库仑定律、电场强度
－ 选择题
P
1q
如图，真空中，点电荷q 在场点P 处的电场强度可表示为E =e r ，
4πε0r 2
其中r 是q 与P 之间的距离，e r 是单位矢量。e r 的方向是
(A ) 总是由P 指向q ； (B ) 总是由q 指向P ； (C ) q 是正电荷时，由q 指向P ； (D ) q 是负电荷时，由q 指向
P 。 〔 〕 答案：(B )
q
F
根据场强定义式E =，下列说法中正确的是：
q 0
(A ) 电场中某点处的电场强度就是该处单位正电荷所受的力； (B ) 从定义式中明显看出，场强反比于单位正电荷；
(C ) 做定义式时q 0必须是正电荷；
(D ) E 的方向可能与F 的方向相反。 〔 〕
答案：(A )
一均匀带电球面，电荷面密度为σ，球面内电场强度处处为零，球面上面元d S 的一个带电量为σd S 的电荷元，在球面内各点产生的电场强度
(A ) 处处为零 (B ) 不一定都为零 (C ) 处处不为零 (D ) 无法判定 〔 〕 答案：(C )
空间某处附近的正电荷越多，那么有：
(A ) 位于该处的点电荷所受的力越大；(B ) 该处的电场强度越大；
(C ) 该处的电场强度不可能为零； (D ) 以上说法都不正确； 〔 〕 答案：(D )
库仑定律的适用范围是
(A ) 真空中两个带电球体间的相互作用； (B ) 真空中任意带电体间的相互作用；
(C ) 真空中两个正点电荷间的相互作用； (D ) 真空中两个带电体的大小远小于它们之间的距离。 〔 〕 答案：(D )
在等量同种点电荷连线的中垂线上有A 、B 两点, 如图所示，下列结论正确的是
(A ) E A
(B ) E A 不可能等于E B , 但方向相同； (C ) E A 和E B 大小可能相等，方向相同；
(D ) E A 和E B 大小可能相等，方向不相同。
〔 〕 答案：(C )
电荷之比为1:3:5的三个带同号电荷的小球A 、B 、C ，保持在一条直线上，相互间距离比小球直径
大得多．若固定A 、C 不动，改变B 的位置使B 所受电场力为零时，AB 与BC 的比值为 (A ) 5； (B )
1
； (C ) 5； (D )
1/ ( ) 5
答案：(D )
真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面。其电荷密度分别为+σ和+2σ，两板之间的距离为d ，两板间的电场强度大小为 (A ) 0 (B )
3σσσ (C ) (D ) 〔 〕 2ε0ε02ε0
答案：(D )
真空中一“无限大”均匀带负电荷的平板，面电荷密度为-σ(σ>0) ，其电场强度的分布曲线应是(座标原点在板所在位置，且设方向向右为正、向左为负)
x x x x 0
〔 〕
答案：(D )
题号：30112011 分值：3分
难度系数等级：2 下列哪一种说法正确
(A ) 电荷在电场中某点受到的电场力很大, 该点的电场强度一定很大；
(B ) 在某一点电荷附近的任一点, 若没放试验电荷, 则这点的电场强度为零；
(C ) 若把质量为m 的点电荷q 放在一电场中, 由静止状态释放, 电荷一定沿电场线运动；
(D ) 电场线上任意一点的切线方向, 代表点电荷q 在该点获得加速度的方向。 〔 〕
答案：(D )
真空中面积为S ，间距为d 的两平行板(S >>d 2) ，均匀带等量异号电荷+q 和-q ，忽略边缘效应，则两板间相互作用力的大小是：
q 2q 2q 2
(A ) (B ) (C ) (D ) 22
4πε0d 2πε0d ε0S 2ε0S
〔 〕
答案：(C )
两无限长的均匀带电直线相互平行，相距2a ，线电荷密度分别为+λ 和-λ ，则每单位长度的带电直线受的作用力的大小为
q 2
λ2λ2λ2λ2
(A ) (B ) (C ) (D ) 2222
πε0a 2πε0a 4πε0a 8πε0a
〔 〕
答案：(B )
一带正电的质点，在电场力的作用下从A 点出发，经C 点运动到B ，运动轨迹如图。已知质点的运动速率是递减的，下面关于C 点场强方向的四个图中有可能的情况是
B
E B C B B
C C
C E E
E
A
A
A
A
(A )
(B )
(C )
(D )
〔 〕 答案： (D )
带电粒子在电场中运动时
(A ) 速度总沿着电场线的切线，加速度不一定沿电场线切线； (B ) 加速度总沿着电场线的切线，速度不一定沿电场线切线；
(C ) 速度和加速度都沿着电场线的切线；
(D ) 速度和加速度都不一定沿着电场线的切线。 〔 〕 答案： (B )
如图所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线, 电荷线密度
y
分别为+λ(x 0) ，则x O y 平面上(0,a ) 点处的场强为:
(0, a ) λ
(A ) i ； (B ) 0；
2πε0a
〔 〕
答案：(A )
如图所示，一电偶极子，正点电荷在坐标 (a , 0) 处，负点电荷在坐标
(-a ,0) 处，P 点是x 轴上的一点，坐标为(x , 0) 。当x >>a 时，该点
场强的大小为：
q q
(A ) ； (B ) ； 2 4πεx 4πεx
x +λ -λ λ λ
(C ) i ； (D ) (i +j ) .
O
4πε0a 4πε0a
(C )
qa qa
； ； 〔 〕 (D )
πε0x 32πε0x 3
答案：(D )
边长为a 的正方形的四个顶点上放置如图所示的点电荷, 则中心O 处场强 (A ) 大小为零；
(B ) 大小为
q 2πε0a 2
, 方向沿x 轴正向；
(C ) 大小为, 方向沿y 轴正向； 2
2πε0a
(D ) 大小为
, 方向沿y 轴负向。 2
2πε0a
〔 〕
答案：(C ) （注：本题仅需要判断方向）
如图所示，用两根同样的细绳，把两个质量相等的小球悬挂在同一点上。两球带同种电荷，但甲球的电荷量大于乙球的电荷量。下列关系式哪个正确？
(A ) α>β； (B ) α
〔 〕
答案：(C )
图中a 、b 是两个点电荷，它们的电量分别为Q 1、Q 2，MN 是ab 连线的中垂线，P 是中垂线上的一点。下列哪种情况能使P 点场强方向指向MN 的左侧？
(A ) Q 1、Q 2都是正电荷，且Q 1>Q 2
(D ) Q 1、Q 2都是负电荷，且 |Q 1|
〔 〕 答案：(C )
四种电场的电场线如图所示．一正电荷q 仅在电场力作用下由M 点向N 点作加速运动，且加速度越来越大。则该电荷所在的电场是图中的
(B ) (A ) (C ) (D )
〔 〕 答案：(D )
(B ) Q 1是正电荷，Q 2是负电荷，且Q 1>|Q 2|； (C ) Q 1是负电荷，Q 2是正电荷，且 |Q 1|
一电偶极子放在均匀电场中，当电偶极矩的方向与场强方向不一致时，其所受的合力F 和合力矩M 为：
(A ) F ＝0，M ＝0； (B ) F ＝0，M ≠0； (C ) F ≠0，M ＝0； (D ) F ≠0，M ≠0。
〔 〕 答案：(B )
二 判断题
库仑定律反映的是静止带电体之间的相互作用力。 答案：错
若将放在电场中某点的试探电荷q 改为-q ，则该点的电场强度大小不变，方向与原来相反 。 答案：错
在点电荷q 1激发的电场中有一试探电荷q 0，受力为F 1。 当另一点电荷q 2移入该区域后，q 0与q 1之
间的作用力不变，仍为F 1。
答案：对
在正点电荷Q 的电场中 ，离Q 越远处，场强越小。 答案：对
静电场与电荷是不可分割的整体。 答案：对
有两个带电量不相等的点电荷，它们相互作用时，电量大的电荷受力大，电量小的电荷受力小。 答案：错
有两个点电荷，带电量分别是q 1和q 2，两者之间的相互作用力的大小是F =
1q 1q 2
。当两者无限
4πε0r 2
靠近时（即r →0），F →∞，这是库仑定律的结论。 答案：错
在一个带正电的金属球附近A 处，放置一个带负电的点电荷q 0，测得q 0受力为F 。若q 0不是足够小，则该处的电场强度的大小小于
F
。 q 0
答案：对
在任意电场中，沿电场线方向，场强一定越来越小。 答案：错
均匀带电圆环，由于电荷对称分布，其轴线上任意一点的电场强度为零。 答案：错
一带电体可作为点电荷处理的条件是：电荷必须呈球对称分布。 答案：错
静电场中的电场线不会相交，不会形成闭合线。 答案：对
三 填空题
在真空中相距l 的两个正点电荷，A 带的电量是B 的4倍；在AB 线上，电场强度为零的点距离B 点 。 答案：l /3
题号：30133002 分值：2分
难度系数等级：3
一点电荷q 位于无限大均勻带电平面附近的P 点，将其沿电场线方向移动距离d ，若电场力做功为A ，则带电平面上的电荷面密度为 。 答案： 2ε0A qd
3
一电偶极子放在场强大小为2⨯10V/m的匀强电场中，其电偶极矩方向与场强方向相同。则作用在电偶极子的力矩大小______________。 答案：0
一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d
qd 8πε0R
2
3
两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是+σ，如图所示，则B 区域
的电场强度为：E B ＝_____________ (设方向向右为x 轴正向) 。
A
B
C
答案：0
如图所示，一长为L 的均匀带电细棒AB ，电荷线密度为+λ，则棒的延长线上与A 端相距为d 的P 点的电场强度的大小E =______。 答案：
A
B
L
λL
4πε0d (d +L )
在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于每个点电荷电场的 和，这称为场强叠加原理 . 答案：矢量
题号：30132008 分值：2分
难度系数等级：2
电偶极子的电偶极矩是一个矢量，它的大小是ql （其中l 是正负电荷之间的距离），它的方向是由 答案：负电荷指向正电荷
题号：30132009 分值：2分
难度系数等级：2
如图所示，在场强为E 的匀强电场中，取某点O 为圆心，以r 为半径做一圆，在圆心O 点固定一电量为+Q 的点电荷（设+Q 的电场不影响匀强电场E 的分布）。当把一检验电荷+q 0放在d 点处恰好平衡，则均匀电场的方向是。 答案：d 指向O
题号：30132010 分值：2分
难度系数等级：2
某区域的电场线如图所示，把一个带负电的点电荷q 放在点A 或B 时，在
________点受的电场力大。 答案： A
在x 轴上有两个点电荷，一个带正电荷Q 1，另一个带负电荷Q 2，且Q 1=2Q 2，用E 1、E 2表示这两个
点电荷所产生的场强，则在x 轴上，E 1=E 2的点共有 处。
答案：1
如图所示，两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d ，其电荷线密度分别为λ1和λ2，则场强等于零的点与直线1的距离a =。 答案：
d
λ1
(λ1+λ2)
d
电荷量为等值同号的两个点电荷之间距离为 2l ，其连线的中垂线上电场强度最大处到两电荷连线中点的距离 。
答案：y =±
2
如图所示，正点电荷Q 的电场中，A 点场强为100N/C，C 点场强为36N/C，B 是AC 的中点，则B 点的场强为________N/C。 答案：56.25N/C
真空中一半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q (Q >0) 。今在球面上挖去非常小块的面积∆S （连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布。则挖去∆S 后，球心处电场强度的大小E =____________，其方向为____________。 答案：
Q ⋅∆S
， 由圆心O 指向∆S 24
16πε0R
两个点电荷q 1和q 2之和为Q ，当满足____________条件时，它们相互之间的作用力最大。
答案：q 1=q 2=Q /2
无限大带电面，面电荷密度σ，则其两面的电场强度大小 。 答案：
σ 2ε0
静电场中某点的电场强度，其数值和方向等于 。 答案：单位正电荷在电场中所受的力
一个点电荷对另一个相距为l 的点电荷施加一个大小为F 的静电力，如果两个
y 点电荷间的距离增加到2l ，则它们之间静电力的大小变为F 的
1
倍。答案：
4
一均匀电场（方向如图）中有一电偶极子，置于x -y 平面内。当电偶极子被释放后，该电偶极子将顺时针旋转。则电偶极子的偶极矩方向沿 。
答案：y 轴正向
如图所示为某电荷系形成的电场中的电场线示意图，已知A 点处有电量为Q 的点电荷，则从电场线可判断B 处存在一 （填正、负）的点电荷。 Q 答案：负
x
四 计算题
电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．正三角形的边长是a 。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 答案：（1）如题图示。由对称性，可以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：
q '为负电荷 （2分）
1q 212cos 30︒=4πε0a 24πε0
q q '(32
a ) 3
（3分）
解得 q '=-
3
q （3分） 3
(2)与三角形边长无关． （2分）
如图所示，长为l 、电荷线密度为λ的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距l ，求：两棒之间的静电相互作用力（如图建立坐标系）。
答案：在左边直线上取微元d x ，电荷为d q =λd x 1分
它在右边直线上x ' 处的电场强度：d E =
λd x
4πε0(x '-x )
2
2分
l
左边直线在右边直线上x ' 处的电场强度：E =d E =
⎰
⎰4πε(x '-x )
λd x
2
=
λ⎛11⎫
3分 - '⎪
4πε0⎝x -l x '⎭
因而右边带电直线x ' 处的微元d x ' 所受到的静电场力为
d F ＝E λd x ' 1分
3l
右边带电直线所受到的静电场力为：F ＝E λd x '=
⎰
λ⎛11⎫
-λd x ' '⎪⎰4πε0⎝x -l x '⎭2l
3l
λ2⎡x ' -l ⎤
= ln ⎢⎥4πε0⎣x ' ⎦2l
λ24=ln 3分 4πε03
1（本小题5分）均勻带电无限长直线，电荷线密度为λ1，另有长为b 的直线段与长直线共面且垂直，相距a ，电荷线密度为λ2。求两者之间的作用力大小？
2（本小题5分）四个点电荷到坐标原点的距离均为d ，如图所示，求：O 点的电场强度的大小和方向。
答案：1 如图所示建立坐标。λ1的电场分布为
E 1=
λ1
2πε0(a +b -y )
（2分）
λ2上的电荷元λ2d y 受到的静电力
y
d F =λ2d yE 1=
b
λ1λ2d y
2πε0(a +b -y )
（1分）
F=⎰d F =⎰
λ1λ2d y
2πε0(a +b -y )
=
λ1λ2a +b
（2分） ln
2πε0a
2 由图所示x 轴上两点电荷在O 点产生的电场强度为
O
E =E 2q i +E -q i =
2q q 3q
i +i =i （1分）
4πε0d 24πε0d 24πε0d 2
y 轴上两点电荷在O 点产生的电场强度为
E =E 2q j +E -q j =-
所以，点O 处的合电场强度为
2q q 3q
j -j =-j （1分） 222
4πε0d 4πε0d 4πε0d
E O =E 1+E 2=
3q 3q
i -j （2分）
4πε0d 24πε0d 2
大小为E O =
=
，方向与x 轴正向成-45︒角。 （1分）
4πε0d 2
如图所示，均勻带电细线由直线段AB 、CD 、半径为R 的半圆组成，电荷线密度为λ（正电荷），AB=CD=R ，求O 点处电场强度。
答案：AB 段在O 点处电场强度：
R
4πε0(r +R ) 2
方向由AB 指向O （2分） 同理，CD 段在O 点处电场强度：
R λd r λ， E CD =⎰d E CD =⎰=
04πε(r +R ) 28πε0R 0
方向由CD 指向 （1分）
E AB =⎰d E AB =⎰
R
λd r
=
λ
8πε0R
BC 弧在O 点处电场强度：
λd θ
（3分） d E BC =
4πε0R
E BC x =⎰d E BC cos θ=⎰
λcos θd θ
=0 （1分）
04πε0R πλsin θd θλ
（2分） E BC y =⎰d E BC sin θ=⎰=
04πε0R 2πε0R
π
E =E BC y =
λ
沿y 轴正向 （1分）
2πε0R
带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sin θ，式中λ0为
一常数，θ 为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示。试求环心O 处的电场强度。
答案：在θ处取电荷元：
dq =λ0sin θRd θ
（2分）
在O 点处激发电场：d
E =
d q
（2
分） 2
4πε0R
E x =⎰d E x =⎰-
ππ
λ0sin θ
cos θd θ=0 （2分）
4πε0R
E y =⎰d E y =⎰-
ππ
λ0sin θλ
sin θd θ=-0 （4分）
4πε0R 8ε0R
如图所示，求两等量同种点电荷q 连线的中垂线上的哪一点的电场强度最大？
答案：左边电荷在y 轴上任意一点的电场强度：
y x
E 1=
2ql 4πε0(l +y
2
23/2
)
i +
2qy 4πε0(l +y
2
23/2
)
j （2分）
同理，右边电荷在y 轴上任意一点的电场强度：
E 2=
-2ql 4πε0(l 2+y 2)
i +3/2
2qy 4πε0(l 2+y 2)
3/2
j （1分）
故：y 轴上任意一点的电场强度：E =
2qy 4πε0(l 2+y 2)
3/2
j （2分）
d E
|y =y 0=0 （ 2分） d y
得： l 2-2y 2=0 （2分）
电场强度为零的点满足：
解得：y 0=±l （1分）
一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电荷Q 均匀分布在环面上．细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上，如图所示。试求圆环中心
O 处的电场强度（圆环中心O 在细绳延长线上）。
答案：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强，选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴
向下为正。在x 处取一电荷元
3x
d q =λd x =
Q
d x （1分）
3R
d q
它在环心处的场强为 d E 1= 2
4πε04R -x Q d x
= （2分） 2
12πε0R 4R -x 整个细绳上的电荷在环心处的场强
Q
E 1=
12πε0R
⎰
3R
dx Q
（3分） =22
4R -x 16πε0R
圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强
E 2=0 （2分）
由此，合场强 E =E 1i =
Q
（2分） i
16πε0R 2
k 一厚度为a 的无限大带电平板，电荷体密度为ρ=kx (0≤x ≤a ) ，
σ
，求：（1）2ε0
用连续带电体场强叠加原理计算板外两侧任一点M 1 、M 2 的场强
为正常数，已知无限大带电平面的电场强度为E =
大小。（2）用连续带电体场强叠加原理计算板内任一点M 的场强大小。（3）求场强最小的点在何处。
答案：在平板内任取厚度为d x 的簿层，作为电荷元，如图所示。
其电荷面密度为σ=ρd x ，簿层两侧的场强大小为
d E =
ρd x
（2分） 2ε0
a
a kx ρka 2
（2分） x =⎰x =
02ε2ε04ε00
图30145008
（1）M 1处的场强大小为
E 1=⎰d E =⎰
同理，M 2处的场强为
E 2=d E =
⎰⎰
a
a kx ρka 2
（1分） x =⎰x =
02ε2ε04ε00
(2) M 处x (0a ρρk
x +-x =(2x 2-a 2) （3分） ⎰⎰02ε0⎰x 2ε0
4ε0
(3)场强最小为E min =0
E =d E =
x
即，
k
(2x 2-a 2) =0 （1分）
4ε0
则x =
（1分）
（1）（本小题5分）电荷为+q 和-2q 的两个点电荷分别置于x 1=1m 和x -1=-1m 处。一试探电荷置于
x 轴上何处，它受到的合力等于零？
（2）（本小题5分）如图所示，一电荷线密度为λ的无限长带电直导线垂直纸面通过A 点；附近有一电量为Q 的均匀带电球体，其球心位于O 点。∆AOP 是边长为a 的等边三角形。已知P 处场强方向垂直于OP ，求:λ和Q 间的关系（按照如图所示选择坐标）。 答案：（1）设试探电荷q 0置于x 处所受合力为零，显然，x >1m 根据电力叠加原理可得
(-2q ) ⋅q 0
i +i =0 22
4πε0(x -1)4πε0(x +1)q ⋅q 0
即
q 4πε0(x -1)
2
+
(-2q ) 4πε0(x +1)
2
=0 （2分）
解得：
x =(3±m 。 （2分）
因x =3
x =3+22 m （1分）
（2）根据题意可知
()
∑E
Q 4πε0a 2
+
x
=0 （2分）
λ
cos600=0 （2分） 2πε0a
得： Q =-λa （1分）
一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷-Q ，如图所示．试求：（1）圆心O 处的电场强度；（2）电场强度的方向。 答案： 在θ 处取微小电荷，λ=
Q 2Q
=
R π/2πR
d q =λd l =
它在O 处产生场强大小
2Q
π
d θ （1分）
d E =
d q Q
=d θ （2分）
4πε0R 22π2ε0R 2
Q
按θ 角变化，将d E 分解成二个分量：
sin θd θ （1分）
2π2ε0R 2
Q
d E y =-d E cos θ=-2cos θd θ （1分） 2
2πε0R
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷，一半是正电荷
d E x =d E sin θ=
π
⎡π/2⎤
E x =2sin θd θ-sin θd θ⎥=0 （1分） 2⎢⎰⎰2πε0R ⎣0
π/2⎦
π/2π
⎤-Q ⎡Q
（2分） E y =2cos θd θ-cos θd θ=-⎢⎥22⎰2πε0R 2⎣⎰πεR 00π/2⎦
Q
所以
E =E x i +E y j =
-Q
j （2分） 22
πε0R
如图所示，有一长l 的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+λ，则杆上距原点x 处的线元d x 对P 点的点电荷q 0 的电场力为何？q 0 受的总电场力为何？（2）若λ=ε0l （正电荷），a =3l ，则P 点的电场强度是多少？（如图所示选择坐标系） 答案：1距原点x 处的线元d x 在P 点的场强：
（2分）
4πε0(l +a -x ) 2
q 0λd x
点电荷q 0受到的电场力为：d F =q 0d E = （2分） 2
4πε0(l +a -x )
l q 0λd x
点电荷q 0受到的总电场力为：F =⎰d F =⎰q 0d E =⎰
04πε(l +a -x ) 2
q λ11=0(-) （2分） 4πε0a l +a
2 P 点的场强为：
F λ11E ==(-) （2分）
q 04πε0a l +a
将λ=ε0l ，a =3l 代入上式
1
E = （2分）
48π
如图所示，一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R
的圆面积范围内
d E =
λd x
的电荷所产生的，试求该圆半径的大小。（提示：半径为R 的均匀带电为q 的圆环轴线上的电场强度是
E =
qx
） 223/2
4πε0(R +x )
答案：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E =
σ
2分 2ε0
以图中O 点为圆心，取半径为r ~r +d r 的环形面积，其电量为
dq =σ2πr d r 1分
它在距离平面为a 的一点处产生的场强
d E =
σardr
2ε 0a 2
+r
23/2
则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为 E r
⎛⎫
R =
σa R r d σ2ε0(a 2+r 2)3/2
=0⎰2ε ⎪0
1-a a 2+R 2⎪ ⎝⎭
由题意， E E σ
R =
2=
4ε 1分 0
整理得到：
R = 2分
半径为 R 的圆弧形细塑料棒，两端空隙为 d （其对中心张角为2θ0），线电荷密度为λ的正电荷均匀地分布在棒上。求（1）用连续带电体场强叠加原理计算圆心O 处场强的大小；（2）场强的方向；（3）当d
（1）如图所示，任取线元d l =R d θ，d θ为线元对圆心O 点的圆心角，则电荷元电量为 d q =λd l =λR d θ 1分 电荷元在圆心O 点的场强为
d E =
λR d θλd θ
4πε2
= 2分 0R 4πε0R
由于对称性， E x =⎰
d E x =0 1分
d E λR d θ
y =
4πε2
cos θ 0R
E =⎰d E θ0λd θ
y =⎰-θ0
4πεcos θ
R =
λsin θ02πε0R
（2）由O 指向缺口 （3）当d
sin θd /2
0≈θ0=
R
E ≈-
λd
4πε2
0R
2分
2分 2θ0
1分 2分
1分 1分 1分
无两条无限长平行直导线相距为r 0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ，如图所示。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（按图示方式选取坐标，该点到+λ带电线的垂直距离为x ）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
负带电导线在P 点的电场强度，则有
＋λ
O
答案：（1）设点P 在导线构成的平面上，E +、E -分别表示正、
λ⎛1⎫
E += ⎪i （2分）
2πε0⎝x ⎭ λ⎛1⎫ E -= ⎪i （2
2πε0⎝r 0-x ⎭
分）
λ⎛11⎫ E =E ++E -=+ ⎪i
2πε0⎝x r 0-x ⎭
（2分）
r 0λ
=i 2πε0x (r 0-x )
（2）设F +、F -分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有
F +=λF -=
λ2
i （2分）
2πε0r 0
λ2 F -=-λF +=-i （2分）
2πε0r 0
显然有F +=-F -，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
一段半径为a 的细圆弧，对圆心的张角为θ0，其上均匀分布有正电荷 q ，如图所示，（1）试以a 、q 、θ0表示出圆心O 处的电场强度。
答案：如图选择坐标系。在圆弧上取一小电荷
q
元， d q = R d θ （2分）
R θ0
在O 点处激发：d E =（3分）
由于对称性，E x =
2
E y =⎰2θ0cos θd E =⎰θ0
-2
-2
图30122015 d q q d θ
=22
4πε0R 4πε0R θ0
⎰θ
2-
θ0
sin θd E =0， （2分）
2
θ0θ0
θ0q q
（3分） cos θd θ=sin 22
4πε0R θ02πε0R θ02
库仑定律、电场强度
－ 选择题
P
1q
如图，真空中，点电荷q 在场点P 处的电场强度可表示为E =e r ，
4πε0r 2
其中r 是q 与P 之间的距离，e r 是单位矢量。e r 的方向是
(A ) 总是由P 指向q ； (B ) 总是由q 指向P ； (C ) q 是正电荷时，由q 指向P ； (D ) q 是负电荷时，由q 指向
P 。 〔 〕 答案：(B )
q
F
根据场强定义式E =，下列说法中正确的是：
q 0
(A ) 电场中某点处的电场强度就是该处单位正电荷所受的力； (B ) 从定义式中明显看出，场强反比于单位正电荷；
(C ) 做定义式时q 0必须是正电荷；
(D ) E 的方向可能与F 的方向相反。 〔 〕
答案：(A )
一均匀带电球面，电荷面密度为σ，球面内电场强度处处为零，球面上面元d S 的一个带电量为σd S 的电荷元，在球面内各点产生的电场强度
(A ) 处处为零 (B ) 不一定都为零 (C ) 处处不为零 (D ) 无法判定 〔 〕 答案：(C )
空间某处附近的正电荷越多，那么有：
(A ) 位于该处的点电荷所受的力越大；(B ) 该处的电场强度越大；
(C ) 该处的电场强度不可能为零； (D ) 以上说法都不正确； 〔 〕 答案：(D )
库仑定律的适用范围是
(A ) 真空中两个带电球体间的相互作用； (B ) 真空中任意带电体间的相互作用；
(C ) 真空中两个正点电荷间的相互作用； (D ) 真空中两个带电体的大小远小于它们之间的距离。 〔 〕 答案：(D )
在等量同种点电荷连线的中垂线上有A 、B 两点, 如图所示，下列结论正确的是
(A ) E A
(B ) E A 不可能等于E B , 但方向相同； (C ) E A 和E B 大小可能相等，方向相同；
(D ) E A 和E B 大小可能相等，方向不相同。
〔 〕 答案：(C )
电荷之比为1:3:5的三个带同号电荷的小球A 、B 、C ，保持在一条直线上，相互间距离比小球直径
大得多．若固定A 、C 不动，改变B 的位置使B 所受电场力为零时，AB 与BC 的比值为 (A ) 5； (B )
1
； (C ) 5； (D )
1/ ( ) 5
答案：(D )
真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面。其电荷密度分别为+σ和+2σ，两板之间的距离为d ，两板间的电场强度大小为 (A ) 0 (B )
3σσσ (C ) (D ) 〔 〕 2ε0ε02ε0
答案：(D )
真空中一“无限大”均匀带负电荷的平板，面电荷密度为-σ(σ>0) ，其电场强度的分布曲线应是(座标原点在板所在位置，且设方向向右为正、向左为负)
x x x x 0
〔 〕
答案：(D )
题号：30112011 分值：3分
难度系数等级：2 下列哪一种说法正确
(A ) 电荷在电场中某点受到的电场力很大, 该点的电场强度一定很大；
(B ) 在某一点电荷附近的任一点, 若没放试验电荷, 则这点的电场强度为零；
(C ) 若把质量为m 的点电荷q 放在一电场中, 由静止状态释放, 电荷一定沿电场线运动；
(D ) 电场线上任意一点的切线方向, 代表点电荷q 在该点获得加速度的方向。 〔 〕
答案：(D )
真空中面积为S ，间距为d 的两平行板(S >>d 2) ，均匀带等量异号电荷+q 和-q ，忽略边缘效应，则两板间相互作用力的大小是：
q 2q 2q 2
(A ) (B ) (C ) (D ) 22
4πε0d 2πε0d ε0S 2ε0S
〔 〕
答案：(C )
两无限长的均匀带电直线相互平行，相距2a ，线电荷密度分别为+λ 和-λ ，则每单位长度的带电直线受的作用力的大小为
q 2
λ2λ2λ2λ2
(A ) (B ) (C ) (D ) 2222
πε0a 2πε0a 4πε0a 8πε0a
〔 〕
答案：(B )
一带正电的质点，在电场力的作用下从A 点出发，经C 点运动到B ，运动轨迹如图。已知质点的运动速率是递减的，下面关于C 点场强方向的四个图中有可能的情况是
B
E B C B B
C C
C E E
E
A
A
A
A
(A )
(B )
(C )
(D )
〔 〕 答案： (D )
带电粒子在电场中运动时
(A ) 速度总沿着电场线的切线，加速度不一定沿电场线切线； (B ) 加速度总沿着电场线的切线，速度不一定沿电场线切线；
(C ) 速度和加速度都沿着电场线的切线；
(D ) 速度和加速度都不一定沿着电场线的切线。 〔 〕 答案： (B )
如图所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线, 电荷线密度
y
分别为+λ(x 0) ，则x O y 平面上(0,a ) 点处的场强为:
(0, a ) λ
(A ) i ； (B ) 0；
2πε0a
〔 〕
答案：(A )
如图所示，一电偶极子，正点电荷在坐标 (a , 0) 处，负点电荷在坐标
(-a ,0) 处，P 点是x 轴上的一点，坐标为(x , 0) 。当x >>a 时，该点
场强的大小为：
q q
(A ) ； (B ) ； 2 4πεx 4πεx
x +λ -λ λ λ
(C ) i ； (D ) (i +j ) .
O
4πε0a 4πε0a
(C )
qa qa
； ； 〔 〕 (D )
πε0x 32πε0x 3
答案：(D )
边长为a 的正方形的四个顶点上放置如图所示的点电荷, 则中心O 处场强 (A ) 大小为零；
(B ) 大小为
q 2πε0a 2
, 方向沿x 轴正向；
(C ) 大小为, 方向沿y 轴正向； 2
2πε0a
(D ) 大小为
, 方向沿y 轴负向。 2
2πε0a
〔 〕
答案：(C ) （注：本题仅需要判断方向）
如图所示，用两根同样的细绳，把两个质量相等的小球悬挂在同一点上。两球带同种电荷，但甲球的电荷量大于乙球的电荷量。下列关系式哪个正确？
(A ) α>β； (B ) α
〔 〕
答案：(C )
图中a 、b 是两个点电荷，它们的电量分别为Q 1、Q 2，MN 是ab 连线的中垂线，P 是中垂线上的一点。下列哪种情况能使P 点场强方向指向MN 的左侧？
(A ) Q 1、Q 2都是正电荷，且Q 1>Q 2
(D ) Q 1、Q 2都是负电荷，且 |Q 1|
〔 〕 答案：(C )
四种电场的电场线如图所示．一正电荷q 仅在电场力作用下由M 点向N 点作加速运动，且加速度越来越大。则该电荷所在的电场是图中的
(B ) (A ) (C ) (D )
〔 〕 答案：(D )
(B ) Q 1是正电荷，Q 2是负电荷，且Q 1>|Q 2|； (C ) Q 1是负电荷，Q 2是正电荷，且 |Q 1|
一电偶极子放在均匀电场中，当电偶极矩的方向与场强方向不一致时，其所受的合力F 和合力矩M 为：
(A ) F ＝0，M ＝0； (B ) F ＝0，M ≠0； (C ) F ≠0，M ＝0； (D ) F ≠0，M ≠0。
〔 〕 答案：(B )
二 判断题
库仑定律反映的是静止带电体之间的相互作用力。 答案：错
若将放在电场中某点的试探电荷q 改为-q ，则该点的电场强度大小不变，方向与原来相反 。 答案：错
在点电荷q 1激发的电场中有一试探电荷q 0，受力为F 1。 当另一点电荷q 2移入该区域后，q 0与q 1之
间的作用力不变，仍为F 1。
答案：对
在正点电荷Q 的电场中 ，离Q 越远处，场强越小。 答案：对
静电场与电荷是不可分割的整体。 答案：对
有两个带电量不相等的点电荷，它们相互作用时，电量大的电荷受力大，电量小的电荷受力小。 答案：错
有两个点电荷，带电量分别是q 1和q 2，两者之间的相互作用力的大小是F =
1q 1q 2
。当两者无限
4πε0r 2
靠近时（即r →0），F →∞，这是库仑定律的结论。 答案：错
在一个带正电的金属球附近A 处，放置一个带负电的点电荷q 0，测得q 0受力为F 。若q 0不是足够小，则该处的电场强度的大小小于
F
。 q 0
答案：对
在任意电场中，沿电场线方向，场强一定越来越小。 答案：错
均匀带电圆环，由于电荷对称分布，其轴线上任意一点的电场强度为零。 答案：错
一带电体可作为点电荷处理的条件是：电荷必须呈球对称分布。 答案：错
静电场中的电场线不会相交，不会形成闭合线。 答案：对
三 填空题
在真空中相距l 的两个正点电荷，A 带的电量是B 的4倍；在AB 线上，电场强度为零的点距离B 点 。 答案：l /3
题号：30133002 分值：2分
难度系数等级：3
一点电荷q 位于无限大均勻带电平面附近的P 点，将其沿电场线方向移动距离d ，若电场力做功为A ，则带电平面上的电荷面密度为 。 答案： 2ε0A qd
3
一电偶极子放在场强大小为2⨯10V/m的匀强电场中，其电偶极矩方向与场强方向相同。则作用在电偶极子的力矩大小______________。 答案：0
一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d
qd 8πε0R
2
3
两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是+σ，如图所示，则B 区域
的电场强度为：E B ＝_____________ (设方向向右为x 轴正向) 。
A
B
C
答案：0
如图所示，一长为L 的均匀带电细棒AB ，电荷线密度为+λ，则棒的延长线上与A 端相距为d 的P 点的电场强度的大小E =______。 答案：
A
B
L
λL
4πε0d (d +L )
在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于每个点电荷电场的 和，这称为场强叠加原理 . 答案：矢量
题号：30132008 分值：2分
难度系数等级：2
电偶极子的电偶极矩是一个矢量，它的大小是ql （其中l 是正负电荷之间的距离），它的方向是由 答案：负电荷指向正电荷
题号：30132009 分值：2分
难度系数等级：2
如图所示，在场强为E 的匀强电场中，取某点O 为圆心，以r 为半径做一圆，在圆心O 点固定一电量为+Q 的点电荷（设+Q 的电场不影响匀强电场E 的分布）。当把一检验电荷+q 0放在d 点处恰好平衡，则均匀电场的方向是。 答案：d 指向O
题号：30132010 分值：2分
难度系数等级：2
某区域的电场线如图所示，把一个带负电的点电荷q 放在点A 或B 时，在
________点受的电场力大。 答案： A
在x 轴上有两个点电荷，一个带正电荷Q 1，另一个带负电荷Q 2，且Q 1=2Q 2，用E 1、E 2表示这两个
点电荷所产生的场强，则在x 轴上，E 1=E 2的点共有 处。
答案：1
如图所示，两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d ，其电荷线密度分别为λ1和λ2，则场强等于零的点与直线1的距离a =。 答案：
d
λ1
(λ1+λ2)
d
电荷量为等值同号的两个点电荷之间距离为 2l ，其连线的中垂线上电场强度最大处到两电荷连线中点的距离 。
答案：y =±
2
如图所示，正点电荷Q 的电场中，A 点场强为100N/C，C 点场强为36N/C，B 是AC 的中点，则B 点的场强为________N/C。 答案：56.25N/C
真空中一半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q (Q >0) 。今在球面上挖去非常小块的面积∆S （连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布。则挖去∆S 后，球心处电场强度的大小E =____________，其方向为____________。 答案：
Q ⋅∆S
， 由圆心O 指向∆S 24
16πε0R
两个点电荷q 1和q 2之和为Q ，当满足____________条件时，它们相互之间的作用力最大。
答案：q 1=q 2=Q /2
无限大带电面，面电荷密度σ，则其两面的电场强度大小 。 答案：
σ 2ε0
静电场中某点的电场强度，其数值和方向等于 。 答案：单位正电荷在电场中所受的力
一个点电荷对另一个相距为l 的点电荷施加一个大小为F 的静电力，如果两个
y 点电荷间的距离增加到2l ，则它们之间静电力的大小变为F 的
1
倍。答案：
4
一均匀电场（方向如图）中有一电偶极子，置于x -y 平面内。当电偶极子被释放后，该电偶极子将顺时针旋转。则电偶极子的偶极矩方向沿 。
答案：y 轴正向
如图所示为某电荷系形成的电场中的电场线示意图，已知A 点处有电量为Q 的点电荷，则从电场线可判断B 处存在一 （填正、负）的点电荷。 Q 答案：负
x
四 计算题
电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．正三角形的边长是a 。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 答案：（1）如题图示。由对称性，可以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：
q '为负电荷 （2分）
1q 212cos 30︒=4πε0a 24πε0
q q '(32
a ) 3
（3分）
解得 q '=-
3
q （3分） 3
(2)与三角形边长无关． （2分）
如图所示，长为l 、电荷线密度为λ的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距l ，求：两棒之间的静电相互作用力（如图建立坐标系）。
答案：在左边直线上取微元d x ，电荷为d q =λd x 1分
它在右边直线上x ' 处的电场强度：d E =
λd x
4πε0(x '-x )
2
2分
l
左边直线在右边直线上x ' 处的电场强度：E =d E =
⎰
⎰4πε(x '-x )
λd x
2
=
λ⎛11⎫
3分 - '⎪
4πε0⎝x -l x '⎭
因而右边带电直线x ' 处的微元d x ' 所受到的静电场力为
d F ＝E λd x ' 1分
3l
右边带电直线所受到的静电场力为：F ＝E λd x '=
⎰
λ⎛11⎫
-λd x ' '⎪⎰4πε0⎝x -l x '⎭2l
3l
λ2⎡x ' -l ⎤
= ln ⎢⎥4πε0⎣x ' ⎦2l
λ24=ln 3分 4πε03
1（本小题5分）均勻带电无限长直线，电荷线密度为λ1，另有长为b 的直线段与长直线共面且垂直，相距a ，电荷线密度为λ2。求两者之间的作用力大小？
2（本小题5分）四个点电荷到坐标原点的距离均为d ，如图所示，求：O 点的电场强度的大小和方向。
答案：1 如图所示建立坐标。λ1的电场分布为
E 1=
λ1
2πε0(a +b -y )
（2分）
λ2上的电荷元λ2d y 受到的静电力
y
d F =λ2d yE 1=
b
λ1λ2d y
2πε0(a +b -y )
（1分）
F=⎰d F =⎰
λ1λ2d y
2πε0(a +b -y )
=
λ1λ2a +b
（2分） ln
2πε0a
2 由图所示x 轴上两点电荷在O 点产生的电场强度为
O
E =E 2q i +E -q i =
2q q 3q
i +i =i （1分）
4πε0d 24πε0d 24πε0d 2
y 轴上两点电荷在O 点产生的电场强度为
E =E 2q j +E -q j =-
所以，点O 处的合电场强度为
2q q 3q
j -j =-j （1分） 222
4πε0d 4πε0d 4πε0d
E O =E 1+E 2=
3q 3q
i -j （2分）
4πε0d 24πε0d 2
大小为E O =
=
，方向与x 轴正向成-45︒角。 （1分）
4πε0d 2
如图所示，均勻带电细线由直线段AB 、CD 、半径为R 的半圆组成，电荷线密度为λ（正电荷），AB=CD=R ，求O 点处电场强度。
答案：AB 段在O 点处电场强度：
R
4πε0(r +R ) 2
方向由AB 指向O （2分） 同理，CD 段在O 点处电场强度：
R λd r λ， E CD =⎰d E CD =⎰=
04πε(r +R ) 28πε0R 0
方向由CD 指向 （1分）
E AB =⎰d E AB =⎰
R
λd r
=
λ
8πε0R
BC 弧在O 点处电场强度：
λd θ
（3分） d E BC =
4πε0R
E BC x =⎰d E BC cos θ=⎰
λcos θd θ
=0 （1分）
04πε0R πλsin θd θλ
（2分） E BC y =⎰d E BC sin θ=⎰=
04πε0R 2πε0R
π
E =E BC y =
λ
沿y 轴正向 （1分）
2πε0R
带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sin θ，式中λ0为
一常数，θ 为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示。试求环心O 处的电场强度。
答案：在θ处取电荷元：
dq =λ0sin θRd θ
（2分）
在O 点处激发电场：d
E =
d q
（2
分） 2
4πε0R
E x =⎰d E x =⎰-
ππ
λ0sin θ
cos θd θ=0 （2分）
4πε0R
E y =⎰d E y =⎰-
ππ
λ0sin θλ
sin θd θ=-0 （4分）
4πε0R 8ε0R
如图所示，求两等量同种点电荷q 连线的中垂线上的哪一点的电场强度最大？
答案：左边电荷在y 轴上任意一点的电场强度：
y x
E 1=
2ql 4πε0(l +y
2
23/2
)
i +
2qy 4πε0(l +y
2
23/2
)
j （2分）
同理，右边电荷在y 轴上任意一点的电场强度：
E 2=
-2ql 4πε0(l 2+y 2)
i +3/2
2qy 4πε0(l 2+y 2)
3/2
j （1分）
故：y 轴上任意一点的电场强度：E =
2qy 4πε0(l 2+y 2)
3/2
j （2分）
d E
|y =y 0=0 （ 2分） d y
得： l 2-2y 2=0 （2分）
电场强度为零的点满足：
解得：y 0=±l （1分）
一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电荷Q 均匀分布在环面上．细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上，如图所示。试求圆环中心
O 处的电场强度（圆环中心O 在细绳延长线上）。
答案：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强，选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴
向下为正。在x 处取一电荷元
3x
d q =λd x =
Q
d x （1分）
3R
d q
它在环心处的场强为 d E 1= 2
4πε04R -x Q d x
= （2分） 2
12πε0R 4R -x 整个细绳上的电荷在环心处的场强
Q
E 1=
12πε0R
⎰
3R
dx Q
（3分） =22
4R -x 16πε0R
圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强
E 2=0 （2分）
由此，合场强 E =E 1i =
Q
（2分） i
16πε0R 2
k 一厚度为a 的无限大带电平板，电荷体密度为ρ=kx (0≤x ≤a ) ，
σ
，求：（1）2ε0
用连续带电体场强叠加原理计算板外两侧任一点M 1 、M 2 的场强
为正常数，已知无限大带电平面的电场强度为E =
大小。（2）用连续带电体场强叠加原理计算板内任一点M 的场强大小。（3）求场强最小的点在何处。
答案：在平板内任取厚度为d x 的簿层，作为电荷元，如图所示。
其电荷面密度为σ=ρd x ，簿层两侧的场强大小为
d E =
ρd x
（2分） 2ε0
a
a kx ρka 2
（2分） x =⎰x =
02ε2ε04ε00
图30145008
（1）M 1处的场强大小为
E 1=⎰d E =⎰
同理，M 2处的场强为
E 2=d E =
⎰⎰
a
a kx ρka 2
（1分） x =⎰x =
02ε2ε04ε00
(2) M 处x (0a ρρk
x +-x =(2x 2-a 2) （3分） ⎰⎰02ε0⎰x 2ε0
4ε0
(3)场强最小为E min =0
E =d E =
x
即，
k
(2x 2-a 2) =0 （1分）
4ε0
则x =
（1分）
（1）（本小题5分）电荷为+q 和-2q 的两个点电荷分别置于x 1=1m 和x -1=-1m 处。一试探电荷置于
x 轴上何处，它受到的合力等于零？
（2）（本小题5分）如图所示，一电荷线密度为λ的无限长带电直导线垂直纸面通过A 点；附近有一电量为Q 的均匀带电球体，其球心位于O 点。∆AOP 是边长为a 的等边三角形。已知P 处场强方向垂直于OP ，求:λ和Q 间的关系（按照如图所示选择坐标）。 答案：（1）设试探电荷q 0置于x 处所受合力为零，显然，x >1m 根据电力叠加原理可得
(-2q ) ⋅q 0
i +i =0 22
4πε0(x -1)4πε0(x +1)q ⋅q 0
即
q 4πε0(x -1)
2
+
(-2q ) 4πε0(x +1)
2
=0 （2分）
解得：
x =(3±m 。 （2分）
因x =3
x =3+22 m （1分）
（2）根据题意可知
()
∑E
Q 4πε0a 2
+
x
=0 （2分）
λ
cos600=0 （2分） 2πε0a
得： Q =-λa （1分）
一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷-Q ，如图所示．试求：（1）圆心O 处的电场强度；（2）电场强度的方向。 答案： 在θ 处取微小电荷，λ=
Q 2Q
=
R π/2πR
d q =λd l =
它在O 处产生场强大小
2Q
π
d θ （1分）
d E =
d q Q
=d θ （2分）
4πε0R 22π2ε0R 2
Q
按θ 角变化，将d E 分解成二个分量：
sin θd θ （1分）
2π2ε0R 2
Q
d E y =-d E cos θ=-2cos θd θ （1分） 2
2πε0R
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷，一半是正电荷
d E x =d E sin θ=
π
⎡π/2⎤
E x =2sin θd θ-sin θd θ⎥=0 （1分） 2⎢⎰⎰2πε0R ⎣0
π/2⎦
π/2π
⎤-Q ⎡Q
（2分） E y =2cos θd θ-cos θd θ=-⎢⎥22⎰2πε0R 2⎣⎰πεR 00π/2⎦
Q
所以
E =E x i +E y j =
-Q
j （2分） 22
πε0R
如图所示，有一长l 的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+λ，则杆上距原点x 处的线元d x 对P 点的点电荷q 0 的电场力为何？q 0 受的总电场力为何？（2）若λ=ε0l （正电荷），a =3l ，则P 点的电场强度是多少？（如图所示选择坐标系） 答案：1距原点x 处的线元d x 在P 点的场强：
（2分）
4πε0(l +a -x ) 2
q 0λd x
点电荷q 0受到的电场力为：d F =q 0d E = （2分） 2
4πε0(l +a -x )
l q 0λd x
点电荷q 0受到的总电场力为：F =⎰d F =⎰q 0d E =⎰
04πε(l +a -x ) 2
q λ11=0(-) （2分） 4πε0a l +a
2 P 点的场强为：
F λ11E ==(-) （2分）
q 04πε0a l +a
将λ=ε0l ，a =3l 代入上式
1
E = （2分）
48π
如图所示，一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R
的圆面积范围内
d E =
λd x
的电荷所产生的，试求该圆半径的大小。（提示：半径为R 的均匀带电为q 的圆环轴线上的电场强度是
E =
qx
） 223/2
4πε0(R +x )
答案：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E =
σ
2分 2ε0
以图中O 点为圆心，取半径为r ~r +d r 的环形面积，其电量为
dq =σ2πr d r 1分
它在距离平面为a 的一点处产生的场强
d E =
σardr
2ε 0a 2
+r
23/2
则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为 E r
⎛⎫
R =
σa R r d σ2ε0(a 2+r 2)3/2
=0⎰2ε ⎪0
1-a a 2+R 2⎪ ⎝⎭
由题意， E E σ
R =
2=
4ε 1分 0
整理得到：
R = 2分
半径为 R 的圆弧形细塑料棒，两端空隙为 d （其对中心张角为2θ0），线电荷密度为λ的正电荷均匀地分布在棒上。求（1）用连续带电体场强叠加原理计算圆心O 处场强的大小；（2）场强的方向；（3）当d
（1）如图所示，任取线元d l =R d θ，d θ为线元对圆心O 点的圆心角，则电荷元电量为 d q =λd l =λR d θ 1分 电荷元在圆心O 点的场强为
d E =
λR d θλd θ
4πε2
= 2分 0R 4πε0R
由于对称性， E x =⎰
d E x =0 1分
d E λR d θ
y =
4πε2
cos θ 0R
E =⎰d E θ0λd θ
y =⎰-θ0
4πεcos θ
R =
λsin θ02πε0R
（2）由O 指向缺口 （3）当d
sin θd /2
0≈θ0=
R
E ≈-
λd
4πε2
0R
2分
2分 2θ0
1分 2分
1分 1分 1分
无两条无限长平行直导线相距为r 0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ，如图所示。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（按图示方式选取坐标，该点到+λ带电线的垂直距离为x ）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
负带电导线在P 点的电场强度，则有
＋λ
O
答案：（1）设点P 在导线构成的平面上，E +、E -分别表示正、
λ⎛1⎫
E += ⎪i （2分）
2πε0⎝x ⎭ λ⎛1⎫ E -= ⎪i （2
2πε0⎝r 0-x ⎭
分）
λ⎛11⎫ E =E ++E -=+ ⎪i
2πε0⎝x r 0-x ⎭
（2分）
r 0λ
=i 2πε0x (r 0-x )
（2）设F +、F -分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有
F +=λF -=
λ2
i （2分）
2πε0r 0
λ2 F -=-λF +=-i （2分）
2πε0r 0
显然有F +=-F -，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
一段半径为a 的细圆弧，对圆心的张角为θ0，其上均匀分布有正电荷 q ，如图所示，（1）试以a 、q 、θ0表示出圆心O 处的电场强度。
答案：如图选择坐标系。在圆弧上取一小电荷
q
元， d q = R d θ （2分）
R θ0
在O 点处激发：d E =（3分）
由于对称性，E x =
2
E y =⎰2θ0cos θd E =⎰θ0
-2
-2
图30122015 d q q d θ
=22
4πε0R 4πε0R θ0
⎰θ
2-
θ0
sin θd E =0， （2分）
2
θ0θ0
θ0q q
（3分） cos θd θ=sin 22
4πε0R θ02πε0R θ02