实验一 轴的临界转速试验
一、实验目的
1、掌握轴的临界转速实测方法，即特定系统固有频率的测定； 2、掌握几种简单的临界转速的计算方法；
3、观察轴在通过临界转速时的现象及影响临界转速的因素。
二、理论计算
当轴的转速等于该系统的固有频率时，就发生共振，轴在此时的振动、振幅最大，这时的转速称为临界转速。因此，求轴的临界转速，其实质就是求该系统的固有频率。
1、简支、一端外伸、单转子系统的固有频率计算（忽略轴自重和转子的回转效应） 如图所示，设转子重量为W(N)。
图1-1
支承间距b(m)，转子距轴承a (m)。其固有角频率为：
ϖn =
其固有频率为： w n =
K ∙g
rad/s (1-1) W
12πK ⋅g
Hz (1-2) W
图示支承系统的刚性系数K K =
3EI
N/m (1-3) 2
a +b a
2、简支、一端外伸、考虑轴自重的固有频率计算（无转子），如图所示，设轴的均布荷载为q(N/m)。
图1-2
根据能量法（瑞利法），用一当量荷载代替轴的均布荷载，加在轴端c 上，其中振动曲线
用静挠度曲线代替，其表达式为
y 1=y c (
1
)(x 3-b 2x ) 0≤x ≤b
2ba (a +l )
1(a +b )
)(x 3-(x -b ) 3-b 2x ) b ≤x ≤(b +a ) (1-4)
y 2=y c (2ba (a +b ) a
其最大动能：
b
(KE ) =1q y 22MAX
2g (1
2c ⎰la (a +b )
) (x 3-b 2x ) dx + 02a +b
1q 2g
y 2
c ⎰
(
1ba (a +b ) ) 2(x 3-(a +b )
a
(x -b ) 3-b 2x ) 2l
2dx 当a=61 mm b=13mm
(KE ) =
1bq 2(1. 185g
) y
2
c 当量重量w 1 =1.185qb 必须指出，随着支撑间距的变化，当量重量w 1也不断变化
（2）克雷洛夫函数法
按图1-2 令C=a+b，若按无阻尼弯曲振动微分方程式求解后，其固有角频率：
ϖ=λ2⋅
EJ
q
(1/s) λ应满足下列条件
V(λb) 0
△(λS )= V(λC) T(λC) T[λ(C-b)] =0 S(λC) S[λ(C-b)
式中 S 、 T 、 U 、 V 为园函数和双曲函数的组合，即 ：
S(λX)=12[ch (λX ) +cos(λX)]
T(λX)=1
2[sh (λX ) +sin(λX)] U (λX)=1
2[ch (λX ) -cos(λX)]
V(λX)=1
2
[sh (λX ) -sin(λX)]
称为克雷洛夫函数，式中X=(b、C 、C-b) 等。
sh (x ) =
e x -e -x 2=x +x 33! +x 55! +x 7
7! + (-∞
e x +e -x x 2x 421+2! +4! +x 6
=6!
+ (-∞
(1-6) (1-7) (1-8)
(1-8-1)
x 3x 5x 7
+-+ (-∞
3! 5! 7! x 2x 4x 6
+++ (-∞
2! 4! 6!
式（1-8）用试算法求解，先令λ=λ1，求出△(λ1S )值，再令λ=λ2，求出△(λ2S )值，满足（1-8）式的λ值近似直线关系：
λ3=
λ1△(λ2s ) -λ2△(λ1S )
（1-8-3）
△(λ2S ）-△（λ1S )
-4
直到△(λS )=0时为止，实际上△(λS )≤10即可。，每一个振型，都有一个满足（1-8）
式的λ值。该方法可以求出轴的高阶固有频率。
3、单转子、考虑轴自重（不考虑转子的回转效应）的固有角频率计算。
（1）累加法（邓克莱法）
1
2ϖn
=
1
ϖ12
+
1
2ϖ2
rad/s (1-9)
计算结果为临界范围低限 （2）对多自由度系统
根据瑞利法 a) 对于梁上有多个质点 m i
1w n =
2π
g
∑m y
i
n
i
∑m y
i
i =1n i
i =1n
Hz (1-10)
2i
b) 对于梁上有多个质点 m i ，且有均布质量q
w n =
12π
∑m y
i
i
g
+q ⎰y i (x ) d (x )
l
∑m
i
n
Hz (1-11)
i
y i 2+q ⎰y i 2(x ) d (x )
计算结果为临界范围高限
三、 实验装置、仪器设备及方法
1、试验装置如图所示
图1-3
1-可控硅直流电源；2-直流电机；3-挠性连轴节；4-滚动轴承 5-轴（φ15×800）；6-转子（1.42kg ）；7-限制器；8-底座
2、实验方法
（1） 实测临界转速
改变调速装置的输出电压，从而改变电机的转速，记录在升速和降速过程中最大振荡时的转数值。用转速表或测速仪直接测量。
（2） 测定轴的固有频率 实验装置如图1-4所示。
图 1-4
在轴不转动的请况下，轻轻敲击轴端。此时产生振动的频率即为该轴的固有频率，测定时将CD 一8一F 型非接触式传感器垂直于轴，〔尽量靠近轴承处〕与轴留有一定间隙安装固定。敲击轴端将自由振动转换成电讯号，将这一电信号送入GZZ 型六线测震仪进行信号放大，经输出检孔送出信号，将信号送至示波器的X （或Y ）轴，由声频信号发生器发出已知频率的信号送至示波器的另一轴上。调节声频直到示波器的荧光屏上出现稳定的利萨如图形为止，利萨如图形示于图1-5。当轴的固有频率和可调节的声频发生器的频率一致时利萨如图是个圆。如果不一致，就会出现图1—5所表示的形状。如图所示：
图1-5
（3）测定刚性系数 实验装置
1、百分表；2、砝码（2.45N ）
图1-6
刚性系数K ，就是在转子安装位置处。每产生单位长度挠度时的弹性反力．在测定时轴不转动。平稳放置砝码。测定前给百分表以初位移。并旋转表使指针指零。然后记录逐一加砝码和卸砝码时的百分表读数。测量其相应的挠度值y （Cm ）。则刚性系数K 为： K=G/y (N/cm) （1-12）
记录加卸砝码的读数取算术平均值。可计算单转子时的固有频率。
四、实验报告及讨论
1、简述本试验实测临界转速的测试方法； 2、用材料力学的方法计算轴的临界转速； 3、通过整理数据，讨论试验中的现象。
（附）临界转速计算
一、对于单转子系统，图1-1其振动频率
w n =
其转速
12π
k ⋅g g
=Hz W st
n k =60⋅w n rpm
其刚性系数 k =
3EI
N/m 2
a ⋅(a +l )
二、对于考虑具有均布重量q(N/m)轴的固有频率采用能量法计算（多自由系统）
即计算出一当量重量加在轴端上如图1-3所示，并假设其振动曲线为静力挠曲线，然后用下图形式进行计算
图1-7
根据材料力学，该系统的静力挠曲线方程 y =
W 1ax 32
(x -l x ) 0≤x ≤l
6EI ⋅l
y =
W 1a 3W 1(l +a ) W al
x -(x -l ) 3-1x l ≤x ≤(l +a )
6EI ⋅l 6EI ⋅l 6EI
用C 点的振幅表示：
W 1a 2(l +a ) 1x 3l 2x
y =⋅[-]
3EI 2l a (l +a ) a (l +a ) 1x 3l 2x
=y c ⋅[-]
2l a (l +a ) a (l +a )
0≤x ≤l
W 1a 2(l +a ) 1x 3(x -l ) 3l 2x
y =⋅[--]2
3EI 2l a (l +a ) a (l +a ) a
1x 3(x -l ) 3l 2x =y c ⋅[--] l ≤x ≤(l +a )
2l a (l +a ) a (l +a ) a 2
则具有梁的分布质量所产生的最大动能为
(KE ) max
⎧l 12⎫1q x 3l 2x 22
=y c ⋅⎨⎰() [-]dx ⎬+ 2g 2l a (l +a ) a (l +a ) ⎩0⎭
1q
c 2y 2g
(l +a ) ⎧⎫12x 3(x -l ) 3l 2x ⎪⎪2⋅⎨⎰() [--]dx ⎬ 2
2l a (l +a ) a a (l +a ) ⎪⎪⎩l ⎭
l +a
⎧l 322⎫1q 21(l +a ) 2
c (=y ) ⎨⎰(x -l x ) dx +⎰[x 3-(x -l ) 3-l 2x ]2dx ⎬ 2g 2la (l +a ) ⎩0a l ⎭
(l =130 a =600 W 1=q ⋅l ) 代入
(KE ) max
2
1q 13323322
={[(1. 21l -0. 21x ) +2(1. 21l -0. 21x )(3. 63x l -4. 63xl ) +6⎰2g 2870. 8l /
l
22
5. 7l
(3. 63x l -4. 63xl ) ]dx +⎰(x 6-2l 2x 4+x 2l 4) dx
1q 1x 71. 5246x 615. 1215x 534. 1218x 430. 2233x 3
=[0. -+-+-6
2gl 2870. 87654311. 2046x 2121
+1. 4641x ) |5.7l +(-+)]l
2753
1q 2l 7 c =y (1231. 579-8714. 47+18194-8996+1855. 6-176+6. 88+0. 076) 6
2g 2870. 8l 1ql 2
c =(1. 185) y
2g
所以，应将梁1. 185ql 的重量加到C 端。
三、当梁上有集中质量时, 同时考虑轴均布载荷q 自重
图1-8
（1）其振动频率为：
E =210GP a =2. 1⨯106kg /cm 2 轴 φ=15 mm
铜盘 W=1.42kg=13.916 N
EJ=521595.7 kg/cm2=521.5957 Nm2 q=0.0138kg/cm 考虑轴自重的频率 w 1=
13EI ⋅g
2
2π1. 185qla (l +a )
161. 48
=25. 71HZ 2π
w 1=
（其中角频率ϖ1=161. 48）
临界转速n k =60w n =1542⋅rpm
（2）单盘系统角频率 ϖ2=167. 9r a
（3）系统角频率 邓克莱法：
1
ϖ
2
=
1
ϖ
21
+
1
ϖ
22
；ϖ=115. 9，n k =1108rpm
瑞利法： ϖ=
g ⋅∑W i y i
i =1
n
∑W
i =1
n
I
y i 2
系统如图1-9所示：
图1-9
其中，轴承间距L ，重物W 2据中间支撑a 1当量载荷（轴端）据中间支撑a 2，则变形后图1-10 W1，W 2的各自挠度为y 1，y 2
1
图1-10
W 1a 12(a 1+l ) W 2a 1a 2(3a 2+2l ) y 1=+
3EJ 6EJ
2
W a (a +l ) W 1a 1a 2(3a 1+2l ) y 2=222+
3EJ 6EJ
y 1， y 2是在W 1、W 2共同作用下所产生的挠度
式中，单位力在作用点处的转角
θ11=
W i a 1(3a 1+2l )
.......... ..... W i =1
6EJ
W 1a 12(a 1+l ) h 1=
3EJ
2
W a (a +l ) h 2=222
3EJ
h 1、h 2分别为W 1、W 2单独作用时各自的挠度
W 1=0. 2126g .......... . W 2=1. 42g
a 1=4. 7l .......... a 2=2. 31l ......... l =13cm y 1=0. 11793cm ........ y 2=0. 05119cm
ϖ=119n k =1136rpm
实验一 轴的临界转速试验
一、实验目的
1、掌握轴的临界转速实测方法，即特定系统固有频率的测定； 2、掌握几种简单的临界转速的计算方法；
3、观察轴在通过临界转速时的现象及影响临界转速的因素。
二、理论计算
当轴的转速等于该系统的固有频率时，就发生共振，轴在此时的振动、振幅最大，这时的转速称为临界转速。因此，求轴的临界转速，其实质就是求该系统的固有频率。
1、简支、一端外伸、单转子系统的固有频率计算（忽略轴自重和转子的回转效应） 如图所示，设转子重量为W(N)。
图1-1
支承间距b(m)，转子距轴承a (m)。其固有角频率为：
ϖn =
其固有频率为： w n =
K ∙g
rad/s (1-1) W
12πK ⋅g
Hz (1-2) W
图示支承系统的刚性系数K K =
3EI
N/m (1-3) 2
a +b a
2、简支、一端外伸、考虑轴自重的固有频率计算（无转子），如图所示，设轴的均布荷载为q(N/m)。
图1-2
根据能量法（瑞利法），用一当量荷载代替轴的均布荷载，加在轴端c 上，其中振动曲线
用静挠度曲线代替，其表达式为
y 1=y c (
1
)(x 3-b 2x ) 0≤x ≤b
2ba (a +l )
1(a +b )
)(x 3-(x -b ) 3-b 2x ) b ≤x ≤(b +a ) (1-4)
y 2=y c (2ba (a +b ) a
其最大动能：
b
(KE ) =1q y 22MAX
2g (1
2c ⎰la (a +b )
) (x 3-b 2x ) dx + 02a +b
1q 2g
y 2
c ⎰
(
1ba (a +b ) ) 2(x 3-(a +b )
a
(x -b ) 3-b 2x ) 2l
2dx 当a=61 mm b=13mm
(KE ) =
1bq 2(1. 185g
) y
2
c 当量重量w 1 =1.185qb 必须指出，随着支撑间距的变化，当量重量w 1也不断变化
（2）克雷洛夫函数法
按图1-2 令C=a+b，若按无阻尼弯曲振动微分方程式求解后，其固有角频率：
ϖ=λ2⋅
EJ
q
(1/s) λ应满足下列条件
V(λb) 0
△(λS )= V(λC) T(λC) T[λ(C-b)] =0 S(λC) S[λ(C-b)
式中 S 、 T 、 U 、 V 为园函数和双曲函数的组合，即 ：
S(λX)=12[ch (λX ) +cos(λX)]
T(λX)=1
2[sh (λX ) +sin(λX)] U (λX)=1
2[ch (λX ) -cos(λX)]
V(λX)=1
2
[sh (λX ) -sin(λX)]
称为克雷洛夫函数，式中X=(b、C 、C-b) 等。
sh (x ) =
e x -e -x 2=x +x 33! +x 55! +x 7
7! + (-∞
e x +e -x x 2x 421+2! +4! +x 6
=6!
+ (-∞
(1-6) (1-7) (1-8)
(1-8-1)
x 3x 5x 7
+-+ (-∞
3! 5! 7! x 2x 4x 6
+++ (-∞
2! 4! 6!
式（1-8）用试算法求解，先令λ=λ1，求出△(λ1S )值，再令λ=λ2，求出△(λ2S )值，满足（1-8）式的λ值近似直线关系：
λ3=
λ1△(λ2s ) -λ2△(λ1S )
（1-8-3）
△(λ2S ）-△（λ1S )
-4
直到△(λS )=0时为止，实际上△(λS )≤10即可。，每一个振型，都有一个满足（1-8）
式的λ值。该方法可以求出轴的高阶固有频率。
3、单转子、考虑轴自重（不考虑转子的回转效应）的固有角频率计算。
（1）累加法（邓克莱法）
1
2ϖn
=
1
ϖ12
+
1
2ϖ2
rad/s (1-9)
计算结果为临界范围低限 （2）对多自由度系统
根据瑞利法 a) 对于梁上有多个质点 m i
1w n =
2π
g
∑m y
i
n
i
∑m y
i
i =1n i
i =1n
Hz (1-10)
2i
b) 对于梁上有多个质点 m i ，且有均布质量q
w n =
12π
∑m y
i
i
g
+q ⎰y i (x ) d (x )
l
∑m
i
n
Hz (1-11)
i
y i 2+q ⎰y i 2(x ) d (x )
计算结果为临界范围高限
三、 实验装置、仪器设备及方法
1、试验装置如图所示
图1-3
1-可控硅直流电源；2-直流电机；3-挠性连轴节；4-滚动轴承 5-轴（φ15×800）；6-转子（1.42kg ）；7-限制器；8-底座
2、实验方法
（1） 实测临界转速
改变调速装置的输出电压，从而改变电机的转速，记录在升速和降速过程中最大振荡时的转数值。用转速表或测速仪直接测量。
（2） 测定轴的固有频率 实验装置如图1-4所示。
图 1-4
在轴不转动的请况下，轻轻敲击轴端。此时产生振动的频率即为该轴的固有频率，测定时将CD 一8一F 型非接触式传感器垂直于轴，〔尽量靠近轴承处〕与轴留有一定间隙安装固定。敲击轴端将自由振动转换成电讯号，将这一电信号送入GZZ 型六线测震仪进行信号放大，经输出检孔送出信号，将信号送至示波器的X （或Y ）轴，由声频信号发生器发出已知频率的信号送至示波器的另一轴上。调节声频直到示波器的荧光屏上出现稳定的利萨如图形为止，利萨如图形示于图1-5。当轴的固有频率和可调节的声频发生器的频率一致时利萨如图是个圆。如果不一致，就会出现图1—5所表示的形状。如图所示：
图1-5
（3）测定刚性系数 实验装置
1、百分表；2、砝码（2.45N ）
图1-6
刚性系数K ，就是在转子安装位置处。每产生单位长度挠度时的弹性反力．在测定时轴不转动。平稳放置砝码。测定前给百分表以初位移。并旋转表使指针指零。然后记录逐一加砝码和卸砝码时的百分表读数。测量其相应的挠度值y （Cm ）。则刚性系数K 为： K=G/y (N/cm) （1-12）
记录加卸砝码的读数取算术平均值。可计算单转子时的固有频率。
四、实验报告及讨论
1、简述本试验实测临界转速的测试方法； 2、用材料力学的方法计算轴的临界转速； 3、通过整理数据，讨论试验中的现象。
（附）临界转速计算
一、对于单转子系统，图1-1其振动频率
w n =
其转速
12π
k ⋅g g
=Hz W st
n k =60⋅w n rpm
其刚性系数 k =
3EI
N/m 2
a ⋅(a +l )
二、对于考虑具有均布重量q(N/m)轴的固有频率采用能量法计算（多自由系统）
即计算出一当量重量加在轴端上如图1-3所示，并假设其振动曲线为静力挠曲线，然后用下图形式进行计算
图1-7
根据材料力学，该系统的静力挠曲线方程 y =
W 1ax 32
(x -l x ) 0≤x ≤l
6EI ⋅l
y =
W 1a 3W 1(l +a ) W al
x -(x -l ) 3-1x l ≤x ≤(l +a )
6EI ⋅l 6EI ⋅l 6EI
用C 点的振幅表示：
W 1a 2(l +a ) 1x 3l 2x
y =⋅[-]
3EI 2l a (l +a ) a (l +a ) 1x 3l 2x
=y c ⋅[-]
2l a (l +a ) a (l +a )
0≤x ≤l
W 1a 2(l +a ) 1x 3(x -l ) 3l 2x
y =⋅[--]2
3EI 2l a (l +a ) a (l +a ) a
1x 3(x -l ) 3l 2x =y c ⋅[--] l ≤x ≤(l +a )
2l a (l +a ) a (l +a ) a 2
则具有梁的分布质量所产生的最大动能为
(KE ) max
⎧l 12⎫1q x 3l 2x 22
=y c ⋅⎨⎰() [-]dx ⎬+ 2g 2l a (l +a ) a (l +a ) ⎩0⎭
1q
c 2y 2g
(l +a ) ⎧⎫12x 3(x -l ) 3l 2x ⎪⎪2⋅⎨⎰() [--]dx ⎬ 2
2l a (l +a ) a a (l +a ) ⎪⎪⎩l ⎭
l +a
⎧l 322⎫1q 21(l +a ) 2
c (=y ) ⎨⎰(x -l x ) dx +⎰[x 3-(x -l ) 3-l 2x ]2dx ⎬ 2g 2la (l +a ) ⎩0a l ⎭
(l =130 a =600 W 1=q ⋅l ) 代入
(KE ) max
2
1q 13323322
={[(1. 21l -0. 21x ) +2(1. 21l -0. 21x )(3. 63x l -4. 63xl ) +6⎰2g 2870. 8l /
l
22
5. 7l
(3. 63x l -4. 63xl ) ]dx +⎰(x 6-2l 2x 4+x 2l 4) dx
1q 1x 71. 5246x 615. 1215x 534. 1218x 430. 2233x 3
=[0. -+-+-6
2gl 2870. 87654311. 2046x 2121
+1. 4641x ) |5.7l +(-+)]l
2753
1q 2l 7 c =y (1231. 579-8714. 47+18194-8996+1855. 6-176+6. 88+0. 076) 6
2g 2870. 8l 1ql 2
c =(1. 185) y
2g
所以，应将梁1. 185ql 的重量加到C 端。
三、当梁上有集中质量时, 同时考虑轴均布载荷q 自重
图1-8
（1）其振动频率为：
E =210GP a =2. 1⨯106kg /cm 2 轴 φ=15 mm
铜盘 W=1.42kg=13.916 N
EJ=521595.7 kg/cm2=521.5957 Nm2 q=0.0138kg/cm 考虑轴自重的频率 w 1=
13EI ⋅g
2
2π1. 185qla (l +a )
161. 48
=25. 71HZ 2π
w 1=
（其中角频率ϖ1=161. 48）
临界转速n k =60w n =1542⋅rpm
（2）单盘系统角频率 ϖ2=167. 9r a
（3）系统角频率 邓克莱法：
1
ϖ
2
=
1
ϖ
21
+
1
ϖ
22
；ϖ=115. 9，n k =1108rpm
瑞利法： ϖ=
g ⋅∑W i y i
i =1
n
∑W
i =1
n
I
y i 2
系统如图1-9所示：
图1-9
其中，轴承间距L ，重物W 2据中间支撑a 1当量载荷（轴端）据中间支撑a 2，则变形后图1-10 W1，W 2的各自挠度为y 1，y 2
1
图1-10
W 1a 12(a 1+l ) W 2a 1a 2(3a 2+2l ) y 1=+
3EJ 6EJ
2
W a (a +l ) W 1a 1a 2(3a 1+2l ) y 2=222+
3EJ 6EJ
y 1， y 2是在W 1、W 2共同作用下所产生的挠度
式中，单位力在作用点处的转角
θ11=
W i a 1(3a 1+2l )
.......... ..... W i =1
6EJ
W 1a 12(a 1+l ) h 1=
3EJ
2
W a (a +l ) h 2=222
3EJ
h 1、h 2分别为W 1、W 2单独作用时各自的挠度
W 1=0. 2126g .......... . W 2=1. 42g
a 1=4. 7l .......... a 2=2. 31l ......... l =13cm y 1=0. 11793cm ........ y 2=0. 05119cm
ϖ=119n k =1136rpm