三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法 1： 如图所示，延长中位线 DE 至 F，使 ，有 AD FC，所以 FC ，连结 CF，则 BD，则四边形 BCFD 是平行四边1 2形，DFBC。因为，所以 DEBC．法 2：如图所示，过 C 作 有 FC AD，那么 FC交 DE 的延长线于 F，则 BD，则四边形 BCFD 为平行四边形，DF1 2， BC。因为，所以 DEBC．法 3：如图所示，延长 DE 至 F，使 ADCF 为平行四边形，有 AD，连接 CF、DC、AF，则四边形 BD，那么四边形 BCFD 为平1 2CF，所以 FC行四边形，DFBC。因为，所以 DEBC．法 4：如图所示，过点 E 作 MN∥AB，过点 A 作 AM∥BC，则四边形 ABNM 为 平行四边形， 易证 AEM CEN ， 从而点 E 是 MN 的中点， 易证四边形 ADEM 和 BDEN 都为平行四边形，所以 DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即 DE1 2 BC。法 5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观 地发现平行关系， 难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一 道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。⑴如图，A 为线段 BC(或线段 BC 的延长线)上的任意一点，D、E 分别是 AB、AC 的中点，线段 DE 与 BC 有什么关系？A B D E C图⑴： ⑵如果点 A 不在直线 BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?ADEBC图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点 A 运动到直线 B C 上时,中位线 DE 也运动到 BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不 难猜想性质的两方面， 特别是数量关系， 而想到去度量、 验证和猜想， 水到渠成. 如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关 系，计算边长或中位线的长。 第二，要知道中位线定理的使用形式，如：∵ DE 是△ABC 的中位线A∴ DE∥BC， DE 1 2BCDEBC第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图 4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在 CA 延长线上，∠FDA＝∠B. (1)求证：AF＝DE；(2)若 AC＝6，BC＝10，求四边形 AEDF 的周长.分析本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。 (1)要证 AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证 明 AEDF 是平行四边形.因为 DE 是三角形的中位线，所以 DE∥AC.又题给条件 ∠FDA＝∠B，而在 Rt△ABC 中，因 AE 是斜边上的中线，故 AE＝EB.从而∠EAB＝ ∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到 AE∥DF.所以四边形 AEDF 为平行四边形.11(2)要求四边形 AEDF 的周长， 关键在于求 AE 和 DE， AE＝ 2 BC＝5， DE＝ 2 AC ＝3. 证明：(1)∵D、E 分别为 AB、BC 的中点， ∴DE∥AC，即 DE∥AF ∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BE＝EC1∴EA＝EB＝ 2 BC，∠EAB＝∠B 又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA ∴EA∥DF，AEDF 为平行四边形 ∴AF＝DE (2)∵AC＝6，BC＝10，1 1∴DE＝ 2 AC＝3，AE＝ 2 BC＝5 ∴四边形 AEDF 的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16 题2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，延长 BA 和 CD 分别与 EF 的延长线交于 K、H。求证：∠BKE＝∠CHE.分析本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又 使需证明的角转移过来，可考虑，连 BD，找 BD 中点 G，则 EG、FG 分别为△BCD、 △DBA 的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比 作平行线好. 证明：连 BD 并取 BD 的中点 G，连 FG、GE 在△DAB 和△BCD 中 ∵F 是 AD 的中点，E 是 BC 的中点1 1∴FG∥AB 且 FG＝ 2 AB，EG∥DC 且 EG＝ 2 DC ∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG ∴∠BKE＝∠CHE∴∠GFE＝∠GEF题3如图， ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，O 为 AC、BD 的交点，P、R、Q 分别为 AO、DO、BC 的中点，∠AOB＝60°。求证：△PQR 为等边三角形.分析本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边1中线定理。利用条件可知 PR＝ 2 AD，能否把 PQ、RQ 与 AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC 为等边三角形，再由 R 为 OD 中点， 则∠BRC＝90°，QR 就为斜边 BC 的中线. 证明：连 RC，∵四边形 ABCD 为等腰梯形且 AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD ∴△ADC≌△BCD ∴△ODC 为等腰三角形 ∴△ODC 为等边三角形又∵DC 为公共边 ∴∠ACD＝∠BDC∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∵R 为 OD 的中点∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)1 1∵Q 为 BC 的中点1 1∴RQ＝ 2 BC＝ 2 AD同理 PQ＝ 2 BC＝ 2 AD 在△OAD 中1∵P、R 分别为 AO、OD 的中点∴PR＝ 2 AD∴PR＝PQ＝RQ故△PRQ 为等边三角形3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何 添加辅助线．教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来 让学生接受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的 长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。 上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的 作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。 证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略： 1， 长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一 部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。 （角也亦然） 2， 短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一 条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样） 3， 加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1/2，可加倍延长线段， 延长后使之为其 2 倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样） 4， 折半法：要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1/2，也可取长线段的 中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用） 5， 代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、 分。 6， 相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。题 1（短延长）：如图所示，在正方形 ABCD 中，P、Q 分别为 BC、CD 上的点。 （1）若 PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。（2）若△PCQ 的周长等于正方形周长的一半，求证： PAQ=45°ADQBPC证明：（1）延长 CB 至 E，使 BE=DQ，连接 AE。 ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ ABE= ABC= D=90°，AB=AD 在△ABE 和△ADQ 中 ∵AB=AD， ABE= D，BE=DQ ABE ADQ AE AQ， BAE QAD P A Q 45° B A P Q A D 45° B A P B A E 45° ， 即 E A P P A Q 45°在 AEP和 AQP中 AE AQ， EAP PAQ， AP AP AEP AQP EP PQ EP EB BP DQ BP PQ 即 PB DQ PQADQEBPC（2）延长 CB 至 E，使 BE=DQ，连接 AE 由（1）可知 A B E ADQ AE AQ， BAE QAD D AQ BAQ BAE BAQ 90° PCQ的 周 长 等 于 正 方 形 周 长 的 一 半 PC QC QP BC CD PQ ( BC PC ) (C D Q C ) BP D Q BP EB EP 在 AEP和 AQP中 AE AQ， EP PQ， AP AP AEP AQP E A P P A Q 45°题 2（长截短）：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，∠A 的平分线 AD 交 BC 于 D。求证：AC=AB+BDA3 41O2BDC证明：在 AC 上截取 OA=AB，连接 OD， ∵∠3=∠4，AD=AD ∴△ABD≌△AOD，∴ BD=DO ∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C ∴ ∠2=∠C ∴ OD=OC=BD ∴ AC=OA+OC=AB+BD
三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法 1： 如图所示，延长中位线 DE 至 F，使 ，有 AD FC，所以 FC ，连结 CF，则 BD，则四边形 BCFD 是平行四边1 2形，DFBC。因为，所以 DEBC．法 2：如图所示，过 C 作 有 FC AD，那么 FC交 DE 的延长线于 F，则 BD，则四边形 BCFD 为平行四边形，DF1 2， BC。因为，所以 DEBC．法 3：如图所示，延长 DE 至 F，使 ADCF 为平行四边形，有 AD，连接 CF、DC、AF，则四边形 BD，那么四边形 BCFD 为平1 2CF，所以 FC行四边形，DFBC。因为，所以 DEBC．法 4：如图所示，过点 E 作 MN∥AB，过点 A 作 AM∥BC，则四边形 ABNM 为 平行四边形， 易证 AEM CEN ， 从而点 E 是 MN 的中点， 易证四边形 ADEM 和 BDEN 都为平行四边形，所以 DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即 DE1 2 BC。法 5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观 地发现平行关系， 难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一 道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。⑴如图，A 为线段 BC(或线段 BC 的延长线)上的任意一点，D、E 分别是 AB、AC 的中点，线段 DE 与 BC 有什么关系？A B D E C图⑴： ⑵如果点 A 不在直线 BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?ADEBC图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点 A 运动到直线 B C 上时,中位线 DE 也运动到 BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不 难猜想性质的两方面， 特别是数量关系， 而想到去度量、 验证和猜想， 水到渠成. 如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关 系，计算边长或中位线的长。 第二，要知道中位线定理的使用形式，如：∵ DE 是△ABC 的中位线A∴ DE∥BC， DE 1 2BCDEBC第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图 4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在 CA 延长线上，∠FDA＝∠B. (1)求证：AF＝DE；(2)若 AC＝6，BC＝10，求四边形 AEDF 的周长.分析本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。 (1)要证 AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证 明 AEDF 是平行四边形.因为 DE 是三角形的中位线，所以 DE∥AC.又题给条件 ∠FDA＝∠B，而在 Rt△ABC 中，因 AE 是斜边上的中线，故 AE＝EB.从而∠EAB＝ ∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到 AE∥DF.所以四边形 AEDF 为平行四边形.11(2)要求四边形 AEDF 的周长， 关键在于求 AE 和 DE， AE＝ 2 BC＝5， DE＝ 2 AC ＝3. 证明：(1)∵D、E 分别为 AB、BC 的中点， ∴DE∥AC，即 DE∥AF ∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BE＝EC1∴EA＝EB＝ 2 BC，∠EAB＝∠B 又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA ∴EA∥DF，AEDF 为平行四边形 ∴AF＝DE (2)∵AC＝6，BC＝10，1 1∴DE＝ 2 AC＝3，AE＝ 2 BC＝5 ∴四边形 AEDF 的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16 题2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，延长 BA 和 CD 分别与 EF 的延长线交于 K、H。求证：∠BKE＝∠CHE.分析本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又 使需证明的角转移过来，可考虑，连 BD，找 BD 中点 G，则 EG、FG 分别为△BCD、 △DBA 的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比 作平行线好. 证明：连 BD 并取 BD 的中点 G，连 FG、GE 在△DAB 和△BCD 中 ∵F 是 AD 的中点，E 是 BC 的中点1 1∴FG∥AB 且 FG＝ 2 AB，EG∥DC 且 EG＝ 2 DC ∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG ∴∠BKE＝∠CHE∴∠GFE＝∠GEF题3如图， ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，O 为 AC、BD 的交点，P、R、Q 分别为 AO、DO、BC 的中点，∠AOB＝60°。求证：△PQR 为等边三角形.分析本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边1中线定理。利用条件可知 PR＝ 2 AD，能否把 PQ、RQ 与 AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC 为等边三角形，再由 R 为 OD 中点， 则∠BRC＝90°，QR 就为斜边 BC 的中线. 证明：连 RC，∵四边形 ABCD 为等腰梯形且 AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD ∴△ADC≌△BCD ∴△ODC 为等腰三角形 ∴△ODC 为等边三角形又∵DC 为公共边 ∴∠ACD＝∠BDC∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∵R 为 OD 的中点∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)1 1∵Q 为 BC 的中点1 1∴RQ＝ 2 BC＝ 2 AD同理 PQ＝ 2 BC＝ 2 AD 在△OAD 中1∵P、R 分别为 AO、OD 的中点∴PR＝ 2 AD∴PR＝PQ＝RQ故△PRQ 为等边三角形3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何 添加辅助线．教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来 让学生接受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的 长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。 上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的 作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。 证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略： 1， 长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一 部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。 （角也亦然） 2， 短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一 条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样） 3， 加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1/2，可加倍延长线段， 延长后使之为其 2 倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样） 4， 折半法：要证明一条线段等于另一条线段的 2 倍或 1/2，也可取长线段的 中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用） 5， 代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、 分。 6， 相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。题 1（短延长）：如图所示，在正方形 ABCD 中，P、Q 分别为 BC、CD 上的点。 （1）若 PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。（2）若△PCQ 的周长等于正方形周长的一半，求证： PAQ=45°ADQBPC证明：（1）延长 CB 至 E，使 BE=DQ，连接 AE。 ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ ABE= ABC= D=90°，AB=AD 在△ABE 和△ADQ 中 ∵AB=AD， ABE= D，BE=DQ ABE ADQ AE AQ， BAE QAD P A Q 45° B A P Q A D 45° B A P B A E 45° ， 即 E A P P A Q 45°在 AEP和 AQP中 AE AQ， EAP PAQ， AP AP AEP AQP EP PQ EP EB BP DQ BP PQ 即 PB DQ PQADQEBPC（2）延长 CB 至 E，使 BE=DQ，连接 AE 由（1）可知 A B E ADQ AE AQ， BAE QAD D AQ BAQ BAE BAQ 90° PCQ的 周 长 等 于 正 方 形 周 长 的 一 半 PC QC QP BC CD PQ ( BC PC ) (C D Q C ) BP D Q BP EB EP 在 AEP和 AQP中 AE AQ， EP PQ， AP AP AEP AQP E A P P A Q 45°题 2（长截短）：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，∠A 的平分线 AD 交 BC 于 D。求证：AC=AB+BDA3 41O2BDC证明：在 AC 上截取 OA=AB，连接 OD， ∵∠3=∠4，AD=AD ∴△ABD≌△AOD，∴ BD=DO ∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C ∴ ∠2=∠C ∴ OD=OC=BD ∴ AC=OA+OC=AB+BD