【学情分析】
进入初二之后，学生对几何图形的观察和分析能力已初步形成。部分学生的思维能力比较强，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。但是，对于数学学习的价值和意义学生仍然比较模糊。勾股定理历史十分悠久，纵横几千年，几乎所有的文明古国对它均有研究，在数学的发展历史上有着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学、文化的内涵。现实世界，上至帝王总统，下至平民百姓，都热衷于对其进行研究，其魅力可见一斑。通过对勾股定理的探究学习，寻根问底，以问题的解决激发学生对数学学习的主体意识。
【设计意图】
《义务教育数学课程标准》指出，数学是人类文化的重要组成部分，强调数学的文化性。因此，在课程内容的选择上，既要反映社会的需要、数学的特点，又要符合学生的认知规律，课程内容的呈现应注意层次性和多样性。数学教学活动旨在激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，增强学生的创造性思维。
从教材来看，本节课时是人版教材八年级下册第17章第1课时，勾股定理在初中数学中扮演着很重要的角色。首先，从知识结构来看，它承接八年级上册三角形的学习，为九年级下册解直角三角形的学习打下基础。其次，从内容上看，它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，同时，解决的方法与开方和方程思想等有很多交集。再次，从实际应用来看，它在实际生活中的身影随处可见，可以说，有直角的地方都有勾股定理，体现了应用数学的思想。教材在编写时注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系、比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。
在有的人看来，数学是枯燥乏味的，这是被数学图形和符号表面的抽象所迷惑，没有亲身体验的情感交流，没有发掘出其内在的价值，从理性的角度发现数学的美，本节课在教法上选择学生自主学习与教师引导探索相结合，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。首先借助生活问题引入，感受数学的来源，将勾股定理的发现和证明以故事的形式讲述出来，可以增强数学课的文化性，激发学生的兴趣。借助多媒体，引导学生自主探索、合作交流，让学生思考问题、获取知识、掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
【教学情景】
一、创境促竞，激发兴趣
新闻链接：重庆沙坪坝一小区住户家中失火，父子二人不幸遇难。
师：很多人事后都对消防队表示指责和质疑，究其原因是他们没能及时赶到现场救火，但是消防队员也有话说，请看消防队员的问题：
以上事发点在六楼，我们带来的云梯长约13米，每层楼高2.5米，为安全起见，梯子的底部须距离墙底5米才能放稳，你认为我们能通过云梯直接进入六楼灭火吗？
要解决这个问题，就要用到我们今天要学习的勾股定理。
【点评】通过结合我们身边发生的事，挖掘数学问题，明确数学学习的价值，尤其是学生意识到数学来自于身边，就会产生积极的心理活动倾向，激发他们学习数学的兴趣。
二、自主学习，培养习惯
师：让我们首先穿越历史的隧道，回到2500年前的一天，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯有一次应邀参加一位政要的餐会，他观察脚下排列规则、美丽的方形瓷砖，发现了方砖对角线围成的直角三角形三边的特殊关系，通过思考，反复论证，得出了著名的勾股定理。下面，我们将毕达哥拉斯观察的地砖图案抽象出来，看看毕达哥拉斯是怎样发现勾股定理的。
（教师让学生打开教科书第22页，依次观察教材图17.1-1和图17.1-2，通过自主思考、生生交流，感悟并体验毕达哥拉斯发现勾股定理的过程。）
【点评】通过看书观察，独立思考，“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生通过采用分割、拼接、数格子的个数等方法发现新知，培养学生良好的自主思考和自主学习的习惯。
三、合作研讨，师生交流
1.从特殊开始，发现勾股定理
师：对于图17.1-1中的图案，我们都很常见，但却很难发现数学问题，但如果像图17.1-2中将直角三角形和正方形勾画出来，就很容易发现数学问题了。你们发现了什么？
（学生交流发现。）
师：很好，看似平淡无奇的现象有时却蕴含着深刻的道理，我们要向毕达哥拉斯学习，做生活的有心人。
师：刚才观察的直角三角形有什么特殊之处？
生：是等腰直角三角形。
师：一般的直角三角形是不是也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
（教师再给出一个一般的直角三角形，让学生计算，并引导学生得出勾股定理的内容。）
【点评】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边的关系打下基础，提供方法。
2.用拼图活动，证明勾股定理
师：以上例子都是特殊的例子，对于更一般的情形是否仍然成立？
试一试，剪四个全等的直角三角形，用它们拼成一个正方形。并用所拼得的图形证明上述结论仍然成立。
（小组活动，同伴交流，学生上台展示。）
请学生上台展示拼图方法，并写出式子的变形过程。
学生归纳出：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【点评】通过拼图活动，培养学生的动手能力，变被动为主动，加深对定理的理解，体会数学中数形结合的思想。同时，给学生展示的空间和舞台，激发学习的主动性。
3.回溯经典，感悟证明 师：刚才同学们通过拼图的方式验证了勾股定理，并用数学式子证明了勾股定理，你们的方法中有与毕达哥拉斯差不多的，这也证明你们有成为数学家的潜质，请为自己鼓掌！
勾股定理的证明方法很多，有兴趣的同学可以搜集研究一下。下面介绍几种证法。
观察图17.1-4，传说这就是毕达哥拉斯的证明方法，你能根据这个图形得出这个结论吗？
（学生独立思考，并在练习本上写出证明过程。）
师：毕达哥拉斯经过从特殊到一般的研究，得出了勾股定理的证明，所以这个定理在西方也叫毕达哥拉斯定理，传说毕达哥斯发现勾股定理后很兴奋，杀了一百头牛来庆贺，因此勾股定理又叫百牛定理。
但为什么我们中国又叫勾股定理呢？
这个问题留作课后的作业，请同学们去查阅“勾股定理”这个名称的来历。
下面介绍东汉赵爽的证法。说明：该证法是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，这个图在2002年在北京召开的第24届国际数学家大会上被用作大会会徽的图案。利用这个图我们很容易证明勾股定理，同学们可以下去证明一下。有兴趣的同学还可以了解一下中国东汉的青朱出入图和美国的总统证法。
【点评】通过介绍毕达哥拉斯的证法，一方面是前面故事的延续，与前面的知识相呼应，另一方面是给予这种方法暗合的同学以鼓励。通过对赵爽弦图的介绍以及勾股定理名称的来历，了解中国古代数学的成就，增强民族自豪感。
四、实践反思，课堂精练
例1.求下图中（图略）字母A、B所代表的正方形的面积。
学生练习，教师个别指导。
【点评】通过计算，进一步体会勾股定理的面积思想，不忘勾股定理的本源。
例2.画一个直角三角形ABC，∠C=90°，它的两直角边分别是AC=3cm，BC=4cm量一量它的斜边AB是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？
变式1：在直角三角形中，各边的长如图（图略），求出未知边的长度。
变式2：已知直角三角形ABC的两边长分别是3和4，求第三边长。
变式3：直角三角形ABC中，∠C=90°，a=6，a∶b=3∶4求b和c。
学生练习，教师个别指导。
解题反思：已知直角三角形两直角边，求斜边可以直接用c=■求解，但当我们不明确是哪两边时，要分类讨论，即要用c=■；b=■或a=■。也可建立方程解决问题，渗透方程思想。
【点评】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题。通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性。通过变式练习，加强学生对应用勾股定理解决问题的灵活性。
五、解决问题，分享帮困
解决情景导入中的问题，引导学生将问题抽象成几何图形，并将问题转化为数学问题。
【点评】从问题中来，又回到问题中去，通过解决问题，让学生体会数学的应用价值。
六、反馈总结，提高认识
学到了哪些数学知识和数学思想方法？有什么疑问？还有什么想要继续探索的问题？
学生发言，互相补充，教师点评。
【点评】本环节为学生提供交流的空间，在引导学生巩固对勾股定理理解的同时，注重了数学思想方法的归纳，同时为下节课的教学提供改进方向。
【教学反思】
数学是一门严谨的科学，高度的抽象性是其标志，但这对于理性思维不强的初中生来说，也容易导致他们产生畏难情绪。因此如何在数学课堂中为学生创设贴近生活的情境，并让学生在情境中抽象出数学问题，如何引导学生分析数学问题，如何利用已有的数学知识、数学经验将未解决的数学问题划归，如何潜移默化地帮助学生形成数学思维、养成数学习惯都是我们在备课时需要反复斟酌的关键。勾股定理的教学，由于涉及的面积证法是学生第一次接触，有一定难度，处理得不好很容易让学生厌烦，因此，在实际教学中突出了四个“注重”：一是注重对学生兴趣的激发。二是注重学生的自主探究与合作交流的结合。三是注重数学文化和数学思想的渗透，培养学生的多种能力。四是注重数学应用意识的培养。
数学课的学习不能只是知识的探究甚至是传递，重要的是要激发学生探究的欲望，通过数学文化和生活中的数学，让学生感受数学的魅力，领悟数形结合的思想方法，激发学生内在的学习驱动力，变被动为主动，更能形成深远的影响。
编辑 李建军
【学情分析】
进入初二之后，学生对几何图形的观察和分析能力已初步形成。部分学生的思维能力比较强，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。但是，对于数学学习的价值和意义学生仍然比较模糊。勾股定理历史十分悠久，纵横几千年，几乎所有的文明古国对它均有研究，在数学的发展历史上有着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学、文化的内涵。现实世界，上至帝王总统，下至平民百姓，都热衷于对其进行研究，其魅力可见一斑。通过对勾股定理的探究学习，寻根问底，以问题的解决激发学生对数学学习的主体意识。
【设计意图】
《义务教育数学课程标准》指出，数学是人类文化的重要组成部分，强调数学的文化性。因此，在课程内容的选择上，既要反映社会的需要、数学的特点，又要符合学生的认知规律，课程内容的呈现应注意层次性和多样性。数学教学活动旨在激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，增强学生的创造性思维。
从教材来看，本节课时是人版教材八年级下册第17章第1课时，勾股定理在初中数学中扮演着很重要的角色。首先，从知识结构来看，它承接八年级上册三角形的学习，为九年级下册解直角三角形的学习打下基础。其次，从内容上看，它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，同时，解决的方法与开方和方程思想等有很多交集。再次，从实际应用来看，它在实际生活中的身影随处可见，可以说，有直角的地方都有勾股定理，体现了应用数学的思想。教材在编写时注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系、比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。
在有的人看来，数学是枯燥乏味的，这是被数学图形和符号表面的抽象所迷惑，没有亲身体验的情感交流，没有发掘出其内在的价值，从理性的角度发现数学的美，本节课在教法上选择学生自主学习与教师引导探索相结合，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。首先借助生活问题引入，感受数学的来源，将勾股定理的发现和证明以故事的形式讲述出来，可以增强数学课的文化性，激发学生的兴趣。借助多媒体，引导学生自主探索、合作交流，让学生思考问题、获取知识、掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
【教学情景】
一、创境促竞，激发兴趣
新闻链接：重庆沙坪坝一小区住户家中失火，父子二人不幸遇难。
师：很多人事后都对消防队表示指责和质疑，究其原因是他们没能及时赶到现场救火，但是消防队员也有话说，请看消防队员的问题：
以上事发点在六楼，我们带来的云梯长约13米，每层楼高2.5米，为安全起见，梯子的底部须距离墙底5米才能放稳，你认为我们能通过云梯直接进入六楼灭火吗？
要解决这个问题，就要用到我们今天要学习的勾股定理。
【点评】通过结合我们身边发生的事，挖掘数学问题，明确数学学习的价值，尤其是学生意识到数学来自于身边，就会产生积极的心理活动倾向，激发他们学习数学的兴趣。
二、自主学习，培养习惯
师：让我们首先穿越历史的隧道，回到2500年前的一天，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯有一次应邀参加一位政要的餐会，他观察脚下排列规则、美丽的方形瓷砖，发现了方砖对角线围成的直角三角形三边的特殊关系，通过思考，反复论证，得出了著名的勾股定理。下面，我们将毕达哥拉斯观察的地砖图案抽象出来，看看毕达哥拉斯是怎样发现勾股定理的。
（教师让学生打开教科书第22页，依次观察教材图17.1-1和图17.1-2，通过自主思考、生生交流，感悟并体验毕达哥拉斯发现勾股定理的过程。）
【点评】通过看书观察，独立思考，“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生通过采用分割、拼接、数格子的个数等方法发现新知，培养学生良好的自主思考和自主学习的习惯。
三、合作研讨，师生交流
1.从特殊开始，发现勾股定理
师：对于图17.1-1中的图案，我们都很常见，但却很难发现数学问题，但如果像图17.1-2中将直角三角形和正方形勾画出来，就很容易发现数学问题了。你们发现了什么？
（学生交流发现。）
师：很好，看似平淡无奇的现象有时却蕴含着深刻的道理，我们要向毕达哥拉斯学习，做生活的有心人。
师：刚才观察的直角三角形有什么特殊之处？
生：是等腰直角三角形。
师：一般的直角三角形是不是也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
（教师再给出一个一般的直角三角形，让学生计算，并引导学生得出勾股定理的内容。）
【点评】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边的关系打下基础，提供方法。
2.用拼图活动，证明勾股定理
师：以上例子都是特殊的例子，对于更一般的情形是否仍然成立？
试一试，剪四个全等的直角三角形，用它们拼成一个正方形。并用所拼得的图形证明上述结论仍然成立。
（小组活动，同伴交流，学生上台展示。）
请学生上台展示拼图方法，并写出式子的变形过程。
学生归纳出：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【点评】通过拼图活动，培养学生的动手能力，变被动为主动，加深对定理的理解，体会数学中数形结合的思想。同时，给学生展示的空间和舞台，激发学习的主动性。
3.回溯经典，感悟证明 师：刚才同学们通过拼图的方式验证了勾股定理，并用数学式子证明了勾股定理，你们的方法中有与毕达哥拉斯差不多的，这也证明你们有成为数学家的潜质，请为自己鼓掌！
勾股定理的证明方法很多，有兴趣的同学可以搜集研究一下。下面介绍几种证法。
观察图17.1-4，传说这就是毕达哥拉斯的证明方法，你能根据这个图形得出这个结论吗？
（学生独立思考，并在练习本上写出证明过程。）
师：毕达哥拉斯经过从特殊到一般的研究，得出了勾股定理的证明，所以这个定理在西方也叫毕达哥拉斯定理，传说毕达哥斯发现勾股定理后很兴奋，杀了一百头牛来庆贺，因此勾股定理又叫百牛定理。
但为什么我们中国又叫勾股定理呢？
这个问题留作课后的作业，请同学们去查阅“勾股定理”这个名称的来历。
下面介绍东汉赵爽的证法。说明：该证法是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，这个图在2002年在北京召开的第24届国际数学家大会上被用作大会会徽的图案。利用这个图我们很容易证明勾股定理，同学们可以下去证明一下。有兴趣的同学还可以了解一下中国东汉的青朱出入图和美国的总统证法。
【点评】通过介绍毕达哥拉斯的证法，一方面是前面故事的延续，与前面的知识相呼应，另一方面是给予这种方法暗合的同学以鼓励。通过对赵爽弦图的介绍以及勾股定理名称的来历，了解中国古代数学的成就，增强民族自豪感。
四、实践反思，课堂精练
例1.求下图中（图略）字母A、B所代表的正方形的面积。
学生练习，教师个别指导。
【点评】通过计算，进一步体会勾股定理的面积思想，不忘勾股定理的本源。
例2.画一个直角三角形ABC，∠C=90°，它的两直角边分别是AC=3cm，BC=4cm量一量它的斜边AB是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？
变式1：在直角三角形中，各边的长如图（图略），求出未知边的长度。
变式2：已知直角三角形ABC的两边长分别是3和4，求第三边长。
变式3：直角三角形ABC中，∠C=90°，a=6，a∶b=3∶4求b和c。
学生练习，教师个别指导。
解题反思：已知直角三角形两直角边，求斜边可以直接用c=■求解，但当我们不明确是哪两边时，要分类讨论，即要用c=■；b=■或a=■。也可建立方程解决问题，渗透方程思想。
【点评】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题。通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性。通过变式练习，加强学生对应用勾股定理解决问题的灵活性。
五、解决问题，分享帮困
解决情景导入中的问题，引导学生将问题抽象成几何图形，并将问题转化为数学问题。
【点评】从问题中来，又回到问题中去，通过解决问题，让学生体会数学的应用价值。
六、反馈总结，提高认识
学到了哪些数学知识和数学思想方法？有什么疑问？还有什么想要继续探索的问题？
学生发言，互相补充，教师点评。
【点评】本环节为学生提供交流的空间，在引导学生巩固对勾股定理理解的同时，注重了数学思想方法的归纳，同时为下节课的教学提供改进方向。
【教学反思】
数学是一门严谨的科学，高度的抽象性是其标志，但这对于理性思维不强的初中生来说，也容易导致他们产生畏难情绪。因此如何在数学课堂中为学生创设贴近生活的情境，并让学生在情境中抽象出数学问题，如何引导学生分析数学问题，如何利用已有的数学知识、数学经验将未解决的数学问题划归，如何潜移默化地帮助学生形成数学思维、养成数学习惯都是我们在备课时需要反复斟酌的关键。勾股定理的教学，由于涉及的面积证法是学生第一次接触，有一定难度，处理得不好很容易让学生厌烦，因此，在实际教学中突出了四个“注重”：一是注重对学生兴趣的激发。二是注重学生的自主探究与合作交流的结合。三是注重数学文化和数学思想的渗透，培养学生的多种能力。四是注重数学应用意识的培养。
数学课的学习不能只是知识的探究甚至是传递，重要的是要激发学生探究的欲望，通过数学文化和生活中的数学，让学生感受数学的魅力，领悟数形结合的思想方法，激发学生内在的学习驱动力，变被动为主动，更能形成深远的影响。
编辑 李建军