高三数学 导学案
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F 1, F 2|F 1F 2|的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a >|F 1F 2|表示椭圆；2a =|F 1F 2|表示线段F 1F 2；2a
22
3．常用结论：（1）椭圆x +y =1(a >b >0) 的两个焦点为F 1, F 2，过F 1的直线交椭圆于A , B 22
a b
两点，则∆ABF 2的周长=
22x y （2）设椭圆+=1(a >b >0) 左、右两个焦点为F 1, F 2，过F 1且垂直于对称轴a 2b 2
的直线交椭圆于P , Q 两点，则P , Q 的坐标分别是 |PQ |=
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F 1, F 2|F 1F 2|的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|PF 1|-|PF 2|=2a 与|PF 2|-|PF 1|=2a （2a
2a =|F 1F 2|表示两条射线；2a >|F 1F 2|没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
标准方程
x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2a b
中心在原点，焦点在y 轴上
y 2x 2
-2=1(a >0, b >0) 2a b
图 形
顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径
A 1(-a , 0), A 2(a , 0)
B 1(0, -a ), B 2(0, a )
x 轴，y 轴；虚轴为2b ，实轴为2a
F 1(-c , 0), F 2(c , 0)
|F 1F 2|=2c (c >0) c
e =
2
F 1(0, -c ), F 2(0, c )
=a 2+b 2
c
(e >1) （离心率越大，开口越大） a
y =±
b x a
2b 2a
y =±
a x b
（3）双曲线的渐近线：
2222
①求双曲线x -y =1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x -y =0，因式分解得到
2222
a b a b
x y
±=0。 a b
22x 2y 2x y ②与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ；
a b （4）等轴双曲线为x 2-y 2=t 222
（4）常用结论：（1）双曲线x -y =1(a >0, b >0) 的两个焦点为F 1, F 2，过F 1的直线交双
a 2b 2
曲线的同一支于A , B 两点，则∆ABF 2的周长=
22
y x （2）设双曲线-2=1(a >0, b >0) 左、右两个焦点为F 1, F 2，过F 1且垂直于对2
a b
称轴的直线交双曲线于P , Q 两点，则P , Q 的坐标分别是
|PQ |=三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p >0
标准方程
焦点在x 轴上， 开口向右
y 2=2px
焦点在x 轴上， 开口向左
y 2=-2px
焦点在y 轴上， 开口向上
焦点在y 轴上， 开口向下
x 2=2py x 2=-2py
图 形
顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线
x =-
p 2
x =
p 2
O (0, 0)
x 轴
p
F (, 0) 2
y 轴
F (-
p , 0) 2
p F (0, )
2
p F (0, -)
2
e =1
y =-
p 2
y =
p
2
通 径 焦半径 焦点弦 焦准距
|PF |=|x 0|+
p 2
2p
|PF |=|y 0|+
p 2
p
四、弦长公式： |AB |=+k 2|x 1-x 2|=+k 2⋅(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=+k 2⋅
∆
|A |
其中, A , ∆分别是联立直线方程和圆锥曲线方程, 消去 y后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和x 的系数
求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于x 的一元二次方程Ax 2+Bx +C =0, 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，由韦达定理求出
2
x 1+x 2=-
B C
，x 1x 2=；（3）代入弦长公式计算。 A A
法（二）若是联立两方程，消去x, 得关于y 的一元二次方程Ay 2+By +C =0, 则相应
的
弦
长
公
式
是
：
111∆
|AB |=+() 2|y 1-y 2|=+() 2⋅(y 1+y 2) 2-4y 1y 2=+() 2⋅
k k k |A |
注意（1）上面用到了关系式|x 1-x 2|=
(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=
∆
和 |A |
y 1-y 2=(y 1+y 2) 2-4y 1y 2=
∆ |A |
注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于x 的一元二次方程Ax +Bx +C =0, 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，由韦达定理求出
2
x 1+x 2=-
x +x 2B
；（3）设中点M (x 0, y 0) ，由中点坐标公式得x 0=1；再把x =x 0代A 2
入直线方程求出y =y 0。
法（二）：用点差法，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，中点M (x 0, y 0) ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A 、B 两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x 0, y 0。 六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式
法二、建立a,b,c 满足的关系，消去b, 再化为关于e 的方程，最后解方程求e (求e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e ﹤1，而双曲线离心率取值范围是e ﹥1)
课后练习：
一、选择题：
22
1．已知动点M 的坐标满足方程13x +y =|12x +5y -12|，则动点M 的轨迹是（ ）
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 以上都不对
x 2y 2
=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0, F 1、F 22．设P 是双曲线2-9a
分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1 A. 1或5
B. 1或9
|=5，则|PF 2|=（ ）
C. 1 D. 9
3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.
A.
B.
C. 2-
D. 1
4．过点(2,-1)引直线与抛物线y =x 2只有一个公共点, 这样的直线共有( ) 条 A. 1 B.2
C. 3 D.4
5．已知点A (-2, 0) 、B (3, 0) ，动点P (x , y ) 满足PA ⋅PB =y 2，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 二、填空题：
C ．双曲线 D ．抛物线
x 2y 2x 2y 2
+=1和双曲线-=1有下列命题： 6．对于椭圆
16979
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .
22
7．若直线(1+a ) x +y +1=0与圆x +y -2x =0相切，则a 的值为8、抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0的距离的最小值是
2
9、抛物线C: y 2=4x上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小, 则点Q 的坐
标 。
x 2y 2
10、椭圆+=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，
123
那么|PF1|是|PF2|的
x 2y 2
+=1的焦点为定点，则焦点坐标是 . ; 11．若曲线
a -4a +5
三、解答题：
14x 2y 2
12．已知双曲线与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.
5925
22
13．P 为椭圆x +y =1上一点，F 1、F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60︒
259
（1）求△F 1PF 2的面积； （2）求P 点的坐标．（14分）
14、求两条渐近线为x ±2y =0且截直线x -y -3=0所得弦长为分）
83
的双曲线方程. （143
15、知抛物线y 2=4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）
16、某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
x 2y 2
+=1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭17、点A 、B 分别是椭圆
3620
圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF 。
（1）求点P 的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
教师评定：
学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教务主任签字：
高三数学 导学案
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F 1, F 2|F 1F 2|的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a >|F 1F 2|表示椭圆；2a =|F 1F 2|表示线段F 1F 2；2a
22
3．常用结论：（1）椭圆x +y =1(a >b >0) 的两个焦点为F 1, F 2，过F 1的直线交椭圆于A , B 22
a b
两点，则∆ABF 2的周长=
22x y （2）设椭圆+=1(a >b >0) 左、右两个焦点为F 1, F 2，过F 1且垂直于对称轴a 2b 2
的直线交椭圆于P , Q 两点，则P , Q 的坐标分别是 |PQ |=
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F 1, F 2|F 1F 2|的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|PF 1|-|PF 2|=2a 与|PF 2|-|PF 1|=2a （2a
2a =|F 1F 2|表示两条射线；2a >|F 1F 2|没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
标准方程
x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2a b
中心在原点，焦点在y 轴上
y 2x 2
-2=1(a >0, b >0) 2a b
图 形
顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径
A 1(-a , 0), A 2(a , 0)
B 1(0, -a ), B 2(0, a )
x 轴，y 轴；虚轴为2b ，实轴为2a
F 1(-c , 0), F 2(c , 0)
|F 1F 2|=2c (c >0) c
e =
2
F 1(0, -c ), F 2(0, c )
=a 2+b 2
c
(e >1) （离心率越大，开口越大） a
y =±
b x a
2b 2a
y =±
a x b
（3）双曲线的渐近线：
2222
①求双曲线x -y =1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x -y =0，因式分解得到
2222
a b a b
x y
±=0。 a b
22x 2y 2x y ②与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ；
a b （4）等轴双曲线为x 2-y 2=t 222
（4）常用结论：（1）双曲线x -y =1(a >0, b >0) 的两个焦点为F 1, F 2，过F 1的直线交双
a 2b 2
曲线的同一支于A , B 两点，则∆ABF 2的周长=
22
y x （2）设双曲线-2=1(a >0, b >0) 左、右两个焦点为F 1, F 2，过F 1且垂直于对2
a b
称轴的直线交双曲线于P , Q 两点，则P , Q 的坐标分别是
|PQ |=三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p >0
标准方程
焦点在x 轴上， 开口向右
y 2=2px
焦点在x 轴上， 开口向左
y 2=-2px
焦点在y 轴上， 开口向上
焦点在y 轴上， 开口向下
x 2=2py x 2=-2py
图 形
顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线
x =-
p 2
x =
p 2
O (0, 0)
x 轴
p
F (, 0) 2
y 轴
F (-
p , 0) 2
p F (0, )
2
p F (0, -)
2
e =1
y =-
p 2
y =
p
2
通 径 焦半径 焦点弦 焦准距
|PF |=|x 0|+
p 2
2p
|PF |=|y 0|+
p 2
p
四、弦长公式： |AB |=+k 2|x 1-x 2|=+k 2⋅(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=+k 2⋅
∆
|A |
其中, A , ∆分别是联立直线方程和圆锥曲线方程, 消去 y后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和x 的系数
求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于x 的一元二次方程Ax 2+Bx +C =0, 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，由韦达定理求出
2
x 1+x 2=-
B C
，x 1x 2=；（3）代入弦长公式计算。 A A
法（二）若是联立两方程，消去x, 得关于y 的一元二次方程Ay 2+By +C =0, 则相应
的
弦
长
公
式
是
：
111∆
|AB |=+() 2|y 1-y 2|=+() 2⋅(y 1+y 2) 2-4y 1y 2=+() 2⋅
k k k |A |
注意（1）上面用到了关系式|x 1-x 2|=
(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=
∆
和 |A |
y 1-y 2=(y 1+y 2) 2-4y 1y 2=
∆ |A |
注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于x 的一元二次方程Ax +Bx +C =0, 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，由韦达定理求出
2
x 1+x 2=-
x +x 2B
；（3）设中点M (x 0, y 0) ，由中点坐标公式得x 0=1；再把x =x 0代A 2
入直线方程求出y =y 0。
法（二）：用点差法，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，中点M (x 0, y 0) ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A 、B 两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x 0, y 0。 六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式
法二、建立a,b,c 满足的关系，消去b, 再化为关于e 的方程，最后解方程求e (求e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e ﹤1，而双曲线离心率取值范围是e ﹥1)
课后练习：
一、选择题：
22
1．已知动点M 的坐标满足方程13x +y =|12x +5y -12|，则动点M 的轨迹是（ ）
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 以上都不对
x 2y 2
=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0, F 1、F 22．设P 是双曲线2-9a
分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1 A. 1或5
B. 1或9
|=5，则|PF 2|=（ ）
C. 1 D. 9
3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.
A.
B.
C. 2-
D. 1
4．过点(2,-1)引直线与抛物线y =x 2只有一个公共点, 这样的直线共有( ) 条 A. 1 B.2
C. 3 D.4
5．已知点A (-2, 0) 、B (3, 0) ，动点P (x , y ) 满足PA ⋅PB =y 2，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 二、填空题：
C ．双曲线 D ．抛物线
x 2y 2x 2y 2
+=1和双曲线-=1有下列命题： 6．对于椭圆
16979
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .
22
7．若直线(1+a ) x +y +1=0与圆x +y -2x =0相切，则a 的值为8、抛物线y =-x 上的点到直线4x +3y -8=0的距离的最小值是
2
9、抛物线C: y 2=4x上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小, 则点Q 的坐
标 。
x 2y 2
10、椭圆+=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，
123
那么|PF1|是|PF2|的
x 2y 2
+=1的焦点为定点，则焦点坐标是 . ; 11．若曲线
a -4a +5
三、解答题：
14x 2y 2
12．已知双曲线与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.
5925
22
13．P 为椭圆x +y =1上一点，F 1、F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60︒
259
（1）求△F 1PF 2的面积； （2）求P 点的坐标．（14分）
14、求两条渐近线为x ±2y =0且截直线x -y -3=0所得弦长为分）
83
的双曲线方程. （143
15、知抛物线y 2=4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）
16、某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
x 2y 2
+=1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭17、点A 、B 分别是椭圆
3620
圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF 。
（1）求点P 的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
教师评定：
学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教务主任签字：