山西卷2011年高考数学(理科)试卷

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4

页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题

（1）复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1 （A）2i （B）i （C）i （D）2i （2

）函数y（A）y

x

2

x≥0)的反函数为

4

(xR) （B）y

x

2

4

2

(x≥0)

（C）y4x2(xR) （D）y4x(x≥0)

（3）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 （A）a＞b1 （B）a＞b1 （C）a2＞b2 （D）a3＞b3 （4）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d

k

2

，SA2Sn24，则

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5

（5）设函数f(x)cosx(＞0)，将yf(x)的图像向右平移



3

个单位长度后，

所得的图像与原图像重合，则的最小值等于

（A）

13

（B）3 （C）6 （D）9

(6)已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂

足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于

(A)

3

3

3

(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友

每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

(8)曲线y=e2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

(A) (B) (C) (D)1

3

2

3

1

1

2

(9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1x)，则f( (A) - (B) (C) (D)

2

4

4

2

1

1

1

1

52

)

=

(10)已知抛物线C：y2

cosAFB=

4x

的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点．则

(A) (B) (C) (D)

5

5

5

5

4334

(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13

(12)设向量a，b，c满足a=b =1，ab=，

2

1

ac,bc

=600，则c的最大值等

于

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第Ⅱ卷 注意事项：

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效)

．．．．．．．．

20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为



5

y2

(14)已知a∈(，)，sinα

2

tan2α=

2

(15)已知F1、F2分别为双曲线C:

x

9

-

y

2

27

=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐

标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .

(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB,

CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，

求C.

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

（19）如图，四棱锥SABCD中，p(边三角形，ABBC2,CDSD1. （Ⅰ）证明：SD

SAB;

b，

910

)

19



1e

2

ABCD

,BC

CD

，侧面SAB为等

（Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.

（20）设数列an满足a10且（Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）设bn

11an1



11an

1.



n

记Sn

b

k1

k

,证明：Sn1.

（21）已知O为坐标原点，F为椭圆C:x且斜率为2



y

2

2

1在y轴正半轴上的焦点，过F

的直线l与C交与A、B两点，点P



满足OAOBOP0.

(Ⅰ)证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．（Ⅰ）设函数f(x)ln(1x)

2xx2

，证明：当x＞0时，f(x)＞0；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：

p(

910)

19



1e

2

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4

页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题

（1）复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1 （A）2i （B）i （C）i （D）2i （2

）函数y（A）y

x

2

x≥0)的反函数为

4

(xR) （B）y

x

2

4

2

(x≥0)

（C）y4x2(xR) （D）y4x(x≥0)

（3）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 （A）a＞b1 （B）a＞b1 （C）a2＞b2 （D）a3＞b3 （4）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d

k

2

，SA2Sn24，则

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5

（5）设函数f(x)cosx(＞0)，将yf(x)的图像向右平移



3

个单位长度后，

所得的图像与原图像重合，则的最小值等于

（A）

13

（B）3 （C）6 （D）9

(6)已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂

足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于

(A)

3

3

3

(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友

每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

(8)曲线y=e2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

(A) (B) (C) (D)1

3

2

3

1

1

2

(9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1x)，则f( (A) - (B) (C) (D)

2

4

4

2

1

1

1

1

52

)

=

(10)已知抛物线C：y2

cosAFB=

4x

的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点．则

(A) (B) (C) (D)

5

5

5

5

4334

(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13

(12)设向量a，b，c满足a=b =1，ab=，

2

1

ac,bc

=600，则c的最大值等

于

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第Ⅱ卷 注意事项：

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效)

．．．．．．．．

20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为



5

y2

(14)已知a∈(，)，sinα

2

tan2α=

2

(15)已知F1、F2分别为双曲线C:

x

9

-

y

2

27

=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐

标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .

(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB,

CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，

求C.

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

（19）如图，四棱锥SABCD中，p(边三角形，ABBC2,CDSD1. （Ⅰ）证明：SD

SAB;

b，

910

)

19



1e

2

ABCD

,BC

CD

，侧面SAB为等

（Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.

（20）设数列an满足a10且（Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）设bn

11an1



11an

1.



n

记Sn

b

k1

k

,证明：Sn1.

（21）已知O为坐标原点，F为椭圆C:x且斜率为2



y

2

2

1在y轴正半轴上的焦点，过F

的直线l与C交与A、B两点，点P



满足OAOBOP0.

(Ⅰ)证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．（Ⅰ）设函数f(x)ln(1x)

2xx2

，证明：当x＞0时，f(x)＞0；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：

p(

910)

19



1e

2