作者：陈飞跃
中国保险管理干部学院学报 2004年11期
一、效用函数的概念
所谓效用，就是决策者对决策后果的一种感受、反应或倾向，是决策者的价值观和偏好在决策中的综合反应。不同的人对同一风险的态度不同其采取的决策也不同，即对风险的排序不同，有的人回避这一风险，有的人偏好这一风险，其他的人却对它保持中立。冯诺—曼和摩津斯坦证明了对一个“行为合理”的决策者，存在一个效用函数u(x)，它是根据随机事件期望效用值的大小决定的。效用值的大小衡量了决策者对于风险的态度、对某事物的倾向、偏好等主观因素的强弱程度。效用理论是属于个体心理及行为的决策理论。每个人因年龄、财富及教育程度等因素不同而对风险持不同的态度，其效用函数也不同。决定个体的效用函数可采用问卷调查、对话询问或赌博实验及其它方法确定。一般而言，用1表示最大的效用值，用0表示最小的效用值。设决策者的效用函数为u(x)，其中x为决策者的货币收入，则0≤u(x)≤1，显然，他收入越多效用越大，故u(x)是单调递增的。Pratt定义风险厌恶系数为：，根据r(x)的正负，可把决策者对风险的态度分为如下三类（图一）
图一
1)若r(x)＞0，因为u′(x)＞0，则u″(x)＜0，即效用函数是上凸的，它表示决策者对货币收入的态度是，效用值随货币收入的增加而递增，但递增的速度越来越慢。如图所示，决策者认为对稳得的收益值的效用，肯定大于他对带有风险的相等的期望收益值的效用。这类决策者对可能的损失反应相当敏感，而对收益的迅速增加，则反应比较迟缓，是一种不求大利，但求稳妥，小心谨慎，避免风险的风险厌恶者。
2)若r(x)＜0由于u′(x)＞0，则u″(x)＞0，即效用函数是下凸的，它表示决策者对货币收益的态度与风险厌恶者完全相反，效用值随货币收益的增加而增加，但递增的速度越来越快。他对获得大收益特别感兴趣，反应敏感，对损失不十分关心，反应迟缓，是追求风险的风险爱好者。
3)若r(x)=0，则u″(x)=0，即决策者对货币收益的效用函数是收益的线性函数，他认为货币收入的效用值处处等于相同期望收入的效用值，这时决策者是风险中立的。
二、效用理论在保险实务中的应用
冯诺—曼和摩津斯坦应用公理体系的方法证明了对一个“行为合理”的决策者，存在一个效用函数u(x)，按期望效用值的大小可对随机事件进行排序。该决策者认为当且仅当E[U(X)]＞E[U(Y)]时，随机变量X比Y好。
1、应用效用理论分析投保人与保险人签定保险合同必须满足的条件
在保险实务中，一个面临某种风险的顾客是否愿投保，保险人是否愿意承保此风险，这与风险的性质，保费的多少及保险人对风险的态度有关。人们对待风险的态度可反应在相应的效用函数上。某人的效用函数u(x)是他拥有的财富x（用货币量表示）的效用值，自然他拥有的财富越多，效用也越大，即u′(x)＞0。一般而言，人们是回避（厌恶）风险的，即r(x)＞0，所以u″(x)＜0。下面说明如何应用效用理论分析投保人与保险人签订保险合同必须满足的条件。设某人最初拥有的财产金额为w，他可能遭受损失金额为x，x为随机变量，其密度函数为f(x)。设此人的效用函数为u(x)，则这种情况下这人的期望效用为：
满足时，保险人才愿意承保。于是只有当保险费p满足(1)式又满足(2)式时，投保人和保险人才会签订保险合同。因此，确定保险费时还应考虑顾客的效用。
2、应用效用理论确定不足额保险中的最优投保比例
如果投保人认为有必要对他所面临的风险进行投保，那么他应该采取足额保险策略，还是应该进行不足额投保呢？如果他觉得应该采取不足额投保决策，那么他应该选择的最佳保险比例是多少呢？下面笔者用效用理论分析这个实际问题。设投保人支付保险费为q.p（0＜q≤1）其中q为投保比例，则当损失为x时，可得补偿为q.x，此时他的期望效用为
若p＞E(X),则u′(1)＜0，因此足额投保并非最优。
如果保险费p=q.E(X)+c，其中c是保险人在预期赔款上增加的固定费用，以支付保险人的开支，则第一最优条件为：
所以足额投保是最优的。此时，只有当时，投保人才愿投保。如果c很大，投保人宁愿放弃保险，否则，他将足额投保，这与实际情况是一致的。
3、用效用原理确定均衡保险费
通常投保人希望转移风险的保险费越低越好，而保险人则反之。由上述分析可知，保险费既要满足(1)式也要满足(2)式时，投保人与保险人才会签订保险合同。投保人所允许的最高保险费使(1)等号成立，且＞E(X)。而保险人允许的最低保险费使(2)式等号成立，同理可得＞E(X)，因此是存在满足(1)也满足(2)的保险费p的。一个保险人作为市场的竞争者，常常降低保险费来扩展业务，以下从保险人的角度分析保险费的计算。保险人所允许的最低保险费使(2)式中等号成立，即保险费p是下列方程：
的解。由(5)式具体解出p，与随机损失X分布密切相关。一般来说，我们从(5)得不到p的精确解，但当X的分布集中在它的均值附近时，p的近似解为：
4、利用效用理论确定再保险情况下的最优自留额
效用保费定价理论的基本思想是：假定原保险人对待风险的态度可以用效用函数u(x)来表示，其最优分保安排由货币效用的大小来决定，同时假定保险人为风险厌恶型的，即u′(x)＞0，u″(x)＜0，在给定损失分布的条件下，确定使保险人效用最大的自留额。
假定一保险人处于可以导致其损失的风险之中，由具有分布为F(X)的随机变量来代表。进一步假定只要支付保险费P(Y)就可以得到再保险合同，该合同保证，它的损失达到X时就给予补偿Y(X)。该保险人的问题就是要找到一份最优的再保险合同，以及当价格由函数P(Y)给定时的最优函数Y(X)。
假定原保险人的最初价值为S，我们的问题就是使下式最大化：
当函数P(Y)并且y(x)∈Y时（0≤Y(X)≤X），集合Y就可以解释为市场上可得到的保单集合。
我们假定保费有如下形式：（即期望值原理）
即保费在包括附加保费中只占有一定比例，入为安全附加系数。基于该假定，最优保单是如下形式：
从该方程解得的M即为最优自留额。
作者介绍：陈飞跃 保险职业学院
作者：陈飞跃
中国保险管理干部学院学报 2004年11期
一、效用函数的概念
所谓效用，就是决策者对决策后果的一种感受、反应或倾向，是决策者的价值观和偏好在决策中的综合反应。不同的人对同一风险的态度不同其采取的决策也不同，即对风险的排序不同，有的人回避这一风险，有的人偏好这一风险，其他的人却对它保持中立。冯诺—曼和摩津斯坦证明了对一个“行为合理”的决策者，存在一个效用函数u(x)，它是根据随机事件期望效用值的大小决定的。效用值的大小衡量了决策者对于风险的态度、对某事物的倾向、偏好等主观因素的强弱程度。效用理论是属于个体心理及行为的决策理论。每个人因年龄、财富及教育程度等因素不同而对风险持不同的态度，其效用函数也不同。决定个体的效用函数可采用问卷调查、对话询问或赌博实验及其它方法确定。一般而言，用1表示最大的效用值，用0表示最小的效用值。设决策者的效用函数为u(x)，其中x为决策者的货币收入，则0≤u(x)≤1，显然，他收入越多效用越大，故u(x)是单调递增的。Pratt定义风险厌恶系数为：，根据r(x)的正负，可把决策者对风险的态度分为如下三类（图一）
图一
1)若r(x)＞0，因为u′(x)＞0，则u″(x)＜0，即效用函数是上凸的，它表示决策者对货币收入的态度是，效用值随货币收入的增加而递增，但递增的速度越来越慢。如图所示，决策者认为对稳得的收益值的效用，肯定大于他对带有风险的相等的期望收益值的效用。这类决策者对可能的损失反应相当敏感，而对收益的迅速增加，则反应比较迟缓，是一种不求大利，但求稳妥，小心谨慎，避免风险的风险厌恶者。
2)若r(x)＜0由于u′(x)＞0，则u″(x)＞0，即效用函数是下凸的，它表示决策者对货币收益的态度与风险厌恶者完全相反，效用值随货币收益的增加而增加，但递增的速度越来越快。他对获得大收益特别感兴趣，反应敏感，对损失不十分关心，反应迟缓，是追求风险的风险爱好者。
3)若r(x)=0，则u″(x)=0，即决策者对货币收益的效用函数是收益的线性函数，他认为货币收入的效用值处处等于相同期望收入的效用值，这时决策者是风险中立的。
二、效用理论在保险实务中的应用
冯诺—曼和摩津斯坦应用公理体系的方法证明了对一个“行为合理”的决策者，存在一个效用函数u(x)，按期望效用值的大小可对随机事件进行排序。该决策者认为当且仅当E[U(X)]＞E[U(Y)]时，随机变量X比Y好。
1、应用效用理论分析投保人与保险人签定保险合同必须满足的条件
在保险实务中，一个面临某种风险的顾客是否愿投保，保险人是否愿意承保此风险，这与风险的性质，保费的多少及保险人对风险的态度有关。人们对待风险的态度可反应在相应的效用函数上。某人的效用函数u(x)是他拥有的财富x（用货币量表示）的效用值，自然他拥有的财富越多，效用也越大，即u′(x)＞0。一般而言，人们是回避（厌恶）风险的，即r(x)＞0，所以u″(x)＜0。下面说明如何应用效用理论分析投保人与保险人签订保险合同必须满足的条件。设某人最初拥有的财产金额为w，他可能遭受损失金额为x，x为随机变量，其密度函数为f(x)。设此人的效用函数为u(x)，则这种情况下这人的期望效用为：
满足时，保险人才愿意承保。于是只有当保险费p满足(1)式又满足(2)式时，投保人和保险人才会签订保险合同。因此，确定保险费时还应考虑顾客的效用。
2、应用效用理论确定不足额保险中的最优投保比例
如果投保人认为有必要对他所面临的风险进行投保，那么他应该采取足额保险策略，还是应该进行不足额投保呢？如果他觉得应该采取不足额投保决策，那么他应该选择的最佳保险比例是多少呢？下面笔者用效用理论分析这个实际问题。设投保人支付保险费为q.p（0＜q≤1）其中q为投保比例，则当损失为x时，可得补偿为q.x，此时他的期望效用为
若p＞E(X),则u′(1)＜0，因此足额投保并非最优。
如果保险费p=q.E(X)+c，其中c是保险人在预期赔款上增加的固定费用，以支付保险人的开支，则第一最优条件为：
所以足额投保是最优的。此时，只有当时，投保人才愿投保。如果c很大，投保人宁愿放弃保险，否则，他将足额投保，这与实际情况是一致的。
3、用效用原理确定均衡保险费
通常投保人希望转移风险的保险费越低越好，而保险人则反之。由上述分析可知，保险费既要满足(1)式也要满足(2)式时，投保人与保险人才会签订保险合同。投保人所允许的最高保险费使(1)等号成立，且＞E(X)。而保险人允许的最低保险费使(2)式等号成立，同理可得＞E(X)，因此是存在满足(1)也满足(2)的保险费p的。一个保险人作为市场的竞争者，常常降低保险费来扩展业务，以下从保险人的角度分析保险费的计算。保险人所允许的最低保险费使(2)式中等号成立，即保险费p是下列方程：
的解。由(5)式具体解出p，与随机损失X分布密切相关。一般来说，我们从(5)得不到p的精确解，但当X的分布集中在它的均值附近时，p的近似解为：
4、利用效用理论确定再保险情况下的最优自留额
效用保费定价理论的基本思想是：假定原保险人对待风险的态度可以用效用函数u(x)来表示，其最优分保安排由货币效用的大小来决定，同时假定保险人为风险厌恶型的，即u′(x)＞0，u″(x)＜0，在给定损失分布的条件下，确定使保险人效用最大的自留额。
假定一保险人处于可以导致其损失的风险之中，由具有分布为F(X)的随机变量来代表。进一步假定只要支付保险费P(Y)就可以得到再保险合同，该合同保证，它的损失达到X时就给予补偿Y(X)。该保险人的问题就是要找到一份最优的再保险合同，以及当价格由函数P(Y)给定时的最优函数Y(X)。
假定原保险人的最初价值为S，我们的问题就是使下式最大化：
当函数P(Y)并且y(x)∈Y时（0≤Y(X)≤X），集合Y就可以解释为市场上可得到的保单集合。
我们假定保费有如下形式：（即期望值原理）
即保费在包括附加保费中只占有一定比例，入为安全附加系数。基于该假定，最优保单是如下形式：
从该方程解得的M即为最优自留额。
作者介绍：陈飞跃 保险职业学院