初二上学期：轴对称—最小值问题专项
轴对称图形及图形的轴对称之间的联系与区别：
如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；
把一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（轴对称），这条直线就是对称轴．
两图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．
区别：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系． 联系：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；
若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
轴对称的性质是什么？
① ② ③ ④
关于某直线对称的两个图形是全等的．
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线段的垂直平分线．
两个图形关于某直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．
线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形．
中考考点研究：
①关于轴对称图形：有关这一考点的试题非常多，主要涉及轴对称图形及其对称轴的识别． ②关于轴对称的性质与作图；求最小值就是其中重要考点之一.
③关于现实生活中轴对称图形（镜面对称）与利用轴对称进行图案设计．主要考查应用意识，多为容易.
典型例题
例1. 如图，点P 关于OA 、OB 对称点分别是P 1、P 2，P 1P 2分别交OA 、OB 于点M 、N ，P 1P 2=6cm，则△PMN
的周长为 ．
变式：如图，P 为△BOA 内任一点，在OB 上找一点M ，在OA 上找一点N ，使得△PMN 的周长最短．
例2. 如图，请你用三种方法把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使它成为轴对称图形
.
例3. 在剪纸中, 如果所用的纸张对折了n 次(n≥1且n 为整数) ，那么剪出来的图案至少有______条对称轴.
如图，把边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 分成n 段，以每一段为对角线作正方形，所有小正方形的周长之和为 ．
例4. 如图，∠3=30°, 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为 _______ °
.
下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为_______ .
例5. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE的和最小，则这个最小值为
_______ .
第6题
变式1 变式2
变式1:如图在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC 上一动点, 则PB+PE的最小值是 _______ . 变式2:如图正方形ABCD 中,AB=4，E 是BC 的中点, 点P 是对角线AC 上一动点, 则PE+PB的最小值为_______ .
例6. 已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，
则PM+PN的最小值= _______．
例7. 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD取最小值时，
△APD 中边AP 上的高为（ ）.A 、217
B 、
48
C 、 D 、
3
1717
变式：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD，点E 在AB 上，且AE=2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB的最小值是_________.
例8. 圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正
好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
例9. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( ). A．130° B．120° C．110° D．100°
例10. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的角平分线交DC 于点E ，点P 、Q 分别是边AD 和AE 上的动点（两动点不重合）．
（1）PQ+DQ的最小值是_______.
（2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P 、Q 的位置，并在图中画出； （3）请对（2）中你所给的结论进行证明．
例11. 如图，在锐角△ABC 中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是
_______.
例12. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，求CQ+PQ的最小值
.
例13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是_________(填序号).
①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°； ③点D 在AB 的中垂线上； ④S△DAC：S △ABC=1：3．
思考练习:
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB的周长的最小值是 _______．
2. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是_______．
坐标系中的轴对称、最小值
例1. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2) ，B(3，3) 两点，现另取一点C(a，1) ，当a ＝ 时，
AC ＋BC 的值最小．
例2. 如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C 的坐标是 ________.
例3. 一次函数y =kx +b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．
（1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点， 求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
例4. 如图，一次函数的图象过点P （2，3）
，分别交x 、y 的正半轴于A 、B ，求△AOB 面积的最小值．
例5. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，的坐标为（
，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，求PA+PC的最小值.
），点C
例6. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x
轴上使得PA -PB 的值最大的点，Q
是y 轴上使得QA 十QB 的值最小的点，求OP ⋅OQ 的值.
例7. 如图，在直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形OABC 是菱形，点A 的坐标为（3，4），点C 在x 轴的正半轴上，连接AC 、OB ． （1）求直线AC 的解析式；
（2）若点P 、Q 分别是OB 、OC 上的动点，连接CP 、PQ ，试探究：CP+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个
最小值；若不存在，请说明理由．
变式:
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线OC 交于点C ． （1）若直线AB 解析式为y=-2x+12，直线OC 解析式为y=x，①求△OAC 的面积．
（2）如图2，作∠AOC 的平分线ON ，若AB ⊥ON ，垂足为E ，△OAC 的面积为6，且OA=4，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在求出这个最小值；若不存在，说明理由
.
初二上学期：轴对称—最小值问题专项
轴对称图形及图形的轴对称之间的联系与区别：
如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；
把一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（轴对称），这条直线就是对称轴．
两图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．
区别：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系． 联系：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；
若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
轴对称的性质是什么？
① ② ③ ④
关于某直线对称的两个图形是全等的．
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线段的垂直平分线．
两个图形关于某直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．
线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形．
中考考点研究：
①关于轴对称图形：有关这一考点的试题非常多，主要涉及轴对称图形及其对称轴的识别． ②关于轴对称的性质与作图；求最小值就是其中重要考点之一.
③关于现实生活中轴对称图形（镜面对称）与利用轴对称进行图案设计．主要考查应用意识，多为容易.
典型例题
例1. 如图，点P 关于OA 、OB 对称点分别是P 1、P 2，P 1P 2分别交OA 、OB 于点M 、N ，P 1P 2=6cm，则△PMN
的周长为 ．
变式：如图，P 为△BOA 内任一点，在OB 上找一点M ，在OA 上找一点N ，使得△PMN 的周长最短．
例2. 如图，请你用三种方法把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使它成为轴对称图形
.
例3. 在剪纸中, 如果所用的纸张对折了n 次(n≥1且n 为整数) ，那么剪出来的图案至少有______条对称轴.
如图，把边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 分成n 段，以每一段为对角线作正方形，所有小正方形的周长之和为 ．
例4. 如图，∠3=30°, 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为 _______ °
.
下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为_______ .
例5. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE的和最小，则这个最小值为
_______ .
第6题
变式1 变式2
变式1:如图在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC 上一动点, 则PB+PE的最小值是 _______ . 变式2:如图正方形ABCD 中,AB=4，E 是BC 的中点, 点P 是对角线AC 上一动点, 则PE+PB的最小值为_______ .
例6. 已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，
则PM+PN的最小值= _______．
例7. 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD取最小值时，
△APD 中边AP 上的高为（ ）.A 、217
B 、
48
C 、 D 、
3
1717
变式：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD，点E 在AB 上，且AE=2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB的最小值是_________.
例8. 圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正
好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
例9. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( ). A．130° B．120° C．110° D．100°
例10. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的角平分线交DC 于点E ，点P 、Q 分别是边AD 和AE 上的动点（两动点不重合）．
（1）PQ+DQ的最小值是_______.
（2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P 、Q 的位置，并在图中画出； （3）请对（2）中你所给的结论进行证明．
例11. 如图，在锐角△ABC 中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是
_______.
例12. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，求CQ+PQ的最小值
.
例13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是_________(填序号).
①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°； ③点D 在AB 的中垂线上； ④S△DAC：S △ABC=1：3．
思考练习:
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB的周长的最小值是 _______．
2. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN的最小值是_______．
坐标系中的轴对称、最小值
例1. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2) ，B(3，3) 两点，现另取一点C(a，1) ，当a ＝ 时，
AC ＋BC 的值最小．
例2. 如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C 的坐标是 ________.
例3. 一次函数y =kx +b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．
（1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点， 求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
例4. 如图，一次函数的图象过点P （2，3）
，分别交x 、y 的正半轴于A 、B ，求△AOB 面积的最小值．
例5. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，的坐标为（
，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，求PA+PC的最小值.
），点C
例6. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x
轴上使得PA -PB 的值最大的点，Q
是y 轴上使得QA 十QB 的值最小的点，求OP ⋅OQ 的值.
例7. 如图，在直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形OABC 是菱形，点A 的坐标为（3，4），点C 在x 轴的正半轴上，连接AC 、OB ． （1）求直线AC 的解析式；
（2）若点P 、Q 分别是OB 、OC 上的动点，连接CP 、PQ ，试探究：CP+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个
最小值；若不存在，请说明理由．
变式:
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线OC 交于点C ． （1）若直线AB 解析式为y=-2x+12，直线OC 解析式为y=x，①求△OAC 的面积．
（2）如图2，作∠AOC 的平分线ON ，若AB ⊥ON ，垂足为E ，△OAC 的面积为6，且OA=4，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在求出这个最小值；若不存在，说明理由
.