同济大学2010年期终考试_本科_弹性力学_-A卷试题及答案

同济大学课程考核试卷（A卷） 2010 — 2011 学年第 1 学期

命题教师签名： 审核教师签名： 课号： 030192 课名：弹性力学 考试（ √ ）考查（ ）

此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷，开卷（ ）、闭卷（ √ ）

年级 专业 学号 姓名 得分

一．是非题（正确，在括号中打√；错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 1. 实对称二阶张量的不同特征矢量必相互垂直。 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

（ ）

与转角无关的应力称为轴对称应力。 （ ） 只要已知应力张量，就可以求出任意微分面上的应力矢量。 （ ） 平衡方程（含剪应力互等定理）和已知面力的边界条件都是平衡条件。（ ） 行列式不为零的二阶张量一定可逆。 （ ） 本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。 （ ） 应力张量的三个主应力与坐标系无关。 （ ）

弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的正方向为正。 （ ） 9. 最大剪应力出现的微分面上，正应力为零。 （ ） 10. 均匀材料是各向同性的。 （ ） 11. 正交各向异性材料共有9个独立的弹性系数。 （ ） 12. 运动可能位移在边界上为零。 （ ） 13. 平面应变问题物体的几何形状是柱体，且其轴向尺度远大于横向尺度。（ ） 14. 带圆孔的双向受（等）拉无限大板，在圆孔边上的拉应力最大。 （ ） 15. 瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。 （ ）

二．分析题（共30分，每小题10分）

523x2y2z2

1、已知一个椭球体1，所受应力状态为ijji。求物体表面点（1，2）

916256

处所受的面力T。

2、设在一个确定的坐标系中的应变分量为ij，让坐标系绕x轴转动θ角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量2’，1’。 2’3’

3、已知标量场函数x,yxy和矢量场函数ux,y2xe13yze2xye3，计算

2

2

,u,u。

三．计算题（共40分）

1、在图1示的矩形截面柱的右侧面上作用有均布向下面力q，在柱的顶部上作用有均布向下面力p。设应力函数为

y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2 （其中，A、B、C、D、E均为待定参数）

求出相应的应力分量（不计体力）。（本题13分）

px

1

y

图1 图2

2、如图2所示一大坝，



4

，其一侧面受线性分布的面力qr，不计体力，求应力分量r，

3

，r。提示：应力函数r（AcosBsinCcos3Dsin3）。（本题15分）

3、一端固定，一端简支的梁，其跨度为3l，抗弯刚度EI为常数。在xl处受集中荷载p作用，在在x2l处受弹簧k支撑，如图3所示。设位移函数取为wAxBx，试用瑞利—（本题

12分）

李兹法求解梁挠度w

。

2

3

图3

同济大学课程考核试卷（A卷）答案 2010 — 2011 学年第 1 学期

课号： 030192 课名：弹性力学 考试（ √ ）考查（ ）

此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷，开卷（ ）、闭卷（ √ ）

一．是非题（正确，在括号中打√；错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 16. 实对称二阶张量的不同特征矢量必相互垂直。

（ × ）

17. 与转角无关的应力称为轴对称应力。 （ × ） 18. 只要已知应力张量，就可以求出任意微分面上的应力矢量。 （ √ ） 19. 平衡方程（含剪应力互等定理）和已知面力的边界条件都是平衡条件。（ √ ） 20. 行列式不为零的二阶张量一定可逆。 （ √ ） 21. 本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。 （ × ） 22. 应力张量的三个主应力与坐标系无关。 （ √ ）

23. 弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的

正方向为正。 （ √ ） 24. 最大剪应力出现的微分面上，正应力为零。 （ × ） 25. 均匀材料是各向同性的。 （ × ） 26. 正交各向异性材料共有9个独立的弹性系数。 （ √ ） 27. 运动可能位移在边界上为零。 （ × ） 28. 平面应变问题物体的几何形状是柱体，且其轴向尺度远大于横向尺度。（ ○ ）

(注意此题虽然是大多数教科书的提法，但有些学生在答卷中指出了薄板的两面刚性约束时的特殊情形，故建议此题无论对错均判为正确。)

29. 带圆孔的双向受（等）拉无限大板，在圆孔边上的拉应力最大。 30. 瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。

二．分析题（共30分，每小题10分） 1、解：椭球体表面任意一点的梯度为

（ √ ） （ √ ）

x2y2z2

f（x,y,z）10

91625fff2xy2zfx,y,z9,8,25



则点1,2,



523

处梯度为 6

5232123,, f1,2,69415

则过点1,2,

（5分）

523

处的切平面的单位矢量n为 6

n

f

0.48,0.54,0.69 f

物体表面点1,2,

523

处所受的面力T为 6

(5分)

000.48

0.54 n

00Tnσ

000.69

2、解：变换系数为：

1'11;1'20;1'30;

2'10;2'2cos;2'3sin; 3'10;3'2sin;3'3cos

由变换i'j'

（5分）

i'ij'jij得

(5分)

1'3'1'i3'jijsin12cos13

2'2'2'i2'jijcos22sin33sin223

3、解：

2

2

2xe12ye2

（3分）

uuj,ieiej2e1e1ye1e33ze2e2xe2e33ye3e2

（3分）

e1e2

u

xy2x3yz

三．计算题（共40分）

1、解：

e3

x3ye1ye2  zxy

（4分）

（1）所给出的应力函数满足220 （2）

2

各应力分量： x20

y

（3分） （10分）

2

y2y(6Ax2B)6Dx2E

x

2

3Ax22BxCxy

xy

qqp由边界条件可得：A

h2，Bh，D0，E2

故应力解为：2q6q3q2x0，yhyh，q

2xypxyh2x2h

x

2、解:

(1)设应力函数r（3

AcosBsinCcos3Dsin3），代入协调方程：220，经验证，满足。

(2)应力分量：

112r

rr

r22

r（2Acos2Bsin6Ccos36Dsin3）

2r

2

6r（AcosBsinCcos3Dsin3））

1r

r(r

2r（AsinBcos3Csin33Dcos3） (3)

应力边界条件为

当0时，qr，r0。 当



4

时，0，r0。

将应力解（2）代入上式得

A0,Bq4,Cqq

6,D12

故得应力分量为：

11rqr(2sincos32sin3)

31

qr(2

sincos32sin3)

1

1rqr(2cossin32

cos3)

3、解：

位移函数满足位移边界条件，故有

wx0,3l

0 即 A3l2

B3l3

0

3分）3分）9分）

（ （

（

故 A3Bl

（4分）

则位移函数为： wB3lx2

x3



梁的形变势能为

UEI3ld2w20(2

dx2dxEI3l2

0B2(6l6x)2

dx 54EIB2l3

总势能为

UP.w1xl

k.w22

x2l

54EIB2l3(P)B3l3l3

1kB2

2

2

4l3

54EIB2l32PBl38kB2l6

(注意此题的外力P方向向下，应为-P) 应用瑞利—李兹法有



B

0，得： 

108EIl3B2Pl316kl6B

B0

解之得BP

54EI8kl3

，

进而得梁挠度w。

6分）2分）（

（

同济大学课程考核试卷（A卷） 2010 — 2011 学年第 1 学期

命题教师签名： 审核教师签名： 课号： 030192 课名：弹性力学 考试（ √ ）考查（ ）

此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷，开卷（ ）、闭卷（ √ ）

年级 专业 学号 姓名 得分

一．是非题（正确，在括号中打√；错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 1. 实对称二阶张量的不同特征矢量必相互垂直。 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

（ ）

与转角无关的应力称为轴对称应力。 （ ） 只要已知应力张量，就可以求出任意微分面上的应力矢量。 （ ） 平衡方程（含剪应力互等定理）和已知面力的边界条件都是平衡条件。（ ） 行列式不为零的二阶张量一定可逆。 （ ） 本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。 （ ） 应力张量的三个主应力与坐标系无关。 （ ）

弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的正方向为正。 （ ） 9. 最大剪应力出现的微分面上，正应力为零。 （ ） 10. 均匀材料是各向同性的。 （ ） 11. 正交各向异性材料共有9个独立的弹性系数。 （ ） 12. 运动可能位移在边界上为零。 （ ） 13. 平面应变问题物体的几何形状是柱体，且其轴向尺度远大于横向尺度。（ ） 14. 带圆孔的双向受（等）拉无限大板，在圆孔边上的拉应力最大。 （ ） 15. 瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。 （ ）

二．分析题（共30分，每小题10分）

523x2y2z2

1、已知一个椭球体1，所受应力状态为ijji。求物体表面点（1，2）

916256

处所受的面力T。

2、设在一个确定的坐标系中的应变分量为ij，让坐标系绕x轴转动θ角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量2’，1’。 2’3’

3、已知标量场函数x,yxy和矢量场函数ux,y2xe13yze2xye3，计算

2

2

,u,u。

三．计算题（共40分）

1、在图1示的矩形截面柱的右侧面上作用有均布向下面力q，在柱的顶部上作用有均布向下面力p。设应力函数为

y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2 （其中，A、B、C、D、E均为待定参数）

求出相应的应力分量（不计体力）。（本题13分）

px

1

y

图1 图2

2、如图2所示一大坝，



4

，其一侧面受线性分布的面力qr，不计体力，求应力分量r，

3

，r。提示：应力函数r（AcosBsinCcos3Dsin3）。（本题15分）

3、一端固定，一端简支的梁，其跨度为3l，抗弯刚度EI为常数。在xl处受集中荷载p作用，在在x2l处受弹簧k支撑，如图3所示。设位移函数取为wAxBx，试用瑞利—（本题

12分）

李兹法求解梁挠度w

。

2

3

图3

同济大学课程考核试卷（A卷）答案 2010 — 2011 学年第 1 学期

课号： 030192 课名：弹性力学 考试（ √ ）考查（ ）

此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷，开卷（ ）、闭卷（ √ ）

一．是非题（正确，在括号中打√；错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 16. 实对称二阶张量的不同特征矢量必相互垂直。

（ × ）

17. 与转角无关的应力称为轴对称应力。 （ × ） 18. 只要已知应力张量，就可以求出任意微分面上的应力矢量。 （ √ ） 19. 平衡方程（含剪应力互等定理）和已知面力的边界条件都是平衡条件。（ √ ） 20. 行列式不为零的二阶张量一定可逆。 （ √ ） 21. 本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。 （ × ） 22. 应力张量的三个主应力与坐标系无关。 （ √ ）

23. 弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的

正方向为正。 （ √ ） 24. 最大剪应力出现的微分面上，正应力为零。 （ × ） 25. 均匀材料是各向同性的。 （ × ） 26. 正交各向异性材料共有9个独立的弹性系数。 （ √ ） 27. 运动可能位移在边界上为零。 （ × ） 28. 平面应变问题物体的几何形状是柱体，且其轴向尺度远大于横向尺度。（ ○ ）

(注意此题虽然是大多数教科书的提法，但有些学生在答卷中指出了薄板的两面刚性约束时的特殊情形，故建议此题无论对错均判为正确。)

29. 带圆孔的双向受（等）拉无限大板，在圆孔边上的拉应力最大。 30. 瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。

二．分析题（共30分，每小题10分） 1、解：椭球体表面任意一点的梯度为

（ √ ） （ √ ）

x2y2z2

f（x,y,z）10

91625fff2xy2zfx,y,z9,8,25



则点1,2,



523

处梯度为 6

5232123,, f1,2,69415

则过点1,2,

（5分）

523

处的切平面的单位矢量n为 6

n

f

0.48,0.54,0.69 f

物体表面点1,2,

523

处所受的面力T为 6

(5分)

000.48

0.54 n

00Tnσ

000.69

2、解：变换系数为：

1'11;1'20;1'30;

2'10;2'2cos;2'3sin; 3'10;3'2sin;3'3cos

由变换i'j'

（5分）

i'ij'jij得

(5分)

1'3'1'i3'jijsin12cos13

2'2'2'i2'jijcos22sin33sin223

3、解：

2

2

2xe12ye2

（3分）

uuj,ieiej2e1e1ye1e33ze2e2xe2e33ye3e2

（3分）

e1e2

u

xy2x3yz

三．计算题（共40分）

1、解：

e3

x3ye1ye2  zxy

（4分）

（1）所给出的应力函数满足220 （2）

2

各应力分量： x20

y

（3分） （10分）

2

y2y(6Ax2B)6Dx2E

x

2

3Ax22BxCxy

xy

qqp由边界条件可得：A

h2，Bh，D0，E2

故应力解为：2q6q3q2x0，yhyh，q

2xypxyh2x2h

x

2、解:

(1)设应力函数r（3

AcosBsinCcos3Dsin3），代入协调方程：220，经验证，满足。

(2)应力分量：

112r

rr

r22

r（2Acos2Bsin6Ccos36Dsin3）

2r

2

6r（AcosBsinCcos3Dsin3））

1r

r(r

2r（AsinBcos3Csin33Dcos3） (3)

应力边界条件为

当0时，qr，r0。 当



4

时，0，r0。

将应力解（2）代入上式得

A0,Bq4,Cqq

6,D12

故得应力分量为：

11rqr(2sincos32sin3)

31

qr(2

sincos32sin3)

1

1rqr(2cossin32

cos3)

3、解：

位移函数满足位移边界条件，故有

wx0,3l

0 即 A3l2

B3l3

0

3分）3分）9分）

（ （

（

故 A3Bl

（4分）

则位移函数为： wB3lx2

x3



梁的形变势能为

UEI3ld2w20(2

dx2dxEI3l2

0B2(6l6x)2

dx 54EIB2l3

总势能为

UP.w1xl

k.w22

x2l

54EIB2l3(P)B3l3l3

1kB2

2

2

4l3

54EIB2l32PBl38kB2l6

(注意此题的外力P方向向下，应为-P) 应用瑞利—李兹法有



B

0，得： 

108EIl3B2Pl316kl6B

B0

解之得BP

54EI8kl3

，

进而得梁挠度w。

6分）2分）（

（