第２ｌ卷第４期２００９年１２月
湖南文理学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄ
ＶｂＩ．２ｌＮｏ．４
Ｄｅｃ．２００９
Ｓｃｉｅｎｃｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｄｏｉ－１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－６１４６．２００９．０４．００７
弹簧振子非线性振动的周期计算
林少光．龚善初
（广东揭阳学院机电工程系，广东揭阳，５２２０００）
摘要：利用拉格朗日方程建立了弹簧振子非线性振动方
程，应用第一类完全椭圆积分求出了非线性弹簧振子周期的精确解；应用迭代法求出了弹簧振子周期的近似解．利用
ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图，分别作出了周期精确解随振幅、弹
簧原长、质量和劲度系数的变化曲线，并将％和‰进行
了比较．所得结论为周期与弹簧原长成正比，与振幅成反比：利用迭代法所求得的近似解与精确解比较，具较高的精度．
关键词：弹簧振子；非线性振动；完全椭圆积分；迭代法；周期；精确解；近似解中图分类号：Ｏ
３２２
文献标示码：Ａ
文章鳊号：１６７２．６１４６（２００９）０４—００１９．０４
质点在线性回复力的作用下作简谐振动，众所周知，单摆在振幅（ｕｐ摆角）很小时（口＜５。），无阻尼
厅
单摆作谐振动，其振动周期Ｔ＝２ｎ．片与振幅、摆
Ｖｇ
的质量无关；在振幅较大时（０＞５。），其振动周期是振幅的函数，其振动周期随振幅的增大而增大，很多文献对此进行了研究【ｌ一钉．对弹簧振子线性振动
＿＿＿——
时，其振动周期Ｔ＝２ｎ．Ｉｍ与振幅、弹簧原长无关；
Ｙ＾
然而对弹簧振子非线性振动时其振动周期７’是否与其振幅４、弹簧原长，无关呢？下面对此进行较详细地研究．
１振动方程
图１单质点弹簧振子
如图ｌ所示，在光滑水平面上把一根原长为，，劲度系数为ｋ，质量忽略不计的轻质弹簧一端固定，
万方数据
弹簧的另一端连接质量为ｍ中心穿有小孔的小球，小球套在光滑的水平细刚性杆上，刚性杆到弹簧固定端的距离刚好等于弹簧的原有长度，．设ｆ＝０时，外力作用使小球静止于距平衡位置０的距离为Ａ，当外力撤除时，系统沿光滑的水平细刚性杆作微小横振动．若略去阻尼影响，我们把这样的系统称为单质点弹簧振子．
取质点偏离平衡位置的广义坐标分别为ｘ，则弹簧振子的动能为
Ｔ＝去磁２，
（１）
轻弦振子的势能为
Ｖ＝去七【√ｆ２＋ｘ２一，】２，
（２）
拉格朗日函数三为
￡：Ｔ—Ｖ：昙，，璇：一ｌｋ［ｘ／？＋ｘ＇。一，】：，
利用拉格朗日方程‘５】
票要一芒：０，ｄｆａ宕孤
’
有
面面２嬲，
挚：一舡＋—丝坠．
ＯＸ，／ｔ２＋工２
于是得系统振动方程为
耐＋ｈ一１坠＝０，ｘ（ｏ）＝Ａ，文（ｏ）＝ｏ，（３）
√１＋（手）２
很显然，该系统的振动不是一个谐振动，而是
一个非线性振动系统．
对式（３），将１—ｌ一一展开成Ｔａｙｌｏｒ级数，得
√１＋（手）２
南小圭９Ｘ
２髫３芦Ｘ堋一，（４）
取式（４）前二项，于是式（３）可近似表示为
．ｉ｝＋—』Ｌ丁ｘ３＝０，ｘ（０）＝Ａ，ｊ（Ｏ）＝Ｏ．
、７
２ｍ１２
、７
（５）
、７
２０
湖南文理学院学报（自然科学版）
２００９笠
２弹簧振子非线性振动的周期精确解圭ｐ一寺（一卅４），
（６）
弘±、／砑《∥吖’），
戈＝±，／了兰万（么４一Ｊ４），
（７）
由图１知，出＜０，上式取负号，故
拈以啦’南・
（８）
当ｔ＝０时，ｘ（０１＝彳；当ｔ＝Ｔ／４时，ｘ＝０，故对式（８）积分得
意ｄｔ＝－２１远鼍南，瑚啦ｒ南，
∽
瑚，［…ｏ－Ａ…ｓｉｎ（理一ｌｔｐｉ２罟摆ｆ志２
令Ｘ＝Ａｃｏｓ缈，代入式（９）并化简得
竿尉南‘（１０）式（１０）右端是第一类Ｌｅｇｅｎｄｒｅ完全椭圆积分，其模
数为圭，故有单质点弹簧振子非线性振动周期的精
确解乙为
乇＝竽尉南兰
丝Ａ恪ｋ（》
、『“、、压ｒ”…
（１１）
由文献【６】知，
町）＝量主ｎ＝０铡黔ｈ．
一
‘
～７‘：，
＆Ｋ（１／√互）的展开式为
Ｋｃ抄三薹铡掣ｃ护＝如西１＋丽９＋
』．．，０４８
，＇
将Ｋ（Ｉ／√ｊ）的展开式代入式（１１）得到弹簧振子非线
性振动的周期精确解毛展开式为
乙＝了２ｘ／２ｎｌ俨ｍ＋丢＋轰＋靠＋．．．）．（１２）
万方数据
３弹簧振子非线性振动的周期近似解
非线性常微分方程（５）往往不能用解析方法求解．因此，在处理许多实际问题时，除采用适当的近似模型以简化问题之外，往往还需要采用各种近
似计算方法。例如，平均化法【７１，多步法【８】’ＫＢＭ法［９】，摄动法［１０】，迦辽金与里兹法㈣，谐波平衡法【１
２１，多尺度和迭代’法【１２１等等．各种近似方法都有其
优缺点和适用范围，下面应用迭代法求弹簧振子非线性振动的周期近似解．
Ｙ＋Ｐ奇－，＋－．＋－Ｉ－，令式（５）中∥２五》，则式（５）变为
戈＋犀矿＝０，ｘ（Ｏ）＝Ａ，童（Ｏ）＝０，
（１３）
假设口、Ａ很小，而且Ｃ０２接近彳，这时方程可
写为
戈＋∞２Ｘ＝Ｃ０２ｚ一，ａｘ３，
（１４）
假设式（１４）右端为小量，因此可以先将其略去，式０４）变为
‰＋Ｃ０２ｘｏ＝０，
（１５）上式的解为
而＝Ａｃｏｓｃｏｔ，
（１６）
将ｊｃｏ＝Ａｃｏｓｃｏｔ作为零次近似解代入式（１４）右边，得
薯＋（０２五ｆ＝（ｃ０２Ａ一言膨３）ｃｏｓ∞ｆ一去觑３ＣＯＳ３ｃｏｆ，（１７）
根据式（１７）确定一次近似解时，为保证五是周期的，即方程的解中不出现长期项㈨２’（或称为久期项）ｔｓｉｎｍｔ与ｔｃｏｓｃｏｔ，式（１７）右边ＣＯＳｃｏＩ的系数应为
零，故有
Ｃ０２＝导肚２，
（１８）
因此，式（１７）的一次近似解为
邪）＝．４ｃｏｓｍｔ＋击等ＣＯｓ３眠
（１９）
式（１９）中的ＣＯ由式（１８）确定．将一次近似解代入式（１４）右边，再按式（１７）确定二次近似解ｘ２（ｔ），并假设代入后右边可以写为如下形式
Ｐｌ（Ａ）ｃｏｓｍｔ＋只（彳）ｃｏｓ３∞ｆ＋Ｐ５（Ａ）ｃｏｓ５ｃｏｔ＋…（２０）
为使屯（ｆ）的周期是等于詈的周期函数，必须
＃（爿）＝０，即
如昙肌去等－Ｉ＇・志等，（２１，
因此，二次近似解为
第４期林少光．龚善初弹簧振子非线性振动的周期计算
２１
硼川ｃ…卜警ｃｏｓ３ｃｏｔ－Ｐ２５４（≯Ａ）ｏｓ５甜…，
（２２）
因∥、Ａ很小，而且∞２接近彳，式（２１）中右端第二项、第三项忽略，故式（２１）简化为
∞２＝寻朋２．
（２３）
设利用迭代法求得的弹簧振子非线性振动周期
的近似解为‰，由式（２１）知，
‰＝ｉ２７ｔ
ｚ等摆．
（２４）
４周期精确解瓦ｘ随参数的变化曲线
４．１
Ｃ，随Ａ和，的变化曲线
为作图方便，设小球质量ｍ＝１ｋｇ，弹簧的劲
度系数ｋ＝１．０Ｎ／ｍ，取弹簧振子的原长
０．１
删）ｍ≤，≤１．０，＂，振幅０．０１
ｍ≤Ａ≤０．１ｍ．
由式（１１）得
＿引㈣ｍ３：燃．１
＝ｌ，ｋ＝ｌ竽４“．／一（—Ｆ）２
ｆ南１
１
ｓｉｎ‘２矽
利用ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图【１３】，得到弹簧振子
非线性振动的周期瓦随４和，变化的三维曲线如图２所示．
１０００８００芒６００
ｏ４００
２０００Ｏ．
图２乙随Ａ和，的变化曲线
４．２瓦随丘和埘的变化曲线
设振幅Ａ＝０．１ｍ，弹簧振子的原长，＝１．０
ｍ，
弹簧的劲度系数１Ｎ／ｍ≤ｋ≤１０Ｎ／ｍ，小球质量
Ｏ．１ｋｇ≤ｍ≤１ｋｇ．
器曼！。
、『卜。压＂ｕ１缈
利用ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图，得到弹簧振子非线性
脚Ｍ葑徘ｆ南‘
万方数据
振动的周期乙随ｋ和ｍ变化的三维曲线如图３所示．
５瓦ｘ与瓦ｐｐ的比较
为简单计，取ｋ＝１
Ｎ／ｍ，，＝ｌｍ，ｍ＝ｌｋｇ，
０．０１ｍ≤Ａ≤Ｏ．１ｍ，由式（１２）和式（２４），利用ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图［１３】，得到非线性弹簧振子振动的周期近似解和精确解随振幅Ａ的变化曲线如
图４所示（其中实线为瓦一彳曲线，点线为‰一Ａ
曲线）．
１器
翘
２０
七／Ｎ
图３毛随七和ｍ的变化曲线
图４乙和。随振幅Ａ的变化曲线
６结论与讨论
（１）由图２可知，应用迭代法求得的周期近似
解‰与精确解瓦十分吻合；由式（１１）、（２４）知，非
．广一
线性弹簧振子振动的周期７’＊了ｌ、犀＝ｒ（爿，，，ｍ，七），以Ｙ托
是振幅Ａ、弹簧的原有长度，、小球质量ｍ、弹簧劲度系数ｋ的函数．其振动周期与弹簧的原有长度，成正比与振幅Ａ成反比．与图２、图３完全吻合．因此在计算弹簧振子非线性振动周期时，不能简单
●＿＿一
机械地套用弹簧谐振子的振动周期公式Ｔ：２ｎ．犀．
湖南文理学院学报（自然科学版）２００９笠
（２）由式（１１）得出的弹簧振子非线性振动周期的精确解毛量令竽√詈髟（击）和由式（２４）得出的弹簧振子非线性振动周期的近似解‰＝专署√詈
是在弹簧质量所。忽略不计的情况下得出的结果，若
弹簧本身质Ｉｔ不ｌｌ，Ｗ，略，则应在瓦和‰公式中加
入弹簧的有效质量ｍ。，弹簧有效质量所，的求法已有文章１１４－１６１讨论过，直接引用其结论，在此不再赀
述．故考虑弹簧质量ｍｏ时，弹簧有效质量ｍｓ＝＿ｉ！。１０，
弹簧振子非线性振动周期的精确解瓦应修正为
乙兰竽厚。抄竽庠
ｒ上、
、压’
（２５）
己＝等
（２６）
参考文献：
【ｌ】龚善初．利用线化和校正法求非线性单摆运动的周期川．
大学物理，２００６，２５（２）：１６．１８．
【２】孙春锋．非线性单摆的格林函数解法明．大学物理，
２００４，２３（１）：９－１１．
【３】金亚平．单摆周期的相图求法【Ｊ］．大学物理，２０００，
１９（１０）：６・７．
【４】４刘怀宜．求单摆运动的一种近似解法叨．大学物理，
１９９４，１３（１）：３８—３９．
［５】郭士垫．理论力学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８５：
３２．４２．
【６】王梓坤．常用数学公式大全【Ｍ】．重庆：重庆出版社，
１９９ｔ：４６５．４６７．
【７】龚善初．物理学与工程技术中非线性振动的常见求解方
法【Ｍ】．北京：中国科学文化出版社，２００６：３５－３７．
【８】陈世民．理论力学简明教程【Ｍ】．北京：高等教育出版社，
２００ｌ：２２０．２２５．
【９】９龚善初．物理学与工程技术＠－ＩＩ线性振动的常见求解方
法【Ｍ】．北京：中国科学文化出版社，２００６．３８—３９．
【１０】谢应齐，曹杰．非线性动力学数学方法【Ｍ】．北京：气
象出版社．２００１：１８２—２２０．
【ｌｌ】龚善初．物理学与工程技术中非线性振动的常见求解
方法［Ｍ】．北京：中国科学文化出版社，２００６：４９．５１．【１２】闻邦椿，李以农，韩清凯．非线性振动理论中的解析方
万方数据
法及工程应用【Ｍ】．沈阳：东北大学出版社，２００１：３７．３９，
４３．４５。５０一５２，５９－６２．
【１３】黎捷．ＭＡＰＬＥ９．０符号处理及应用［Ｍ】．北京：科学出版
社，２００４：１５６．１５９．
【１４】龚善初．弹簧质量对谐振动固有频率的影响【Ｊ】．湖南
师范大学学报：自然科学版，２００５，２８（１）：３７－４０．
【１５】黄兆梁．弹簧质量对振动的影响［Ｊ】．大学物理，１９９８，
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【１６】Ｎｕｎｅ
ｄａＳｉｌｖａＪ
Ｍ．孙厚谦，洪林译．负荷弹簧的重整化
振动研究明．大学物理，１９９５，１４（１０）：２８—３０．
ＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎＰｅｒｉｏｄ
ｏｆｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ
ＬＩＮＳｈａｏ－ｇｕａｎｇ，ＧＯＮＧＳｈａｈ・ｃｈｕ
（Ｄｅｐｔ．ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ＆Ｅｌｅｃｔ．Ｅｎｇｎ．，Ｊｉｅｙａｎｇ
Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｅｙａｎｇ，
Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，５２２０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ
ｍｅａｎｓｏｆｔｈｅＬａｇｒａｎｇｅ’Ｓｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅ
ｆｗｓｔｋｉｎｄｏｆ
ｃｏｍｐｌｅｔｅｅｌｌｉｐｓｅｉｎｔｅｇｒａｌ，ｔｈｅ
ｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ
ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｐｅｒｉｏｄｉｓｇｏｔ，ａｎｄｔｈｅ
ｃｕｒｖｅｓ
ｏｆ
ｔｈｅ
ｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｏｆ
ｔｈｅｐｅｒｉｏｄｖａｒｙｉｎｇｗｉｔｈａｍｐｌｉｔｕｄｅ，ｏｒｉｇｉｎａｌ
ｓｐｒｉｎｇｌｅｎｇｔｈ，ｓｐｒｉｎｇ
ｍａｓｓａｎｄｔｈｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｒｅｓｔｏｒｉｎｇｆｏｒｃｅ
ａｒｅｄｒａｗｎｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＭＡＰＬＥ９．５．Ｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓａｒｅｔｈａｔ
ｔｈｅ
ｐｅｒｉｏｄｉｓｉｎｄｉｒｅｃｔｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｔ０ｓｐｒｉｎｇｏｒｉｇｉｎａｌ
ｌｅｎｇｔｈａｎｄ
ｉｎｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｔｏ
ａｍｐｌｉｔｕｄｅ；ｃｏｍｐａｒｅｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｕｓｅ
ｏｆｉｔｅｒａｔｉｖｅ
ｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｔｈｅｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｔｈｅ
ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｈａｓｈｉｇｈｅｒ
ａｃｃｕｒａｃｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｌｅｔｅ
ｅｌｌｉｐｔｉｃ
ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅ
ｍｅｔｈｏｄ；ｐｅｒｉｏｄ；ｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ；
ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ
收稿日期：２００９．０８．１２
基金项目：广东揭阳学院２００６年院级重点科研资助项目
（ＪＹＣＫＺ０６０４）
作者简介：林少光（１９６７．），男，讲师，主要从事大学物理教学与研究工作．
通讯作者：龚善初（１９６４－），男，教授，研究方向为非线性理论．
（责任鳙收：刘刚毅）
弹簧振子非线性振动的周期计算
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
林少光， 龚善初， LIN Shao-guang， GONG Shan-chu揭阳学院
湖南文理学院学报（自然科学版）
JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY OF ARTS AND SCIENCE(NATURAL SCIENCE)2009，21(4)0次
参考文献(16条)
1. 龚善初 利用线化和校正法求非线性单摆运动的周期[期刊论文]-大学物理 2006(2)2. 孙春峰 非线性单摆的格林函数解法[期刊论文]-大学物理 2004(1)3. 金亚平 单摆周期的相图求法[期刊论文]-大学物理 2000(10)4. 刘怀宜 求单摆运动的一种近似解法 1994(1)5. 郭士堃 理论力学 19856. 王梓坤 常用数学公式大全 1991
7. 龚善初 物理学与工程技术中非线性振动的常见求解方法 20068. 陈世民 理论力学简明教程 2001
9. 龚善初 物理学与工程技术中非线性振动的常见求解方法 200610. 谢应齐. 曹杰 非线性动力学数学方法 2001
11. 龚善初 物理学与工程技术中非线性振动的常见求解方法 200612. 闻邦椿. 李以农. 韩清凯 非线性振动理论中的解析方法及工程应用 200113. 黎捷 MAPLE9.0符号处理及应用 2004
14. 龚善初 弹簧质量对谐振动固有频率的影响 2005(1)
15. 黄兆梁 弹簧质量对振动的影响[期刊论文]-大学物理 1998(3)
16. Nune da Silva J M. 孙厚谦. 洪林 负荷弹簧的重整化振动研究 1995(10)
相似文献(6条)
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利用积分法分析了弹簧振子非线性振动的周期、频率、振幅等力学特征值,在稳态的情况下计算了对称非线性振动的杜芳方程的频率特性,并通过逐步积分法分析了框架结构在冲击载荷作用下的弹塑性振动.数值算例说明了弹簧振子模型对求解非线性振动的实效性.
2.会议论文 尤凤翔 弹簧振子非线性振动分析及应用 2007
本文利用积分法分析了弹簧振子非线性振动的周期、频率、振幅等力学特征值,并在稳态的情况下计算了对称非线性振动的杜芬方程的频率特性,并通过逐步积分法分析了框架结构在冲击载荷作用下的弹塑性振动。数值算例说明了弹簧振子模型对求解非线性振动的实效性。
3.期刊论文 廖旭. 任学藻. LIAO Xu. REN Xue-zao 组合线性弹簧振子中的非线性振动 -大学物理2008,27(2)
从拉格朗日方程出发,分析了几种常见的线性弹簧组合,对作非线性振动弹簧振子进行了数值求解,当作微小振动时,正好是几种典型的非线性振动,通过计算得出解析解并与数值解进行了对比.
4.期刊论文 龚善初. GONG Shan-chu 用线化和校正法近似求解一种非谐振动 -大学物理2007,26(4)
利用拉格朗日方程建立了单质点弹簧振子非线性振动方程,作出了回复力、势能随坐标的变化曲线以及相图.应用第一类完全椭圆积分求出了非线性振动周期的精确解.应用线化和校正法对单质点弹簧振子的周期和近似解进行了求解.利用Maple计算机绘图,分别作出了它们的周期近似解与周期精确解随振幅的变化曲线以及近似解与数值解的变化曲线.利用线化和校正法所求得的近似解与数值解比较,具有简单实用、精度高、相对误差低等优点,在求解非线性振动中具有一定的实用价值.
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利用逼近法求解了对称非线性振动的杜芬方程,得出无阻尼和有阻尼情况下的幅频特性,结果表明由于非线性恢复力的影响,导致系统振动的非线性效应.
6.学位论文 龙蓓 钢筋混凝土梁非线性振动研究 2008
实际工程中存在着大量的非线性因素，材料的，几何的等等。因此实际工程中的振动系统大多是非线性系统。钢筋混凝土梁是土木工程中的重要结构构件。其材料本身具有明显的非线性，使得其振动表现出一定的非线性特征。因此有必要运用非线性振动理论对其非线性动力特性进行研究，以期为结构损伤检测等提供理论依据。
长期以来，人们对于非线性系统动态行为的研究，无论从理论上，或是数值计算方面都做了大量工作，但对于超高维系统，以及连续介质系统的非线性分析，仍没有找到像线性系统模态分析那样的有效方法。因此人们一直不断地努力寻找解决问题的新方法。在这方面的努力中，非线性模态理论无
疑最有成效的。因此本文运用非线性模态理论对钢筋混凝土梁非线性动力特性进行研究。
实际工程中的粱大多是带裂缝工作的。裂缝梁在振动过程中其刚度伴随裂缝张开与闭合而变化，本文首先建立了裂缝梁的双线性振动模型。模型中引入了裂缝沿梁长的宽度影响参数和开裂程度影响参数。对于不同参数下的模型，运用基于不变流形思想结合迦辽金积分原理构造非线性模态方法对其自由与受迫振动进行分析，研究发现：高阶模态运动受裂缝的影响较大，低阶模态运动相对较稳定，高阶模态坐标的运动往往包含着倍频成分，开裂程度的增大，倍频数越多，强度越大。
接着，本文考虑了混凝土材料的非线性弹性本构模型，建立其振动方程。基于非线性模态理论对其自由振动与接近主共振的受迫振动进行分析，结果表明：系统类似于一个软弹簧振子，其非线性模态振动频率随着振幅的增大而不断减小，近似成线性关系。而且高阶频率的下降程度大于低阶频率。接近主共振的振动幅频曲线存在着跳跃现象。同时利用多尺度法对其超亚谐共振进行研究发现，系统中存在着3次超谐及1/3亚谐共振。
最后，文章对混凝土材料非线性单自由度振动模型进行了混沌振动分析。梅利尼科夫解析预测以及数值识别表明；系统中存在着倍周期分岔通往混沌的道路。
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_cdsfxyxb200904007.aspx
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第２ｌ卷第４期２００９年１２月
湖南文理学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄ
ＶｂＩ．２ｌＮｏ．４
Ｄｅｃ．２００９
Ｓｃｉｅｎｃｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｄｏｉ－１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－６１４６．２００９．０４．００７
弹簧振子非线性振动的周期计算
林少光．龚善初
（广东揭阳学院机电工程系，广东揭阳，５２２０００）
摘要：利用拉格朗日方程建立了弹簧振子非线性振动方
程，应用第一类完全椭圆积分求出了非线性弹簧振子周期的精确解；应用迭代法求出了弹簧振子周期的近似解．利用
ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图，分别作出了周期精确解随振幅、弹
簧原长、质量和劲度系数的变化曲线，并将％和‰进行
了比较．所得结论为周期与弹簧原长成正比，与振幅成反比：利用迭代法所求得的近似解与精确解比较，具较高的精度．
关键词：弹簧振子；非线性振动；完全椭圆积分；迭代法；周期；精确解；近似解中图分类号：Ｏ
３２２
文献标示码：Ａ
文章鳊号：１６７２．６１４６（２００９）０４—００１９．０４
质点在线性回复力的作用下作简谐振动，众所周知，单摆在振幅（ｕｐ摆角）很小时（口＜５。），无阻尼
厅
单摆作谐振动，其振动周期Ｔ＝２ｎ．片与振幅、摆
Ｖｇ
的质量无关；在振幅较大时（０＞５。），其振动周期是振幅的函数，其振动周期随振幅的增大而增大，很多文献对此进行了研究【ｌ一钉．对弹簧振子线性振动
＿＿＿——
时，其振动周期Ｔ＝２ｎ．Ｉｍ与振幅、弹簧原长无关；
Ｙ＾
然而对弹簧振子非线性振动时其振动周期７’是否与其振幅４、弹簧原长，无关呢？下面对此进行较详细地研究．
１振动方程
图１单质点弹簧振子
如图ｌ所示，在光滑水平面上把一根原长为，，劲度系数为ｋ，质量忽略不计的轻质弹簧一端固定，
万方数据
弹簧的另一端连接质量为ｍ中心穿有小孔的小球，小球套在光滑的水平细刚性杆上，刚性杆到弹簧固定端的距离刚好等于弹簧的原有长度，．设ｆ＝０时，外力作用使小球静止于距平衡位置０的距离为Ａ，当外力撤除时，系统沿光滑的水平细刚性杆作微小横振动．若略去阻尼影响，我们把这样的系统称为单质点弹簧振子．
取质点偏离平衡位置的广义坐标分别为ｘ，则弹簧振子的动能为
Ｔ＝去磁２，
（１）
轻弦振子的势能为
Ｖ＝去七【√ｆ２＋ｘ２一，】２，
（２）
拉格朗日函数三为
￡：Ｔ—Ｖ：昙，，璇：一ｌｋ［ｘ／？＋ｘ＇。一，】：，
利用拉格朗日方程‘５】
票要一芒：０，ｄｆａ宕孤
’
有
面面２嬲，
挚：一舡＋—丝坠．
ＯＸ，／ｔ２＋工２
于是得系统振动方程为
耐＋ｈ一１坠＝０，ｘ（ｏ）＝Ａ，文（ｏ）＝ｏ，（３）
√１＋（手）２
很显然，该系统的振动不是一个谐振动，而是
一个非线性振动系统．
对式（３），将１—ｌ一一展开成Ｔａｙｌｏｒ级数，得
√１＋（手）２
南小圭９Ｘ
２髫３芦Ｘ堋一，（４）
取式（４）前二项，于是式（３）可近似表示为
．ｉ｝＋—』Ｌ丁ｘ３＝０，ｘ（０）＝Ａ，ｊ（Ｏ）＝Ｏ．
、７
２ｍ１２
、７
（５）
、７
２０
湖南文理学院学报（自然科学版）
２００９笠
２弹簧振子非线性振动的周期精确解圭ｐ一寺（一卅４），
（６）
弘±、／砑《∥吖’），
戈＝±，／了兰万（么４一Ｊ４），
（７）
由图１知，出＜０，上式取负号，故
拈以啦’南・
（８）
当ｔ＝０时，ｘ（０１＝彳；当ｔ＝Ｔ／４时，ｘ＝０，故对式（８）积分得
意ｄｔ＝－２１远鼍南，瑚啦ｒ南，
∽
瑚，［…ｏ－Ａ…ｓｉｎ（理一ｌｔｐｉ２罟摆ｆ志２
令Ｘ＝Ａｃｏｓ缈，代入式（９）并化简得
竿尉南‘（１０）式（１０）右端是第一类Ｌｅｇｅｎｄｒｅ完全椭圆积分，其模
数为圭，故有单质点弹簧振子非线性振动周期的精
确解乙为
乇＝竽尉南兰
丝Ａ恪ｋ（》
、『“、、压ｒ”…
（１１）
由文献【６】知，
町）＝量主ｎ＝０铡黔ｈ．
一
‘
～７‘：，
＆Ｋ（１／√互）的展开式为
Ｋｃ抄三薹铡掣ｃ护＝如西１＋丽９＋
』．．，０４８
，＇
将Ｋ（Ｉ／√ｊ）的展开式代入式（１１）得到弹簧振子非线
性振动的周期精确解毛展开式为
乙＝了２ｘ／２ｎｌ俨ｍ＋丢＋轰＋靠＋．．．）．（１２）
万方数据
３弹簧振子非线性振动的周期近似解
非线性常微分方程（５）往往不能用解析方法求解．因此，在处理许多实际问题时，除采用适当的近似模型以简化问题之外，往往还需要采用各种近
似计算方法。例如，平均化法【７１，多步法【８】’ＫＢＭ法［９】，摄动法［１０】，迦辽金与里兹法㈣，谐波平衡法【１
２１，多尺度和迭代’法【１２１等等．各种近似方法都有其
优缺点和适用范围，下面应用迭代法求弹簧振子非线性振动的周期近似解．
Ｙ＋Ｐ奇－，＋－．＋－Ｉ－，令式（５）中∥２五》，则式（５）变为
戈＋犀矿＝０，ｘ（Ｏ）＝Ａ，童（Ｏ）＝０，
（１３）
假设口、Ａ很小，而且Ｃ０２接近彳，这时方程可
写为
戈＋∞２Ｘ＝Ｃ０２ｚ一，ａｘ３，
（１４）
假设式（１４）右端为小量，因此可以先将其略去，式０４）变为
‰＋Ｃ０２ｘｏ＝０，
（１５）上式的解为
而＝Ａｃｏｓｃｏｔ，
（１６）
将ｊｃｏ＝Ａｃｏｓｃｏｔ作为零次近似解代入式（１４）右边，得
薯＋（０２五ｆ＝（ｃ０２Ａ一言膨３）ｃｏｓ∞ｆ一去觑３ＣＯＳ３ｃｏｆ，（１７）
根据式（１７）确定一次近似解时，为保证五是周期的，即方程的解中不出现长期项㈨２’（或称为久期项）ｔｓｉｎｍｔ与ｔｃｏｓｃｏｔ，式（１７）右边ＣＯＳｃｏＩ的系数应为
零，故有
Ｃ０２＝导肚２，
（１８）
因此，式（１７）的一次近似解为
邪）＝．４ｃｏｓｍｔ＋击等ＣＯｓ３眠
（１９）
式（１９）中的ＣＯ由式（１８）确定．将一次近似解代入式（１４）右边，再按式（１７）确定二次近似解ｘ２（ｔ），并假设代入后右边可以写为如下形式
Ｐｌ（Ａ）ｃｏｓｍｔ＋只（彳）ｃｏｓ３∞ｆ＋Ｐ５（Ａ）ｃｏｓ５ｃｏｔ＋…（２０）
为使屯（ｆ）的周期是等于詈的周期函数，必须
＃（爿）＝０，即
如昙肌去等－Ｉ＇・志等，（２１，
因此，二次近似解为
第４期林少光．龚善初弹簧振子非线性振动的周期计算
２１
硼川ｃ…卜警ｃｏｓ３ｃｏｔ－Ｐ２５４（≯Ａ）ｏｓ５甜…，
（２２）
因∥、Ａ很小，而且∞２接近彳，式（２１）中右端第二项、第三项忽略，故式（２１）简化为
∞２＝寻朋２．
（２３）
设利用迭代法求得的弹簧振子非线性振动周期
的近似解为‰，由式（２１）知，
‰＝ｉ２７ｔ
ｚ等摆．
（２４）
４周期精确解瓦ｘ随参数的变化曲线
４．１
Ｃ，随Ａ和，的变化曲线
为作图方便，设小球质量ｍ＝１ｋｇ，弹簧的劲
度系数ｋ＝１．０Ｎ／ｍ，取弹簧振子的原长
０．１
删）ｍ≤，≤１．０，＂，振幅０．０１
ｍ≤Ａ≤０．１ｍ．
由式（１１）得
＿引㈣ｍ３：燃．１
＝ｌ，ｋ＝ｌ竽４“．／一（—Ｆ）２
ｆ南１
１
ｓｉｎ‘２矽
利用ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图【１３】，得到弹簧振子
非线性振动的周期瓦随４和，变化的三维曲线如图２所示．
１０００８００芒６００
ｏ４００
２０００Ｏ．
图２乙随Ａ和，的变化曲线
４．２瓦随丘和埘的变化曲线
设振幅Ａ＝０．１ｍ，弹簧振子的原长，＝１．０
ｍ，
弹簧的劲度系数１Ｎ／ｍ≤ｋ≤１０Ｎ／ｍ，小球质量
Ｏ．１ｋｇ≤ｍ≤１ｋｇ．
器曼！。
、『卜。压＂ｕ１缈
利用ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图，得到弹簧振子非线性
脚Ｍ葑徘ｆ南‘
万方数据
振动的周期乙随ｋ和ｍ变化的三维曲线如图３所示．
５瓦ｘ与瓦ｐｐ的比较
为简单计，取ｋ＝１
Ｎ／ｍ，，＝ｌｍ，ｍ＝ｌｋｇ，
０．０１ｍ≤Ａ≤Ｏ．１ｍ，由式（１２）和式（２４），利用ＭＡＰＬＥ９．５计算机绘图［１３】，得到非线性弹簧振子振动的周期近似解和精确解随振幅Ａ的变化曲线如
图４所示（其中实线为瓦一彳曲线，点线为‰一Ａ
曲线）．
１器
翘
２０
七／Ｎ
图３毛随七和ｍ的变化曲线
图４乙和。随振幅Ａ的变化曲线
６结论与讨论
（１）由图２可知，应用迭代法求得的周期近似
解‰与精确解瓦十分吻合；由式（１１）、（２４）知，非
．广一
线性弹簧振子振动的周期７’＊了ｌ、犀＝ｒ（爿，，，ｍ，七），以Ｙ托
是振幅Ａ、弹簧的原有长度，、小球质量ｍ、弹簧劲度系数ｋ的函数．其振动周期与弹簧的原有长度，成正比与振幅Ａ成反比．与图２、图３完全吻合．因此在计算弹簧振子非线性振动周期时，不能简单
●＿＿一
机械地套用弹簧谐振子的振动周期公式Ｔ：２ｎ．犀．
湖南文理学院学报（自然科学版）２００９笠
（２）由式（１１）得出的弹簧振子非线性振动周期的精确解毛量令竽√詈髟（击）和由式（２４）得出的弹簧振子非线性振动周期的近似解‰＝专署√詈
是在弹簧质量所。忽略不计的情况下得出的结果，若
弹簧本身质Ｉｔ不ｌｌ，Ｗ，略，则应在瓦和‰公式中加
入弹簧的有效质量ｍ。，弹簧有效质量所，的求法已有文章１１４－１６１讨论过，直接引用其结论，在此不再赀
述．故考虑弹簧质量ｍｏ时，弹簧有效质量ｍｓ＝＿ｉ！。１０，
弹簧振子非线性振动周期的精确解瓦应修正为
乙兰竽厚。抄竽庠
ｒ上、
、压’
（２５）
己＝等
（２６）
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ｏｆｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ
ＬＩＮＳｈａｏ－ｇｕａｎｇ，ＧＯＮＧＳｈａｈ・ｃｈｕ
（Ｄｅｐｔ．ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ＆Ｅｌｅｃｔ．Ｅｎｇｎ．，Ｊｉｅｙａｎｇ
Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｅｙａｎｇ，
Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，５２２０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ
ｍｅａｎｓｏｆｔｈｅＬａｇｒａｎｇｅ’Ｓｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅ
ｆｗｓｔｋｉｎｄｏｆ
ｃｏｍｐｌｅｔｅｅｌｌｉｐｓｅｉｎｔｅｇｒａｌ，ｔｈｅ
ｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ
ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｐｅｒｉｏｄｉｓｇｏｔ，ａｎｄｔｈｅ
ｃｕｒｖｅｓ
ｏｆ
ｔｈｅ
ｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｏｆ
ｔｈｅｐｅｒｉｏｄｖａｒｙｉｎｇｗｉｔｈａｍｐｌｉｔｕｄｅ，ｏｒｉｇｉｎａｌ
ｓｐｒｉｎｇｌｅｎｇｔｈ，ｓｐｒｉｎｇ
ｍａｓｓａｎｄｔｈｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｒｅｓｔｏｒｉｎｇｆｏｒｃｅ
ａｒｅｄｒａｗｎｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＭＡＰＬＥ９．５．Ｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓａｒｅｔｈａｔ
ｔｈｅ
ｐｅｒｉｏｄｉｓｉｎｄｉｒｅｃｔｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｔ０ｓｐｒｉｎｇｏｒｉｇｉｎａｌ
ｌｅｎｇｔｈａｎｄ
ｉｎｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｔｏ
ａｍｐｌｉｔｕｄｅ；ｃｏｍｐａｒｅｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｕｓｅ
ｏｆｉｔｅｒａｔｉｖｅ
ｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｔｈｅｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｔｈｅ
ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｈａｓｈｉｇｈｅｒ
ａｃｃｕｒａｃｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｌｅｔｅ
ｅｌｌｉｐｔｉｃ
ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅ
ｍｅｔｈｏｄ；ｐｅｒｉｏｄ；ｅｘａｃｔ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ；
ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ
收稿日期：２００９．０８．１２
基金项目：广东揭阳学院２００６年院级重点科研资助项目
（ＪＹＣＫＺ０６０４）
作者简介：林少光（１９６７．），男，讲师，主要从事大学物理教学与研究工作．
通讯作者：龚善初（１９６４－），男，教授，研究方向为非线性理论．
（责任鳙收：刘刚毅）
弹簧振子非线性振动的周期计算
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
林少光， 龚善初， LIN Shao-guang， GONG Shan-chu揭阳学院
湖南文理学院学报（自然科学版）
JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY OF ARTS AND SCIENCE(NATURAL SCIENCE)2009，21(4)0次
参考文献(16条)
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6.学位论文 龙蓓 钢筋混凝土梁非线性振动研究 2008
实际工程中存在着大量的非线性因素，材料的，几何的等等。因此实际工程中的振动系统大多是非线性系统。钢筋混凝土梁是土木工程中的重要结构构件。其材料本身具有明显的非线性，使得其振动表现出一定的非线性特征。因此有必要运用非线性振动理论对其非线性动力特性进行研究，以期为结构损伤检测等提供理论依据。
长期以来，人们对于非线性系统动态行为的研究，无论从理论上，或是数值计算方面都做了大量工作，但对于超高维系统，以及连续介质系统的非线性分析，仍没有找到像线性系统模态分析那样的有效方法。因此人们一直不断地努力寻找解决问题的新方法。在这方面的努力中，非线性模态理论无
疑最有成效的。因此本文运用非线性模态理论对钢筋混凝土梁非线性动力特性进行研究。
实际工程中的粱大多是带裂缝工作的。裂缝梁在振动过程中其刚度伴随裂缝张开与闭合而变化，本文首先建立了裂缝梁的双线性振动模型。模型中引入了裂缝沿梁长的宽度影响参数和开裂程度影响参数。对于不同参数下的模型，运用基于不变流形思想结合迦辽金积分原理构造非线性模态方法对其自由与受迫振动进行分析，研究发现：高阶模态运动受裂缝的影响较大，低阶模态运动相对较稳定，高阶模态坐标的运动往往包含着倍频成分，开裂程度的增大，倍频数越多，强度越大。
接着，本文考虑了混凝土材料的非线性弹性本构模型，建立其振动方程。基于非线性模态理论对其自由振动与接近主共振的受迫振动进行分析，结果表明：系统类似于一个软弹簧振子，其非线性模态振动频率随着振幅的增大而不断减小，近似成线性关系。而且高阶频率的下降程度大于低阶频率。接近主共振的振动幅频曲线存在着跳跃现象。同时利用多尺度法对其超亚谐共振进行研究发现，系统中存在着3次超谐及1/3亚谐共振。
最后，文章对混凝土材料非线性单自由度振动模型进行了混沌振动分析。梅利尼科夫解析预测以及数值识别表明；系统中存在着倍周期分岔通往混沌的道路。
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_cdsfxyxb200904007.aspx
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