自锚式悬索桥的计算
北京迈达斯技术有限公司
2004.12
目 录
1. 使用精确分析方法确定自锚式悬索桥三维形状
2. 三维悬索桥建模助手(索体系平衡状态)
2.1 简化的索体系平衡状态分析方法(Ohtsuki方法)
2.1.1 竖向平面内分析 2.1.2 水平面内分析
2.2 精确的索体系平衡状态分析方法 3. 悬索桥分析控制(整体结构体系平衡状态)
1. 使用精确分析方法确定自锚式悬索桥三维形状
决定自锚式悬索桥形状的精确分析一般分为两个阶段。如下列流程图所示，第一个阶段确定整体结构形成前状态(无应力索长状态)，第二个阶段确定包含加劲梁、索塔墩等全部结构体系形成后的状态。
2. 三维悬索桥建模助手(索体系平衡状态)
图1. 悬索桥建模助手
MIDAS/Civil的悬索桥建模助手用于前面所述的确定整体结构形成前状态(无应力索长状态)的程序，建模助手内部又经历了两个步骤的分析过程。第一个步骤使用Ohtsuki博士的简化计算方法进行简化的初始平衡分析，在此阶段通过输入的加劲梁的均布荷载和Y、Z方向的垂度确定主缆的水平力和其三维坐标。第二个步骤为精确的初始平衡分析阶段，是使用前一步骤得到的主缆坐标和水平张力，通过非线性分析计算准确的索无应力长状态。
图2. 悬索桥建模助手
2.1 简化的索体系平衡状态分析方法(Ohtsuki方法)
下面介绍悬索桥建模助手的第一个步骤中使用的Ohtsuki方法。
该方法采用了日本Ohtsuki博士使用的计算索平衡状态方程式，其基本假定如下： (1) 吊杆仅在横桥向倾斜，始终垂直于顺桥向。 (2) 主缆张力沿顺桥向分量在全跨相同。
(3) 主缆与吊杆的连接节点之间的索呈直线形状，而非抛物线形状。
(4) 主缆两端坐标、跨中垂度、吊杆在加劲梁上的吊点位置、加劲梁的恒荷载等为已知量。
吊杆间主缆的张力分布如下图所示。
图3. 主缆张力
一般来说将索分别投影在竖向和水平面上，利用在各自平面上张力和恒荷载的平衡关系进行分析，下面分别介绍竖向和水平面的分析过程。
2.1.1 竖向平面内的分析
下图为主缆的竖向平面投影，假设一个跨度内的吊杆数量为N-1，则吊杆将该跨分割成
N跨。
图4. 投影在X-Z平面上的主缆形状和力的平衡
在此，Wsi是加劲梁和吊杆平均到到主缆上的均布荷载，Wci是主缆的自重。根据力的平衡条件，在第i个节点位置的平衡方程式如下。
Ti
dilid1l1
=Ti+1
di+1li+1
(i=1,2,...,N−1)
T1
=T2
d2l2
=Λ=TN
dNlN
=Tx
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(a)
在此Ti为节点i-1和节点i之间的主缆单元的张力，li是主缆单元的长度，Tx是主缆张力的水平分量，主缆张力的水平分量在全跨相同。
在横桥向，即Y-Z平面上的力的平衡如图5所示。
MIDAS/Civil技术资料
图5. Y-Z平面上的平衡
在Y-Z平面上的平衡方程如下:
Ti
zi−zi−1
li
−Ti+1
zi+1−zi
li+1
=Pi
zGi−zi
hi
+Wci
(i=1,2,...,N−1)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(b)
在此Pi是第i个吊杆的张力，hi是吊杆的长度。 由(a)和(b)可以得到N-1个方程。
⎛zi−1−zizi−zi+1⎞
⎟+Tx⎜⎜−d⎟dii+1⎝⎠(i=1,2,...,N−1)
=Pi
zGi−zi
hi
+Wci=Wsi+Wci
在此，Wsi是均分到主缆上的加劲梁和吊杆的荷载，Wci是主缆自重。上面公式中的位置数为zi
(i=1,2,...,N−1)和Tx，共有N个未知数，所以还需要一个条件才能解开方程
组。追加条件使用下列跨中的垂度f与跨中、两边吊杆的竖向坐标的关系公式。
MIDAS/Civil技术资料
zN
2
=
12
(zN
+
z0)+
f
2.1.2 水平面内的分析
与竖向平面的分析一样，也可以得到如下N-1个水平面内的平衡关系公式。
⎛yi−1−yiyi−yi+1⎞
⎟Tx⎜+⎜−⎟ddii+1⎝⎠
=
Pi
yGi−yi
hi
=Wsi
yGi−yizGi−zi
(i=1,2,...,N−1)
在此，水平张力Tx可由竖向平面内的分析获得，主缆两端的y坐标y0,所共有N-1的未知数yi (i=1,2,...,N−1)，所以方程组可解。
yN为已知值，
由上面的Ohtsuki博士的简化方法确定了初始的几何形状(主缆坐标、加劲梁坐标)和主缆的水平张力，由这些结果和建模助手中输入的信息，可初步形成主缆结构体系(参见图
6)。
图6. 使用简化计算方法获得的初始几何形状
2.2 精确的索体系平衡状态分析
悬索桥建模助手内部进行的第二步骤分析，即初始平衡状态的精确分析分析流程图如下。
由流程图可看出其过程为使用简化方法计算获得的水平张力和主缆的初始形状，利用悬索单元的柔度矩阵重新进行迭代分析。当获得了所有主缆单元的无应力长之后，则构成由主缆和吊杆组成的索的体系(参见图7)，主缆两端、索塔墩底部、吊杆下端均按固接处理。当将无应力索长赋予悬索单元时，将产生不平衡力引起结构变形，然后通过坐标的变化判断收敛与否，当不收敛时则更新坐标重新计算无应力索长直至收敛，建模助手分析结束。
图7. 进行索体系分析使用的边界条件
3. 悬索桥分析控制(整体结构体系平衡状态)
图8. 悬索桥分析控制对话况
本阶段以建模助手生成的主缆坐标、无应力索长、水平张力为基础进行悬索桥整体结构的初始平衡状态分析。
地锚式悬索桥在建模助手建立的模型基础上，编辑和小范围调整加劲梁对索的无应力长度和主缆坐标影响不是很大，一般来说直接采用建模助手值即可，当需要做精密的分析时也可采用本步骤的操作进行第二阶段分析。
自锚式悬索桥的加劲梁受较大轴力的作用，加劲梁端部和索墩锚固位置会发生较大变化，即主缆体系将发生变化，所以从严格意义来说前面建模助手获得的索体系和无应力长与实际并不相符。所以必须对整体结构重新进行精密分析。
对于自锚式悬索桥，将主缆和吊杆的力按静力荷载加载到由索塔墩和加劲梁组成的杆系结构上，计算加劲梁和索塔墩的初始内力，并将其作用在整体结构上。通过反复计算直至收敛，获得整体结构的初始平衡状态。
对于地锚式悬索桥，同样将调整结构体系后追加产生的构件的重量和主缆以及吊杆的力作用于整体结构上反复计算直到收敛。
自锚式悬索桥的计算
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1. 使用精确分析方法确定自锚式悬索桥三维形状
2. 三维悬索桥建模助手(索体系平衡状态)
2.1 简化的索体系平衡状态分析方法(Ohtsuki方法)
2.1.1 竖向平面内分析 2.1.2 水平面内分析
2.2 精确的索体系平衡状态分析方法 3. 悬索桥分析控制(整体结构体系平衡状态)
1. 使用精确分析方法确定自锚式悬索桥三维形状
决定自锚式悬索桥形状的精确分析一般分为两个阶段。如下列流程图所示，第一个阶段确定整体结构形成前状态(无应力索长状态)，第二个阶段确定包含加劲梁、索塔墩等全部结构体系形成后的状态。
2. 三维悬索桥建模助手(索体系平衡状态)
图1. 悬索桥建模助手
MIDAS/Civil的悬索桥建模助手用于前面所述的确定整体结构形成前状态(无应力索长状态)的程序，建模助手内部又经历了两个步骤的分析过程。第一个步骤使用Ohtsuki博士的简化计算方法进行简化的初始平衡分析，在此阶段通过输入的加劲梁的均布荷载和Y、Z方向的垂度确定主缆的水平力和其三维坐标。第二个步骤为精确的初始平衡分析阶段，是使用前一步骤得到的主缆坐标和水平张力，通过非线性分析计算准确的索无应力长状态。
图2. 悬索桥建模助手
2.1 简化的索体系平衡状态分析方法(Ohtsuki方法)
下面介绍悬索桥建模助手的第一个步骤中使用的Ohtsuki方法。
该方法采用了日本Ohtsuki博士使用的计算索平衡状态方程式，其基本假定如下： (1) 吊杆仅在横桥向倾斜，始终垂直于顺桥向。 (2) 主缆张力沿顺桥向分量在全跨相同。
(3) 主缆与吊杆的连接节点之间的索呈直线形状，而非抛物线形状。
(4) 主缆两端坐标、跨中垂度、吊杆在加劲梁上的吊点位置、加劲梁的恒荷载等为已知量。
吊杆间主缆的张力分布如下图所示。
图3. 主缆张力
一般来说将索分别投影在竖向和水平面上，利用在各自平面上张力和恒荷载的平衡关系进行分析，下面分别介绍竖向和水平面的分析过程。
2.1.1 竖向平面内的分析
下图为主缆的竖向平面投影，假设一个跨度内的吊杆数量为N-1，则吊杆将该跨分割成
N跨。
图4. 投影在X-Z平面上的主缆形状和力的平衡
在此，Wsi是加劲梁和吊杆平均到到主缆上的均布荷载，Wci是主缆的自重。根据力的平衡条件，在第i个节点位置的平衡方程式如下。
Ti
dilid1l1
=Ti+1
di+1li+1
(i=1,2,...,N−1)
T1
=T2
d2l2
=Λ=TN
dNlN
=Tx
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(a)
在此Ti为节点i-1和节点i之间的主缆单元的张力，li是主缆单元的长度，Tx是主缆张力的水平分量，主缆张力的水平分量在全跨相同。
在横桥向，即Y-Z平面上的力的平衡如图5所示。
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图5. Y-Z平面上的平衡
在Y-Z平面上的平衡方程如下:
Ti
zi−zi−1
li
−Ti+1
zi+1−zi
li+1
=Pi
zGi−zi
hi
+Wci
(i=1,2,...,N−1)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(b)
在此Pi是第i个吊杆的张力，hi是吊杆的长度。 由(a)和(b)可以得到N-1个方程。
⎛zi−1−zizi−zi+1⎞
⎟+Tx⎜⎜−d⎟dii+1⎝⎠(i=1,2,...,N−1)
=Pi
zGi−zi
hi
+Wci=Wsi+Wci
在此，Wsi是均分到主缆上的加劲梁和吊杆的荷载，Wci是主缆自重。上面公式中的位置数为zi
(i=1,2,...,N−1)和Tx，共有N个未知数，所以还需要一个条件才能解开方程
组。追加条件使用下列跨中的垂度f与跨中、两边吊杆的竖向坐标的关系公式。
MIDAS/Civil技术资料
zN
2
=
12
(zN
+
z0)+
f
2.1.2 水平面内的分析
与竖向平面的分析一样，也可以得到如下N-1个水平面内的平衡关系公式。
⎛yi−1−yiyi−yi+1⎞
⎟Tx⎜+⎜−⎟ddii+1⎝⎠
=
Pi
yGi−yi
hi
=Wsi
yGi−yizGi−zi
(i=1,2,...,N−1)
在此，水平张力Tx可由竖向平面内的分析获得，主缆两端的y坐标y0,所共有N-1的未知数yi (i=1,2,...,N−1)，所以方程组可解。
yN为已知值，
由上面的Ohtsuki博士的简化方法确定了初始的几何形状(主缆坐标、加劲梁坐标)和主缆的水平张力，由这些结果和建模助手中输入的信息，可初步形成主缆结构体系(参见图
6)。
图6. 使用简化计算方法获得的初始几何形状
2.2 精确的索体系平衡状态分析
悬索桥建模助手内部进行的第二步骤分析，即初始平衡状态的精确分析分析流程图如下。
由流程图可看出其过程为使用简化方法计算获得的水平张力和主缆的初始形状，利用悬索单元的柔度矩阵重新进行迭代分析。当获得了所有主缆单元的无应力长之后，则构成由主缆和吊杆组成的索的体系(参见图7)，主缆两端、索塔墩底部、吊杆下端均按固接处理。当将无应力索长赋予悬索单元时，将产生不平衡力引起结构变形，然后通过坐标的变化判断收敛与否，当不收敛时则更新坐标重新计算无应力索长直至收敛，建模助手分析结束。
图7. 进行索体系分析使用的边界条件
3. 悬索桥分析控制(整体结构体系平衡状态)
图8. 悬索桥分析控制对话况
本阶段以建模助手生成的主缆坐标、无应力索长、水平张力为基础进行悬索桥整体结构的初始平衡状态分析。
地锚式悬索桥在建模助手建立的模型基础上，编辑和小范围调整加劲梁对索的无应力长度和主缆坐标影响不是很大，一般来说直接采用建模助手值即可，当需要做精密的分析时也可采用本步骤的操作进行第二阶段分析。
自锚式悬索桥的加劲梁受较大轴力的作用，加劲梁端部和索墩锚固位置会发生较大变化，即主缆体系将发生变化，所以从严格意义来说前面建模助手获得的索体系和无应力长与实际并不相符。所以必须对整体结构重新进行精密分析。
对于自锚式悬索桥，将主缆和吊杆的力按静力荷载加载到由索塔墩和加劲梁组成的杆系结构上，计算加劲梁和索塔墩的初始内力，并将其作用在整体结构上。通过反复计算直至收敛，获得整体结构的初始平衡状态。
对于地锚式悬索桥，同样将调整结构体系后追加产生的构件的重量和主缆以及吊杆的力作用于整体结构上反复计算直到收敛。