所以上述方程可以整理成：
d 2s s
+g =0 2
l dt
解微分方程可得，单摆简谐运动的角速度为：
ω=
所以简谐运动的周期为：
g l
T =2π
l g
周期求解就说到这里，这里面列举了五种情况下的周期的求解方法。一共有三种思想：数学思想、能量守恒思想、运动学思想。在其他的一些情况下，比如说球在一个半圆形的槽里面做小幅度的来回运动时，就可以将其近似看成是单摆的情况下来求解。类似的问题，注意的是相关的思想的灵活应用。
参考文献： ① 周俊敏，王玉梅 ，弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨[J].河南：周口师范学院报，
2009.09 , 第26卷第5期。