华中科技大学土木工程与力学学院
《结构动力学》考试卷（B 卷、闭卷）
2013～2014学年度第一学期 成绩学号 专业 班级 姓名
一、 简答题（每题5分、共25分）
1、刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？
答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立的振动方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。在便于求出刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。在超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。
2、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？
答：动力系数是指最大动位移[y(t)]max与最大静位移yst 的比值，其与体系的自振频率和荷载频率θ有关。当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样的结果。
3、什么叫临界阻尼？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？
答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。根据公式即测出第k 次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。
措施：○1可改变自振频率，如改变质量、刚度等。○2改变荷载的频率。○3可改变阻尼的大小，使之避开共振。
4、振型正交的物理意义是什么？振型正交有何应用？频率相等的两个主振型互相正交吗？
答：物理意义：第k 主振型的惯性力与第i 主振型的位移做的功和第i 主振型的惯性力与第k 主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。
作用：○1判断主振型的形状特点。○2利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。 5、应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？
答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一频率与精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。
二、计算题（共75分）
1、试列出图示体系的运动方程（按刚度法和柔度法均可）并计算各系数。(10分)
解：单位力作用弯矩图：
2l
F=1
0.5l
求解方程为：
{
y 1(t ) =-m 1y 1(t ) δ11-m 2y 2(t ) δ12+δ1P F P (t ) y 2(t ) =-m 1y 1(t ) δ21-m 2y 2(t ) δ22+δ2P F P (t )
11l 2l l 3
δ11=⨯⨯2l ⨯⨯⨯=
EI 22326EI 11216l 3
δ22=⨯⨯2l ⨯4l ⨯⨯2l =
EI 233EI
3
-11l 21l
δ21=δ12=⨯⨯⨯l ⨯(l +l +l ) =-
EI 22332EI -11l 21111l 3
δ1P =⨯⨯⨯l ⨯(⨯l +⨯l +l ) =-
EI 22323224EI 1⎛1514⎫13l 3
δ2P =⨯ l 2⨯l +⨯2l ⨯l ⨯l ⎪=
EI ⎝2323⎭6EI
2、求下图所示体系的自振频率。（10分）
m 1
m 2
B
解：如图假设，所设转角为θ，向点A 取矩
-m 2y 2(t )
l l
M =-m ⋅⋅θ⋅-m 2⋅l ⋅θ⋅l +(
-k θl 2)=0∑A 1
22⎛l 2⎫22
m +l m 12⎪θ+k θl =0⎝4⎭
kl 2k 2
故ω=2=
m 1l 2
+m 2m 1+l m 2
44
则ω=
3、试求图示集中质量体系的自振频率。设各杆EI=常数（15分） 解：如图所示，有两个自由度。
0.5l
M 1图
0.5l
M 2图
1l 2l 1l 3
δ11=⨯2l ⨯⨯⨯⨯=, δ12=δ21=0
2232EI 6EI
l 2l 12⎫1l 3⎛1
δ22=
⨯l ⨯⨯⨯⨯2+⨯l ⨯l ⨯l ⎪=
223223EI 2EI ⎝⎭
设
λ=
1
ω
2
1
则：λ2=, 其中，δ12⋅δ21=0
δ11+δ22)±δ11-δ22(
=m
2
ml 3ml 3
故λ1=, λ2=
2EI 6EI 故ω1
ω2
4、如图所示简支梁跨中有一集中质量m ，在右支座处作用一动力矩M sin θt 。不计梁的质量，求跨中的最大竖向动位移，并作出该体系的动弯矩图（20分）
解：
y =δ11(
-my )+δ1P M sin θt 令ω2=
1
为自振频率的平方m δ11
故y +ω2y =ω2δ1P M sin θt 令y =A sin θt
则：-θ2A +ω2A =ω2⋅δ1P M 故A =
δ1P M 1
=y ⋅st 22
θ⎛⎫⎛θ⎫1- ⎪1- ⎪
ω⎝⎭⎝ω⎭
l 3l 3
而δ11=, δ1P =
6EI 4EI
Ml 2
ω==yst =δ1P M =
4EI 故最大竖向动位移y max
1
l 32
1-θ
6EI
在t 时刻，其相当于M sin θt 的力与mA θ2sin θt 惯性力的作用。
sinθt
Ml 2=⋅4EI
弯矩图如下：
5、图示框架结构m 1=m ，m 2=2m ，层间刚度k 1=k 2=k 3=k ，假设横梁刚度为无限大并受突加动荷载F p (t )=F 0的作用，试采用振型分解法求解结构的动位移响应。（20分） 解：
k 11=2k , k 12=k 21=-k 2=k , k 22=k 2+k 3=2k k 11-ω2m 1
k 12解得ω2
1⎛2k 2k ⎫2
则：ω= +⎪±2⎝m 2m ⎭=
k m k 12k 22-ω2m 2
=0
代入k 11, k 12, k 21, k 22, m 1=m , m 2=2m
则ω1=ω2=Y 11-k 12k 1===
Y 21k 11-ω12m 12k -0.63397k m 1.366
1m
Y 12-k 12k 1===
Y 22k 11-ω22m 12k -2.36603m 0.36601
1m
⎛m 0⎫⎛1⎫T
求广义质量：M 1={Y }1[M ]{Y }1=(1,1.366) ⎪⎪m =4.732m
⎝02m ⎭⎝1.366⎭
⎛m 0⎫⎛1⎫T
M 2={Y }2[M ]{Y }2=(1, -0.366) ⎪⎪m =1.268m
02m -0.366⎝⎭⎝⎭⎛0⎫F =1,1.366{}() ⎪=1. 366F 0
⎝F 0⎭
⎛0⎫T
F 2(t )={Y }2{F }=(1, -0.366) ⎪=-0.366F 0
⎝F 0⎭1.366F 0
求正则坐标：η1+ω12η1=
M 1求广义荷载：F 1(t )={Y }1
T
有η1=
1.366F 0F 0
1-cos ωt =0.4553()(1-cos ω1t )1
M 1ω12k
-0.366F 0
M 2
η2+ω22η2=
有η2=
-0.366F 0F 0
1-cos ωt =-0.122()(1-cos ω2t )2
M 2ω22k
⎧y 1⎫⎛11.366⎫⎧η1⎫
⎨⎬= ⎪⎨⎬⎩y 2⎭⎝1-0.366⎭⎩η2⎭
F F
∴y 1=0.45530(1-cos ω1t )-0.16660(1-cos ω2t )
k k F F
y 2=0.41530(1-cos ω1t )+0.044650(1-cos ω2t )
k k
华中科技大学土木工程与力学学院
《结构动力学》考试卷（B 卷、闭卷）
2013～2014学年度第一学期 成绩学号 专业 班级 姓名
一、 简答题（每题5分、共25分）
1、刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？
答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立的振动方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。在便于求出刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。在超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。
2、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？
答：动力系数是指最大动位移[y(t)]max与最大静位移yst 的比值，其与体系的自振频率和荷载频率θ有关。当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样的结果。
3、什么叫临界阻尼？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？
答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。根据公式即测出第k 次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。
措施：○1可改变自振频率，如改变质量、刚度等。○2改变荷载的频率。○3可改变阻尼的大小，使之避开共振。
4、振型正交的物理意义是什么？振型正交有何应用？频率相等的两个主振型互相正交吗？
答：物理意义：第k 主振型的惯性力与第i 主振型的位移做的功和第i 主振型的惯性力与第k 主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。
作用：○1判断主振型的形状特点。○2利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。 5、应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？
答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一频率与精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。
二、计算题（共75分）
1、试列出图示体系的运动方程（按刚度法和柔度法均可）并计算各系数。(10分)
解：单位力作用弯矩图：
2l
F=1
0.5l
求解方程为：
{
y 1(t ) =-m 1y 1(t ) δ11-m 2y 2(t ) δ12+δ1P F P (t ) y 2(t ) =-m 1y 1(t ) δ21-m 2y 2(t ) δ22+δ2P F P (t )
11l 2l l 3
δ11=⨯⨯2l ⨯⨯⨯=
EI 22326EI 11216l 3
δ22=⨯⨯2l ⨯4l ⨯⨯2l =
EI 233EI
3
-11l 21l
δ21=δ12=⨯⨯⨯l ⨯(l +l +l ) =-
EI 22332EI -11l 21111l 3
δ1P =⨯⨯⨯l ⨯(⨯l +⨯l +l ) =-
EI 22323224EI 1⎛1514⎫13l 3
δ2P =⨯ l 2⨯l +⨯2l ⨯l ⨯l ⎪=
EI ⎝2323⎭6EI
2、求下图所示体系的自振频率。（10分）
m 1
m 2
B
解：如图假设，所设转角为θ，向点A 取矩
-m 2y 2(t )
l l
M =-m ⋅⋅θ⋅-m 2⋅l ⋅θ⋅l +(
-k θl 2)=0∑A 1
22⎛l 2⎫22
m +l m 12⎪θ+k θl =0⎝4⎭
kl 2k 2
故ω=2=
m 1l 2
+m 2m 1+l m 2
44
则ω=
3、试求图示集中质量体系的自振频率。设各杆EI=常数（15分） 解：如图所示，有两个自由度。
0.5l
M 1图
0.5l
M 2图
1l 2l 1l 3
δ11=⨯2l ⨯⨯⨯⨯=, δ12=δ21=0
2232EI 6EI
l 2l 12⎫1l 3⎛1
δ22=
⨯l ⨯⨯⨯⨯2+⨯l ⨯l ⨯l ⎪=
223223EI 2EI ⎝⎭
设
λ=
1
ω
2
1
则：λ2=, 其中，δ12⋅δ21=0
δ11+δ22)±δ11-δ22(
=m
2
ml 3ml 3
故λ1=, λ2=
2EI 6EI 故ω1
ω2
4、如图所示简支梁跨中有一集中质量m ，在右支座处作用一动力矩M sin θt 。不计梁的质量，求跨中的最大竖向动位移，并作出该体系的动弯矩图（20分）
解：
y =δ11(
-my )+δ1P M sin θt 令ω2=
1
为自振频率的平方m δ11
故y +ω2y =ω2δ1P M sin θt 令y =A sin θt
则：-θ2A +ω2A =ω2⋅δ1P M 故A =
δ1P M 1
=y ⋅st 22
θ⎛⎫⎛θ⎫1- ⎪1- ⎪
ω⎝⎭⎝ω⎭
l 3l 3
而δ11=, δ1P =
6EI 4EI
Ml 2
ω==yst =δ1P M =
4EI 故最大竖向动位移y max
1
l 32
1-θ
6EI
在t 时刻，其相当于M sin θt 的力与mA θ2sin θt 惯性力的作用。
sinθt
Ml 2=⋅4EI
弯矩图如下：
5、图示框架结构m 1=m ，m 2=2m ，层间刚度k 1=k 2=k 3=k ，假设横梁刚度为无限大并受突加动荷载F p (t )=F 0的作用，试采用振型分解法求解结构的动位移响应。（20分） 解：
k 11=2k , k 12=k 21=-k 2=k , k 22=k 2+k 3=2k k 11-ω2m 1
k 12解得ω2
1⎛2k 2k ⎫2
则：ω= +⎪±2⎝m 2m ⎭=
k m k 12k 22-ω2m 2
=0
代入k 11, k 12, k 21, k 22, m 1=m , m 2=2m
则ω1=ω2=Y 11-k 12k 1===
Y 21k 11-ω12m 12k -0.63397k m 1.366
1m
Y 12-k 12k 1===
Y 22k 11-ω22m 12k -2.36603m 0.36601
1m
⎛m 0⎫⎛1⎫T
求广义质量：M 1={Y }1[M ]{Y }1=(1,1.366) ⎪⎪m =4.732m
⎝02m ⎭⎝1.366⎭
⎛m 0⎫⎛1⎫T
M 2={Y }2[M ]{Y }2=(1, -0.366) ⎪⎪m =1.268m
02m -0.366⎝⎭⎝⎭⎛0⎫F =1,1.366{}() ⎪=1. 366F 0
⎝F 0⎭
⎛0⎫T
F 2(t )={Y }2{F }=(1, -0.366) ⎪=-0.366F 0
⎝F 0⎭1.366F 0
求正则坐标：η1+ω12η1=
M 1求广义荷载：F 1(t )={Y }1
T
有η1=
1.366F 0F 0
1-cos ωt =0.4553()(1-cos ω1t )1
M 1ω12k
-0.366F 0
M 2
η2+ω22η2=
有η2=
-0.366F 0F 0
1-cos ωt =-0.122()(1-cos ω2t )2
M 2ω22k
⎧y 1⎫⎛11.366⎫⎧η1⎫
⎨⎬= ⎪⎨⎬⎩y 2⎭⎝1-0.366⎭⎩η2⎭
F F
∴y 1=0.45530(1-cos ω1t )-0.16660(1-cos ω2t )
k k F F
y 2=0.41530(1-cos ω1t )+0.044650(1-cos ω2t )
k k