“一些函数图像间的关系”的教学案例
嘉定二中 俞建平
教学目标：
1、掌握一些函数图像间的关系，会用平移法与对称法作出一类函数的图像．
2、通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神．
3、通过提问、讨论、操作、探究等各种数学活动，体验问题解决的经历，激发学习数学的兴趣；并通过函数图像的对称美，体会数学美感，培养审美意识．
教学重点：
用平移法与对称法作函数的图像．
教学难点：
函数图像间的关系的探求．
教学过程：
一、知识回顾
师：在初中我们已经学过二次函数y =x 2的图像，请同学们回忆一下，当初是怎样作出它的图像的？
生1：用描点法．
师：那么函数y =(x -1) 2+2的图像呢？
生2：可以用描点法，也可以把函数y =x 2的图像先右平移1个单位，再向上平移2个单位而得到．
师：对！（用多媒体课件展示图像的变换过程） 师：上一课我们学习了幂函数的性质与图像．比如函数y =x ，它的图像怎样来作？
生3：先用描点法作出x ≥0时的图像，再根据它是偶函数，在x
师：很好！（用多媒体展示描点、连曲线、对称的过程）我们已经知道，把一个函数的图像左右上下平移，可以得到另一个函数的图像；利用函数的奇偶性也可以帮助我们作函数的图像．今天我们一起来研究一些函数的图像．
二、新课探究 11教师用多媒体出示问题一：给出函数f (x ) =，g (x ) =． x x -2
（1）作出函数f (x ) 的图像，并说明f (x ) 的性质；
（2）在同一坐标系内作出函数g (x ) 的图像，并说明g (x ) 与f (x ) 两者图像间
的关系．
师：我们先来解决第（1）个问题．
生4（把自己作的函数图像在实物投影仪上展示）：函数f (x ) 是奇函数；在区间(-∞, 0) 和(0, +∞) 上分别是减函数．
师：这个问题比较简单，大家都完成得很好．下面谁来回答第（2）题？ 生5：只要把f (x ) 的图像向右平移2个单位就可以得到g (x ) 的图像． 师：是吗？你是如何想到的？
生5：我是受到二次函数图像的启发而想到的．
师：嗯，学习知识就是要举一反三．我们来证明这个结论好吗？
教师分析：向右平移2个单位的含义是什么呢？（停顿片刻）当两个函数图像上的点的纵坐标相等时，g (x ) 的横坐标要比f (x ) 的横坐标大2．
1设函数y =f (x ) 图像上任一点P (a , ) ，那么函数y =g (x ) 图象上纵丛坐标为a
1的是哪一点？ a
1生众：是(a +2, ) ． a
师：对！记这一点为P '．也就是说，将点P 向右平移2个单位就与点P '重合．所以将函数y =f (x ) 的图像右平移2个单位就是函数y =g (x ) 的图像．
（用多媒体展示变换的过程：点的平移⇒图像平移）
师：请大家对照函数f (x ) 的性质，简要总结函数g (x ) 的性质．
（在讨论后）生6：函数y =g (x ) 在区间(-∞, 2) 和(2, +∞) 上都是减函数；图像关于点(2, 0) 成中心对称，是非奇非偶函数．
师：根据以上探索，我们能得出一个一般结论吗？
11生7：能！函数y =的图像是由函数y =的图像经过平移而得到．（师x +a x
追问：怎样移法？）a >0向左平移|a |个单位；a
点(-a , 0) 成中心对称．
师：很好！我们推导一般结论往往是先研究几个特殊情况，再进行推广的．下面我们一起来研究第二个问题．
x -11（多媒体出示）问题二：给出函数h (x ) =，说明h (x ) 的图像与f (x ) =，x -2x
1的图像间的关系；并作出函数h (x ) 的图像． x -2
师：请同学们分组讨论后来回答这一问题．
学生分组讨论，教师巡视各组讨论情况并给予适当启发点拨．讨论结束后，教师选择一个组的解答在实物投影仪上展示并请学生作说明．
x -2+11=1+生8：我们可以把h (x ) 变形为h (x ) =．所以只要把x -2x -2
11f (x ) =的图像先向右平移2个单位，得到g (x ) =的图像，再将g (x ) 的图x x -2g (x ) =
像向上平移1个单位，就得到函数h (x ) 的图像．
师：非常精彩！我们通过两次平移变换，把函数f (x ) 的图像变成了h (x ) 的图像．函数h (x ) 有些什么性质？
生9：在区间(-∞, 2) 和(2, +∞) 上都是减函数；图像关于点(2, 1) 成中心对称，是非奇非偶函数．
师：对！（用多媒体展示图像的变换过程）这一个问题比第一个问题多了一个上下平移．象上一个问题一样，我们也可推广出一个一般结论，请同学们课后完成．下面我们来研究第三个问题． （多媒体出示）问题三：作函数y =1的大致图像． |x |-1
师：请同学们自己独立探索完成，有问题可以相互讨论．
教师巡视，并不时给一些有困难的学生提示．
学生完成后，教师选择几份学生答案（有正确的，也有错误的）进行展示，并请两位学生说明自己的解答．
生10：我先作函数y =11的图像，根据y =是偶函数，用对称变换得到x |x |
y =11的图像，再把它向右平移1个单位，就得到函数y =的图像． |x ||x |-1
生10讲完后，众学生马上表示他的解答是错误的．
生11：他作出的是函数y =11的图象．错误是很明显的，因为y =|x -1||x |-1是偶函数，图像关于y 轴对称，而他作的图像是关于直线x =1对称的．应该先把y =11的图象先向右平移1个单位得到y =的图像，保留x ≥0的部分，再在x -1x
x
师：太棒了！请大家好好体会先平移后对称及先对称后平移两种作法的区别．关于这一函数的性质请大家自行总结，我们就不作讨论了．
三、巩固练习
师：刚才我们一起研究了用平移和对称的方法作函数的图像．现在就请大家动手实践一下．（用多媒体显示练习题）
x +71、作函数y =的大致图像，并写出它的单调区间． x +3
2、作函数y =1的大致图像，并写出它的单调区间，最大或最小值． |x |+1
学生完成后，教师选择几位学生进行演示，对解答中的错误开展讨论、纠正．
四、小结反思
师生共同小结本课所学内容，并对学习与探究的过程进行反思．
五、布置作业（略）
对本课教学设计的思考
本节课的主要内容是在学习了幂函数的性质与图像后，应用函数的奇偶性、ax +b 单调性及平移、对称变换，研究形如y =的分式函数的图像．这一节教学cx +d
内容是二期课改新教材中新增的内容，对学生的探究能力的要求较高．在教材的处理上，我们抽掉了原来的例5（函数和的图像）放到下一课处理，而把教学的重点放在函数图像的平移和对称变换上．为了研究的方便，对原来例4的三个小题进行了改编，突出了从易到难，由浅入深的知识探究过程．
在学习本节课的内容之前，学生已经学过二次函数和幂函数的图像用函数的单调性和奇偶性，具备了探索本课知识的基础．在引导学生复习旧知的基础上，设置适当的问题情景，为学生创设合适的条件来探究新的知识，发现规律．整堂课中问题的解决，都是由学生在独立探索、合作讨论的过程中完成，教师只是设计好问题的情景，在学生探究受阻时，恰当地进行一些启发、引导、点拨和评价，摒弃了以往由教师把规律和法则告诉学生，而学生进行一些模仿性的训练来达到掌握知识的目的的方法，突出了学习过程中学生的主体地位．另外，多媒体件的精心设计与恰当使用，使得知识探究过程中的动态变换恰到好处地表现了出来．
新教材要有新教法．在教学设计中，要本着让学生学会数学地思维，逐步学会数学抽象、探索和应用的基本方法及关注学生学习过程的教学理念，在教材的处理上下功夫，设计以解决问题的活动为基础的数学认知过程，以帮助学生经历数学学习的过程，使学生在获取知识和理解内化的学习过程中，学会探究，学会合作，学会交流，学会实践，从而达到发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法的目的．
“一些函数图像间的关系”的教学案例
嘉定二中 俞建平
教学目标：
1、掌握一些函数图像间的关系，会用平移法与对称法作出一类函数的图像．
2、通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神．
3、通过提问、讨论、操作、探究等各种数学活动，体验问题解决的经历，激发学习数学的兴趣；并通过函数图像的对称美，体会数学美感，培养审美意识．
教学重点：
用平移法与对称法作函数的图像．
教学难点：
函数图像间的关系的探求．
教学过程：
一、知识回顾
师：在初中我们已经学过二次函数y =x 2的图像，请同学们回忆一下，当初是怎样作出它的图像的？
生1：用描点法．
师：那么函数y =(x -1) 2+2的图像呢？
生2：可以用描点法，也可以把函数y =x 2的图像先右平移1个单位，再向上平移2个单位而得到．
师：对！（用多媒体课件展示图像的变换过程） 师：上一课我们学习了幂函数的性质与图像．比如函数y =x ，它的图像怎样来作？
生3：先用描点法作出x ≥0时的图像，再根据它是偶函数，在x
师：很好！（用多媒体展示描点、连曲线、对称的过程）我们已经知道，把一个函数的图像左右上下平移，可以得到另一个函数的图像；利用函数的奇偶性也可以帮助我们作函数的图像．今天我们一起来研究一些函数的图像．
二、新课探究 11教师用多媒体出示问题一：给出函数f (x ) =，g (x ) =． x x -2
（1）作出函数f (x ) 的图像，并说明f (x ) 的性质；
（2）在同一坐标系内作出函数g (x ) 的图像，并说明g (x ) 与f (x ) 两者图像间
的关系．
师：我们先来解决第（1）个问题．
生4（把自己作的函数图像在实物投影仪上展示）：函数f (x ) 是奇函数；在区间(-∞, 0) 和(0, +∞) 上分别是减函数．
师：这个问题比较简单，大家都完成得很好．下面谁来回答第（2）题？ 生5：只要把f (x ) 的图像向右平移2个单位就可以得到g (x ) 的图像． 师：是吗？你是如何想到的？
生5：我是受到二次函数图像的启发而想到的．
师：嗯，学习知识就是要举一反三．我们来证明这个结论好吗？
教师分析：向右平移2个单位的含义是什么呢？（停顿片刻）当两个函数图像上的点的纵坐标相等时，g (x ) 的横坐标要比f (x ) 的横坐标大2．
1设函数y =f (x ) 图像上任一点P (a , ) ，那么函数y =g (x ) 图象上纵丛坐标为a
1的是哪一点？ a
1生众：是(a +2, ) ． a
师：对！记这一点为P '．也就是说，将点P 向右平移2个单位就与点P '重合．所以将函数y =f (x ) 的图像右平移2个单位就是函数y =g (x ) 的图像．
（用多媒体展示变换的过程：点的平移⇒图像平移）
师：请大家对照函数f (x ) 的性质，简要总结函数g (x ) 的性质．
（在讨论后）生6：函数y =g (x ) 在区间(-∞, 2) 和(2, +∞) 上都是减函数；图像关于点(2, 0) 成中心对称，是非奇非偶函数．
师：根据以上探索，我们能得出一个一般结论吗？
11生7：能！函数y =的图像是由函数y =的图像经过平移而得到．（师x +a x
追问：怎样移法？）a >0向左平移|a |个单位；a
点(-a , 0) 成中心对称．
师：很好！我们推导一般结论往往是先研究几个特殊情况，再进行推广的．下面我们一起来研究第二个问题．
x -11（多媒体出示）问题二：给出函数h (x ) =，说明h (x ) 的图像与f (x ) =，x -2x
1的图像间的关系；并作出函数h (x ) 的图像． x -2
师：请同学们分组讨论后来回答这一问题．
学生分组讨论，教师巡视各组讨论情况并给予适当启发点拨．讨论结束后，教师选择一个组的解答在实物投影仪上展示并请学生作说明．
x -2+11=1+生8：我们可以把h (x ) 变形为h (x ) =．所以只要把x -2x -2
11f (x ) =的图像先向右平移2个单位，得到g (x ) =的图像，再将g (x ) 的图x x -2g (x ) =
像向上平移1个单位，就得到函数h (x ) 的图像．
师：非常精彩！我们通过两次平移变换，把函数f (x ) 的图像变成了h (x ) 的图像．函数h (x ) 有些什么性质？
生9：在区间(-∞, 2) 和(2, +∞) 上都是减函数；图像关于点(2, 1) 成中心对称，是非奇非偶函数．
师：对！（用多媒体展示图像的变换过程）这一个问题比第一个问题多了一个上下平移．象上一个问题一样，我们也可推广出一个一般结论，请同学们课后完成．下面我们来研究第三个问题． （多媒体出示）问题三：作函数y =1的大致图像． |x |-1
师：请同学们自己独立探索完成，有问题可以相互讨论．
教师巡视，并不时给一些有困难的学生提示．
学生完成后，教师选择几份学生答案（有正确的，也有错误的）进行展示，并请两位学生说明自己的解答．
生10：我先作函数y =11的图像，根据y =是偶函数，用对称变换得到x |x |
y =11的图像，再把它向右平移1个单位，就得到函数y =的图像． |x ||x |-1
生10讲完后，众学生马上表示他的解答是错误的．
生11：他作出的是函数y =11的图象．错误是很明显的，因为y =|x -1||x |-1是偶函数，图像关于y 轴对称，而他作的图像是关于直线x =1对称的．应该先把y =11的图象先向右平移1个单位得到y =的图像，保留x ≥0的部分，再在x -1x
x
师：太棒了！请大家好好体会先平移后对称及先对称后平移两种作法的区别．关于这一函数的性质请大家自行总结，我们就不作讨论了．
三、巩固练习
师：刚才我们一起研究了用平移和对称的方法作函数的图像．现在就请大家动手实践一下．（用多媒体显示练习题）
x +71、作函数y =的大致图像，并写出它的单调区间． x +3
2、作函数y =1的大致图像，并写出它的单调区间，最大或最小值． |x |+1
学生完成后，教师选择几位学生进行演示，对解答中的错误开展讨论、纠正．
四、小结反思
师生共同小结本课所学内容，并对学习与探究的过程进行反思．
五、布置作业（略）
对本课教学设计的思考
本节课的主要内容是在学习了幂函数的性质与图像后，应用函数的奇偶性、ax +b 单调性及平移、对称变换，研究形如y =的分式函数的图像．这一节教学cx +d
内容是二期课改新教材中新增的内容，对学生的探究能力的要求较高．在教材的处理上，我们抽掉了原来的例5（函数和的图像）放到下一课处理，而把教学的重点放在函数图像的平移和对称变换上．为了研究的方便，对原来例4的三个小题进行了改编，突出了从易到难，由浅入深的知识探究过程．
在学习本节课的内容之前，学生已经学过二次函数和幂函数的图像用函数的单调性和奇偶性，具备了探索本课知识的基础．在引导学生复习旧知的基础上，设置适当的问题情景，为学生创设合适的条件来探究新的知识，发现规律．整堂课中问题的解决，都是由学生在独立探索、合作讨论的过程中完成，教师只是设计好问题的情景，在学生探究受阻时，恰当地进行一些启发、引导、点拨和评价，摒弃了以往由教师把规律和法则告诉学生，而学生进行一些模仿性的训练来达到掌握知识的目的的方法，突出了学习过程中学生的主体地位．另外，多媒体件的精心设计与恰当使用，使得知识探究过程中的动态变换恰到好处地表现了出来．
新教材要有新教法．在教学设计中，要本着让学生学会数学地思维，逐步学会数学抽象、探索和应用的基本方法及关注学生学习过程的教学理念，在教材的处理上下功夫，设计以解决问题的活动为基础的数学认知过程，以帮助学生经历数学学习的过程，使学生在获取知识和理解内化的学习过程中，学会探究，学会合作，学会交流，学会实践，从而达到发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法的目的．